СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

raÄ®

www.volsu.ru

DOI: https://doi.oгg/10.15688/mpcm.j'volsu.2020.3.7

УДК 517.9 Дата поступления статьи: 28.03.2020

ББК 22.161 Дата принятия статьи: 01.09.2020

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ1

Александр Николаевич Шелковой

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования, Воронежский государственный технический университет shelkovoj.aleksandr@mail.ru

просп.Московский, 14, 394026 г. Воронеж, Российская Федерация

Аннотация. В работе исследуются спектральные свойства интегро-диф-ференциального оператора второго порядка с вырожденным ядром методом подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений интегро-дифференциального оператора.

Ключевые слова: собственные значения, спектр оператора, интегро-дифференциальный оператор второго порядка, асимптотика спектра, метод подобных операторов.

Введение. Основные понятия метода подобных операторов

Пусть Ь2[0,1] — гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций, суммируемых с квадратом модуля и со скалярным произведением вида (х,у) =

= / х(т)у(т)ё.т. Через Ж22[0,1] обозначим пространство Соболева

о

о

О ^22[0,1] = (х е £2[0,1] : х' абсолютно непрерывна, х" е Ь2[0,1]}.

К

»s циальным выражением вида

Рассматривается оператор С: В(С) С Ь2[0,1] ^ Ь2[0,1], задаваемый интегро-дифферен-

©

(Cx)(t) = -x(t) - К(t,s)x(s)ds (1)

с областью определения D(C) = [х е W^[0,1], ж(0) = х{1) = 0} и краевыми условиями

х(0) = х(1) = 0. (2)

Представим его в виде А — В, где В, А: D(C) С L2[0,1] ^ L2[0,1],

Ах = —x(t), i

(Bx)(t) = J К(t,s)x(s)ds. (3)

о

Оператор А будем считать невозмущенным оператором, В — возмущением, которое представляет собой интегральный оператор с вырожденным ядром

к

К(t, s) = ^Pi(t)qi(s), Pi, Qi е L2[0,1].

г= 1

Основные результаты статьи (теорема 3) связаны с изучением спектральных свойств оператора С, заданного формулами (1), (2).

В настоящей статье для исследования спектральных свойств оператора С применяется вариант метода подобных операторов, адаптированный для операторов рассматриваемого класса и позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений рассматриваемого оператора.

Метод подобных операторов берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом А.М. Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [11], абстрактным вариантом замены Крылова — Боголюбова [2; 4]. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А — В0, где В0 имеет несложную по отношению к А структуру.

Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фридрихсом [15] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [20] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов были получены теоремы о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [2-6], который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов, и его учеников [9; 13; 14; 16-19]. Отметим, что в настоящее время метод подобных операторов постоянно развивается и адаптируется к различным классам операторов. Поэтому изложения метода, например, в [4] и в [8] отличаются.

В изложении метода подобных операторов будем придерживаться аксиоматического подхода, как в работах [3-7], опираясь в основном на работу [7]. Отметим также работы [8; 9; 13; 14; 16-19], в которых с помощью метода подобных операторов исследуются спектральные характеристики различных операторов.

Пусть Н — бесконечномерное комплексное сепарабельное гильбертово пространство, а End Н — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н, \\Х= sup \\Хх\\ — норма оператора в End Н.

IMI<i

Определение 1 ([6]). Два оператора A¿: D(Ai) С Н ^ Н, i = 1, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U G End Н (U-1 G End Н), такой, что UD(A2) = D(A1), и выполняется равенство A1Ux = UA2x, х G D(A2). Оператор U называется оператором преобразования подобия оператора А1 в А2. Определение 2 ([7]). Линейный оператор С: D(C) С Н ^ Н называется подчиненным оператору А: D(A) С Н ^ Н, то есть С G Са(Н), если выполнены следующие два условия:

1) D(C) D D(A);

2) существует постоянная М > 0 такая, что конечна величина

\\СНа = inf{М : \\Сх\\ < М(||Аг|| + ЦжЦ), ж G D(A)}, принимаемая за норму в Са(Н).

Определяющим понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки для невозмущенного оператора А.

