Метод улучшения управления для дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

логики и теории множеств. На наш взгляд, примерное содержание этого курса может включать в себя следующие разделы: элементы формальной логики (высказывания, логические операции, кванторы, алгебра логики); математические утверждения (теоремы, их виды; необходимое и достаточное условие; индуктивные и дедуктивные умозаключения; способы доказательства теорем); элементы теории множеств (множества, операции над множествами, декартово произведение множеств); отображения (отображения, виды отображений, свойства отображений); понятие о математическом моделировании (математические модели, примеры); проведение математического исследования и использование математических пакетов при выполнении исследования и оформлении результатов (с выполнением студентами курсового проекта по математике).

Пока небольшой опыт внедрения этого курса позволяет сказать, что указанные выше цели в общем были достигнуты.

Гумеров Ильнур Сабитович Сибайский институт (филиал)

Башкирского государственного ун-та Россия, Сибай e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 1

© В. И. Гурман, Е. А. Трушкова

Рассматривается дискретная управляемая система

х(Ь + 1) = f(Ь,х(Ь),и(Ь)), Ь е Т = {Ь1,Ь1 + 1,..,ЬР}, х е Кп,и е Кр,

х(Ь1 )= XI, I(х,и) = Р(х(ЬР)), Р : Еп ^ К. (1)

Известен допустимый элемент т1 = (х1 (Ь),и1 (Ь)) — решение этой системы. Требуется найти допустимый элемент т11 = (х11 (Ь),ип(Ь)) такой, что выполняется неравенство

I(т11) = Р(х11 (Ьр)) < Р(х1 (Ьр)) = I(т1).

Задачи с дополнительными ограничениями сводятся к сформулированной известным методом штрафов. Общие конструкции метода улучшения управления приведены в [1], где на основе принципа оптимальности Кротова элемент т11 ищется путем аппроксимации решения следующей задачи:

у(ь + 1)= д(г,у(г),ь(г)), ь е т = {Ь1, ^ + 1,...,гР}, у е кп,ь е кр,

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №05-01-00260).

V°(t + 1)= y0(t) + 1 vT(t)v(t), y° e R,

y(ti) = 0, y°(ti) = 0,

Fa (y°(tF),y(tF)) = ay° + (1 - a)F (y(tF) + x1 (tp)) ^ min . (2)

Здесь y(t) = x(t) — x1 (t), v(t) = u(t) — u1 (t), a e (0,1] — параметр метода,

g(t, y(t),v(t)) = f (t, y(t) + x1 (t),v(t) + u1 (t)) — f (t, x1 (t),uI(t)).

Ищется функция Кротова в виде

<Р(Ъ y0,y) = v(t) + ^(t)V° + фТ(t)y + 1 yTv(t)y,

где значения v(t), ф0(t), ф(t), a(t) находятся из следующих приближенных соотношений (Кротова-Беллмана) для задачи (2):

V(tF,V0,y) & —Fa(y0,y),

<p(t,y0 ,y) & max ip(t + 1,y0 + 1 vTv,g(t,y,v)) , t = tF — 1,tF — 2,...,ti + 1. (3)

veRP у 2 J

При этом управление (в форме синтеза) для задачи (2) и затем искомый элемент m11 получаются из условий:

v11 (t,y) & arg max <p(t + 1,y0 + 1 vTv,g(t,y,v) ) , t e T \{tF}, veRp \ 2 J

x11 (tI) = xI, x11 (t + 1) = f (t, x11 (t),uI1 (t)), t e T \{tI}, u11 (t) = vn(t, xn(t) — xI(t)) + uI(t), t e T \ {tF}.

Вычислительный алгоритм улучшения второго порядка основан на разложении правых частей соотношений (3) для каждого фиксированного момента времени в ряд в окрестности нуля до членов второго порядка включительно, при этом частные производные заменяются разностными аналогами (шаги разностных схем учитывают разномасштабность переменных и одновременно выступают дополнительными регуляторами метода). Алгоритм состоит из следующих шагов.

1. Полагается t = tF. Ищутся значения v(tF), ф°(tF), фT(tF), &(tF) из условий:

0/

V(tF) = -Fa(0), ф (tF) = -а, ____

Фi(tF) = - Y (Fa(0\l/i) - Fa(0)), І = l,n, _

on(tF) = -(Fa(0\2j/i) - 2Fa(0\j/i) + Fa(0)), i = 1,

n,

ац{Ьр) = -(Ра(°Ь/іГі/і) - Ра(°\^/і) - Ра{0\^/і) + Ра(0)), і, ] = 1,п,

где 7 — некоторое число (регулятор метода). Здесь через Еа(0\^/і) обозначено значение функции Еа в точке (у°,уі,... ,уі-і,уі,уі+і ...,уп) = (0, 0,..., 0,^, 0,..., 0).

2. Уменьшается значение Ь на единицу. Вводится в рассмотрение функция:

р і Иа(г,у,ь) = V(Ь + 1) - 2^Vр + фт(Ь + 1)д(Ь,у,у) + ^дТ(Ь,у,у)а(Ь + 1)д(Ь,у,ь).

і=1

Эта функция раскладывается в ряд в окрестности нуля, после чего, с учетом формул (3), находятся

V11 (Ь,у) = -И-1 (Ь, 0, 0) (Иа„(Ь, 0, 0) + Иаии (Ь, 0, 0)у) ,

V(t) = Ha(t, 0, 0), ф0^) = -а, ф(г) = Hay(t, 0, 0), a(t) = Hayy(t, 0, 0).

Производные в последних равенствах заменяются разностными аналогами, находятся матричные функции Na(t), Ma(t), Pa(t), с помощью которых управление (в форме синтеза) для задачи (2) записывается в следующем виде:

vI1 (t, У) = —N-1(t) iMa(t) + (t)y) .

3. Если t > ti, то осуществляется переход на второй шаг алгоритма, иначе полагается u11 (t, x) = v11 (t, x — x1 (t)) + u1 (t), t £ T \ {tF}.

С помощью уравнений исходной системы находится соответствующий искомый элемент m11 = {x11 (t),uIi (t)).

Метод был успешно применен для практической реализации скользящих режимов и для определения границы опасной зоны и управления вертолетом при посадке в нештатной ситуации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1997.

Гурман Владимир Иосифович Институт программных систем РАН Россия, Переславль-Залесский e-mail: [email protected]

Трушкова Екатерина Александровна Институт программных систем РАН Россия, Переславль-Залесский e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 7 мая 2007 г.

СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА МОНОДРОМИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1

© Ю. Ф. Долгий

Рассмотрим линейную периодическую систему дифференциальных уравнений с последействием

dx(t)

dt

= j dn(t,s) x(t + s), t є R+ = (0, +ro), (1)

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №06-01-00399) и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 13 «Математические методы в нелинейной динамике».

0

— г