Устойчивость периодических функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

© Ю. Ф. Долгий

[email protected]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с запаздываниями, оператор монодро-мии, конечномерные аппроксимации.

Abstract. Asymptotic behavior of the finite-dimensional approximations for the monodromy operator is investigated.

Для линейного периодического функционально-дифференциального уравнения с вполне непрерывным оператором монодро-мии условия асимптотической устойчивости можно сформулировать в терминах спектра этого оператора. Собственные числа оператора определяются корнями характеристического уравнения. В работе [1] для гильбертова пространства состояний предложены методы построения характеристического уравнения. Искомое характеристическое уравнение находится как предел характеристических уравнений для конечномерных аппроксимаций оператора монодромии. Существуют классы функциональнодифференциальных уравнений, порождаемые дискретными мерами Стилтьеса, операторы монодромии для которых не допускают непрерывные продолжения с пространства непрерывных функций на гильбертово пространство состояний [1]. В этом случае при построении характеристического уравнения оператора монодромии требуется находить конечномерные аппроксимации

1 Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования Российской Федерации Г'Е 00-10-91.

этого оператора в пространстве непрерывных функций. В работе исследуются функционально-дифференциальные уравнения с дискретными мерами Стилтьеса, описываемые дифференциальными уравнениями с переменными запаздываниями

= Ао(г)х(г) + ^2Ак(г)х(г - тк(г)). (1)

Здесь Ак (к = 0, тп) — а;-периодические матричные функции размерности п х п, интегрируемые по Лебегу на отрезке [0, ш\; тк (к = 1 ,тп) — а;-периодические функции, измеримые по Лебегу на отрезке [0, ш\, для которых выполняются условия: 0 <

< inf Tfc(i) ^ sup Tfc(i) оо, к = l,m .

*е[0,ш] te[0,w]

Для начального момента to £ введем множества

Ек = {$ '■ 11 (t > h) = hk(t) s$ to},

Ek = {i : hk(t) e E°,t> i0} ,

_____ m

где hk(t) = t — Tfe(i), к = 1, m. Обозначим £?0 = |J

fe=i

m

El = |J E^. Решением начальной задачи Коши с начальным

к=1 ______________________________________________

моментом to 6 Ж и начальной функцией 93 € (7(1?° |J {¿о}, К”) для дифференциального уравнения с запаздываниями (1) назовем функцию х : Е° |J[io, +00) Ж” такую, что x(t) = <p(t) при t €Е S°|J{io}; на любом компакте из (to,+oo) функция х абсолютно непрерывна и удовлетворяет почти всюду на этом компакте дифференциальному уравнению с запаздываниями (1). В приведенной формулировке начальной задачи Коши начальная функция <р определена на компакте Е° |J {to} , а не на отрезке, его содержащем. Это отступление от традиционной формулировки начальной задачи Коши позволяет отождествлять решения дифференциального уравнения (1), значения начальных функций которых совпадают на множестве Е° |J {to} ■ Сделанные вы-

ше предположения обеспечивают для дифференциальных уравнений (1) существование и единственность решения начальной задачи Коши.

Оператор монодромии II : С(Е° У {¿0} , К") -> С(Е° У {¿0} , К”) ограничен, вполне непрерывен и допускает аналитическое представление

(I/ </?)(#) = У(ш + і?, іо)<р(іо) +

+ У2 [ У(ш + ‘д^їАфїіріІгф)) ^

к=1

где д Є і?0 У {¿о}- В формуле (2) V обозначает матрицу-функцию Коши [3] для дифференциальных уравнений с запаздываниями (1).

Будем предполагать, что множество Е° состоит из конечного числа отрезков. Обозначим через 11гм конечномерный оператор, который получается из оператора монодромии (2) с помощью замены на каждом отрезке множества Е° элементов матричной функции У{ш + •,«) алгебраическими полиномами наилучшего приближения по аргументу і9. Полином наилучшего приближения наименее уклоняется на отрезке от заданной функции среди всех полиномов, степени которых не превосходят натурального числа N. В работе [2] получены асимптотические оценки точности аппроксимации оператора монодромии конечномерными операторами.

Теорема 1. Пусть Ак(к = 0, т) — ш -периодические матричные функции, интегрируемые по Лебегу на от,резке [О, ш]; Tk (k = 1 ,т) — ш-периодические функции, измеримые по Лебегу на от,резке [0, ш\, для которых выполняются условия:

О < inf Tfc(i) ^ sup Tfc(i) ^ ш, k = l,m, inf (ш + д) ^ sups.

*е[0,ш] <е[0,ш] i?e£° s£ei

Тогда имеет место асимптотическая формула

*+* т _

\\U ~ Un\\c = SUP_ Y,\MT)\dT), 6 = n(E°)/N.

J fe=0

В основе метода получения асимптотической оценки точности аппроксимации оператора монодромии лежит теорема Джексона для алгебраических полиномов [4]. Учитывая сглаживающие свойства решений систем дифференциальных уравнений с запаздываниями, можно усилить полученный в теореме 1 результат.

Теорема 2. Пусть па от,резке [0, ш\ периодические функции тк (k = 1 ,т) и элементы периодических матричных функций Ak (fc = 0,т) принадлежат пространству W^O, ш], г > 1, а для функций тк (k = 1, m) выполняются условия: 0 <

inf rk(t) s$ sup rk(t) ^ ш (k = 1,m), Ы_{кк1 ■ ■ ■ ккт){ш + •&) ^

*е[0,ш] te[0,w] tfeE0

sup s(ki,..., kr = 1 ,m) . Тогда имеет место асимптотическая

stE1

формула ||/' — / 'у ||(. ()(N r 1).

В теореме 2 обозначение (hkl ■ ■ ■ hkr) используется для суперпозиции функций hkl,..., hkr . Размерность конечномерного оператора Щг определяется выбором числа N.

Список литературы

1. Долгий Ю. Ф. Характеристическое уравнение в задаче устойчиво-

сти периодических систем с последействием // Изв. Урал. гос. унта. 1998. 10 (Математика и механика, вып. 1). С. 34-43.

2. Долгий Ю. Ф. Конечномерные аппроксимации оператора монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями // Вести. Перм. гос. тех. ун-та. Функциональнодифференциальные уравнения. Пермь (в печати).

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

4. Бердышев В. II., Субботин Ю. Н. Численные методы приближения функций. Свердловск: Сред.-Урал. кн. изд-во, 1979. 120 с.