CC BY
23
УДК 517.9
К ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ © Е.С. Жуковский
Теория абстрактного функциональнодифференциального уравнения, возникшая в восьмидесятых годах на Пермском семинаре профессора Н.В. Азбелева, играет заметную роль в различных исследованиях. Эта теория объединила "классических" представителей функционально-дифференциальных уравнений
(интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с отклоняющимся аргументом, уравнения нейтрального типа) с менее изученными сингулярными уравнениями, импульсными системами, гибридными системами и т. д. Здесь предлагаются элементы теории линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения с вольтерровыми операторами, являющегося естественным обобщением уравнения с запаздывающим аргументом. Отметим, что, несмотря на достаточную общность изучаемого здесь уравнения, удается сохранить специфику уравнений с последействием. Важнейшим инструментом исследования линейного абстрактного уравнения, как и "обычных" функционально-дифференциальных уравнений, мы считаем функцию Коши, определению и свойствам которой уделяем наибольшее внимание.
1. ФУНКЦИЯ ГРИНА АБСТРАКТНОГО ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Пусть Б, В - банаховы пространства, причем Б изоморфно и изометрично прямому произведению В х Я". Система уравнений
Сх = /, 1х = а, (1)
где С : Б -»■ В, / : Б -> Лп - линейные ограниченные операторы, называется краевой задачей. Краевая задача (1) изучается [1-3] в предположении, что оператор С нетеров, т<1С = п. Если
задача (1) имеет единственное решение при каждой паре (/,а) € В х Л" , то это решение представимо [2] в виде х = С/ + Ха. Конечномерный оператор X : определяется фундамен-
тальной системой решений однородного уравнения Сх = 0 , удовлетворяющей условию IX = Е. Линейный ограниченный оператор С : В -»• Б называют оператором Грина. В "классическом" случае, когда В = Ьт - пространство суммируемых функций, интегральное представление линейного ограниченного функционала в этом пространстве позволяет записать оператор Грина в виде
ь
(С/)(<) = I СЦ,з)/(з)с1з. (2)
а
Ядро называемое матрицей (функци-
ей) Грина, играет заметную роль в теории функционально-дифференциальных уравнений. Попытки получить аналогичное представление оператора Грина в случае произвольного банахова пространства В, по-видимому, не предпринимались, так как при выводе формулы (2) учитывается специфика пространства Ьт. Однако подобное представление, на наш взгляд, возможно при некотором сужении объекта исследования, состоящем в рассмотрении функциональных пространств. Это естественное ограничение (во всех применениях теории абстрактных уравнений [1-10] рассматривались только функциональные пространства!) позволяет построить аналог функции Грина, ввести понятие вольтерровости и перенести на уравнения с вольтерровыми операторами многие известные результаты, определить функцию Коши.
Итак, пусть Б, В - банаховы пространства вектор-функций у : [а, Ь] —> Яш, В 2! В х х Я". Будем предполагать, что для любой последовательности {?/;} С Г) ИЗ ||2л||о —> 0, при г -> оо, следует |уг(*)| -> 0, для всех < 6 [а, 6]. Тогда при каждом фиксированном £ е [а, 6] вследствие ограниченности оператора Грина С? : В -+
D линейный вектор-функционал / ь-> (Gf){t), определенный на Я, непрерывен. Следовательно, можно записать этот вектор-функционал в виде (Gf)(t) = (g(t), {), где компоненты т -мерного вектора g(t) являются элементами сопряженного пространства В". Построенное таким образом отображение д : [а, 6] -» В'т будем называть функцией Грина.
Рассмотрим, например, пространство С непрерывных функций х : [а, 6] —* R с нормой
||х||с = max |х(<)|. Общая форма линейного te[a,6]
непрерывного функционала в пространстве непрерывных функций дается интегралом Стилтьеса
6
дх = J x(s)dg(s), где </(•) - функция ограничен-
a
ной вариации [11]. Пусть банахово пространство D функций х : [а, Ь] -» Я изоморфно произведению С х Я"; С : D С, I : D -» Я". Тогда оператор Грина краевой задачи (1) представим в ь
виде (<?/)(<) = J f{s) d„g(t, s), где g{t, •) - функ-
а
ция ограниченной вариации. В соответствии с нашим определением, функция д является функцией Грина такой задачи.
Приведем еще один пример. Пусть Я - пространство аналитических функций х : [а, 6] -> Я, то есть функций, представимых в виде абсолютно сходящихся при каждом t £ [a, b] степен-00
НЫХ рядов x(t) = Ylxit*, с нормой ||ж||н = i=о
о°
X] |a?iс‘|, где с = max{|а|, |Ь|}. Отображение »=о
ОО
x(t) = ^2 Х{ tx к* {xiC- } устанавливает изо-i=0
морфизм между пространством Я и пространством последовательностей I1 . Этот факт позволяет задать линейный непрерывный функционал
ОО
д : Н R в виде дх = J2 9где {#,} € 1°°.
i=0
Таким образом, если банахово пространство D изоморфно произведению Я х Я", С : D -> Я, I : D -» Я", то оператор Грина краевой задачи (1) имеет представление
ОО ОО
i=0 i=0
где {fli(t)} € l°° следует считать "функцией" Грина.
Рассмотренное определение позволяет матрице Грина абстрактного уравнения сохранить многие "привычные" свойства. Приведем некоторые утверждения, полученные нами на основании результатов [4].
