Спектральная теория некоторых классов нестационарных случайных векторных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК519.21

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ

ЯНЦЕВИЧ А.А., ПЕТРОВА А.Ю._________________

Дается спектральный анализ корреляционных матриц, инфинитезимальных корреляционных матриц и некоторых классов нестационарных векторных случайных процессов. Получены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять матрица для того, чтобы она была корреляционной матрицей эволюционно представимого векторного случайного процесса, порождаемого в соответствующем гильбертовом пространстве диссипативным оператором с дискретным спектром или с бесконечнократным спектром в нуле.

Введение

Векторные стационарные случайные процессы достаточно хорошо изучены [1-3], в частности, для таких процессов получены спектральные разложения, а также спектральные представления для корреляционной матрицы. В соответствующем гильбертовом пространстве Н компоненты векторной стационарной кривой имеют вид xk(t) = eltAxok, где А - самосопряженный, в общем случае неограниченный оператор. Таким образом, векторный стационарный случайный процесс в гильбертовом пространстве порождается одним самосопряженным оператором.

Нестационарные векторные случайные процессы фактически не изучались.

Рассмотрим векторный нестационарный случайный процесс (ВНСП) |(t) = (^i(t),..., (t)) с M|(t) = 0 и

непрерывной корреляционной матрицей с элементами

Kар(t,s) = M|a (t)|p(s). Если погрузить этот ВНСП стандартным образом в гильбертово пространство

H = V ckjj(tk) , то получим векторную кривую в

k,j_

j=1,n

гильбертовом пространстве (x1(t),..., xn(t)), причем Kap (t,s) = (xa (t) xp (s))H.

В дальнейшем будем предполагать, что n = 2 и векторная кривая x(t) = (x1(t), x2(t)) эволюционно представима, т. е. имеет вид xj (t) = eltAj xoj, j = 1,2, Aj -линейные ограниченные операторы в H.

Целью настоящей работы, которая продолжает исследования, начатые в [5], является построение модельных представлений для корреляционных матриц, векторных нестационарных случайных процессов конечного ранга нестационарности, а также получение соответствующих спектральных представлений ВНСП.

Постановка задачи

В статье дается спектральный анализ корреляционных матриц, инфинитезимальных корреляционных матриц и самих случайных процессов в простейшем случае, когда А1 = А2 = А, где А - несамосопряженный оператор с конечномерной мнимой частью.

Рассмотрим случай, когда А - полный диссипативный оператор с дискретным спектром или с бесконечнократным спектром на вещественной оси.

Спектром случайного векторного процесса будем

называть U CT(Aj), где CT(Aj) - спектр оператора Aj. j

Инфинитезимальной корреляционной матрицей (ИКМ) будем называть матрицу с компонентами

Wap (t, s) = -(at + ds)Kap (t, s).

Решение

Покажем, что ИКМ имеет простой вероятностный смысл.

Рассмотрим открытые системы, ассоциированные с операторным узлом, содержащим ограниченный оператор А и отличающийся только различными начальными условиями для вектора внутреннего состояния:

i-^- + Ax(j) = <pU(j).

dt

,(j)

- x(j)

_ xo

t=0

V(j) = U(j) - іф+ x(j). Тогда справедлива:

(1)

Теорема 1. ИКМ Wap(t,s) векторной кривой в гильбертовом пространстве (x^t), x2(t)) выражается следующим образом через корреляционные матрицы входных и выходных сигналов:

Wap (t,s) = K Vp+ (t,s) - K Up+ (t,s) -- (K Vp" (t,s) - K U" (t,s)).

Доказательство вытекает из следующей цепочки соотношений уравнений ассоциированной открытой системы (1):

waP (t, s) = -(at + as)K ap (t, s) = = -(at + as^ix(a) (t),ix(^) (s)^h =

= - і

dx

(a)

dt

; ix(P) (s)\ -/ ix(a) (t); i-dd^

= -^U(a) (t) - Ax(a) (t), ix(p) (s^ -- (ix(a) (t), Фи(р) (s) - Ax(p) (s^ =

= [U(a)(t), -i9+ x(p)(s)]E + [-i9+ x(a)(t), U(p)(s)]E+

+ ( A ~ A x(a) (t), x(P) (s)\ =

РИ, 2007, № 4

i

H

37

= [U(a)(t), V(p)(s)]E - [U(a)(t), U(p)(s)]E +

+ [V(a) (t) - U(a) (t), U(p) (s)]E +

+ [-іф+ x(a)(t), - іф+ x(P)(s)]e=

= [V(a) (t), V(p)(s)] - [U(a)(t), U(p) (s)].

