Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-9

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE EIGENVALUES OF A DIFFERENTIAL OPERATOR WITH NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS

А.Н. Шелковой A.N. Shelkovoj

Воронежский государственный технический университет, Россия, 394016, г. Воронеж, Московский пр-т, 14 Voronezh State Technical University, 14, Moskovskii av., Voronezh, 394016, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка с нелокальными краевыми условиями методом подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора.

Resume. We use the method of similar operators to study the spectral properties of a second order differential operator with non-local boundary conditions. We obtain results on the asymptotic behavior of the spectrum of such operators and convergence of the corresponding spectral decompositions.

Ключевые слова: спектр оператора, дифференциальный оператор второго порядка, асимптотика спектра, метод подобных операторов.

Key words: operator spectrum, differential of second order operator, spectrum asymptotic, method of similar operators.

Введение

Пусть Ь2 [0,2 л] - гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций,

^ 2л _

суммируемых с квадратом модуля со скалярным произведением вида (х, у) =- I х(т)у(г)йт .

2л 0

Через Ж,2 [0,2л] обозначим пространство Соболева {х е Ь2 [0,2л]: х' абсолютно непрерывна, х" е Ь2 [0,2л]|. Рассматривается дифференциальный оператор

Ь : О(Ь) с Ь2 [0,2л] ^Ь2 [0,2л], задаваемый дифференциальным выражением вида

а

(Ьх) (Г) = -х (Г) + х (Г) - £ ак (Г)х {Гк ), (1)

к=1

где % - функции из L2 [0,2л], tk е[0,2л], к = 1, n, с областью определения

D(L) = {jc е [0,2л], л (0) = л (2л), i (0) = i (2л)} .

В частности, такого класса (случай п = 2) оператор возникает при переходе к сопряженному при исследовании оператора, действующего в [0,2 л], задаваемого выражением

Ьу = ~у + у (2)

и начальными краевыми условиями

2л

у ( 0 ) = у ( 2л))у(Г ,

0 / ч

2л (3)

v(0) = y(2x)+ja1(t)y(t)dt.

У\У) =

Здесь а0 и аг - функции из L2 [0,2^].

Т «-» т*

Для исследования спектра оператора L рассмотрим сопряженный ему оператор L (см. [5]), который задается дифференциальным выражением

[£ л) (f) = —jc (f) + jc (/) — [jc (2 л-) a0 (t) - x (2 л-) аг (0] (4)

и краевыми условиями

x ( °) = * ( 2ж),

/ ч / ч (5)

x(0) = x(2;r).

В настоящей статье для исследования спектральных свойств рассматриваемого класса применяется вариант метода подобных операторов, позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений рассматриваемых операторов.

Приведем основные определения и теоремы метода подобных операторов.

Пусть H - бесконечномерное комплексное сепарабельное гильбертово пространство.

Определение 1. Два оператора A : D (A ) ^ H ^ H, i = 1, 2, называются подобными,

если существует непрерывно обратимый оператор V е End H (т. е. V 1 е End H, End H -банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H), такой, что VD (Л2 ) = D (A) и выполняется равенство

AVx = VA2x, х е D (Л2). Оператор V называется оператором преобразования подобия оператора A в Л •

Определение 2. Линейный оператор С : D (С) H ^ H называется подчиненным оператору Л : D(Л) ^ H ^ H , если выполнены следующие два условия:

1) D (С)э D ( A) ;

2) существует постоянная M > 0, такая, что

||CX|| < M (I Лх|| + || х||) Vx е D ( Л) •

Определение 3. Тройка (U, J, Г), J :U ^U, Г :U ^ End H, называется допустимой для оператора A, а U - допустимым пространством возмущений, если:

1) U - банахово пространство (со своей нормой 11 • ||Д непрерывно вложенное в банахово пространство LA (H) линейных операторов, подчиненных оператору A;

2) J, Г - трансформаторы (т. е. линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов);

3) (ГХ) x е D (A) Vx е D (A) и имеет место равенство:

ArX-(rX)A = X- JX, X eU,

(равенство понимается как равенство элементов из U );

4) XrY, (rY) X eU, X, Y eU, и существуют постоянные у > 0, у2 > 0, такие,

что ||Г|| <у и max {||^Y\\*, ||(1Г)X|<у2\\Щ||Y|;

5) выполнены условия:

а) Im ^ с D(A) и A^ е End H или

б) VX е U и Vs> 0 существует число v£ е р(A) (р(A) - резольвентное множество оператора A ), такое, что ||XR (vE, A)||^ <s, где ||X^ = SUp||Xx|l - норма оператора в End H;

R V A) = (A -vsI)-1.

