Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-9

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE EIGENVALUES OF ADIFFERENTIAL OPERATOR WITH NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS

А.Н. Шелковой A.N. Shelkovoj

Воронежский государственный технический университет, Россия, 394016, г. Воронеж, Московский пр-т, 14

Voronezh State Technical University, 14, Moskovskii av., Voronezh, 394016, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка с нелокальными краевыми условиями методом подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора.

Resume. We use the method of similar operators to study the spectral properties of a second order differential operator with non-local boundary conditions. We obtain results on the asymptotic behavior of the spectrum of such operators and convergence of the corresponding spectral decompositions.

Ключевые слова: спектр оператора, дифференциальный оператор второго порядка, асимптотика спектра, метод подобных операторов.

Key words: operator spectrum, differential of second order operator, spectrum asymptotic, method of similar operators.

Введение

Пусть Ь2 [0,2л] - гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций,

^ 2л

суммируемых с квадратом модуля со скалярным произведением вида (х, у) = — I х(г)у(г)й?г .

2л ^ 2л о

Через Ж22 [0,2л] обозначим пространство Соболева |х е Ь2 [0,2л]: х' абсолютно непрерывна, " е Ь2 [0,2л]}. Рассматривается дифференциальный оператор Ь : О(Ь) с Ь2 [0,2л] ^Ь2 [0,2л],

л

задаваемый дифференциальным выражением вида

п

(Lx) (t ) = - ir (t ) + x (t ) - X ak (t)x (tk ), (1)

k=1

где ак - функции из Ь2 [0,2л], гк е [0,2л], к = 1 , п, с областью определения £>(£) = е ^ [0,2л-], х (0) = х (2л-), х (0) = х (2л*)}.

В частности, такого класса (случай п = 2) оператор возникает при переходе к сопряжённому при исследовании оператора, действующего в Ь2 [0,2л], задаваемого выражением

Ьу = ~у + у (2)

и начальными краевыми условиями

2 Л

y (0 ) = y ( 2л)+j a0(t) y(t )dt.

0

2л

y(0) = y(2jc)+\al(t)y(t)dt.

0

2Л (3)

Здесь a0 и ax - функции из L2 [0,2 л].

T KJ т*

Для исследования спектра оператора L рассмотрим сопряжённый ему оператор L (см. [5]), который задаётся дифференциальным выражением

(Ex) (t) = -х (t) + х (t) - [х (2л-) a0 (t) - x (2л-) aY (0] (4)

и краевыми условиями

Ы0) = х(2ж), |х(0) = х(2я-).

В настоящей статье для исследования спектральных свойств рассматриваемого класса применяется вариант метода подобных операторов, позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений рассматриваемых операторов.

Приведём основные определения и теоремы метода подобных операторов.

Пусть H - бесконечномерное комплексное сепарабельное гильбертово пространство.

Определение 1. Два оператора A : D (A H ^ H, i = 1,2, называются подобными,

если существует непрерывно обратимый оператор V е End H (т. е. V 1 е End H, End H -банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве H ), такой, что VD (A ) = D (A1) и выполняется равенство A1Vx = VAx, x е D (A ) . Оператор V называется оператором преобразования подобия оператора A в A •

Определение 2. Линейный оператор С : D (СH ^ H называется подчинённым оператору A: D (A) ^ H ^ H, если выполнены следующие два условия: D ( С )з D ( A);

2• существует постоянная M > 0, такая, что

||Cx|| < M Ax|| + || x||) Vx е D (A) •

0

Определение 3. Тройка (U, J, Г), J :U ^ U, Г: U ^ End H, называется допустимой для оператора A, а U - допустимым, пространством возмущений, если:

1. U - банахово пространство (со своей нормой | • „), непрерывно вложенное в банахово пространство LA (H) линейных операторов, подчинённых оператору A ;

2. J, Г - трансформаторы (т. е. линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов);

3. (EX) x G D (A) Vx G D (A) и имеет место равенство:

ArX -(rX) A = X - JX, X g U,

(равенство понимается как равенство элементов из U );

4. X rY, (rY) X gU , X, Y gU , и существуют постоянные у > 0, у2 > 0, такие,

что ||Г| <у и max{||XГГ||*,||(ГГ)X||*} <у2\\X||*Щ*;

5. выполнены условия:

а) Im EX с D(A) и ArX g End H или

б) VX gU и Vs> 0 существует число vsGp( A) (p( A) - резольвентное множество оператора A), такое, что ||XR (v, A)|| <s, где ||X^ = SUp||Xx|| - норма оператора в End H;

" " H<i

R VV, A) = ( A-vsI )-1.

