CC BY
42
УДК 519. 21
О МОДЕЛИРОВАНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПОМОЩИ ПАРЫ НЕКОММУТИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРОВ
ПЕТРОВА А.Ю.
Предлагается новый подход к построению некоторых классов нестационарных случайных процессов, основанный на свойствах коммутанта пары операторов, задающих модельное представление случайного процесса как кривой в соответствующем гильбертовом пространстве. Описываются представления для корреляционной функции и подсчитывается ранг нестационарности при различных условиях на коммутант пары операторов.
1. Введение
В монографии [1] был предложен достаточно общий подход к моделированию нестационарных случайных процессов. Он основан на гильбертовом подходе к исследованию случайных процессов: случайно -му процессу |(t) сопоставляется кривая |t в гильбертовом пространстве H^ = Vk|(tk), так что корреляционная функция случайного процесса (предполагается, что M|(t) = 0) равна K(t,s) = (|t, |s).
Модель случайного процесса в гильбертовом пространстве задавалась в [1] в виде £ t = eltA, т.е. £, t является решением следующей задачи Коши:
d|t
dt
iA^t,
|Дt It=0 =§o.
(1)
Таким образом, корреляционная функция моделировалась как (eltA|o,elsA|o) . Нестационарность случайного процесса, очевидно, связана с несамосопряженностью оператора A, поэтому в [1] была введена важнейшая характеристика нестационарности — инфинитизимальная корреляционная функция:
W(t,s)
Зт
— K(t + x,s + т)
дх
т=0
(2ImA| t, .
Дальнейшее развитие корреляционной теории нестационарных случайных процессов было связано с использованием треугольных и универсальных моделей несамосопряженных операторов. Однако более сложные модели нестационарных случайных процессов, порождаемые в соответствующем гильбертовом пространстве парой некоммутирующих операторов, не были изучены.
2. Постановка задачи
В отличие от работы [1] в данной статье кривая % t в гильбертовом пространстве моделируется при помощи следующей задачи Коши:
dTL
dt
Tt
= iATt - iTtA,
|t=0 = D0, % t = Tt І0,
(2)
где A, D0 — вообще говоря, некоммутирующие операторы, действующие в гильбертовом пространстве H ^ .
Решение задачи Коши (2) имеет вид: Tt = eitAD0e_itA , а %1 — соответственно
11 = eitAD0e-itAІ0 . (3)
Анализ модели (3) в общем случае затруднителен, поэтому дальнейшие упрощения зависят от свойств коммутанта [AD0].
Цел ъю настоящей работы является исследование тех упрощенных моделей (3), которые получаются при различных предположениях о структуре соответствующих коммутант.
3. Решение
I. Рассмотрим решение задачи Коши в виде:
Jeit(A -D) = eitAL(t)e_itD,
|L(0) = I.
Продифференцируем обе части уравнения:
i(A - D)eitAL(t)e_itD = ieitA A • L(t)e_itD +
+ eitA • — • e_itD - ieitAL(t) • De_itD; dt
- iDeiAtL(t) = eiAt — - ieiAtL(t)D • dt ’
получим = -i(e_itADeitAL(t) - L(t)D).
x (it)k
Рассмотрим DeitA = D £ Ak .
k=0 k!
а) Пусть [da] = ^0I ^ DA = AD + ^0I,
DA2 = (AD + X0I)A = A2D + 2X0A;
DA3 = (A2D + 2X0A)A = A3D + 3X0A2 .
По индукции доказывается, что
DAn =AnD + nX0An-1,
DeitA = £ ■(it^(AkD + kX0Ak_1) = k=0 k!
(it) AkD + £ -(it^kX0Ak_1,
k=0 k!
k
= Z ki
k=0 k!
DeitA = eitAD + itX0eitA .
64
РИ, 2004, № 2
Так как в общем случае A, D0 могут быть неограниченными операторами, то в дальнейшем предполагается, что их область определения — всюду плотное множество в и они рассматриваются только на этой области.
Замечание. Так как A или D — неограниченные операторы, то DAn = AnD + n^oAn_1 надо рассматривать при условии, что DH принадлежит области определения An в случае, если A — неограниченный оператор. Если D — неограниченный, то DH с И .
Теорема. Единичный оператор в гильбертовом пространстве не может быть представлен как коммутатор ограниченных операторов (доказательство см. в[2]).