Wap (t, s) = [V(a) (t), V(p) (s)J4 U(a) (t), U(p) (s)J. (2)

Если А - диссипативный оператор, то в (2) индефинитное скалярное произведение переходит в обычное и Wap(t,s) - это разность соответствующей компоненты корреляционной матрицы входного и выходного случайных процессов.

Пусть 2ImA является проектором на конечномерное подпространство. Если включить несамосопряженный оператор А в операторный комплекс

K = (A,H,g1,...,gr,(J ap)),

(JaP_ JaP 5 ZJayJyP ^ap , a,P — 1,r), y=1

r

то тогда 2ImA = •, ga)Japgp , где ga - канало-

a,p=1

вые элементы оператора А [4].

Рассмотрим сначала случай диссипативного оператора А с одномерной мнимой компонентой. Тогда,

учитывая, что Kap(t,s) = ^eitAx0a, eisAx0p^, для инфинитезимальной корреляционной матрицы имеем: (Wap (t,s)) = (-(at + as)K aP (t,s)) =

^ ^2ImAxi(t),xi (s)) (2 ImAxi (t),x2 (s))''

(2ImAx2 (t), xi (s)) (2ImAx2 (t), x2 (s))y ’

или, учитывая, что в рассматриваемом случае 2ImA = (■, g)g, получаем

(Wap (t,s)) У® фіа)’ ^4]

V Р ' уФ2(t),Фі(s) 92(t),92(s)J ’

где Фj(t) 4eitAx°J’^H-

Переходя в скалярном произведении к модельному треугольному представлению оператора А [4], получаем:

- в случае дискретного спектра:

/ чд \ (-)

Фj(t) 4eiAx0j,g). = Z x0kЛk(t) , (3)

' / H k=1

— в случае непрерывного спектра:

Фj (t) 4eitAxoj, g^h = J xoj (u)A(t, u)du. (4)

Если оператор A вольтерров, то A(t,u) = Jo(^/ut), где Jo (y) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

38

Для асимптотически затухающих ВНСП, т.е. когда lim Kap (t + x,s + т) = 0, для K ap (t, s) получаем пред-

z^x

ставление:

X ________

Kap (t,s) = |фа (t + Х>Фр (s + Ф>^ , (5)

0

и в случае дискретного спектра для K ap(t,s) имеем

K ap(t,s) =

- v x(a)x(P) V Vя

- b x01 x0m Ь Ья

(<*)я(Р) ?eap(t+x)_aq(s+x)dx =

1,m=1

p=1 q=1

lp я mq

= z

1,m=1

' (ab (P)

^01 x0m ^ lp p=1q=1

1 m ------- Qi^pt_i^qs

y ya(<*)a(p)e L, L, яь яп

mq

Xp -Xq

(6)

Xp ^Xq О Xq) .

Теорема 2. Для того чтобы корреляционная матрица Kap (t,s) была корреляционной матрицей эволю-

ционно представимого векторного гауссовского случайного процесса, порождаемого в соответствующем гильбертовом пространстве диссипативным оператором с дискретным спектром, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид (5), где фа (t)

2

Да)

0p

< <ю .

определяется (3), причем £ :

k=1

Доказательство необходимости уже проведено, а для доказательства достаточности следует по дискретному спектру {Xk} построить треугольную модель A оператора А в 12 и рассмотреть модельную векторную гауссовскую кривую в А2 вида x(t) = (eitAx01, eitAx02), у которой, очевидно, корреляционная матрица (IXap (t,s)) совпадает с исходной. Тогда в силу теоремы 5 работы [5] исходный векторный процесс допускает представление x(t) = (eitAx01, eitAx02), где А - оператор, унитарно эквивалентный A, а x0j = Ux0j (j =1, 2), где U -оператор, осуществляющий соответствующее унитарное отображение.

Аналогично доказывается

Теорема 3. Для того чтобы корреляционная матрица (Kap (t, s)) была корреляционной матрицей эволю-ционно представимого векторного гауссовского случайного процесса, порождаемого в соответствующем гильбертовомпространстве диссипативным оператором с бесконечнократным спектром в нуле, необходимо и достаточно, чтобы корреляционная

матрица имела вид (5), где фа (t) определяется выражением (4), где A(t,u) = J0(2Vtu), l|x0j(u) du .