Теорема 1.1. Функции Грина д и gi двух
краевых задач для уравнения Сх = / с вектор-функционалами I и 1\ связаны соотношением 0(0 = 9iW — X(t) (IX)~1V, где X- фундаментальная матрица решений уравнения Сх — 0, вектор-функционал V : В —>■ Я" определяется равенством Vf = iffi(-)/-
Доказательство этого утверждения следует из формулы [4] G — G\ - X (IX)~1IGі, связывающей операторы Грина двух краевых задач.
Пусть изоморфизм D = Вх Я" задан операторами Q : D -> В х Я", (Л, Y) = Q : В х
х Яп -> D. Тогда краевую задачу (1) можно записать [2] в виде
Сх = QSx+Arx = /, їх = Фбх+'Ігх = а, (3)
где Q = СА : В В, А — CY : Я" -> В, Ф = = /Л : В -> Я", Ф = IY : Я" -> Я". Согласно [4], "главная" краевая задача
Сх = QSx -I- Агх = /, гх = а, (4)
однозначно разрешима тогда и только тогда, когда оператор Q имеет ограниченный обратный, решение задачи (4) имеет представление х = ЛQ-1/ + (У - AQ~M)a. Пусть функционал A(t) : В -> R™ определен равенством
(Л(t), /) = (Af)(t). Тогда функция Грина с задачи (4) находится по формуле c(t) = X(t)Q~l. Теперь на основании теоремы 1.1 получаем представление функции Г рина задачи (3)
g(t) = A(f)Q-1 - X(t)(lX)-llAQ-1. (5)
При выводе формулы (5) использовалась вспомогательная краевая задача (4), отличавшаяся от исходной задачи (3) краевым условием. Для решения многих вопросов удобно в качестве вспомогательной выбрать краевую задачу для другого уравнения, но с таким же функционалом, что и исходная. Такая краевая задача используется, например, в известной "W-подстановке" Н.В. Азбе-лева. Элементарный оператор Г рина, который эффективно строится по краевым условиям, предложен в [4]. Используя эти результаты, легко найти функцию Грина такого оператора.
Согласно [4], для функционала I существует такой вектор U Є Dn, что detrU ^0 и IU = Е.
Теорема 1.2. Для каждой пары (/, а) Є € Я х Я" краевая задача
Сі х = 6х - SU(rU)~1rx = /, їх = а, (6)
однозначно разрешима, ее функция Грина опреде-
ляется формулой
w,(t) = А(0 - U(t)Ф. (7)
Доказательство. Согласно [4, с. 106], для всех (/, а) Є В х Rn краевая задача (6) однозначно разрешима, Wi = A —UФ является ее оператором Грина. Таким образом, (wi(t), /) = (Wif)(t) — = (Af)(t) - (С/Фf)(t) = (A(t), f) - U(t)(Ф, /) = = (A(t) - С/(0Ф, /)•
Воспользуемся полученной "простейшей" функцией Грина (7) для нахождения уравнения, которому удовлетворяет функция Грина д исходной задачи (3), в предположении однозначной разрешимости.
Теорема 1.3. При каждом t € [а, 6] пара (g{t), X(t)) является решением системы
Q'g(t) + X(t) Ф = A (t), g(t)A + X(t) Ф = Y(t).
(8)
О)
Доказательство основано на "И^-подстановке" [4] х = ш/2, приводящей задачу (3) к уравнению = /, и во многом повторя-
ет вывод соответствующего утверждения в пространстве Ьт [4]. Подставляя И\ = А - VФ, получаем (СА- С17Ф)г = /. Далее, а; = (?/ = = С(<Э -Си Ф)л = ]У,г, то есть вС) -в СП Ф = = Л-С/Ф. Так как Ц-вСи^Х, то С<5 + АГФ = = Л. Отсюда, на основании определения функции Грина, имеем (С?*<?(£), г) + (Х(£)Ф, г) = (А(£), г). Таким образом, функция Грина, действительно, удовлетворяет уравнению (8).
Теперь заметим, что 2 = У — XФ является решением задачи С 2 = А, I г = 0. Отсюда
X = (?Л, и получаем формулу (9).
2. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА. ФУНКЦИЯ КОШИ
Рассмотрим более подробно главную краевую задачу (4) для абстрактного функциональнодифференциального уравнения.
Уравнение
о- • о
является той крае-
вой задачей, на основании которой строится изоморфизм пространств Б и В х й". Этим изоморфизмом и определяется главная краевая задача. В теориях обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием, других уравнений с последействием обычно используется изоморфизм х= /, х(а) = а, определяемый вольтерровы-ми по А.Н. Тихонову операторами. В этом случае главной является задача Коши, наиболее есте-
ственная для уравнений с последействием. Специфические особенности вольтерровых операторов и их многочисленные приложения определяют центральное место задачи Коши в ряду краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.
Предположение, что пространства В, Б являются функциональными, позволяет распространить идеи и методы теории уравнений Вольтерра на абстрактные уравнения. В таких пространствах можно рассмотреть класс абстрактных уравнений аналогов уравнений с последействием, для которых задача Коши по праву займет место главной задачи.
Приведем определение вольтеррового оператора, которое используется в настоящей работе. Пусть каждому у € (0, Ь — а ] поставлено в соответствие некоторое измеримое множество е7 с мерой д (е7) = 7 таким образом, что
V7, Т] Є (0, Ь - а] 7 < т] =Ф- е,Се
(10)
Обозначим V = { е7 }. Пусть У, В - линейные пространства функций / : [а, Ь] -> Я,п. Линейное отображение ^ : У -+ В будем называть воль-терровым на системе V, если для каждого е7 Є Є и и любого у € У из у (в) = 0 на е7 следует (^і/Нв) = 0 на е7.