Определение 3 ([7]). Тройка (U, J, Г), J: U ^U, Г: U ^ End Н, называется допустимой для оператора А, а U — допустимым пространством возмущений, если:

1) U — банахово пространство (со своей нормой || • ||*), непрерывно вложенное в банахово пространство Са(Н), то есть существует постоянная М0 > 0 такая, что \\ВНа < М0\\В||* для любого оператора В G U;

2) J, Г — трансформаторы (то есть линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов);

3) (ГХ)х G D(A) для любых х G D(A) и имеет место равенство:

АГХ - (ГХ )А = X - JX, X GU,

(равенство понимается как равенство элементов из U);

4) X ГУ, (ГУ )Х GU, X,Y gU , и существуют постоянные у1 > 0, у2 > 0 такие, что ||Г|| < Y1 и шах{||ХГУ||*, ||(ГУ)Х||*} < У2||Х||*||У||*;

5) выполнено одно из условий:

а) Im ГХ С D(A), где 1шГХ — образ оператора ГХ, и АГХ G End Н;

б) для любого X gU и для любого £ > 0 существует число v£ G р(А)(р(А) — резольвентное множество оператора А) такое, что

l\XR(v£,A)W^ < £, R(ve,A) = (А - V£I)-1,

где I — тождественный оператор.

Пусть А: D(A) С Н ^ Н — нормальный оператор (см., например, [12, гл. 10, с. 39]) (частный случай нормального — самосопряженный оператор), то есть D(A) = = D(A*), ||Az|| = \\А*х\\, х G D(A), спектр которого представим в виде: а(А) =

= U O, 0 G а(А), где ffj, j > 1, — взаимно непересекающиеся компактные мно-

з> 1

жества, такие, что dist(0, а1) < dist(0, а2) < ..., lim dist(0, an) = ж. Обозначим

Pj, j > 1, — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству о, Aj = = APj, j = 1, 2,..., Aj G End H, |Oj| = sup |Л|. Введем двусторонний идеал o2(H)

Лба,'

операторов Гильберта — Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Н, из алгебры Епй Н с нормой || ■ ||2) (см. [10, гл. 3, § 9]). В качестве пространства возмущений Ы рассматривается оператор В: О(А) С Н — Н, допускающий представление В = В0А, В0 € в2(Н), причем существуют две ненулевые последовательности {а , {вЛГ, такие, что имеют место оценки: ^Р^В^Р^ || < с ■ а ■ вз, г,з = 1, 2,..., для некоторой постоянной с > 0. Наименьшая из констант, удовлетворяющих этому неравенству, определяет норму в Ы. Пусть п — некоторое натуральное число, положим

п

Дп = У вк, Р(Дп,А) — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству к=1

Дп. Обозначим Я\ = Я\п = Р (Ап, А) = Р1 + Р2 + ... + Рп, Я2 = Я2п = I - Яг п. Трансформаторы Зп: 1А —У 1А и Гп: Ы — в2(Н), п > 1, определяются следующим образом: ЗпХ = Я1ХЯ1 + Я2ХЯ2, ГпХ = гп)X + Г^Х, где

п п

Гп)Х = Е Е Гп(РтХаАРк), Г^Х = ^ ^ Г,п(РтХоАРк).

т>п+1к=1 т=1к>п+1

На операторных блоках РтХ0РкА трансформатор Гп определяется как решение уравнения АРтХотк - Уотк АРк = РтХ0Рк, удовлетворяющее условию РтХотк Рк = Уотк, где к > п + 1, т < п либо к < п, т > п + 1. Для всех остальных значений т и к полагается Гп(РтХ0РкА) = 0.

Основные результаты статьи получены с использованием следующих утверждений. Теорема 1 ([14]). Пусть п — натуральное число, такое, что

, ч \ Г ^ I в к |ак вк 1 |вк |ак вк 1 1

у2(п) = шах< шах< > ——--- >, вир { > ——;-г > > < то,

1'-п Чъ+1 вкП 7>п+Цк=1 вк)) )

причем выполнено условие: 2 шах {у1 (п), у2(п)} + у1(п) + у2(п) < 1. Тогда оператор А — В подобен оператору А — ЗпХ*(п), где X*(п) € Ы имеет вид

X *(п) = Х*1 (п) + Х**2 (п) + Х*1 (п) + Х*2 (п); (4)

Х*(п) = ЯгХ*(п)Я], 1,3 = 1, 2, есть решение системы уравнений

Хгг = Вг,ГХ,г + Вгг, (г = 1,з = 2) V (г = 2,] = 1),

оператор ^: и^ — и^ задается формулой

Рг](Х) = Вгг ГХ — (ГХ )Вп — (ГХ )(Вц ГХ) + Вг];

В^ = ЯгВЯ], г,3 = 1,2, — блоки оператора В € и, являющегося возмущением оператора А; допустимое пространство возмущений и является прямой суммой четырех замкнутых подпространств вида и^ = {ЯiXЯj, X €1Л} , 1,3 = 1, 2. Оператор преобразования подобия имеет вид I + Г пХ*(п).

