Численный анализ решений системы уравнений математической модели процесса рождения и гибели конкурирующих популяций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Значит, — = -iL(t)ei(A_D)tDe_i(A“D)t + iDL(t). dt

Выводы

Полученные модели для корреляционных функций нестационарных случайных процессов могут быть использованы для моделирования гауссовских процессов с заданными свойствами нестационарности, а также для моделирования статистических свойств нестационарной случайной среды, в которой распространяются звуковые или электромагнитные волны.

Отдельный интерес представляет задача фильтрации или прогноза таких нестационарных случайных процессов, к которым прибавляется аддитивный стационарный белый шум.

Предлагаемый новый метод моделирования некоторых классов нестационарных случайных процессов при помощи пары некоммутирующих операторов расширяет прикладные возможности статистики случайных процессов.

Литература: 1. Лившиц М. С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовом пространстве. X.: Изд-во ХГУ, 1971. 160 с. 2. Putman C. R. Commutation Properties of Hilbert Space Operators and Related Topics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. New York, 1967. 167 p. 3. Livsic M. S, Waksman L. L. Commuting nonselfadjoint operator in Hilbert space // Lect. Notes Math. 1987. № 1272. 115 p. 4. Livsic M. S., Kravitsky N., Markus A., Vinnikov V. Theory of commuting nonselfadjoint operators. Kluwer academie publ. London. 1995. 332 p. 5. ZolotarevV. Triangular models of systems of double commuting operators. Akad. Nauk Armian, SSR Dokl. 63 (1976). P.136-140.

Поступила в редколлегию 09.02.2004

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Янцевич А.А.

Петрова Анжела Юрьевна, соискатель, преподаватель кафедры математики и математического моделирования Харьковского гуманитарного университета «Народная украинская академия». Научные интересы: моделирование случайных процессов. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Лермонтовская, 27, тел. 16-44-

09.

УДК 517.9

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ КОНКУРИРУЮЩИХ ПОПУЛЯЦИЙ

ЯЛОВЕГА И.Г._________________________

Проводится численный анализ и моделирование динамики численности двух конкурирующих популяций при воздействии внешних и внутренних факторов. Описываются результаты, которые дают представление о том, как, меняя характеристики процесса, можно достичь равновесия численности обоих видов.

1. Введение

Одной из основных задач экологии является исследование численности популяции при изменении ее внутренних свойств и влиянии окружающей среды. Известно много приложений математики в биологии [1-3]. Методы, разработанные с помощью теории вероятностных процессов, играют большую роль в развитии математической биологии. Одной из важных экологических проблем является взаимодействие между видами, например конкуренция за общие источники пищи или взаимоотношения хищник—жертва. Классический детерминистский анализ многих проблем взаимодействия между видами провели еще в 20-х и 30-х годах Лотка и Вольтерра. В настоящее время пытаются проводить анализ вероятностными методами, однако эта задача значительно сложнее, чем изучение простых процессов размножения и гибели. Обычно начинают с построения какой-либо детерминистской модели, а затем пытаются определить, где в эту

модель наиболее целесообразно включить вероятностные элементы, чтобы сделать ее более реалистичной [1,2].

Биологические сообщества состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Обычно индивидуумы этих сообществ оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, которыми они питаются. Они могут взаимно оказывать друг другу помощь. Все это входит в общее явление борьбы за существование.

Количественный характер этого явления проявляется в заданной среде в виде изменений численности индивидуумов, составляющих разные популяции. При одних условиях эти изменения состоят из флуктуаций вокруг средних значений, при других— сводятся к исчезновению или прогрессирующему увеличению некоторых видов.

Проблема оказывается весьма сложной. Существуют периодически меняющиеся условия среды, зависящие от времени, которые порождают вынужденные колебания численности индивидуумов различных видов. Но наряду с этими внешними периодическими условиями существуют причины внутреннего характера со своими собственными периодами, не зависящие от внешних причин или дополняющие их. Так, некоторые инфекционные болезни, например, малярия, имеют периодический характер, который нельзя приписать изменениям условий среды. Исследования таких ситуаций объясняет и подтверждает этот взгляд.