Здесь Im rX - образ оператора rX. Непрерывность вложения банахова пространства U в La (H) означает, что существует постоянная М0 > 0, такая, что ||В|| <М0 ||В||^ VB g U . Пусть A : D (A) с H ^ H - нормальный оператор (см., например, [19]) (частный случай нормального -

самосопряжённый оператор), т. е. D (A) = D(A ), ||Ax|| = ||A x||, x g D(A), спектр которого представим в виде:

3>1

где CTj, j > 1, - взаимно непересекающиеся компактные множества, такие, что dist (О, (J,) < dist (О, <т2) <..., lim dist (О, <тп) = х.

Пусть Pj, j ^ 1, - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству G-, Aj = Ap., j = 1, 2,..., Aj G End H, = sup||. В качестве пространства возмущений U рас-

A.GGj

сматриваются операторы B : D (A) с H ^ H, допускающие представление

В = BAB0 g^2(H)

(здесь <г2 (Н) - идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве

Н, с нормой || • ||2), причём существуют две ненулевые последовательности {ау} , {В;} , такие, что имеет место оценка:

||РД Р|| < с •а.0, /, ] = 1,2,..

для некоторой постоянной с > 0.

Наименьшая из констант, удовлетворяющих этому неравенству, определяет норму в и .

п

Пусть п - некоторое натуральное число, положим - проектор Рисса, постро-

А-=1

енный по спектральному множеству Ди.

Положим 01 = 01п = Р (А„, А) = Рх + Р2 +... ■+ Рп , 02=02п=1- 01п . Трансформаторы / : и ^ и, Ги : и ^ <Г2 (Н), п > 1, определяются следующим образом:

/„X = Щ+02 Х02,

Г X = Г(1)X + Г(2)X,

п п п ?

где

ГП1)X = X ЕГп (РтХ0АРк), ГП2X = X^Гп (РтХ0АРк).

На операторных блоках Р^рА трансформатор Гп определяется как решение уравнения

Ару _у др — р у р

А1ш10шк 10шкА1к 1 0Рк '

удовлетворяющее условию

РУ Р = у

1 ш10шк*к ±0шк '

где к > п + 1, ш < п либо к < п, ш > п +1. Для всех остальных значений ш и к полагается

Г п ( PшXo РкА) = 0.

Теорема 1. Пусть п — натуральное число, такое, что

гМ)=Е X

|2 01а2 + В2а1 < |2

к г^к ш г ш к \ ш\ 11 - < ГО,

ш=1к>п+1

(Яй (<ш, <))

*»)=тах ^шах | х-^ац ,8ир,

' ]<п [к>п+1 ¿Ы (<. , <к ^ ;>п++1 [ к=1 ¿Ы (< , <к ^

< го,

причём выполнено условие

2 тах {/ (п), 72 (п)} + 7 (п) + 72 (п) <1 Тогда оператор А — В подобен оператору А — /„X (п), где X *( п) еи имеет вид:

X* (п) = X* (п ) + Х*2 (п ) + X* (п ) + X* (п), (6)

где X (п) = QiX (п) Qj, г, у = 1, 2, есть решение системы уравнений

\Хи = ДЛ + Бгг, (г = 1, у = 2)-(г = 2, у = 1);

/ \ (7)

X = Р (X ),

где оператор Р у :и у ^ и у задаётся формулой

Ру ( X) = Б^ -(ГX) Б у—(Г*) (Буг ^) + Бу, Б у = QiБQj, г, у = 1, 2, - блоки оператора Б е и, являющегося возмущением оператора

А, допустимое пространство возмущений и является прямой суммой четырёх замкнутых подпространств вида

и у = , Xеи},г,у = 1,2.