Это определение несколько расширяет понятие вольтерровости по А.Н. Тихонову. Для вольтеррового по А.Н. Тихонову оператора е7 = [а, а+ 7].
Непосредственно из определения следует, что сумма и произведение линейных вольтерровых на системе V операторов является линейным воль-терровым на системе V оператором.
Вектор-функционал г : У —> Я" назовем функционалом Коши, если
Уе > 0 Уу Є У {г/(0 = 0, £ Є е7 =*• гу = 0}.
Краевую задачу (4), где дополнительно предполагается, что С : Б —► В - вольтерровый на
V оператор, г : Б -> й" - функционал Коши, назовем начальной задачей (задачей Коши).
Будем предполагать, что оператор А : В —»• Б является вольтерровым на V оператором. В этом случае "главная часть" оператора С - оператор <Э = С А : В —> В будет также вольтерровым. Напомним, что для однозначной разрешимости задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы оператор ф имел ограниченный обратный. Будем также предполагать, что оператор (З*1 : В —► В является вольтерровым на системе V. Условия обратимости оператора С) и вольтерровости обратного оператора будут получены в следующем параграфе.
Решение однозначно разрешимой задачи Коши представимо в виде х = Ха + С/, где линейный ограниченный оператор С = Лф-1 : В -» Б - оператор Грина начальной задачи - будем называть оператором Коши. В наших предположениях оператор Коши является вольтерровым на системе V. Запишем оператор Коши в виде (С/Ж) — (с(<)) I)) где компоненты т-мерного вектора е(<) = А(£)(?-1 являются элементами сопряженного пространства В'. Построенное таким образом отображение с : [а, 6] -»■ В'т, являющееся функцией Грина задачи Коши, будем называть функцией Коши.
Воспользуемся теоремой 1.3 для нахождения уравнения, которому удовлетворяет функция Коши.
Теорема 2.1. При каждом £ £ [а, Ь] функ-ция Коши является решением уравнения
о-с{1) = щ. (п)
Фундаментальная матрица решений однородного уравнения определяется равенством
*(<) = У(«) - с(<)А (12)
Для доказательства достаточно в формулах (8,9) взять в качестве Ф единичную матрицу Е и положить функционал Ф = 0.
Пусть сопряженное пространство В* является пространством функций, определенных на [а, Ь] и имеющих значения в Ят. Будем говорить, что в пространстве В* выполнены условия:
I) При любых уеВ, д £ В", если у (в) = 0 на е7 и д(в) = 0 на [а, 6] \ е7, то ду = 0.
Л) При любом 7 £ (0, Ь — а], если элемент д € В’ принадлежит ортогональному дополнению к подпространству М7 = {у£Б|у(в)=0 при всех в £ £ е7}, то д(з) =0 на [а, 6] \ е7.
Обозначим значение функции с(4) : [а, Ь] -> Д”1” при в € [а, 6] через с(£, в) и назовем его значением функции Коши в точке (<, в).
Теорема 2.2. Пусть в пространстве В* выполнено условие Л). Тогда для вольтеррово-го на V оператора Коши С : В —» Б при любом е7 € V, если Ь £ е7, в € [а, 6] \е7, то с(<, в) = 0.
Доказательство. Зафиксируем < £ е7. Возьмем произвольно у € М7, то есть у (в) = 0 при й £ е7. Вследствие вольтерровости оператора С получим (с(<), у) = 0, компоненты вектора с(£) принадлежит ортогональному дополнению к подпространству М7. Поэтому с(£, я) = 0 для всех я £ [а, Ь] \ е7.
Теорема доказана.
Отметим, что утверждение теоремы остается выполненным для любого вольтеррового на системе V оператора F : В -> Б, т. е. (^у)(<) =
= (/(*)> У)> где значения функции /(£) : [а, 6] -> дтхш удовлетворяют условию /(£, в) = 0 при (£, я) £ е7 х ([а, 6] \ є7).
Вернемся к уравнению (11), которому удовлетворяет функция Коши, и покажем, что это уравнение с вольтерровым оператором.
Теорема 2.3. Если в пространстве В' выполнены условия I ), Л ), то для любого вольтеррового на V линейного оператора С) : В -» В сопряженный оператор ф* : В' -> В* является вольтерровым на системе її = {[а, 6] \ е7}.
Доказательство. Возьмем любой у £ В такой, что у(в) = 0 на е7. Вследствие вольтерровости оператора С? : В —> В имеем (£?у)(в) = 0, « € е7. Пусть д £ В, д(в) - 0 на [а, 6] \ е7. Так как выполнено условие I), то (<7, С)у) = 0. Отсюда ((?*</, у) = 0. Вследствие произвольности у Є В на. основании условия Л) получим (С2'д){з) = 0, при «£ [о, Ь] \ е7.
Теорема доказана.
3. ВОЛЬТЕРРОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Различным обобщениям классических результатов Вольтерра, исследовавшего интегральный
оператор (А"2/)(<) = I К(1,з)у(з)с18, посвяще-
а
ны многочисленные работы [13-29]. Абстрактными вольтерровыми операторами называют линейные вполне непрерывные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, спектральный радиус которых равен нулю [13-16]. В основе ряда других определений [17-29] свойство "эволюции" (или "последействия"). В литературе подробно изучены свойства вольтерровых операторов, исследованы различные уравнения с такими операторами [17-29]. В работах [30, 31] рассмотрены многозначные вольтерровые операторы и порождаемые ими включения. Рассмотренное здесь определение (10) вольтерровости на системе и также является отражением эволюционности операторов. Такие операторы, действующие в пространствах суммируемых функций, рассматривались автором в [20,21]. В.И. Суминым предложено [26-28] аналогичное определение вольтерровости для операторов, действующих в пространствах функций, суммируемых на ограниченном измеримом подмножестве Я".