Теорема 2 ([14]). Пусть операторы А и В е!А таковы, что у1(п) — 0, у2(п) — 0 при п — х. Тогда, начиная с некоторого п0, оператор А — В подобен оператору А — ЗпХ*(п), п > п0, где X*(п) представимо в виде (4) и ЦР(Дп,А) — Р(Дп,А — — В)Ц — 0 при п — х, причем Дп = а((А — ЗпХ*(п)) | Р(Дп,А)Н) С а(А — В), где Р(Дп, А — В) — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Дп оператора А — В.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда

||(/ — Р(Дп,А — В))х — ^ Ргх\\ 0,

г>п+1

при п — х и для любого фиксированного х е Н.

1. Основные результаты

Перейдем к исследованию спектральных свойств оператора С: О(С) С Ь2[0,1] — — Ь2[0,1], задаваемого выражением (1).

Подставим выражение для К(1,8) в формулу (3). Получим:

(Вх)(г) = I ^рг(1)дг(з)х(8)ё,8 = ^Рг&) I Яг(в)х(в)й8 = ^рг(Ь)(х,дг).

о г=1 г=1 о г=1

Рассматриваемый оператор А является самосопряженным положительно определенным оператором, который имеет простые собственные значения Лп = п2п2, п е М, а собственные функции, отвечающие этим собственным значениям, еп(£) = л/2 8тппЬ, образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Ь2[0,1] (см., например, [4, с. 50]). Положим Д1(га) = {Л1,..., Лп} , Рп = Р (Д^),^), Р) = Р (Л,- ,А), 3 = = 1, 2,..., — проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству а, = {п2]2}, Р,х = (х,е,)е,, (•, •) — скалярное произведение в Ь2[0,1]. Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора А — В, получим следующие основные результаты статьи.

В следующей лемме получены оценки на последовательности ЦРгВ0Р,||, 1,] = = 0, 1, 2, . . ., участвующие в формулировке теоремы 1.

Лемма 1. Оператор В: В(А) С Ь2[0,1] — L2[0,1], задаваемый соотношением (3), представим в виде В = В0А, где В0 е а2(Ь2[0,1]) (а2(Ь2[0,1]) — идеал операторов Гильберта — Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Ь2[0,1]), и имеют место оценки

ЦРгВоР,||< ав,, 1,3 = 1,2,...,

где аг = 1 вир

з

£ 1 Яп(8) ^¿з • } Рп(Ь) в1п тЫ1 п=1 0 0

, г = 1, 2,...; вз = ^, 3 = 1, 2,...

Теорема 3. Пусть для любых функций рг, дг, г = 1, к, принадлежащих гильбертову пространству Ь2[0,1]), и для последовательностей у1,у2: N — М+ = [0, х), опреде-

1

1

ленных формулами

У1(П) = 2П2

(к \ 2 / к \ 2 / I Е9|ГрП\ sup - I + m2 I sup -¿=^- I .

^ J

< оо,

Y2W = — твх 2п_ г

{

IE Öfj,nI

¿=1 J

и sup

1

Е

m>1 m=n

m sup

IE ^ir^fi^ I ¿=i J

|n2 — m2\

}

<,

1 1

где р= 2/ рД^вт п^йЪ, д®^ = 2 / ^(¿)вт п^зйз — коэффициенты разложения 0 0 функций рг и дг в ряд Фурье по синусам; выполнены условия Иш у1(п) = 0, Иш у2(п) =

= 0. Тогда спектр в(А — В) оператора А — В представим в виде в(А — В) =

= Щ U °П I » где оп, п > m + 1 — одноточечные множества, а ат — конеч-

\п>т+1 /

ное множество с числом точек, не превосходящим т. При этом для собственных значений Лп и собственных функций еп оператора (1) имеют место оценки:

к к

Е „sin „sin V- ^sin „sin Чгп "im / ■ 4im Pin

An — n n — 2 Vin Pin + 4~2

i=1 m>1

m=n

n2 — m2

<

< const ■ n ■ sup

к qsin

E j Pin i=1 J

У2Ы;

t

V2

n

sin

n m

en(t) — V2sinnnt + —- У^

2n2 rn2

m=1

n2 — m2

sin nmt

<

< const • n

(<x

E

m=1

sup

к osin

Y ^sin

Z-/ j Pin =1

)

\n2 — m2\2

) '

2. Доказательство основных результатов

Доказательство леммы 1. Покажем, что оператор В представим в виде Вх = В0Ах. Действительно, Вх = В1х = В А-1 Ах = В0Ах, где В0 = В А-1.

Докажем, что ||PiB0Pj|| < авз, ъ,3 = 1, 2,... , для введенных последовательностей а, в j. Так как

PiBoPj х = (Б0Р) х,ег)ег = (В0(х,е^ = (х,е^ )(В0б^ =

1

2

(x,ej )(ВА 1ej = (х,еj )(В -1 ej = -1(x,ej )(Bej

Aj Aj

то

WPBoPj | <

l(Bej ,ег)1 = L l(Bej ,ег)| = |(Де,- ,eQ| |(Де,- ,ег)

jW < Aj Aj j

n2j2 j

<

n2J J

s 1 | (Bej ,e,)|

< — ■ sup j y 1 2

n2J j J

Ясно, что последовательность {вj} = j П.- j , j > 1, принадлежит l2. Докажем, что и

j

j} \n2j

последовательность {a} = {sup B'вг)|} также суммируема с квадратом. Вычислим |(Sej,е^)|.

1(Ве3 ,еЛ

£

\n=1

1

Pn(t) J qn(s)ej(s)ds j ■ ei(t)dt

)

pn(t) ■ I qn(s)V2sin njsds\ ■ v^2sinnitdt

n=i 0 4 J

V2qn(s) sin njsds ■ V2pn(t) sin nitdt

n=1 '

E^sin _ r sm 4nj Pni

n=1

Следовательно, имеет место представление последовательности {a}:

a = sup

j J

к

\ ^sin _ „sin qnj Pni 1

n=1

sup

к i i Z J Qn(s) sin njsds ■ f pn(t) sin nitdt

n=1 0 0

J

sup

к

Ef . .sinnjs f . . . Qn(s)-ds ■ pn(t) sin nitdt

n=J 1 J

Таким образом, a = 2 sup

2

ши — Буняковского

к 1 1

Z Jqn(s)s^ds ■ /Pn(t) sinтоМ

n=1 0

. В силу неравенства Ко-

к ^sin

E4nj . „sin

■ fni n=1 J

<

(E f2)1 ■ (¿w)1.

\n=1 / \n=1 /

Тогда

E |a |2

=1

те /

sup

=1

к

1

1

El .sin njs / ... qn(s)-:— as ■ pn(t)sinnitdt

n=10 ^ 0

)

1

2

1

2

1

4

те /

ц

i=l \

sup

к ^sin

ЕЧпЭ . „sin ■ Гпг n=1 J

\ 1 ^ / к 1^Щ2 те \

í 1 £ sup£^--ЕКЧ2

/ í=1 \ J n=1 п=1 /

1 ^ /

iE ipnn

i=1 \ n=1

к те i sin 12

sin 2 i п i

2

)

< СЮ.

n=1

1 1 Так как числа рПП = 2 f pn(t) sinmtdt и дЩ^ = 2 f qn(s) sinnj sds являются коэффициен-

0

о

тами Фурье для функции а0, а числа а°, аЩ, аЦ® — коэффициентами Фурье функций рп и дп, п = 1, к, по системе (е1, е2,...) собственных функций оператора А, следовательно, {а} G Iто есть оператор В0 — оператор Гильберта — Шмидта. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Как показано в работе [14, теорема 2.1.2, с. 60], при выполнении условий lim yi(п) = 0, lim у2(п) = 0 для собственных значений Ап и

п^-те п^-те

собственных функций e„,(t) оператора А — В справедливы оценки:

An - An - ( Ben, en) + E

(В en-, em)(Bemi en)

m=1 m=n

An — Am

<

AnY2 (n)<Xn ß n

VW)

(5)

~ _ + ( В ) + (Ben1 еm) e-n e,n + (Ben- en) + у ^ л л em

m=1

m= n

A n A m

í те

I ^ |A „-Lp I An ßn

<

\ m=1

^m=n

)

(6)

где Б(п) = (1 — у1 (п) — у2(п))2 — 4у1(п)у2(п), Ага и еп(£) — соответственно собственные значения и собственные функции невозмущенного оператора А.