Оператор преобразования подобия имеет вид I + Г^ (п).

Теорема 2. Пусть операторы А и Б еи таковы, что п 0, у2( п 0 при п ^да. Тогда, начиная с некоторого п0, оператор А — Б подобен оператору А — JиX* (п), п > п0, где X'* (п) представим в виде (6), и Р(Ая, А) — Р (а„ , А — б) ^ 0 при п ^да, причём

Ап = ст((А — Jnr (п))|Р(А„,А)Н) с А-Б),

где Р (Ап, А — Б) - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Ап оператора А — Б.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда

(I — Р(А«, А — Б))х — ^ PX ^ 0 при п ^да

г>я+1

для любого фиксированного х е Н.

Основные результаты

Перейдём к исследованию основных свойств оператора Ь: О(Ь)сЬ [0,2л] ^Ь [0,2л],

задаваемого выражением (1). Методом исследования оператора Ь является метод подобных операторов, рассматриваемый в работах [1-16]. Представим его в виде Ьх = Ах — Бх, где А порождается дифференциальным выражением Ах = —х + X,

0(А) = {х^Ь2[0,2тг\. х,хеС[0,2я], х&Ц[0,2я],

х(0) = х(2ж), *(0) = х(2я-)},

с краевыми условиями (5) и

(Вх) (/) = х (2ж) а0 (/) - х (2ж) ах (/), / е [0,2ж], х е Б (А). (8)

Оператор А - самосопряжённый оператор с дискретным спектром, собственное значение которого \ = 1 является простым, а остальные собственные значения Яп = п2 +1, п > 1, двукратны;

собственные функции оператора А, отвечающие этим собственным значениям, е0 (*) = .—-,

■\/2ж

е2п_х ) = —=008 п1, е2п ) = —Ы, п е N, где N - множество натуральных чисел, образуют

4ж л/ж

ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Ь2 [0,2ж] (см., например, [1]). Положим

\(п) = {\,...,Л1), Рп=Р(\(п),А), Р;=Р(Ау,А) - проектор Рисса, 7 = 1,2,....

Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора Ьх = Ах — Вх, мы получим следующие результаты.

Теорема 3. Оператор В: Б(А) с Ь2 [0,2ж] ^ Ь2 [0,2ж], задаваемый соотношением (8), представим в виде

В = ^0 А, (9)

где В0 е < (Ь [0,2ж]) (< (Ь2 [0,2ж]) - идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Ь2 [0,2ж]), и

||РВ0Р|| <а0., /,. = 0,1,2,..., (10)

где Р - проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству < = {.2 +1}, (Р.х = (х, е2.—1) е2.—1 + (х, е2.) е2.,. ф 0, (•, •) - скалярное произведение в Ь2 [0,2ж]),

а0 ='

аЛ + а,

2

-; 00 = 1;

/| ~"|2 I |2 | ~"|2 \ |2 .

а=4к,- + а0° + к + а ;0 ь. = 1,2^..;

.......... 7+1

(11)

— [ а (*а° = — [ а V?; Ж 0

2 2Ж 2 2ж

1 [ а0 ) зт а008 = — [ а0 ) ооэ

7Г * ТГ

а81П = —

а0г , - ,

Ж 0 Ж 0

п

2 2л 2 2л

— [ a (t) sin itdt; а™ = — [ a (t) cos itdt. л 0 л 0

Теорема 4. Пусть для любых функций а0 и а, принадлежащих гильбертову пространству L2 [0,2л], для последовательностей величин ух и у2, определённых формулами

/1 (n) =

'aß (n2 +1)2 a^ß (n2 +1)2 + aß (m2 +1)Л

1/2

n

4

V

m>1

2 2 n - m

< да,

У

/2 (n) =

n) = max <

а ß (n 2+1) а ß ^ а ß (m 2+1)

и/ n\ / aQßQ V^ m/ m у у

,„2 + ^

2 n -1

m>1

2 2 n - m

< да,

выполнены условия:

lim у (n) = 0, lim y2 (n) = 0. Тогда спектр с( A — B) оператора A — B представим в виде