Здесь Im ГX - образ оператора

TX. Непрерывность вложения банахова пространства U в L (H) означает, что существует постоянная М0 > 0, такая, что ||В||^ < М0ЦвЦ. VB е U. Пусть A : D (A) с H ^ H - нормальный оператор (см., например, [19]) (частный случай нормального

- самосопряженный оператор), т. е. D (A) = D (A ) ,| |Ax|| = | Ax , x е D (A), спектр которого представим в виде:

<т(А) = {}(тр0ё(т(А),

где <J ■, j > 1, - взаимно непересекающиеся компактные множества, такие, что dist (О, cTj) < dist (О, <х2) <..., lim dist (О, <jn) = 00.

Пусть Pj, j > 1, - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству <Г., Aj = APj, j = 1, 2,..., Aj е End H, |<| = SUpЩ. В качестве пространства возмущений U рассматриваются операторы B: D (A) с H ^ H , допускающие представление

В = Во А, Во (Н)

(здесь а2 (Н) - идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве

Н, с нормой Ц • ||2), причем существуют две ненулевые последовательности {ау-} , {^у} , такие, что имеет место оценка:

\\PjBoР|| <са , /, ] = 1,2,...,

для некоторой постоянной с > 0 .

Наименьшая из констант, удовлетворяющих этому неравенству, определяет норму в и .

п

Пусть п - некоторое натуральное число, положим Аи = ак, Ди, А) - проектор Рисса, по-

А-=1

строенный по спектральному множеству Ап.

Положим 01 = 01п = Р (А„, А) = Р1 + Р2 +... + Р„, 02= 02п = I - 01п. Трансформаторы : и ^ и, Г п : и ^а2 (Н), п > 1, определяются следующим образом:

ЛХ = Щ + 02 Х02,

г х=ги1) Х+г; ) х ,

п п п ?

где

41) ^ -

п

Г?X = ЕЕГп(РтХ0ЛРк), гп2X=ХЕГп(РтХ0АРк).

т>п+1 к=1 т=1 к>1

На операторных блоках РтХ0РкА трансформатор Гп определяется как решение уравнения

Ару _у др — р у р

А1т10тк 10ткА1к Р тХ 0Рк '

удовлетворяющее условию

РУ р = У

А т*0тк*к тк>

где к > п +1, т < п либо к < п, т > п + 1. Для всех остальных значений т и к полагается Г я ( РтХ, РкА) = 0.

Теорема 1. Пусть п — натуральное число, такое, что

П(п) = ^ ^ ]—Ь-^^ < !

т=1 к>п+1

( \ I I V Г к \акРк У2(п) = тах ^тах \ ^^-Т-Ч

] <п | к>п+1 мы (Г, ак)

(СШ (Гт , Гк ))

а \аА

;>п+1 I к=1

^ (а}, а к)

<

причем выполнено условие

2 тах {у (п), У2 (п)} + У (п) + У2 (п) <1 Тогда оператор А — В подобен оператору А — 3 пХ (п), где X *(п) еи имеет вид:

X* (п) = X* (п) + Х*2 (п) + Х*21 (п) + Х^ (п), (6)

где X* (п) = ^X* (п) Qj, ] = 1, 2, есть решение системы уравнений |Х, = В,ГХ, + Ви, (,• = 1,7 = 2) V (• = 2, ] = 1);

X = Ъ (Х7 ), (7)

где оператор : и, ^ и, задается формулой

Ъ (Х) = В„ГХ-(ГХ) вм -(ГХ)(]Х)+В,,

В = Q^BQJ, ] = 1, 2, - блоки оператора В е и, являющегося возмущением оператора А, допустимое пространство возмущений и является прямой суммой четырех замкнутых подпространств вида

и ] ={еХ2], Х еи},/, ] = 1,2. Оператор преобразования подобия имеет вид I + ГиХ (п).