В правые части этих оценок входит величина Л—. Оценим ее.

Л/Д(га)

^D(ri) = у1(1 — Yi (п) — У2 (п))2 — 4yi (п)у2(п) =

= у/(1 + (Yi (п) — У2(п))2 — 2у1(п) — 2у2 (п) > у/(1 — 2у1(п) — 2у2(п). Так как lim у1 (п) = 0, lim у2(п) = 0, то можно указать константу, ограничивающую

п^те п^те

сверху vfe

Выпишем входящие в оценки (5) и (6) величины ап, $п, Ап, (Веп, ет):

1

an = - sup 2

к

Er . .sin ni s f . . .

Qi(s)-:— ds ■ pi(t)smnntdt

=1

1

sup

к sin

Eqií psin

■ Pm

=1

*>n = ; An = n2n2; n2n

(Ben, Gm) = 2 ^ Qi(s) sinnnsds ■ pi(t) sinnmtdt = - E Ci^m

sin

т .

=1

=1

2

1

1

Подставим все эти величины в оценку (5). Получим:

к

к к 1 V""4 ^в1п„в1п . 1 V""4 ^в1п„в1п

с 2 / / Чгп Ргт 2 ' ' ЧгтРг

1 к с 2 ' Чгп ггт 2 ' Чгтггп Л _ п2, 2 _ ^^ „вт^вт , ^ г=1__

Лп п 2 чгп ргп + п2 (и2 _ т2)

т=1 ^ '

т= п

=1

1 к 1

Лп — — п — 2 Чгп Рг-п +

к к

Е„в1п„в1п у^ ^в1п„в1п чгп 1ггп / * ЧгтРгп

г=1 г=1

=1

4—2 ^

т=1

т= п

п2 — т2

<

—2п2у2(п) • 1 вир

<

к (781П

з Ргп

г=1

у/Щ)

< ООП81 • п • вир

к кт

ЕЧгз „в1п

■ Рт

=1

• У2(п).

Оценка (6) примет вид:

1

с 2

1 У ав[пи

2 Чгп г-

В1п

т

6п л/2 вт —пЪ + > ,

22

—' п2(п2 — т2)

т=1 4 '

т= п

•л/2 вт —тЪ

еп — л/2 вт —п1 + -—^ Е

к

Е^в1п „в1п

Чгп Ргт

V2 ^ г=1

2—2^ п2 — т2

т=1

т= п

л/2 вт —■тЪ

<

<

\ т=1

т= п

/ V

I к „31П \

11 вир рИП I

4 I вир £ ^р!1П 1 ■ 1

те \ ^ ¿=1

/ 4 1 ^^^ у ^¿п I \ 2

—4|п2-т2|

)

• —V • —Г

—2 п

УВД

< еопв^ п

(те £

т=1

т= п

вир

з Ргп

г=1

)

|и2 — т2|2

)

Учитывая, что норма в выражении (6) берется в гильбертовом пространстве Ь2[0,1], получим окончательную оценку на собственные функции оператора А — В:

С

к

Е^ВШ „В1П

^ 2 , Чгп Ргт

епСО — л/^т — пЬ + —2 V -22—2 / и2 _ т2

т=1

т= п

• л/2 siп —■тЪ

сИ <

< еопв1 • п

(с

Т.

т=1

т= п

вир

к ,ув1п

, Ргп

г=1

|и2 — т212

)'

Теорема доказана.

— п

1

2

2

Очередное утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (1), следует из работы [13, лемма 2].

Пусть функции pi, qi Е L2[0,1]. Тогда, начиная с некоторого натурального п0, оператор А — В подобен оператору А — JnX*(п),п > п0, где X*(п) представим в виде (4), и ||Р(Д^п),А) — Р(Д 1(п),А — В)| ^ 0 при п ^ х.