б) Пусть теперь [DA] = X0A ^ DA = AD + X0A ;
DA2 = (AD + X0A)A = A2D + 2X0A2 ;
DA3 = (A2D + 2X0A2 )A = A3D + 3X0A3 .
По индукции доказывается, что
DAn = AnD + nX0An ;
Ф1 = фД) = C0t + Cl, Ф2 = 1, Jap
0 01.
Значит, ранг нестационарности равен двум. в) [DA] = X0D ^ DA = AD + X0D = (A + X0I)D , DA2 = (A + X0I)DA = (A + X0I)2D ;
DA3 = (A + X0I)2DA = (A + X0I)3D .
По индукции доказывается, что
DAn = (A + X0I)nD ,
DeitA = £ ^^(A + X0I)kD = eit(A+^0I)D ; k=0 k!
Tt = eitADe_itA = e_itX0 D .
Тогда ^ = -i(eitX0DL(t) - L(t)D), dt
It = TtІ0 = e-it^0D|0 .
Тогда
K(t,s) = (e“itX0D|0, e4sA0D|^ = e_ia0 +is^0 ||D|0|2 ,
DeitA = Z -(it)^AkD + Z ■(-t)—kX0Ak
k=0 k! k=0 k!
DeitA = eitAD + itX0AeitA,
тогда Tt = eitADe_itA = D - itX0A .
Подставим полученное равенство в уравнение:
dL = -i(DL(t) + itX0AL(t) - L(t)D); dt
11 = TtІ0 = (D - itX0A)|0 = D|0 - itX0AI0 . Обозначим |i = D|0 и 12 = AX0AI0 , получим, что
11 = Д +1|2 .
Тогда
K(t,s) =(| t, Ss) = (Д + tl 2, Д + s|^ =
=IMI2+1( 12, $1)+і si, % 2)+tsi Ml2,
5K(t + t, s + t)
W(t, s) = -
dx
x=0
dx
||Д||2 + (t + T)( S2, S1) + (s+*)( S1, b) +
-(t + x)(s + x)|| І2
x=0
= -((І2, SO + M> b) + (s + t)| S2II
= ф(П + 9(s) = Z Фа (t)J ар ФР (s), где ф(Г) = -(|2,t|2 +S0 , 9(t) = ^t|2 + SbM ,
2
2
W(t, s) = -||D|0|2i(^0 -X0)ei(sX0 -1^0) =
= -||D|0||22ImX0eisX0e-^0 , где i(X0 — X0) = 2ImX0 .
Тогда W(t,s) = ф(t)ф(s)(-sign2ImX0),
где ф(t) = ||D|^/|2ImX0|e~itX0 .
Отсюда следует, что ранг нестационарности равен единице.
г) Если [DA] = X0A + p0D ^
DA = AD + Х0A + P0D = (A + р.0I)D + X0A ,
DA2 = (A + p0I)DA + X0 A2 = то = (A + p0I)2D + (A + p0I)X 0A + X0A2.
Докажем по индукции, что
n-1 . .
DAn = (A + p0I)nD + E(A + P0I)kX0An“k .
k=0
При n= 1 — это очевидно. Пусть это равенство верно для n. Докажем, что оно верно для n+1:
DAn+1 = (A + p0I)nDA + ^(A + p0I)k X0An+1_k = k=0
n_1 1 1 1
=(A+P0I)n((A+P0I)D +^0A) +E (A+M-0I) X0An + =
k=0
= (A + P0I)11+1D + £(A + iV)k^An+1“k ; k=0
РИ, 2004, № 2
65
DeltA = z
n=0 m!
m-1
(A+WI)mD+ Z (A+wI)kXoAm-k
к=0
(lt)m m—1
= elt(A+^oI)D + z 0Am Z (p0A-1 + I)k =
=o m!
m=0
к=0
= eit(A+,0i)D + z x0Am (^0A-1 +I)m -1
1=0 m!
(^0A“1 +1) -1
=eit(A+.0Dd + z (t)m x 0 (мюІ+A)m-Am =
m=0 m! P0A 1
= elt(A+^0I)D +A° Aelt(A+Ц0І) AeltA;
P0 P0
Tt = eltADe_ltA =
= elAtI e-lt(A+^0I)D + Ae_lt(A+^0І) _ Ae_ltA I =
L 40 40
= e4t^0D +—Ae_lt^0 A;
40
4 0
— = -i(e^0DL(t) - L(t)D +^° A(elt^0 - I)L(t)) •
dt
4 0
40
£, t = Tt І0 = e-lt^0 Id +^° A к -—=e-lt^0 P0 + Л1.