Целью исследования является нахождение таких значений характеристик процесса и условий среды, при которых равновесие достигается быстрее или, наоборот, медленнее, в зависимости от поставленной задачи.

68

РИ, 2004, № 2

В статье произведен численный анализ процесса роста и гибели двух конкурирующих популяций. Полученные результаты дают представление о том, как, меняя характеристики процесса, можно достичь равновесия численности двух видов, доминирования одного из них или одинаковой численности обоих видов по достижению ими равновесия. Получены данные о промежутке времени, на котором достигается равновесие при различных характеристиках процесса.

Для того чтобы охарактеризовать единственным числом некоторую популяцию в ограниченной области, сделаем допущение, что индивидуумы каждого вида однородны (пренебрегая возрастом и размерами). Будем также считать, что тип индивидуума не меняется со временем. Вместо разрывных целочисленных функций, представляющих численность индивидуумов, рассмотрим дифференцируемые функции, имеющие в каждый момент времени ту же целую часть, что и разрывные.

2. Постановка задачи

Рассмотрим модель роста двух видов, борющихся за одну и ту же пищу. Сначала изучим рост одного из видов. Если врожденная скорость роста популяции равна m, то ее размер будет возрастать экспо-

_ mt

ненциально и в момент t будет равен n = ae . Если ввести некоторый коэффициент замедления г, то результирующая скорость роста станет равной не m, а m-rn, и основное дифференциальное уравнение примет вид

dn(t) 2

—— = mn(t) - m (t) dt

Решение этого уравнения имеет вид

(1)

n =

г +

m

m ^ -mt 5

7 -г >

(2)

что соответствует логистической кривой [1] . Уравнение (1) перепишем в виде dn(t)

= (Р-f (n))n(t). (3)

Здесь Р обозначает врожденную скорость размножения, а некоторая функция f(n) — скорость гибели. Функция f(n) является строго возрастающей функцией аргумента n, равной нулю при n = о. Эта функция учитывает влияние окружающей среды, и ее значение фиксирует количество потребленной пищи или занятого пространства существующими n индивидуумами в момент t.

Рассмотрим теперь рост двух конкурирующих видов Nj и N2 , потребляющих одну и ту же пищу, в предположении, что рост каждого вида может быть описан уравнением логистического вида (2). Пусть nj(t) и n2 (t) — число индивидуумов в Nj и N2 соответственно в момент t. Выпишем систему дифференциальных уравнений [1], каждое из которых аналогично выражению (3):

РИ, 2004, № 2

dnifr)

dt

dn2(0

dt

( Pi -f1 ( n1,n2 )) n1 (t)

:( P 2 - f2 ( n1,n2 )) n2 (t)

(4)

Положительные постоянные P1 и P 2 являются интенсивностями рождения, f1 и f2 — скоростями гибели видов N1 и N2 соответственно. Будем рассматривать величины f1 и f2 как линейные функции размеров обеих популяций [1,2]:

fi =Рi1n1 + М-i2n2 , i = 1,2 . (5)

Известно [1], что уравнения (4) имеют стационар-

dn1(0 _ 0 dn^0 _ 0 ^

ные решения при —d(— _ 0 и —dt— _ 0 . А очка

равновесия [1] имеет координаты

(Л,Б) =

Р1Й22 _Р2М-12 Р2М-11 _Р1Й21

М11М22 _ М12М21 М11М22 _ М12М21,

(6)

при условии, что ниц22 ^ И12М21. Равновесие является устойчивым при ниц22 > И12М21. Если же М-ПМ-22 < И12М21 , то равновесие будет неустойчивым и точка (nb n2) в конце концов переместится в зависимости от начальных условий на одну из осей Щ или n2 .