Учитывая, что норма в последнем выражении берется в гильбертовом пространстве L2[0,1], получим окончательную оценку:

x(s)eéj (s)ds^jej (t) — 2 Е ^Jx(s)sin njsds^j sin njt^j dt^j ^ 0

для любого фиксированного x из L2[0,1] при п ^ х, где ej — собственные (и, возможно, присоединенные) функции оператора А — В.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 19-01-00732).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд, В. И. Малые знаменатели. I. Об отображении окружности на себя / В. И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. Матем. — 1961. — Т. 25, № 1. — С. 21-86.

2. Баскаков, А. Г. Замена Крылова — Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов. Препринт № 80-19 / А. Г. Баскаков. — Киев : Ин-т математики АН УССР, 1980. — 44 с.

3. Баскаков, А. Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений / А. Г. Баскаков // Изв. АН СССР. Сер. Матем. — 1986. — Т. 50, № 3. — С. 435-457.

4. Баскаков, А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 1987. — 165 с.

5. Баскаков, А. Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А. Г. Баскаков, Т. К. Кацаран // Дифференциальные уравнения. — 1988. — Т. 24, № 8. — С. 1424-1433.

6. Баскаков, А. Г. Спектральные свойства относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. вузов. Матем. — 1991. — № 1. — С. 3-11.

7. Баскаков, А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дер-бушев, А. О. Щербаков // Изв. РАН. Сер. Матем. — 2011. — Т. 75, № 3. — С. 3-28. — 001: http://dx.doi.org/10.4213/im4202.

8. Баскаков, А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков // Матем. сб. — 2017. — Т. 208, № 1. — С. 3-47. — 001: http://dx.doi.org/10.4213/sm8637.

9. Гаркавенко, Г. В. Асимптотика собственных значений разностного оператора с растущим потенциалом и полугруппы операторов / Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 6-17. — 001: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.4.2.

10. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. — М. : Наука, 1965. — 448 с.

11. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. — М. : Наука, 1970. — 536 с.

12. Данфорд, Н. Линейные операторы. Т. 2: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Данфорд, Д. Т. Шварц. — М. : Мир, 1966. — 1063 с.

13. Ульянова, Е. Л. О спектральных свойствах относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов / Е. Л. Ульянова // Изв. вузов. Матем. — 1997. — № 10. — C. 75-78.

14. Ульянова, Е. Л. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Ульянова Елена Леонидовна. — Воронеж, 1998. — 100 с.

15. Фридрихс, К. О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К. О. Фридрихс. — М. : Мир, 1969. — 232 с.

16. Шелковой, А. Н. Оценки собственных значений и собственных функций одного дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями / А. Н. Шелковой // Вестник факультета прикладной математики и механики. — 2000. — № 2. — C. 226-235.

17. Шелковой, А. Н. Метод подобных операторов в исследовании интегро-дифференциальных операторов с квадратично суммируемым ядром / А. Н. Шелковой // Вопросы науки. — 2016. — № 2. — C. 68-80.

18. Шелковой, А. Н. Спектральные свойства дифференциальных операторов, определяемых нелокальными краевыми условиями / А. Н. Шелковой // Вопросы науки. — 2016. — № 3. — C. 83-90.

19. Шелковой, А. Н. Спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка, определяемого нелокальными краевыми условиями / А. Н. Шелковой // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2018. — Т. 21, № 4. — C. 18-33. — DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.4.2.

20. Turner, R. E. Perturbations of compact spectral operators / R. E. Turner // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1965. — Vol. 18. — P. 519-541.

REFERENCES

1. Arnold V.I. Malye znamenateli. I. Ob otobrazhenii okruzhnosti na sebya [Small Denominators. I. Mapping the Circle Onto Itself]. Izv. AN SSSR. Ser. Matem. [Mathematics of the USSR — Izvestiya], 1961, vol. 25, no. 1, pp. 21-86.

2. Baskakov A.G. Zamena Krylova — Bogolyubova v teorii nelineynykh vozmushcheniy lineynykh operatorov. Preprint № 80-19 [Krylov — Bogolyubov Replacement in the Theory of Nonlinear Perturbations of Linear Operators. Preprint No. 80-19]. Kiev, In-t matematiki AN USSR Publ., 1980. 44 p.

3. Baskakov A.G. Teorema o rasshcheplenii operatora i nekotorye smezhnye voprosy analiticheskoy teorii vozmushcheniy [A Theorem on Splitting an Operator, and Some Related Questions in the Analytic Theory of Perturbations]. Izv. AN SSSR. Ser. Matem. [Mathematics of the USSR — Izvestiya], 1986, vol. 50, no. 3, pp. 435-457.