40
■ls|!0
P0
).
W(t, s) = Ф1 (t)92 (s) + Ф2 (t)91 (s),
где 91(t) = ip0e_lt^0 P0 , Ф2(0 = e_lt^0 P0 + r|1 . Следовательно, ранг нестационарности равен двум. II. Рассмотрим решение задачи Коши (1) в виде:
Jel(A _ D)t = elAte _lDtL(t),
|l(0) = I.
Продифференцируем и преобразуем:
ielAte_lDtL(t)(A - D) = ielAt A • e_lDtL(t) -
- ielAte_lDtDL(t) + elAte-lDt —;
dt
ie_lDtL(t)(A-D) - iAe _lDtL(t)+ ie 4DtDL(t) = e
— = i(A - elDtAe_lDt) L(t) dt
x (it)k
Рассмотрим AelDt = A z v ’ Dk .
k=0 k!
.-lDt
dL _
dt ;
а) [AD] = X0I ^ AD = DA + X0I.
По индукции легко показать, что ADn = DnA + nX 0Dn-1.
Тогда
AelDt = £ -^(DkA + kX0Dk_1) = £ -(lt^DkA +
k=0 k!
k
k=0 k!
где P0 = I D + —A k , P1 = A|0 .
I 40 J 40
Тогда
K(t,s) = (|t,Is) = (e_ltMP0 + P1, e_ls^0P0 +m) =
=e _lt^° +ls^01 |p0|2 + e_lt^ 0 ^ p0, P1) + els^0 (гц, p0) + ||гц||2; W(t,s) =i(p0 - p0)e-ltM + ls^0 ||p0|2 + ip0e_ltM (p0,P1)-
- ip0els^0 (p1, P0) = ^ip0e_it^0 P0, e_ls^0 P0 +P^ +
+ (e_lt40P0 +P1, ip0e"
+ £ ■(lt^kX0Dk_1 = elDtA + itX0elDt. k=0 k!
б) [AD] = X0A ^ AD = DA + X 0D.
Легко показать, что ADn = DnA + nX0Dn . Тогда AelDt = elDtA + itX0DelDt.
Подставим полученное равенство в уравнение для
^ : fdL = _х0DtL(t) : dt dt
11 = TtІ0 = eltDAe-ltDІ0 = (A - itX0D)^0 .
Тогда K(t,s) = (|t,ls) = ((A-ift0D£0, (A -isX0D)^^. Пусть §1 = A^0, а §2 = -iX0DI0 . Тогда |t = I1 +t|2 . Следовательно, K(t, s) = (^1 +t|2, I1 + s|2) =
=IMI2 +1( i2, 11)+s{ %1, ь)+t^i 12I2;
W (t, s) = k(|2, I1) + (^1.&) + (t + s)| ^2|2
= ф(t) + ф(s) = гфа (t)Jap ФР (s), где 9(t) = (^2,t4 2 +І1), Ф(ї) =(^1 +1^2,1
Ф1 =ф(t) = C0t + C1, C0 =||^0|2, C1 =(^2,
Ф2 = L lxp=[1 0
Отсюда вытекает, что ранг нестационарности равен двум.
в) [AD] = Х0D ^ AD = DA + Х0A .
Легко показать, что ADn = (D + X0I)n A.
Тогда AelDt = elt(D+^0I)A ; dL
dt
= i(A - elDte_l(D+^0I)t A)L(t) = i(I - e_ia 0 )AL(t);
Tt = elDt Ae lDt = e lt^0 A .
Тогда |t = Tt|0 = e-lt^0A|0;
K(t, s) = (e“ltx0 A|0, e“lsX0A|^ = e“ltx0 +lsX0||A|0|2 ;
W(t,s) = ||A|0|2(e-l(t+x)X0 • el(s+x)X0)^
= -| |A!0||2el(sX0 “tX 0)2Im X 0;
W(t,s) = A|0|2el(sX0-tx0)2ImX0 .
x=0
66
РИ, 2004, № 2
Тогда W(t,s) = 9(t)9(s) • (-sign2ImX0),
где 9(t) =||A|^/2Im X0 e_itX° .