<r(A-B) = \Jcr„,

П> 1

где Gn, и > 1, - не более чем двухточечное множество, и пусть Яп - взвешенное среднее собственных значений из ön. Тогда имеет место оценка:

Лл-(п2 +1) +

+

2

-( naS

man

2

т > 1

n - m

- a.

a

2

т > 1

n - m

+

na,

(-1Г+1 acos

sin У V m cos

•1 и / , " " a

2 2 0 и

m > 1 n - m m > 1

^ (-1)m maSn

W

2 2 n - m

УУ

<

<

n/2 ( n )

an

+

an

+

a,,

+

a

где D(n) = (1 -/ (n)-/2 (n)) -4/ (n)/2 (n), n > 1. Также справедлива оценка:

f 2к \ f 2Л

J(Pnx)(t)--1 J x (t) cos ntdt

V 0 п V 0

\( 2п

--1 I x (t) sin ntdt

п I i

л 2 л

sin nt dt

У

0 1/2

cos nt -

< ■

2/ (n)

y¡D (n) +1 - 3/1 (n) /2 (n)'

n > 1,

2

2

2

2

где Рп - проектор Рисса, построенный по спектральному множеству а п оператора А-В.

2 л 2л

Здесь = —

2 2Л 2 2Л

~cos - — J a0 (t) cos jtdt; a™8 = — J a (t) cos jtdt;

Л о Л 0

2 2л" 2 2л-

— а0 (7) sin jtdt', = — \ ах (/)sin jtdt, j = 1,2,..., - коэффициенты Фурье функций

TT * TT *

aSIn = —

a0j „г Л - - -- ^

Л 0 Л 0

а0 (t) и а ) по системе собственных функций оператора А.

Лемма. Для последовательностей ух и у2, заданных формулами

f ч ÍV V К Г ^ +1Х2 |л

/1 (n)= zz —--

1/2

2

V"'=0 k-"+1 I'm "k|

m=0 k>n+1 —

< да, (12)

[ j[*än+1 j j>„+1 [ А=1 jj

выполняются условия

lim y1 (n) = 0, lim y2 (n) = 0.

На основе приведённой выше леммы сформулируем утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (1).

Теорема 5. Пусть функции а0, a е L [0,2л]. Тогда, начиная с некоторого натурального n0, оператор A — B подобен оператору A — JnX (n), n > n0, где X („) представим в виде

(6), и IP ( А (n), A) — P (А (n), A — B)

■ 0 при n ^да.

Список литературы

1. Баскаков А.Г. 1987. Гармонический анализ линейных операторов, Воронеж: Изд-во ВГУ :1б5.

Baskakov A.G. 1987. Harmonic analysis of linear operators, Voronezh: Publicher hause VSU: 165 .

2. Баскаков А.Г. 1983. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. Сиб. мат. журн, 1 (24): 21-39.

Baskakov A.G. 1983. Methods of abstract harmonic analysis in the perturbation of linear operators. Siberian Math. J., 1 (24): 21-39.

3. Баскаков А.Г. 1986. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений. Изв. АН СССР, 3 (50): 435-457.

Baskakov A.G. 1987. A theorem on splitting an operator, and some related questions in the analytic theory of perturbations. Mathematics of the USSR, № 3 (28): 421-444.

4. Баскаков А.Г. 1994. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитических и спектральных операторов. Изв. РАН. Сер. матем., 4 (58) : 3-32.

Baskakov A.G. 1995. Spectral analysis of perturbed nonquasianalytic and spectral operators. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1 (45): 1-31.

5. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. 1988. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями. Дифференц. уравнения, 8 (24): 1424-1433.

Baskakov A.G., Katsaran T.K. 1988. Spectral analysis of integro-differential operators with non-local boundary conditions. Differ. Equations, 8 (24): 1424-1433.

6. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. 2011. Метод подобных операторов в спектральныом анализе несамосопряжённого оператора Дирака с негладким потенциалом. Изв. РАН. Сер. матем., 3 (75) :3-28.

Baskakov A.G., Derbushev A.V., Sherbakov A.O. 2011. The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izvestiya: Mathematics, 3 (75): 445-469.

