Достаточные условия оптимальности в задачах импульсного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

2. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, №1. С. 102-116.

3. Долгий Ю.Ф. Характеристическое уравнение в задаче асимптотической устойчивости периодической системы с последействием // Тр. Ин-та математики и механики. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. Т. 11, №1. С. 65-96.

4. Долгий Ю.Ф. Определители возмущения в в задаче асимптотической устойчивости движений в периодических системах с последействием // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: тр. Междунар. семинара, посвящ. 60-летию акад. А.И. Субботина. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2006. Т. 1. C. 82-90.

5. Долгий Ю.Ф. О построении характеристического уравнения для дифференциальных уравнений с кусочно постоянным запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. 1979. С. 31-41.

6. Долгий Ю.Ф. О построении характеристического уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 1977. №3. С. 9-19.

7. Долгий Ю.Ф. Представление оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов // ДАН. 1994. Т. 334, №2. С. 138-141.

8. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, №9. С. 1599-1605.

Долгий Юрий Филиппович

Уральский государственный ун-т

Россия, Екатеринбург

e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ 1

© В. А. Дыхта

Рассматриваются достаточные условия оптимальности для некласических задач динамической оптимизации, в которых управлениями являются векторные меры, а траекториями — функции ограниченной вариации. Предлагаемый подход базируется на использовании семейства решений неравенства Гамильтона-Якоби (в частности, соответствующего уравнения) и развивает идеи, изложенные в [1,2] приминительно к класическим задачам оптимального управления. Заметим, что этот подход можно рассматривать как существенную модификацию известных достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты №07-01-00741, №05-01-00187).

Суть подхода изложим для следующего варианта задачи оптимального управления гибридной системой (или задачи оптимизации мультипроцессов):

J(а) = l(q) — min, q є C,

Xі = fi(t,xi,ui), ui(t) є Ui, (1)

t є Ai = [t0,t\], i = 1k.

Здесь

q = t0, tl, x1 (t0), x1 (t\)^, i = 1,k^ — концевой мультивектор,

а = ^ ^(x1 (t), u1 (t)\t є A1) j ,i = 1,k^ — мультипроцесс,

состоящий из последовательности процессов подсистем, C, Ui — множества в соответствующих пространствах, dimxi = Пі, dimui = mi, l — скалярная функция.

К дискретно-непрерывной задаче (1) сводятся многие задачи импульсного управления [3], хотя она представляет и самостоятельный интерес.

Пусть а = (xi(t),ui(t)\ t є Ai = [t0,t\]) j, i = 1,kj — мультипроцесс, исследуемый

на оптимальность, Gi — открытое множество в пространстве (t,xi), содержащее график троектории xi(t) (i = 1,k). Положив G = G1 x ... x Gk, обозначим через P(G) сужение задачи (1) на множество G, получающееся добавлением ограничений (t, xi(t)) є Gi для любого t є Ai, i = 1,k. По определению считаем, что а — точка сильного минимума в задаче (1), если существует такое открытое множество G (описаной структуры), что а является точкой глобального минимума в задаче P(G).

Неравенство Гамильтона-Якоби для i-ой подсистемы на множестве Gi определим в виде

sup D+pi^t,xi-,^1,fi(t,xi,ui^yj < 0 V(t,xi) є Gi, (2)

где D+ß1 (z; v) означает верхнюю производную Дини функции ß(t,z) по направлению v. Решением неравенства (2) будем считать любую функцию ß1 : Gi —- R, локально липши-цевую по xi на G1, и такую, что на любом ограниченном множестве Bi С Gi выполняется условие

(ti,xi) є Bi, (t2, x1) є B,t2 >ti =ф ßi(t2, x1) — ßi(ti,xi) ^ gi(t2) — g(ti),

где gi(t) — некоторая абсолютно непрерывная функция. В этом случае неравенство (2) гарантирует монотонное невозрастание ß1 вдоль любой траектории xi(t) с графиком из G1.

Пусть $(G) — произвольное множество решений (ßi,...,ßk) системы неравенств (2) на некотором открытом множестве G. Определим с ее помощью следующую конечномерную задачу EP^(G)):

l(q) —- min, q є C, (t0,x0; t\,x\) є G1 x Gi, ßi(ti1, xl) — ßi(ti0,xi0) ^ 0 Vi = 1,k, V ß є Ф.

Теорема. Пусть для мультипроцесса а существует такое множество $(G) решений неравенства Гамильтона-Якоби, что концевой мультивектор

q = ^|t0,x(t0),t\,t\,x(t\)^j является точкой глобального минимума в задаче EP^(G)).

Тогда а — точка глобального минимума в задаче P(G) и, следовательно, точка сильного минимума в задаче (1).

Используя линейные (по хг) решения неравенств (2), порожденные траекториями сопряженной мультисистемы с подходящими свойствами, из этой теоремы можно получить довольно общие достаточные оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Реализация данного подхода к задачам импульсного управления, в которых динамика описывается нелинейным уравнением в мерах

J dx(t) = f(t,x(t))dt + G(t,x(t))n(dt),

I (З')

I /J-(A) G K V борелевского множества A G R,

где K — выпуклый замкнутый конус, опирается на метод разрывной замены времени, позволяющий корректно определять робастные решения системы (3), и подходящим образом адаптированное понятие неравенства Гамильтона-Якоби, близкое к использованному в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Milyutin A.A. Calculus of variations and optimal control. Proc. Internat. Conf. on the Calculus of Variations and Related Topics, Haifa, Chapman and Hall // CRC Research Notes in Mathematics Series, 1999. 411. P. 159-172.

2. Dykhta V.A. Lyapunov-Krotov inequality and sufficient conditions in optimal control // Journal of Mathematical Sciences, 2004. V. 121, №2. P. 2156-2177.

3. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд. М.: Физ-матлит, 2003. 256 с.

4. Pereira F.L. Matos A.C. Hamilton-Jacobi conditions for a measure differential inclusion control problem // Труды XII Байкальской междунар. конф. Пленарные докл. Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001 г. C. 237-245.

Дыхта Владимир Александрович Байкальский государственный университет экономики и права Россия, Иркутск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ГУМАНИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

© О. Л. Ефанова

До недавнего времени в системе образования доминировал знаниево-ориентированный подход к процессу обучения. При таком подходе основной целью обучения является передача студентам определенной системы знаний, умений и навыков. Развитие способностей и личностных качеств рассматривается как «побочный эффект» процесса усвоения знаний.