Если треугольная модель A оператора А имеет вид

РИ, 2007, № 4

(Af)(x) = a(x)f(x) + iJ f(y)dy ,

0

где a(x) = a(x) - ограниченная неубывающая функ-

т 2

ЦИЯ В L[0 £] , то

к ар (t,s) = J x а (t,u)x р (s,u)du + K ”р (t - s), (7)

0

где

xа (t,u) = eia(u)txoa(u) -- Jx0a (y)eia(y)M—'— • Jl(^/t(u - У))dy,

o Vu - у

Ji(y) - функция Бесселя первого порядка; K“р (t - s) - эрмитово неотрицательная матрица.

Для получения представления (7) достаточно воспользоваться представлением для резольвенты оператора A, полученным в [6], а также результатами работы [7].

Для получения спектрального представления ВНСП (§i(t),§2(t)) снова перейдем в соответствующее гильбертово пространство H = V Ck (с, j(tk) и рассмот-

kj_

j=1,n

рим для эволюционно представимого векторного процесса вида (eitAxoi, eitAxo2) открытую систему, ассоциированную с операторным комплексом К

(dimImHA = r <ж). Тогда, как это следует из результатов VIII главы [4], в случае, если А - полный

диссипативный оператор, для %j(t) получаем спектральные представления £,j(t) = £ fkj(t)^k , где fkj(t)

определяется из системы дифференциальных уравнений

ij + ^kfkj(t) = £ M(aаЛк),

dt а=1

fkj<t)t = j»,

U£ij(t) = U<“> - ^/S7fkj(t)M(^kaa),

u(cj)(t) = 0, ( a = 1, r ),

fkj(0) - коэффициент разложения %j(0) как вектора гильбертова пространства H § в ряд по ортонормированному базису {pk }, который с вероятностной точки зрения представляет собой систему некоррелируемых случайных величин с дисперсиями, равными единице.

В случае, когда спектр бесконечнократный в нуле и dimImAH = Г, 2 < r , спектральное представление нестационарных векторных случайных процессов РИ, 2007, № 4

(§l(t), §2(t)) имеет вид |j(t) = Jf(j)(x,t)dZx , где Zx -

0

стандартная спектральная случайная мера, а f(j) (x, t) находится из системы уравнений:

. sf(j)

Л ■= Ё Ua)(x,t)9a (x) dt о=1

где

• cU j

i——

dt

( j) (

= Фа (x)f

(j)

(8)

Ua) (x, t) = Uj (0, t) - iJf(j) & t)9a (^

i

причем U^)(0,t) = U^)(t),

f (j)(x,t)

t=0

f0j)(x).

UP^t) = V^tb

Так как A = UAU 1, где U - унитарный оператор, отображающий L[0, ц на H, то, полагая Zx = UZ[0,x], получаем следующую теорему.

Теорема 4. Для случайного векторного процесса z(t) класса Cr существует случайная спектральная мера Zx (0 < x < і) и совокупность r функций фа (x) (а = 1,r), удовлетворяющих условиям:

1) M(A1ZA 2Z) = р(А1 П А 2), где AkZ - приращения Zx соответственно на интервалах Ak, а р(Д1 П А2) -длина общей части интервалов Дk ;

r2

2) Е|фа(x)| =l, (0<x<і);

а=1

£ _________

3) ІФа(Х>Фр(x)dx = юа8ар ,

0

и таких, что процесс z(t) может быть представлен в виде

і .

z(t) = J f(j)(x,t)dZx, (9)

0

где функция f(j)(x,t) определяется из системы уравнений (1).

Вернемся теперь к системе уравнений (8). Исключая f(j) (x, t), приходим к системе уравнений гиперболического типа для U^l)(x,t):

я 2U(j) r------ (j)

+ (x)PP (x)UP = 0, (10)

причем Uj (0, t) = Uj (t),

l ______

Uj (x,0) = Uj (0) - ijf0(j) ©Фа (ЭД.

0

Можно уточнить структуру ИКМ:

39

(Wap (t,s)) =

Ёф(1) (t)9(1) (s) Ёф(1) (t)9(2) (s) j=i j=i

E9(2)(t)9((1)(s) E9((2)(t)9(2)(s)

U=1 j=1

так как

9(a)(t) = (eltAZca, gj) = \ f (j)(u,t)ya (u)du,

то из Uj (x,t) = U^)(0,t) - iJf(j)(u,t)ya (u)du при

0

U^)(0,t) = 0 получаем, полагая x = I,

9(a)(t) = iU^j)(^, t).