Следовательно, ранг нестационарности равен единице.
г) [AD] = XoD + poA ^
AD = DA + XoD + poA = (D + poI)A + XoD . Легко показать, что
n_1 і і
ADn = (D + poI)n A + 2 (D + poI)k XoDn-k . k=o
x (it)m
Тогда AeiDt =2 ( )
m=o m!
да (it)m m-1 + Z —. ~
m=o m! k=o
(D + p0I)mA +
Z (D + poI)k^D
^nm-k -
= eit(D+^oI)A + 2
“ (it)m, (ppD-1 + I)m -1
=o m!
-X oDm
(poD"1 +1) -1
=eit^A + і iit>m x o(M±Dm^Dm
m=o m! poD 1
= eit(D+^oI)A + -^°De‘t(^oI+D) __^oDeit°;
po
P0
Tt = eitDAe “itD = eitD(e_it(D+mI)a + De_it(D+mI)
-A°De"itD) = e_it^0 (A + -^°D) D.
Po Тогда
Po
P 0
Xq__
Po
— = i(A - e_it^0 A D + De_itW) )L(t) =
dt Po Po
= i(I - e_it^0) (A D)L(t);
P 0
5, = T, 5o = e-it"0(A + ^D)5 o-^-D5„.
Po Po
Пусть (A + —D)^o = Po , - —D^o = P1 .
Po Po
Тогда |t = e_it^0 po +Ш;
K(t,s) = 0_t,J^) = (e“it^oPo +Л1, e-iswPo + P1) =
=e_it^0 +isTO Ih0l2+e _isTO ( 01> no)+e_it^ 0 ( no> nO 4h1|2;
----K(t + x,s + x)
dr
= e it^0 +is^0i(po -po)||П0ІІ +
X = 0
-ipoe isM(p1,po) + ipoe itM(po,P1);
III. Теперь рассмотрим решение задачи Коши в таком виде:
Jei(A -D)t = L(t)eiAte_iDt,
|L(0) = I.
Продифференцируем обе части этого выражения, получим, что L(t) удовлетворяет уравнению:
-dL. = i (L(t)eiAtDe_iAt - DL(t)).
Рассмотрим, как оно изменится при различных [DA].
а) [DA] = Х0D .
Легко показать, что eiAtDe_iAt = e _i^0tD dL = i(L(t)e_iXotD - DL(t)) .
б) [DA] = X0A .
Тогда eiAtDe_iAt = D - itXo A;
и
dL
dt
= iL(t)(D - itX0A) - DL(t).
в) [DA] = X0A + p0D ;
eiAtDe"iAt = e it^0D ^°A(e itM -1) •
Po
dL
dt
=i
L(t)e_it^0 D + L(t) A(e_it^0 -1) - DL(t)
Po
IV. Рассмотрим решение задачи Коши в таком виде: I eiAte_iDt = ei(A_D)tL(t),
|L(0) = I.
Продифференцировав обе части уравнения, получим:
iAeiAte iDt — ieiAte iDtD = = i(A - D)ei(A - D)tL(t) + ei(A“ D)t
dL, dt ;
W(t,s) = 2Impoe it^0 +is^0 ||pof + ipoe isP° (p1, po) + + ipoe_it^0 (po, P1) = Ф1 (t)92(s) + ф2 (Пф1 (s),
где Ф1 (t) = ipoe_it^0 po , Ф2 (t) = -ipoe_it^0 Po + P1 .
Отсюда следует, что ранг нестационарности равен двум.
- iei(A - D)tL(t)D + iDei(A - D)tL(t) = ei(A-D)t -djj-;
di = -iL(t)D + ie_i(A-D)tDei(A_D)tL(t).
V. Рассмотрим решение задачи Коши в виде
eiAte-iDt = L(t)ei(A “D)t,
L(0) = I.