С течением времени возможно изменение значений Мть М 22, М-12, М 21. При этом имеет смысл рассмотреть случаи, когда условие равновесия принимает граничные значения, а именно рпц22 21 и

М-11М-22 >> Н-12М-21, как в таких ситуациях будет достигаться равновесие.

3. Численный анализ процесса рождения и гибели двух конкурирующих популяций при различных характеристиках

Представляет интерес исследование процесса на промежутке времени, содержащем точку равновесия. Решение этой задачи может быть найдено численными методами. Для этого воспользуемся пакетом «MATHEMATICA 4», покажем на графиках изменение численности популяций при определенных воздействиях извне. Запишем систему уравнений (4) в виде:

dn1(0

dt

P1n1 (t) - Н-пЩ2 (t) “P12n1 (t) n2 (t);

dt

P2n2 (t) - И22n22 (t) -P21n1 (t) n2 (t). (7)

Меняя значения р,ц, ц 22, И12, М 21, проследим за поведением процесса рождения и гибели двух конкурирующих популяций. Заметим, что при изменении характеристик окружающей среды естественным путем или путем целенаправленных воздействий извне, таких, например, как изменение температуры, внедрение вируса, регулярное ис-

69

требление и т.п., изменятся и значения Нгь М 22, М-12, М 21 • Соответственно процесс рождения и гибели двух конкурирующих популяций будет развиваться иначе.

Рассмотрим случай, когда скорости размножения Pi и р2 популяций Ni и N2 равны, численности популяций в начальный момент времени также одинаковы. Зададим численно определенные значения Pii, р22, М-12, М21 , такие, чтобы у нас выполнялось условие рпр22 > М12М21. Значения Р1 и Р2 положим равными единице; промежуток времени, на котором наблюдается процесс, возьмем в пределах от 0 до 100 (условных единиц). Так как численности популяций в начальный момент времени равны и достаточно велики, то их можно считать равными единице.

Для численного исследования процесса рассмотрим систему (4) с наиболее характерным набором значений М11> М 22, М12, М 21 UL М11М22 >М12М 21 :

р-11 = 0,04, р 22 = 0,02, Р12 = 0,001, р 21 = 0,02 .

Изучим поведение процесса при различных значениях Р11 .Нас интересует время, за которое популяции N1 и N2 достигнут равновесия, и различие в численности популяций в равновесном состоянии . Результаты данных численных исследований представлены на рис. 1-4 (жирная кривая на графиках — вид N1, тонкая — N2 ). На этих рисунках представлены графики решений системы (7). Значения параметров рп, р22, Р12, М21, при которых ищутся решения, выписаны на каждом из них. На каждом из графиков видно, начиная с какого времени наступает стабилизация процесса.

Из проведенных расчетов (см. рис. 1-3) видно, что при параметре рп = 0,039 популяции достигают равновесия одновременно, и по численности они совпадают. Также можно заметить, что в зависимости от того, является ли значение рп больше или меньше 0,039, меняется вид, больший по численности. Так, если рп > 0,039 , доминирующим видом будет N2 , если рп < 0,039 — доминирующим видом будет N1. Графики на рис. 1-3 показывают поведение процесса при рп > 0,039 . Также с помощью численных расчетов получено, что при Рп > 1 численность популяции N1 стремительно уменьшается, в то время как численность популяции N 2 достигает равновесия достаточно быстро и по достижению равновесия велика. На рис.4 показано поведение процесса при рп < 0,039 .