Ниже предлагается исследование свойств вольтерровых на системе V операторов. Как уже отмечалось, эти свойства позволяют задаче Коши занять главное место в ряду краевых задач для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений.
Будем говорить, что в пространстве В выполнено V-условие, если это пространство является банаховым и для любого множества е7 Є V и для любой сходящейся последовательности ІУі} с В, ІІг/і-УІІв -> 0, из равенства
2/і(0 = 0, г = 1,2,..., при всех ( 6 е, следует, что и предельная функция у (£) = 0 при 4 Є е7.
Теорема 3.1. Пусть в пространстве В выполнено V-условие-, {Р<} - последовательность линейных вольтеровых на V операторов ^ : У ч В. Если || Рі у - Ру || в -у 0 при каждом у Є У, то и предельный оператор Г : У -> В также вольтерров на системе V.
Действительно, вследствие вольтерровости для любого такого у Є У, что у(£) = 0 на е7, выполнено (Ріу)(£) = 0, < Є е7. Поэтому на основании ^-условия (і7,у)(<) =0, < Є е7, и оператор Р вольтерров.
Обозначим через р{К) спектральный радиус линейного ограниченного оператора К : В В. Если р(К) < 1, то к оператору I - К существует ограниченный обратный оператор, представимый суммой ряда Неймана (I - К)~ =
= I + К + К2 + .... Поэтому из теоремы 1 вытекает
Следствие. Если К : В -> В - линейный ограниченный вольтерровый на системе V оператор со спектральным радиусом р{К) < 1, то оператор (I — К) ~1 также вольтерров на V.
Отметим, что V-условие выполнено для любой системы V в банаховых пространствах непрерывных функций, функций ограниченной вариации, суммируемых функций и т. д.
Обозначим В (е7) - пространство суже-
ний функций из В на множество е7. Норму в пространстве В (е7) зададим формулой II У-у II в (Є,) = іпГ II у II в > где нижняя грань берется по всевозможным продолжениям у Є В функции у7 Є В{еу). Если выполнено У-условие, то подпространство Ву = { у Є В \ у(£) =0, £ € е7 } замкнуто, и, согласно [11, с. 128-130], при таком определении нормы пространство В (е7) является банаховым. Определим оператор П7 : В —> В(е7) равенством (П7у)(£) = у {і) при всех £ Є € е7. Пусть оператор Р7 : В (е7) —> В некоторым образом продолжает каждую функцию у7 на весь [а, 6].
Рассмотрим вольтерровый на системе V оператор ф : В -> В. Обозначим ф7 = П7фР7 : В (е7) В (е7). Хотя оператор Р7 может быть нелинейным, тем не менее вследствие вольтерровости линейного оператора (3 оператор <37 линеен.
Теорема 3.2. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V-условие, линейный ограни-
ченный оператор ф : В -» В является воль-терровым на системе V. Тогда при любом 7 € £ [ 0, Ь — а ] линейный оператор С} 7 ограничен и
над < 11311-
Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Это означает, что существует такой г7 € В (е7) и такое число 9 > ЦдЦ, что || С? 7г7 || > д || г7 ||. Продолжим функцию г7 до функции г, определенной на [а, 6] так, чтобы ||г|| < ||г7|| (1 + с), где
^ " 0. Тогда ||<3л|| > ||<Э727|| > _ Я "Н| О II || 21| Отсю-
6 = Ч—
Я +
О
> я
— Г"+~ё
г =
да || <3 л || > || <3 || || г ||, что противоречит определению нормы оператора.
Теорема доказана.
Получим условия обратимости вольтеррового на системе V оператора С? и вольтерровости обратного оператора С?-1.
Теорема 3.3. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V-условие, и пусть вольтерровый на системе V оператор ф : В -+ В обратим. Тогда, чтобы обратный оператор (}~1 был вольтерровым на системе V, необходимо и достаточно обратимости операторов <37 для каждого 7 Є (0, 6-а].
Доказательство. Достаточность. Функция х (£) = (ф-1 /) (£) является единственным решением уравнения (С2х)(1) — /(£). При £ Є Є е7 вследствие вольтерровости оператора (} это уравнение можно записать в виде ф7 х7 = П7 /. Если /(£) = 0 на е7, то П7 / = 0. Отсюда
х7 = 0, и оператор (}~1 является вольтерровым.
Необходимость. Пусть оператор С}-1 вольтерров на системе V. Покажем, что композиция П7(?Р7П7<3-1 Р7 является тождественным оператором. Элемент і7 = П7 <3-1 Р7 /7 является сужением на е7 решения х уравнения ()х = Р7 /7. Вследствие вольтерровости оператора <3 имеем (С?х)(£) = (П7(3Р7х7 ) (£), при £ Є е7. Таким образом, /7 = П7 £? Р7 П7 <3-1 Р7/7. Аналогично получаем, что композиция П7 £?-1 Р7 П7 Р7 также является тождественным оператором. Итак, оператор ф7 обратим, причем £?~1 = П7 С?-1 Р7.
Следствие 1. Если оператор 1 воль-
терров, то операторы С} 71 : В (е7)
В (е7)
ограничены в совокупности.
Действительно, согласно теореме Банаха об обратном операторе [12, с. 225], действующий в банаховом пространстве оператор <3~1 ограничен. Согласно теореме 3.2, при всех 7 выполнено
«с;1 II <110-1.