7. Баскаков А.Г., Диденко В.Б. 2015. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами. Дифференц. уравнения. 3 (51): 323-338.

Baskakov A.G., Didenko V.B. 2015. Spectral analysis of differential operators with periodic unbounded coefficients. Differ. Equations, 3(51): 323-338.

8. Баскаков А.Г. 2015. Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений. Мат. сборник, 8 (205): 23-62.

Baskakov A.G. 2015. Estimates for the Green's function and parameters of exponential dichotomy of a hyperbolic operator semigroup and linear relations. Sbornik: Mathematics, 8 (206) : 1049-1086.

9. Ульянова Е.Л. 1998. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущённых относительно конечномерными: дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук, Воронеж : 100.

Ul'yanova E.L. 1998. Spectral analysis of the normal operators with perturbed relatively finite-dimensional: dis. ... cand. sci. sciences, Voronezh : 100.

10. Ускова Н.Б. 1994. О спектре некоторых классов дифференциальных операторов. Дифференц. уравнения, 2 (30): 350-352.

Uskova N.B. 1994. About a spectrum of some differential operators classes. Differ. Equations, 2 (30): 350-352.

11. Ускова Н.Б. 1997. Об оценках спектральных разложений собственных векторов некоторых классов дифференциальных операторов. Дифференц. уравнения, 4 (33): 564-566.

Uskova N.B. 1997. About estimates for spectral decompositions of own vectors of some differential operators classes. Differ. Equations, 4 (33): 564-566.

12. Ускова Н.Б. 2000. Об оценках спектральных проекторов возмущённых самосопряжённых операторов. Сиб. мат. журн., 3 (41): 712-721.

Uskova N.B. 2000. On estimates for spectral projections of perturbed selfadjoint operators. Siberian Mathematical Journal, 3 (41): 592-600.

13. Ускова Н.Б. 2004. К одному результату Р. Тёрнера. Мат. заметки, 6(76): 905-917.

Uskova N.B. 2004. On a Result of R. Turner. Mathematical Notes, 6 (76): 844-854.

14. Ускова Н.Б. 2015. О спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом. Уфим. мат. журн., 3 (7): 88-99.

Uskova N.B. 2015. On spectral properties of Stourm-Liouville operator with matrix potential. Ufa Mathematical Journal, 3 (7): 84-94.

15. Поляков Д.М. 2015. Спектральный анализ несамосопряжённого оператора четвёртого порядка с негладкими коэффициентами. Сиб. мат. журн., 1 (56): 165-184.

Polyakov D.M. 2015. Spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator with nonsmooth coefficients. Siberian Mathematical Journal, 1 (56): 138-154.

16. Поляков Д.М. 2015. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряжённого оператора четвёртого порядка. Дифференц. уравнения, 3 (51): 417-420.

Polyakov D.M. 2015. The method of similar operators in the spectral analysis of a fourth-order nonselfadjoint operator. Differ. Equations, 3 (51): 417-420.

17. Шелковой А.Н. 2004. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук, Воронеж: 144 .

Shelkovoj A.N. 2004. Spectral analysis of differential operators with non-local boundary conditions: dis. ... cand. sci. sciences, Voronezh : 144.

18. Шелковой А.Н. 2003. Об асимптотике собственных значений и равносходимости спектральных разложений дифференциального оператора второго порядка с нелокальными краевыми условиями. Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: тр. конф., Воронеж, 30 июня - 4 июля 2003 г. - Воронеж: 233.

Shelkovoj A.N. 2003. About the asymptotic behavior of own meanings and equiconvergence of the corresponding spectral decompositions of a second order differential operator with non-local boundary conditions. Modern problems of the functional analysis and differential equations: conf. works, Voronezh, on June 30 - on July 4: 233.

19. Данфорд Н., Шварц Д.Т. 1974. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы, М.: Мир: 661.

Danford N., Schwartz J.T. 1971. Linear operators. V. III: Spectral operators. Intersci. Publ., New York - London: 661 .

20. Наймарк М.А. 1969. Линейные дифференциальные операторы, М.: Наука: 528.

Naymark М.А. 1969. Linear differential operators, М.: The Science: 528.