Рис. 1. График роста популяций N1 и N2 ( М11 = 0,1 М22 = 0,°2, М12 = 0,°01, М21 = 0,02 )

Рис. 2. График роста популяций N1 и N2

(рп = 0,04, р 22 = 0,02, Р12 = 0,001, р 21 = 0,02 первоначальные значения характеристик)

t

Рис. 3. График роста популяций N1 и N2 ( М11 = 0,039 Р22 = Ф02,М12 = 0,00Г М21 = 0,02 ) (М11 = 0,04, М22 = 0,021М12 = 0,001 М21 = 0,02 )

П1'П2

Рис. 4. График роста популяций N1 и N2 (М11 = 0,02, М22 = С02, М12 = 0,001, М 21 = 0,02 )

РИ, 2004, № 2

70

Из графика, представленного на рис. 4, видно, что при уменьшении рц численность популяции N! увеличивается и достигает равновесия быстрее, тогда как численность популяции N2 уменьшается и стремится к 0. Получаем, что при значениях Ри < 0,02 популяция N 2 почти вымирает, а N 1 достигает равновесия достаточно быстро и численность по его достижении велика.

На рис. 5-7 и на рис. 3 представлены графики поведения процесса при изменениях значения р 22, остальные значения рп = 0,04, р^ = 0,001, р21 = 0,02 остаются постоянными. Также как и на рис. 1-4, на рис. 5-7 кривая роста популяции Nj на графиках жирная, кривая роста популяции N 2 -тонкая.

t

Рис. 5. График роста популяций Nj и N2

ными методами получено, что при Р22 > 1 численность популяции N 2 стремительно уменьшается, в то время как численность популяции Nj достигает равновесия достаточно быстро и по его достижению велика. На рис. 7 представлен график поведения процесса при р 22 < 0,021.

Рис. 7. График роста популяций N1 и N2 ( Мы = 0,°4, М-22 = 0,°01,412 = 0,001,421 = 0,02 )

Из рис. 7 видно, что при уменьшении р22 численность популяции N2 быстро увеличивается, но достигает равновесия медленней, тогда как численность популяции N1 уменьшается и стремится к 0. Получаем, что при значениях р22 < 0,01 популяция N1 почти вымирает, а N2 достигает равновесия медленней, но численность по его достижении очень велика.

( 411 - Ф04, 422 - 0,5 412 - 0,001 4 21 - 0,02) 4. Выводы

Рис. 6. График роста популяций N1 и N2 (411 = 0,04422 = 0,03412 = 0,001421 = 0,02 )

Из проведенных расчетов (см. рис. 5, 6 и рис. 3) видно, что при параметре р 22 = 0,021 популяции достигают равновесия одновременно, кроме того, по численности они совпадают. Также можно заметить, что в зависимости от того, является ли

значение Р 22 больше или меньше 0,021, меняется вид, больший по численности. Так, если р 22 > 0,021 , доминирующим видом будет N1, если

р 22 < 0,021- доминирующим видом будет N2 . Графики, представленные на рис. 5-6 и 3, показывают поведение процесса при р22 > 0,021. Числен -

Произведенный выше численный анализ предполагал, что все характеристики процесса, кроме значений рп , р22, на исследуемом промежутке времени не изменялись. Аналогично может быть произведен численный анализ при изменении значений Р12 , р 21 .

Научная новизна. Проведенный в работе численный анализ системы (1) раскрывает связи между значениями характеристик системы и равновесными состояниями исследуемых видов. Этот анализ ранее не производился.

Практическая значимость. На практике часто возникает необходимость нахождения таких условий среды, при которых должна выжить одна из существующих популяций или обе популяции должны жить, при этом не превышая какой-то наперед заданной численности. В этих случаях как раз и применим приведенный в статье численный анализ решений при изменении определяющих характеристик процесса.

Сравнение с аналогами. Исследования в данной области в основном сводятся к рассмотрению конкретных моделей и изучению поведения процесса во времени. В представленной же работе показано, как, меняя определенные характеристики процесса, достичь равновесия численности двух конкурирующих видов, доминирования одного из них или одинаковой численности.