Следствие 2. Спектральные радиусы вольтеррового оператора К : В —> В и оператора К у = ЩКРу : В (е7) -» В (е7) при любом 7 удовлетворяют неравенству р (К у) < р{К).
Действительно, для любого А < опеРа~
тор I — ХК обратим, причем (I — АК)~г является вольтерровым. Согласно доказанной теореме, оператор /7 — ХКУ обратим, т. е. А - регулярное значение оператора К у.
Определим отображение Z : (О, Ь—а] х В -ь R равенством Z(7,y) = ||2/IIз(е )• Будем говорить, что в банаховом пространстве В выполнено С-условие, если для каждого у € В функция Z(-,y) непрерывна и lim Z(j,y) = 0. При
7—>0+0
выполнении С-условия доопределим функцию Z, считая Z(0, у) = 0, при любом у £ В. Заметим, что условие С выполнено, например, для любой системы v в пространствах суммируемых функций.
Линейный оператор К : В -> В на-
зовем улучшающим, если образом единичной сферы U является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е.
V е > О 3 <5 > О V я € t/ V г, 7 € [О, Ь — а]
|т — 7| < <5 =► \Z{T,Kx)-Z('y,Kx)\<£. (13)
Из определения следует, что линейный улучшающий оператор ограничен.
Теорема 3.4. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С ; линейный оператор К : В -> В является улучшающим вольтерровым на системе v . Тогда спектральный радиус этого оператора р{К) — 0.
Доказательство. Возьмем произвольное А и докажем, что уравнение
x(t) - A(Kx)(t) = f(t) (14)
однозначно разрешимо. Зафиксируем S > 0 так, чтобы было выполнено условие (13) при е = — .
Z Л
Вольтерровость оператора К позволяет записать уравнение (14) при t G ед в виде
(/, - XI<s)xs = fs. (15)
Здесь Ig : B(es) -* В (eg) - тождественный оператор, Кs = UsKPs, xs Е B(es), fs = Пsf- Оператор XKs является сжимающим,
11Л /О 11 < -. Поэтому уравнение (15) однозначно разрешимо. Обозначим его решение через zs• Пусть z € В - некоторое продолжение функции zs- Для нахождения решения уравнения (14) при t 6 [ о, b) \ е s сделаем замену у — х - z . Получим
(7 - ХК)у = f -(I - ХК)г. (16)
Здесь операторы I,К будем считать действующими в подпространстве Bs С В функций, тождественно равных нулю на es■ Обозначим / = /-(/ - АК) г Є В{ ■ При * Є Є2в уравнение (16) является уравнением
Он ~ ^Кгб)У2б = І26 __ __ (17)
со сжимающим оператором ХКы, || А К25 || <
действующим в подпространстве функций из В(е2і) равных нулю на ев- Уравнение (17) однозначно разрешимо, обозначим его решение гг6-Функция (Пгі-г + ггйИО является решением уравнения (14) при і Є Є26-
Продолжая аналогичные рассуждения, можно за конечное число шагов построить опре-
деленное на всем отрезке [а, 6] единственное решение уравнения (14). Тем самым доказано существование обратного оператора (/ — АЛ')-1. Согласно теореме Банаха [12, с. 225], этот оператор ограничен.
Следствие. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С ; линейный оператор К : В —)• В является улучшающим вольтерровым на системе V. Тогда обратный оператор (I - X К)~1 при любом X является вольтерровым на V.
Проиллюстрируем существенность условия С в формулировке теоремы 3.4. Рассмотрим пространство С[0, і] непрерывных функций у : [0, 1] -» Л, норма в котором определена равенством ||у||с = тах^|у(£)|. Пусть V состоит из
множеств ву = [0,7]. В пространстве С[о, і] выполнено условие V. Отображение Z : (0, 1] х
х В -> Л, 2(7, у) = тах |у(<) | являет-
«е[о,т-]
ся непрерывным по первому аргументу. Так как
Ііт 2(7, у) = 2/(0), то существуют такие у Є 7-»0+0
€ С[о,і], что Z(0,y) Ф- 0. Условие С нарушено. Оператор К : (7(0,1] -> ^[0,1]. (куШ = У(°) + і
! у(з) <1з является непрерывным, улучшающим,
о
однако имеет характеристическое число А = 1 (собственный элемент, отвечающий этому числу, равен у (і) = ехр(<) ). Если же рассмотреть подпространство С0[о,і] = {у Є С[о,і] | У(0) = 0}, то будет выполнено условие С. Сужение оператора К : С0[о,і] -> С0[о,і) обладает пустым характеристическим множеством, его спектральный радиус р{1<) = 0.
Теорема 3.4 несколько обобщает известный результат [13, с. 153] не только тем, что здесь рассматривается абстрактное пространство, но и благодаря условию улучшаемости оператора К, яв-
ляющемуся, как мы сейчас покажем, более слабым по сравнению с "традиционным" требованием компактности.
Теорема 3.5. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С. Если множество Н С В предкомпактно, то его элементы имеют равностепенно непрерывные нормы:
V е > 0 35>0 VI е Я V т, 7 6 [0, 6 - а]
|т —7|<£ => | 2(т,х) - 2(7, х)| < е.
Доказательство. Рассмотрим оператор П, ставящий в соответствие каждому у € £ В функцию 2(-, у). Это отображение действует из пространства В в пространство С0 [ о, ]
таких непрерывных функций х : [0, Ь - а] -» Я, что х(0) = 0, ||а:||со = тах|х(*)|. Из
определения оператора П, для любых у,и] 6 В имеем оценку ||2(-,ш) - 2(-,2/)||Со =
I Пт Ю II В(е, ) II П7УII в(е,
= шах
7б[0,6—о]
- Ж*? . “ п-гг/II) = II- у\\в-
7б[0,6-о] ' ^ '
Поэтому оператор П непрерывен и переводит ограниченные множества в ограниченные. Образом предкомпактного множества Я С В является предкомпактное множество ПЯ С С0 [ о, ь - а ] • Для доказательства утверждения осталось воспользоваться критерием компактности Арцела в пространстве непрерывных функций.