Теорема 2. Пусть операторы А и В еи таковы, что у1 (п) ^ 0, у2 (п) ^ 0 при п ^ да. Тогда, начиная с некоторого п0, оператор А — В подобен оператору А -Х* (п), п > п0, где Х* (п) представим в виде (6), и Р (Аи, А) — Р (Ап, А — в)|| ^ 0 при п ^да, причем

А„ =^(( А—JnX * (п ))| Р (А„ , А) Я )с^( А — В ),

где Р (Ап, А — В) - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Ап оператора А — в.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда

(I — Р (Аи, А — В)) х — £ РХ

• > и+1

^ 0 при п ^ да

для любого фиксированного х е Я.

Основные результаты

Перейдем к исследованию основных свойств оператора Ь : О(Ь) с Ь2 [0,2л] ^Ь2 [0,2л]

, задаваемого выражением (1). Методом исследования оператора Ь является метод подобных операторов, рассматриваемый в работах [1-16]. Представим его в виде Ьх = Ах — Вх, где А порождается дифференциальным выражением Ах = — х + х,

Г>(А) = [хе12[0,2л]: х,хеС[0,2я], хеЬ2[0,2ж],

х(0) = х(2я), л(0) = л(2л)}, (8)

с краевыми условиями (5) и

(Bx)(r) = х(2л)а0 (f)-х(2л-)а1 (t), t е [0,2л], х е D{A). (8)

Оператор A - самосопряженный оператор с дискретным спектром, собственное значение которого Л0 = 1 является простым, а остальные собственные значения Яп = n2 +1, n > 1, двукратны; собственные функции оператора A, отвечающие этим собственным значениям, е0 (t) = .—-,

42л

е2п_j (t) = —1= cos nt, е2и (t) = —1= sin nt, n e Ж, где N - множество натуральных чисел, образуют

4л 4л

ортонормированный базис в гильбертовом пространстве L2 [ü, 2л] (см., например, [1]). Положим

А1(и) = {Л,...Л}» Рп=Р{\{п),А), Р;=Р{^,А) - проектор Рисса, J = 1,2,....

Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора Lx = Ax — Bx, мы получим следующие результатах.

Теорема 3. Оператор B: D (A)ci L2[0,2л]^ L2[0 ,2л], задаваемый соотношением (8), представим в виде

В = Bü A, (9)

где B0 e а2 (L2 [ü, 2л]) (a2 (L2 [ü, 2л]) - идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве L2 [0,2л]), и

ЦОД)^аР, i, j = 0,1, 2,..., (10)

где Pj - проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству Gj = { j2 +1|, (PjX = (x, е2j—1) е2j—1 + (x, е2j) е2j, j ф 0, (•, •) - скалярное произведение в L2 [ü, 2л])

а0 = ■

2

+

2

-; P = 1;

(11)

J- |2 I |2 i ■ |2 i |2 j

С + <s + «¡Г + о,1;" ; Pj = j, i, j = 1,2,...; ........ 7+1

«ü =

2 2л 2 2л

— Г о (t)dt; a° = — Г о (t)dt; л ü л ü

2 2л 2л

— Г о (t) sin itdt; al™ = — Г a0 (t) cos itdt;

n ü л ü

2 2л 2л

- Г a (t) sin itdt; a!°s = — J a (t) cos itdt.

asin = —

л л ü

Теорема 4. Пусть для любых функций а0 и а, принадлежащих гильбертову пространству Ь2 [0,2л] , для последовательностей величин у и у2, определенных формулами

<

Л/2

/ (П ) =

a\ß2n (n2 +1) + | aß (n +1) (m2 +1)

m>1

n

2 2 n - m

< да,

/2 (n ) =

n) = max <

a,ßn(n 2 + 1)atß„

s

«„ß„( m2 +1)

mi m у /

2n -1 ' n2 m>1 |n2 - m21

< да,

выполнены условия:

lim / (и) = 0, lim / (и) = 0.