Продифференцировав обе части уравнения, получим:
iAeiAte_iDt — ieiAte _iDtD =
= ■dL-ei(A" D)t + iL(t)(A - D)ei(A _D)t;
- ieiAte iDtD + iDeiAte
iAte-iDt _ dLei(A-D)t;
dt ;
-iL(t)ei(A-D)tD + iDL(t)ei(A“D)t = d-ei(A-D)t.
m
РИ, 2004, № 2
67
Значит, — = -iL(t)ei(A_D)tDe_i(A“D)t + iDL(t). dt
Выводы
Полученные модели для корреляционных функций нестационарных случайных процессов могут быть использованы для моделирования гауссовских процессов с заданными свойствами нестационарности, а также для моделирования статистических свойств нестационарной случайной среды, в которой распространяются звуковые или электромагнитные волны.
Отдельный интерес представляет задача фильтрации или прогноза таких нестационарных случайных процессов, к которым прибавляется аддитивный стационарный белый шум.
Предлагаемый новый метод моделирования некоторых классов нестационарных случайных процессов при помощи пары некоммутирующих операторов расширяет прикладные возможности статистики случайных процессов.
Литература: 1. Лившиц М. С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовом пространстве. X.: Изд-во ХГУ, 1971. 160 с. 2. Putman C. R. Commutation Properties of Hilbert Space Operators and Related Topics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. New York, 1967. 167 p.
3. Livsic M. S, Waksman L. L. Commuting nonselfadjoint operator in Hilbert space // Lect. Notes Math. 1987. № 1272. 115 p. 4. Livsic M. S., Kravitsky N., Markus A., Vinnikov V. Theory of commuting nonselfadjoint operators. Kluwer academie publ. London. 1995. 332 p. 5. ZolotarevV. Triangular models of systems of double commuting operators. Akad. Nauk Armian, SSR Dokl. 63 (1976). P.136-140.
Поступила в редколлегию 09.02.2004
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Янцевич А.А.
Петрова Анжела Юрьевна, соискатель, преподаватель кафедры математики и математического моделирования Харьковского гуманитарного университета «Народная украинская академия». Научные интересы: моделирование случайных процессов. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Лермонтовская, 27, тел. 16-44-
09.
УДК 517.9
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ КОНКУРИРУЮЩИХ ПОПУЛЯЦИЙ
ЯЛОВЕГА И.Г._________________________
Проводится численный анализ и моделирование динамики численности двух конкурирующих популяций при воздействии внешних и внутренних факторов. Описываются результаты, которые дают представление о том, как, меняя характеристики процесса, можно достичь равновесия численности обоих видов.
1. Введение
Одной из основных задач экологии является исследование численности популяции при изменении ее внутренних свойств и влиянии окружающей среды. Известно много приложений математики в биологии [1-3]. Методы, разработанные с помощью теории вероятностных процессов, играют большую роль в развитии математической биологии. Одной из важных экологических проблем является взаимодействие между видами, например конкуренция за общие источники пищи или взаимоотношения хищник—жертва. Классический детерминистский анализ многих проблем взаимодействия между видами провели еще в 20-х и 30-х годах Лотка и Вольтерра. В настоящее время пытаются проводить анализ вероятностными методами, однако эта задача значительно сложнее, чем изучение простых процессов размножения и гибели. Обычно начинают с построения какой-либо детерминистской модели, а затем пытаются определить, где в эту
модель наиболее целесообразно включить вероятностные элементы, чтобы сделать ее более реалистичной [1,2].
Биологические сообщества состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Обычно индивидуумы этих сообществ оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, которыми они питаются. Они могут взаимно оказывать друг другу помощь. Все это входит в общее явление борьбы за существование.
Количественный характер этого явления проявляется в заданной среде в виде изменений численности индивидуумов, составляющих разные популяции. При одних условиях эти изменения состоят из флуктуаций вокруг средних значений, при других— сводятся к исчезновению или прогрессирующему увеличению некоторых видов.
Проблема оказывается весьма сложной. Существуют периодически меняющиеся условия среды, зависящие от времени, которые порождают вынужденные колебания численности индивидуумов различных видов. Но наряду с этими внешними периодическими условиями существуют причины внутреннего характера со своими собственными периодами, не зависящие от внешних причин или дополняющие их. Так, некоторые инфекционные болезни, например, малярия, имеют периодический характер, который нельзя приписать изменениям условий среды. Исследования таких ситуаций объясняет и подтверждает этот взгляд.
Целью исследования является нахождение таких значений характеристик процесса и условий среды, при которых равновесие достигается быстрее или, наоборот, медленнее, в зависимости от поставленной задачи.
68
РИ, 2004, № 2