4. Baskakov A.G. Garmonicheskiy analiz lineynykh operatorov [Harmonic Analysis of Linear Operators]. Voronezh, Izd-vo VGU Publ., 1987. 165 p.

5. Baskakov A.G., Katsaran T.K. Spektralnyy analiz integro-differentsialnykh operatorov s nelokalnymi kraevymi usloviyami [Spectral Analysis of Integro-Differential Operators with Nonlocal Boundary Conditions]. Differentsialnye uravneniya [Differential Equations], 1988, vol. 24, no. 8, pp. 1424-1433.

6. Baskakov A.G. Spektralnye svoystva otnositelno konechnomernykh vozmushcheniy spektralnykh operatorov [Spectral Analysis with Respect to Finite-Dimensional Perturbations of Spectral Operators]. Izv. vuzov. Matem. [Soviet Mathematics — Iz. VUZ], 1991, no. 1, pp. 3-11.

7. Baskakov A.G., Derbushev A.V., Shcherbakov A.O. Metod podobnykh operatorov v spektralnom analize nesamosopryazhennogo operatora Diraka s negladkim potentsialom [The

Method of Similar Operators in the Spectral Analysis of Non-Self-Adjoint Dirac Operators with Non-Smooth Potentials]. Izv. RAN. Ser. Matem. [Izvestiya: Mathematics], 2011, vol. 75, no. 3, pp. 3-28. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/im4202.

8. Baskakov A.G., Polyakov D.M. Metod podobnykh operatorov v spektralnom analize operatora Khilla s negladkim potentsialom [The Method of Similar Operators in the Spectral Analysis of the Hill Operator with Nonsmooth Potential]. Matem. sb. [Sbornik: Mathematics], 2017, vol. 208, no. 1, pp. 3-47. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/sm8637.

9. Garkavenko G.V., Uskova N.B. Asimptotika sobstvennykh znacheniy raznostnogo operatora s rastushchim potentsialom i polugruppy operatorov [The Asymptotic of Eigenvalues for Difference Operator with Growing Potential]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2017, vol. 20, no. 4, pp. 6-17. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.4.2.

10. Gokhberg I.Ts., Kreyn M.G. Vvedenie v teoriyu lineynykh nesamosopryazhennykh operatorov [Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 448 p.

11. Daletskiy Yu.L., Kreyn M.G. Ustoychivost resheniy differentsialnykh uravneniy v banakhovom prostranstve [Stability of Solutions of Differential Equations in a Banach Space]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 536 p.

12. Danford N., Shvarts D.T. Lineynye operatory. T. 2: Spektralnaya teoriya. Samosopryazhennye operatory v gilbertovom prostranstve [Linear Operators. Part II. Spectral Theory/ Self Adjoint Operators in Hilbert Space]. Moscow, Mir Publ., 1966. 1063 p.

13. Ulyanova E.L. O spektralnykh svoystvakh otnositelno konechnomernykh vozmushcheniy samosopryazhennykh operatorov [On the Spectral Properties of Relatively Finite-Dimensional Perturbations of Selfadjoint Operators]. Izv. vuzov. Matem. [Soviet Mathematics — Iz. VUZ], 1997, no. 10, pp. 75-78.

14. Ulyanova E.L. Spektralnyy analiz normalnykh operatorov, vozmushchennykh otnositelno konechnomernymi: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Spectral Analysis of the Normal Operators with Perturbed Relatively Finite-Dimensional. Cand. phys. and math. sci. diss.]. Voronezh, 1998. 100 p.

15. Fridrikhs K.O. Vozmushchenie spektra operatorov v gilbertovom prostranstve [Perturbation of Spectra in Hilbert Space]. Moscow, Mir Publ., 1969. 232 p.

16. Shelkovoy A.N. Otsenki sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy odnogo differentsialnogo operatora s nelokalnymi kraevymi usloviyami [Estimates of the Eigenvalues and Eigenfunctions of a Differential Operator with Nonlocal Boundary Conditions]. Vestnik fakulteta prikladnoy matematiki i mekhaniki, 2000, no. 2, pp. 226-235.