n ^да ^ n ^да

Тогда спектр а( A — В) оператора A — В представим в виде

<r(A-B) = \Jcr„,

л> 1

где <т;г, /7 > 1, - не более чем двухточечное множество, и пусть Яп - взвешенное среднее собственных значений из о . Тогда имеет место оценка:

Л„-(п2+1) +

+

(-1)"+1

Ina,:

1 + ^2

man

2

m >1

n - m

- a

(-1)m+1 ami m >1 n - m ,

V m*n У

+

+1

na,

,sm V"1 ( 1) a0rn

'1 и S

- an

^ (-1 )Mm<n

2 2 о n Sl 2 2

m > 1 n - m m > 1 n - m

УУ

<

<

n/2 ( n )V 2 2 2 2

a^in 0г + ancos 0 + cT 1 + a;os

где D (n) = (1 - / (n) - /2 (n))2 - 4/x (n) /2 (n) , n > 1.

Также справедлива оценка:

2л \ ( 2Л

f|(P„x)(t)--1 J x (t) cos ntdt

cos nt -

\( 2" — I I x (t) sin ntdt

л 2 л 1/2

sin nt dt <

У

2/1 (n )

,n > 1,

jD(nj +1 - З/1 (n ) /2 (n )''

где P - проектор Pucca, построенный по спектральному множеству о оператора А —В.

Здесь ай] = —

^ 2л ^ 2л

— [ a0 (t) cos jtdt; a^ = — [ a (t) cos jtdt;

Л { Л {

2

asm = — ж

2 2я 2 27Г

— i а{) (/) sin jtdt; axJ = — Г ах (7)sin jtdt, / = 1,2,..., - коэффициенты Фурье функций 7Г i ni

a.

(1) и а (1) по системе собственных функций оператора А.

Лемма. Для последовательностей ух и у2, заданных формулами

Г, (n )= ЕЕ

Л2 РК +Р2К

1/2

m=0 к>n+1

V (12)

У2 (n ) = max \ max \ Е

\К\ акрк

j<n I k>n+1 Лk

Л — Л,

I^ Лк\акРк

'SUp iZ^TT

j>n+1 I к=1 |Л;- — Лк|

< да,

< да,

(13)

выполняются условия

lim у (и) = 0, lim у2 (п) = 0.

го_м_

и -^ад и -^ад

На основе приведенной выше леммы сформулируем утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (1).

Теорема 5. Пусть функции а0, а е А [0,2 л]. Тогда, начиная с некоторого натурального п0, оператор А — В подобен оператору А — X* (п), п > п0, где X* (п) представим в

виде (6), и |Р (Д(n), A) — P (Д(n), A — B)|| ^ 0 при n

! ^да.

Список литературы References

1. Баскаков А.Г. 1987. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж, Изд-во ВГУ, 165.

Baskakov A.G. 1987. Harmonic analysis of linear operators. Voronezh, Publicher hause VSU, 165 .

2. Баскаков А.Г. 1983. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. Сиб. мат. журн, 24 (1): 21-39.

Baskakov A.G. 1983. Methods of abstract harmonic analysis in the perturbation of linear operators. Siberian Math. J. , 24 (1): 21-39.

3. Баскаков А.Г. 1986. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений. Изв. АН СССР, 50(3): 435-457.

Baskakov A.G. 1987. A theorem on splitting an operator, and some related questions in the analytic theory of perturbations. Mathematics of the USSR - Izvestya, 28(3): 421-444.

4. Баскаков А.Г. 1994. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных операторов. Изв. РАН. Сер. матем. , 58(4): 3-32.

Baskakov A.G. 1995. Spectral analysis of perturbed nonquasianalytic and spectral operators. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 45(1): 1-31.

5. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. 1988. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями. Дифференц. уравнения, 24(8): 1424-1433.

Baskakov A.G. Katsaran T.K. 1988. Spectral analysis of integro-differential operators with non-local boundary conditions. Differ. Equations, 24(8): 1424-1433.

6. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. 2011. Метод подобных операторов в спектральныом анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом. Изв. РАН. Сер. матем, 75(3): 3-28.