Выводы

С помощью треугольных моделей диссипативных операторов построены представления для корреляционных матриц и векторных нестационарных случайных процессов, которые определяются только спектром (лежащим в верхней полуплоскости в случае дискретного спектра или бесконечнократного спектра в нуле).

Научная новизна. Впервые дан спектральный анализ корреляционных матриц и самих векторных нестационарных случайных процессов при помощи треугольных моделей диссипативных опер аторов и линейных систем, ассоциированных с операторными узлами или комплексами.

Перспективы исследования. Для получения спектральных представлений корреляционной матрицы ВНСП можно воспользоваться спектральным разложением адекватных векторных кривых x(t), используя спектральную теорию систем коммутирующих несамосопряженных операторов, развитую в [8]. Однако соответствующие спектральные представления носят очень громоздкий характер, поэтому мы ограничились тем классом нестационарных векторных кривых, для которых все Aj совпадают (аналог стационарных и стационарно связанных случайных процессов, для которых в соответствующем гильбертовом пространстве Aj = A = A* (j = 1,2)).

Практическая значимость работы заключается в том, что, воспользовавшись универсальными моделями диссипативных операторов [4], можно рассмотреть векторные эволюционно представимые случайные процессы произвольного конечного ранга нестационарности и получить модельные представления для корреляционных матриц и соответствующих векторных случайных процессов.

Литература: 1. Розанов Ю. А. Спектральная теория многомерных стационарных случайных процессов с дискретным временем // Успехи матем. наук. 2 (13). М., 1958. С. 92-142. 2. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М.: Физматгиз, 1963. 284 с. 3.ХеннанЭ. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974. 576 с. 4. Livshits M. S. and Yantsevitch A. A. Operator colligations in Hilbert space, Wiley, New-York, 1979. 210 p. 5. Петрова А. Ю. Корреляционная теория некоторых классов нестационарных случайных функций конечного ранга нестационарности // Радиоэлектроника и информатика. 2007. № 1. С. 29-34. 6. Когут Е. А., Черемская Н. В., Янцевич А. А. О представлении резольвент вольтерровых операторов // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. праць. Київ, Ін-т математики НАН України, 1998. Вип. 1(17). С. 99-101. 7. Кирчев К. П. Об одном классе нестационарных случайных процессов // Сб. Теория функции, функциональный анализ и их приложения. Х., 1971. Вып. 14. С. 150-159. 8. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов. Х.: Изд-во ХНУ, 2003. 342 с.

Поступила в редколлегию 14.12.2007

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Золотарев В. А.

Янцевич Артем Артемович, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей математики и информатики механикоматематического фак-та ХНУ им. В. Н. Каразина. Научные интересы: спектральная теория несамосопряженных или неунитарных операторов; линейные системы, асссо-цированные с операторными узлами; прикладная теория случайных процессов; прогнозы фильтрации случайных процессов. Адрес: Украина, 61077, Харьков, пл. Свободы, 4, тел. 707-55-42.

Петрова Анжела Юрьевна, соискатель, преподаватель кафедры информационных технологий и математики Харьковского гуманитарного университета «Народная украинская академия». Научные интересы: моделирование случайных процессов, нестационарные случайные функции. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Лермонтовская, 27, тел. 716-44-09 (доп. 2-22).

УДК 517.95 : 519.63

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПЛОСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

АРТЮХ А.В., ГИБКИНА Н.В., СИДОРОВМ.В.

Рассматривается применение метода R-функций в сочетании с методом последовательных приближений для решения задачи расчета плоских стационарных течений

40

вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости в конечных односвязных областях. Доказывается сходимость построенного итерационного процесса в норме пространства W23(Q) х W1(Q) к обобщенному решению исходной задачи. Получены оценки скорости сходимости. Предложенный метод протестирован на модельных областях, полученные приближенные решения сравнены с решениями, полученными другими авторами.

Введение

Актуальность задачи. Изучение законов движения жидкости играет важную роль в развитии техники и естествознания. Исследования в этой области стимулируются потребностями авиации, кораблестроения, теплоэнергетики, геофизики, биологии и т.д. за последние десятилетия сфера исследования и применения

РИ, 2007, № 4