РИ, 2004, № 2

71

В рассмотренной детерминистской модели вопрос о том, какая популяция выживет, зависит, прежде всего, от того, в каком направлении начинает развиваться процесс. Если принять во внимание изменения, которые могут возникнуть при стохастической формулировке этой задачи, то следует ожидать, что случайные изменения в начале процесса окажут существенное влияние на конечный результат. Интерес представляет задача о достижимости равновесного состояния для процесса, описывающего стохастическую модель роста и гибели двух конкурирующих популяций, при изменении значений характеристик._______

УДК 519.6

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ

ВОССТАНОВЛЕНИЯ

ЗАВИСИМОСТИ

ГРИЦЮК В.И.

Рассматривается задача восстановления функции по её измерениям, содержащим случайную ошибку по независимой выборке ограниченного объема. Приближение ищется в виде отрезка ряда по заданной системе функций. Приводятся критерии подбора порядка модели, использующие ту или иную априорную информацию, и результаты экспериментального исследования эффективности критериев.

1. Введение

Решение вопроса выбора порядка модели, занимающего центральное место при выборе модельной структуры, является наиболее существенным условием, гарантирующим успешное решение прикладных задач. Приближение для восстанавливаемой функции находится в виде отрезка ряда по заданной системе функций. Мерой точности может служить среднеквадратическая ошибка прогноза функции на всем отрезке или ошибка прогноза в тех же точках. Актуальным является выбор алгоритма оценивания по выборке ограниченного объема. Даже в частном случае объекта конечной размерности целью решения является не отыскание истинного порядка N, а построение модели, дающей наилучший прогноз (её порядок обычно меньше N). Использование априорной информации о восстанавливаемой функции приводит к выбору подходящей модели.

Таким образом, целью настоящей работы является конкретизация результатов методологии восстановления зависимости, основанной на среднеквадратичной ошибке прогноза, при построении полиномиальной регрессии по выборкам конечного объема и построение на их основе реализуемых алгоритмов при различных априорных предположениях.

2. Минимизация достигнутого значения среднего риска

Для обоснованного применения на конечных выборках данных без обременительных предположений о статистических свойствах переменных изве-72

Литература: 1. Бейли Н, Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. 326 с. 2. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с. 3. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. 536 с.

Поступила в редколлегию 26.03.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руденко О.Г.

Яловега Ирина Георгиевна, аспирантка кафедры ПМ ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Новгородская, 20, кв. 14, тел. 30-44-41.

стен критерий, который получен Вапником, как равномерно сходящаяся оценка сверху теоретической функции среднего риска с помощью функции эмпирического риска. Для задачи выбора структуры регрессии этот критерий может быть записан в виде

J(ф) ■« — 1 -

J э (Ф)_______

N(lnn/N +1) - ln(1 -т) n

(1)

J э (ф) — функционал эмпирического риска:

1 n 2

Jэ(Ф) =-Е(Уі-ф(хД) , (2)

ni=1 ’ w

Ф = G(T) — результат оценивания с помощью алгоритма G по выборке T; N — размерность пространства, на которое отображается выборочное пространство с помощью операторов из класса % алгоритмов оценивания функции f по выборкам объёма n ; т — вероятность, с которой справедливо неравенство. Метод поиска минимума гарантированного наименьшего значения функционала среднего риска с использованием неравенства (1) описан в [1] и называется методом структурной минимизации риска. Другим способом оценки по выборке T значения функционала среднего риска является процедура, результатом применения которой есть выражение

1 n i 2

W = -Z(уі -f (xi))2, (3)

ni=1 ’ w

называемое величиной скользящего контроля [1]. Известно, что величина (3) является несмещенной оценкой математического ожидания среднего риска при фиксированном алгоритме оценивания функции по независимой выборке объема n-1. Для линейных алгоритмов вместо (3) предложено выражение

n2 Z(Уі -аіУ)2

Cv = ^-----------, (4)

(n - SpA)* 1 2

где A — матрица размера n х n, осуществляющая линейное оценивание вида y = Ay, ai — i-я строка матрицы A. Выражение (4) называется критерием взаимной значимости. Хотя величина Cv несме-щена относительно математического ожидания сред-

РИ, 2004, № 2