17. Shelkovoy A.N. Metod podobnykh operatorov v issledovanii integro-differentsialnykh operatorov s kvadratichno summiruemym yadrom [A Method of Similar Operators in the Study of Integro-Differential Operators with a Quadratically Summable Kernel]. Voprosy nauki, 2016, no. 2, pp. 68-80.

18. Shelkovoy A.N. Spektralnye svoystva differentsialnykh operatorov, opredelyaemykh nelokalnymi kraevymi usloviyami [Spectral Properties of Differential Operators Defined by Nonlocal Boundary Conditions]. Voprosy nauki, 2016, no. 3, pp. 83-90.

19. Shelkovoy A.N. Spektralnye svoystva differentsialnogo operatora vtorogo poryadka, opredelyaemogo nelokalnymi kraevymi usloviyami [Spectral Properties of Second Order Differential Operator Determined by Non-Local Boundary Conditions]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2018, vol. 21, no. 4, pp. 18-33. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.4.2.

20. Turner R.E. Perturbations of Compact Spectral Operators. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1965, vol. 18, pp. 519-541.

SPECTRAL ANALYSIS OF AN INTEGRO-DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A DEGENERATE KERNEL

Aleksandr N. Shelkovoy

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematics and Physical-Mathematical Modeling, Voronezh State Technical University shelkovoj.aleksandr@mail.ru

Prosp. Moskovskii, 14, 394026 Voronezh, Russian Federation

Abstract. We consider operator C acting in the Hilbert space L2[0,1]

i

defined by the integro-differential expression (Cx)(t) = -x(t) — / K(t, s)x(s)ds

0

with the domain D(C) = {x e W22[0,1], x(0) = x(1) = 0}, where W22[0,1] is

the Sobolev space {x e L2[0,1] : x' is absolutely continuous, x" e L2[0,1]}, and

the boundary conditions x(0) = x(1) = 0.

To study spectral properties of the operator C, it is represented in the

form (Cx)(t) = (Ax)(t) — (Bx)(t), where with (Ax)(t) = —x(t), (Bx)(t) = 1

= JK(t, s)x(s)ds. Operator A is considered an unperturbed operator, B is a

0

perturbation, which is an integral operator with a degenerate kernel K( , ) = k

= Z Pi(t)qi( s), Pi, qi e L2[0,1].

i=1

As a method of studying spectral properties of the operator A — B the method of similar operators serves. One of the main results is

Theorem 3. Let for any functions pi, qi, i = 1, k, belonging to a Hilbert space L2[0,1], and for the sequences y1,y2: N ^ R+ = [0, x), defined by formulas

/ ( I E ч^Р^Л , n sup - + m sup г-1 .- ч

/V 3 ; 3 ) \

In2 -m I2 J

I ¿Ö!l,nI I ¿öfin I n sup г= .--m sup г=

{n sup-3--m sup-3-л

—-i-' E-Г1-2\-(<

2n - 1 iTi |n2 -m21 J

l_ ^^_

1 2n — 1 ' W -m2l

l m>1 1 1

m=n

1 1 where fi?™ = 2/pj(i)sinnjtdt, g?jn = 2/ %(i)sinnjsds are the expansion 0 0 coefficients of functions pi and qi in the Fourier series in sines, the conditions

are satisfied: lim y1(n) = 0, lim y2(n) = 0. Then the spectrum a (A — B ) of the operator A — B can be represented in the form a(A — B) = ç>m (J I (J crn ),

\n>m+1 /

where an, n > m+1, are single-point sets, and am are finitesets with the number of points not exceeding m. Moreover, for their eigenvalues An and eigenfunctions en of operator (1), we have the estimates:

к к

, „sin „sin „sin„:

1 к 1 Z-V iin l'i'n / У 4iml '

Лп — n n - - lin Pin +

sin

n

2 nn±- m ■ 4n2

i=1 m>1

m=n

n2 — m2

<

< const ■ n ■ sup

к sin У^ „sin fin

i=1

Y2(n),

t

V2

E~sin ^ sin 4 in ir i m

enit) — v^mrnt +

2П2 n2 — m2

m=1

sin nmi

dt <

const n

(те £

m=1

sup

к zysin

Eqij „sin j Irin

i=1

1

|n2 — m2|

22

) *

Key words: eigenvalues, operator spectrum, integro-differential operator of the second order, spectrum asymptotic, method of similar operators.

1

2

2