Следствие. Если в банаховом пространстве В выполнены условия V, С, то спектральный радиус вполне непрерывного вольтеррового на v линейного оператора равен нулю.
Действительно, согласно теореме 3.5, вполне непрерывный оператор является улучшающим.
Теорема 3.6. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С\ линейный оператор К : В —► В является улучшающим вольтерровым на системе v, линейный оператор S : В -> В ограничен и вольтерров на системе V. Тогда, если один из операторов
I — К — S, I — S обратим, и обратный к нему оператор вольтерров на V, то обратим и другой, и обратный к нему также вольтерров.
Доказательство. Вначале предположим, что оператор I - S обратим, и обратный оператор (7 - S)-1 вольтерров. Докажем обратимость оператора 77 — S7 — Я7 при любом 7 € (0,6 — о]. Рассмотрим уравнение
xn(t) ~ (Sy х’г)(^) ~ (^7*7) № = /т(0> ^ £ ет Это уравнение равносильно уравнению
*7(і) = ((/7-57)-1Я7і7)(<)+
+ ((/7-57)-1/7)(«). <Єе7. (18)
Возьмем є = ^ || ^^ ^ _і і и найдем 5,
0 < <5 < 7 так, чтобы для оператора Я было выполнено условие (13). Вольтерровость операто-
ра (7 — 5) 1 Я позволяет записать уравнение (18) при £ € ег в виде
= [1б - 5л)-1 К$Хб + (1б - Зг)-1/г • (1д)
Согласно следствию из теоремы 3.3, выполнена оценка ||(/4-5<Г1Ял|| < || (7 - 5)"1 ^|| < т. е. оператор (1( — 5г,)-1Я,5 является сжимающим. Уравнение (19) однозначно разрешимо. Продолжим его решение г & до некоторой функции 27 € Я(е7). Запишем уравнение (18) относительно новой неизвестной у у = х7—г7 в виде
(20)
ЗдеСЬ </7— (I у 3 у) ^7) 2у 2у,
операторы 1у, К-г, Б у считаем действующими в подпространстве Вг(е7) С Я(е7) функций, тождественно равных нулю на е&. При < € е-1& уравнение (20) является уравнением
У2І = Ц 26 ~ Sit) 11<26 У 26 + 926
(21)
со сжимающим оператором (126 — 52г)-1 Я26 — Ф 2<5, || $26 II < 2 , действующим в подпростран-
стве В}(в2б) С В(в2б) функций, равных нулю на Є{. Уравнение (21) однозначно разрешимо, обозначим его решение 2 2 6- Функция (ПгбР727 + ■Ь %2б) (О является решением уравнения (18) при
і Є ег 6- Продолжая описанные построения, за ко-
Г71 Гб — а] нечное число шагов J < —-— найдем опре-
деленное на всем е у единственное решение уравнения (18). Итак, оператор I — К — Б обратим, обратный оператор (7 — Я - 5)-1 вольтерров.
Пусть теперь оператор 7 — К — 5 обратим, и обратный оператор (7 — К — 5)_1 вольтерров. Оператор 5 = К + 5 является линейным ограниченным вольтерровым. Воспользовавшись полученным выше утверждением, заключаем, что оператор 7 — 5 - (—Я) = 7 — 5 обратим, и обратный к нему оператор вольтерров.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С; линейный оператор К : В —► В является улучшающим вольтерровым па системе V, линейный ограничений оператор 5 : В -» В вольтерров на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов К + 5, 5 одинаковы: р(К + 5) = /?(5).
Доказательство. Возьмем любое число А, удовлетворяющее неравенству | А | < р ( •
Тогда существует обратный оператор (7 — А 5) ~1, который является вольтерровым. В силу теоремы 3.6 оператор 7 - А (5 + Я) обратим. Следователь-
но, р(К -I- 5) </)(5). Аналогично доказывается неравенство р(К + 5) > р(5).
Следующие два утверждения для случая пространства суммируемых функций доказаны в книге [4, с. 86].
Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С; линейный оператор К : В -* В является вполне иепрерывным вольтерровым па системе V, линейный ограниченный оператор 5 : В -> В волътерров на системе V. Тогда, если один из операторов 1-К-З, 1-3 обратим, и обратный
к нему оператор вольтерров на V, то обратим и другой и обратный к нему также вольтерров.
Следствие 3. Пусть в банаховом пространстве В выполнены условия V, С; линейный оператор К : В —► В является вполне непрерывным вольтерровым на системе V, линейный ограниченный оператор 5 : В —> В вольтерров на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов К + 5, 5 одинаковы:
р(* + 5)=р(5).
Для доказательства достаточно заметить, что вполне непрерывный оператор является улучшающим.
4. ПРИБЛИЖЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ КОШИ
При исследовании реакций системы на многочисленные различные входные воздействия требуется находить решения дифференциальных уравнений, отличающихся друг от друга только правыми частями или начальными условиями. Такие задачи приходится решать, например, при расчетах траекторий движения небесных тел [32, с. 450], в теории управления [24], в теории устойчивости [4]. В этом случае оказывается удобным один раз построить общее решение соответствующего уравнения и п полученную формулу затем лишь подставлять нужные правые части и начальные условия. Вопрос о нахождении общего решения абстрактного функционально-дифферециального уравнения, как видно из предыдущего изложения, можно свести к построению функции Коши. Методы численного нахождения функции Коши интегро-дифференциального уравнения, уравнения нейтрального типа предложены в работах А.А. Ефремова, Т.В. Жуковской, С.А. Югановой [34-36]. Ниже предлагается достаточно общий метод построения функции Коши абстрактного уравнения, частными случаями которого можно считать методы [33, 34].
Пусть Б, В - банаховы пространства функций у : [а, 6] -¥ Я, в пространстве Б выполнено условие С и для любой последовательности
{у<} С Б из ||у(||с -> 0, при г -> оо, следует |у«(^)| -» 0, для всех < € [а, 6]. Пусть, далее, Б =* В х Я п , и этот изоморфизм задан отображениями : Б -» В х Яп, (А, У) = :
В х Яп —у Б, где 6, А - вольтерровые на V операторы, г - функционал Коши. Рассмотрим уравнение
Их = (/ - У?)8х + Агх = / (22)
в предположении, что оператор : В -> В вольтерров на системе V и его спектральный радиус р{\У) < 1. Согласно доказанному выше, существует и является вольтерровым на системе V оператор Коши С = А(/ - №)-1 : В -» Б. Оператор Коши С полностью определяется функцией Коши с : [а, 6] -> В*, с(£) = А(<)(/ - И^)-1, где функ-
ционал А(<) 6 В' задан равенством (А(<), /) =
=(дт-
Каждому £ 6 [а, 6] поставим в соответствие число с(£) = т£{7| £ € е7}. Введем на [а, Ь] бинарное отношение £>„ следующим образом:
(<, ») 6 е» <=> с(£)=ф)-
Это отношение является эквивалентностью, фактормножество состоит из классов Т(7) = {( 6 € [а, Ь] | <;(£) = 7} , 7 € [0, 6 - а]. Всюду ниже в этом пункте предполагается, что при любом 7 6 € [О, Ь — а] множество Т(7) не пусто и конечно. Условие Т(7) ф 0 будет, например, выполнено, если для любых 7, £ 6 [О, Ь — а], из 7 < ( следует, что каждая отличная от о, 6 точка множества е7 является внутренней точкой множества
. Действительно, во-первых, у каждого множества е7 существуют граничные (определение см. [36, с. 24]) точки. Иначе все точки множества е7 и его дополнения ё7 = [о, 6] \ е7 будут внутренними, т. е. оба множества е7, ё7 будут одновременно открытыми. Во-вторых, если точка <о является граничной для множества е7, то для любого и, и < 7 имеет место £о 0 е„. В противном случае, если £о € е„, то в множестве е7 эта точка должна была быть внутренней. Итак, действительно, предложенное условие гарантирует, что Т(7) ф 0 при любом 7. Существенность этого условия проиллюстрируем системой V множеств е7 С [0, 1], являющихся объединением отрезков [0, 7] с множеством рациональных чисел отрезка [0, 1]. В этом случае, если 7 является рациональным, то граничные точки множества е7 также рациональны. Для любого £, £ > 7 рациональные точки из [£, Ь) будут граничными и для множества , наше условие нарушено. Для такой системы V множество Т(7) пусто, если 7 рационально.
Рассмотрим алгоритм приближенного нахо-
ждения функции Коши. Возьмем некоторое натуральное число к и выберем числа 7<, г = 0, к так, чтобы 0 = 70 < 7г < < 7к = Ь — а. Зададим вектор I = *(£,, •• • , 1к,), компоненты
которого ti2, ■ ■ - , г = 1,Аг сами
являются векторами с компонентами - элементами класса эквивалентности Т(у{). Пусть для каждого 1 = 1,к вектор Е3 = (E^j, Eгj, - • , Ег^) имеет компонентами такие функции Ер^ £ В, что ЕР] (э) = 0 при всех в € е7._1, и пусть вектор Е определен равенством Е = (Е1, Е2, • • • , Ек). Обозначим через Tij = (А(< *), Е^ ) матрицу
/<А(*М), Я,, НЖ,), £„■)••• (А(£( х ), Е,.}) \ (А(*1а),Еи)(А(*|>)>^) - <А(*„),£,„>
К( Л(*‘|( ),£?„>< А(£, ,4), Е3,) •.. (А(£,„), Еч,))
размерности /, х1г Составим квадратную матрицу Т = (Tij)kxk■
Вследствие вольтерровости на V оператора Л выполнено тг) = 0 при ^ > г. Будем предпола-гать, что с!еЬ т;,• ф 0 при всех г = 1, Л. Тогда существует матрица т/ = г-1, Щ = (т/^-), г,^ = = 1, Л, где 77^ - матрица размерности /,х/г Для матрицы т) также выполнено ту^ = 0 при j > i.
Обозначим 3* : В -¥ В - отображение, ставящее в соответствие каждому у € В такой эле-_____________к »,
мент у = Е£= £ Т,ЕР]£.Р}, чт0 (Ж,), у) = 1=1 р=1
= (А(£,ч), у) при всех = 1,/», * = 1,А:. Найдем коэффициенты £ = (£р ^ ) в линейной комбинации у функ_ций_.Е = (Е£]). Пусть х = (А(1), у). Тогда (А(?), Е£) = т| = х. Следовательно, £ = 77 х.
Итак, Ъку = Ет)х = Е =
= Т.ЁгГ]чХ,.