Baskakov A.G., Derbushev A.V., Sherbakov A.O. 2011. The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izvestiya: Mathematics, 75(3): 445-469.

7. Баскаков А.Г., Диденко В.Б. 2015. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами. Дифференц. уравнения, 51(3): 323-338.

Baskakov A.G., Didenko V.B. 2015. Spectral analysis of differential operators with periodic unbounded coefficients. Differ. Equations, 51.(3): 323-338.

8. Баскаков А.Г. 2015. Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений. Мат. сборник, 205(8): 23-62.

Baskakov A.G. 2015. Estimates for the Green's function and parameters of exponential dichotomy of a hyperbolic operator semigroup and linear relations. Sbornik: Mathematics, 206(8): 1049-1086.

9. Ульянова Е.Л. 1998. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными: дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 100.

Ul'yanova E.L. 1998. Spectral analysis of the normal operators with perturbed relatively finite-dimensional: dis. ... cand. sci. sciences.Voronezh, 100.

10. Ускова Н.Б. О спектре некоторых классов дифференциальных операторов / Н.Б. Ускова // Диф-ференц. уравнения. - 1994. - Т. 30. - № 2. - С. 350-352.

Uskova N.B. About a spectrum of some differential operators classes / N.B. Uskova // Differ. Equations. -1994. - V. 30. - № 2. - P. 350-352.

11. Ускова Н.Б. 1997. Об оценках спектральных разложений собственных векторов некоторых классов дифференциальных операторов. Дифференц. уравнения, 33 (4): 564-566.

Uskova N.B. 1997. About estimates for spectral decompositions of own vectors of some differential operators classes. Differ. Equations, 33(4): 564-566.

12. Ускова Н.Б. 2000. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов. Сиб. мат. журн, 41.(3): 712-721.

Uskova N.B. 2000. On estimates for spectral projections of perturbed selfadjoint operators. Siberian Mathematical Journal, 41(3): 592-600.

13. Ускова Н.Б. 2004. К одному результату Р. Тернера. Мат. заметки, 76(6): 905-917.

Uskova N.B. 2004. On a Result of R. Turner. Mathematical Notes, 76(6): 844-854.

14. Ускова Н.Б. 2015. О спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом. Уфим. мат. журн. - 2015. - Т. 7. - № 3. - С. 88-99.

Uskova N.B. 2015. On spectral properties of Stourm-Liouville operator with matrix potential. Ufa Mathematical Journal, 7 (3): 84-94.

15. Поляков Д.М. 2015. Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с негладкими коэффициентами. Сиб. мат. журн, 56(1): 165-184.

Polyakov D.M. 2015. Spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator with nonsmooth coefficients. Siberian Mathematical Journal, 56(1): 138-154.

16. Поляков Д.М. 2015. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора четвертого порядка. Дифференц. уравнения, 51(3): 417-420.

Polyakov D.M. 2015. The method of similar operators in the spectral analysis of a fourth-order nonselfad-joint operator. Differ. Equations, 51(3): 417-420.

17. Шелковой А.Н. 2004. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 144 с.

Shelkovoj A.N. 2004. Spectral analysis of differential operators with non-local boundary conditions: dis. ... cand. sci. sciences. Voronezh, 144.

18. Шелковой А.Н. 2003. Об асимптотике собственных значений и равносходимости спектральных разложений дифференциального оператора второго порядка с нелокальными краевыми условиями. Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: тр. конф., Воронеж, 30 июня - 4 июля, Воронеж, 233.

Shelkovoj A.N. 2003. About the asymptotic behavior of own meanings and equiconvergence of the corresponding spectral decompositions of a second order differential operator with non-local boundary conditions. Modern problems of the functional analysis and differential equations: conf. works, Voronezh, on June 30 - on July 4, 233.

19. Данфорд Н., Шварц Д.Т. 1974. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы. М.,Мир, 661.

Danford N. Schwartz J.T. 1971. Linear operators. V. III: Spectral operators. Intersci. Publ., New York - London, 661.

20. Наймарк М.А. 1969. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 528.

Naymark М.А. Linear differential operators. М., The Science, 528.