щ
Рассматриваемый метод построения функции Коши основан на замене уравнения (22) уравнением
(7 - W$tk)6x* + Агхк = }
(23)
Построим решение "приближенного" уравнения (23), удовлетворяющее начальному условию гхк =0. Подействуем вектор-функционалом \(і) на обе части этого уравнения. Получим
х-дт)х = (А(<), /),
где х_ = (А(І),6хк), = (А(?і), \Vl2j),
д = (д ^ )кхк ■ Из вольтерровости на системе V операторов А, \У следует д ^ = 0 при всех ,7 > г. Таким образом, хі—у 11 1 її = (А(<і),/), от-
куда
XI = (е-Зи *7п) 1 <А(< 1), /),
где е - единичная 11 х 1\ матрица. Согласно определению функции Коши, получаем
ск$ 1) = (е-^пЧпГ1 А(41).
Аналогично, на т— ом шаге имеем уравнение
т т
= <А(‘т), /),
1=1 ;=1
которое удобно записать в виде
^ тп ЯттЛттп^тп т—1 т
= Е ЕОт^П Xi + (А(«т), /).
|=1 (=1
\-1
Отсюда имеем Хщ {є ~ 9 тт Чтт )
(т-1 т \
Е + (А(«т), />) •
<=1 /=> /
Здесь е - единичная / т х / т матрица. Таким образом, получаем рекуррентное соотношение для вычисления функции Коши:
С (Ї т ) 9 т т V т т )
/ т—1 т \
• ( А(<т) + Е ЕйіЧіі с*(*о).
V і=і і=і /
ЛИТЕРАТУРА
1 . Лзбелео И. В. К вопросу о регуляризуемости сингуляр-
ных уравнений // Вестник ПТГУ. Математика и прикладная математика. Пермь, 1996. № 1. С. 5-27.
2 . Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные
функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения.
Пермь, 1987. С. 3-11.
3 . Анохии А.В. К общей теории линейных
функционально-дифференциальных уравнений.
Пермь: Перм. политехи, ин-т, 1981. 31 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1389-81.
4 . Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулли-
на Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.
280 с.
5 . Азбелев Н.В., Максимов В.П., Худяков В.П. К вопро-
су о регуляризуемости уравнений // Краевые задачи. Пермь, 1984. С. 3-8.
6 . Azbelev N. V. The ideas and methods of Perm Seminar
on boundary value problems. Boundary value problems for functional differential equations. World scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995. P. 13-22.
7 . Азбелев H.B. Современное состояние и тенденции
развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. 1994. № 6. С. 5-27.
8 . Анохин А.В. О линейных импульсных системах
для функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 28. Л>5. С. 1037-1040.
9 . Бравый Е.И. О разрешимости одной краевой зада-
чи для нелинейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Известия вузов. Математика. 1993. № 5. С. 17-23.
10 . Шиндяпин А.И. О краевой задаче для одного сингу-
лярного уравнения // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 3. С. 450-455.
11 . Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный ана-
лиз. М.: Наука, 1984. 752 с.
12 . Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории
функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
13 . Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные
уравнения. СМБ. М.: Наука, 1968. 448 с.
14 . Бродский М. С. Треугольные и жордановы представ-
ления линейных операторов. М.: Наука, 1969. 364 с.
15 . Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные
задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 208 с.
16 . Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых опера-
торов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.
17 . Васильев А.В., Тихонов Н.А. Интегральные уравне-
ния. М.: МГУ, 1989. 156 с.
18 . Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия воль-
террова оператора // ДАН СССР. 1987. Т. 295. X* 5. С. 1046-1049.
19 . Жуковский Е.С. К теории абстрактного
функционально-дифференциального уравнения
// Вестник ТГУ. Тамбов, 1998. Т. 13. Вып. 2. С. 177-179.
20 . Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра //
Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. 9. С. 1599-1605.
21 . Жуковский Е.С. Вольтерровость и спектральные
свойства оператора внутренней суперпозиции // Дифференц. уравнения. 1994. Т. ЗО. X* 2. С. 147-149.
22 . Жуковский Е.С. Об операторах Вольтерра в банахо-
вых функциональных пространствах // Вестник ТГУ. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 2. С. 147-149.
23 . Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтер-
ра // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 1. С. 167-168.
24 . Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.:
Наука, 1972. 476 с.
25 . Лившиц М. С. О спектральном разложении линейных
несамосопряженных операторов // Мат. сб. 1954. Т. 34 (76). С. 145-198.
26 . Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения
в теории оптимального управления распределенными системами. Ч. 1. Нижний Новгород: ННГУ, 1992. 110 с.
27 . Сумин В.И. Функционально-операторные вольтер-
ровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.
28 . Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения
Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43. № 4. С. 555-561.
29 . Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа
Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25.
30 . Булгаков А.И. Теорема Кнезера для одного класса
интегральных включений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. М 5. С. 894-900.
31 . Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные
и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. Л> 8. С. 1362-1374.
32 . Бахвалов Н.С. Численные методы. Ч. 1. М.: Наука,
1975. 632 с.
33 . Ефремов А.А. Приближенное решение уравнений
с запаздывающим аргументом: Дис. ... канд.физ.-мат.наук. Пермь, 1983. 114 с.
34 . Жуковская Т.В. Вольтерровость операторов и чис-
ленное решение функционально-дифференциальных уравнений: Дис. ... канд.физ.-мат.наук. Пермь, 1990. 140 с.
35 . Юганова С.А. К вопросу о приближенном построении
оператора Коши. Пермь: Перм. политехи, ин-т, 1981.
11 с. Деп. в ВИНИТИ, 3820-81.
36 . Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая
школа, 1999. 368 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01-01-00140).
