О нечетких моделях Takagi - Sugeno Текст научной статьи по специальности «Математика»

О НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЯХ TAKAGI - SUGENO

В.А. Горюшкин

Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, г. Москва, 121552

e-mail: [email protected]

Рассмотрено понятие нечеткой модели Takagi - Sugeno. Построен пример нечеткого регулятора нелинейной системы. Изучен вопрос об асимптотической устойчивости состояния равновесия нелинейной системы. Результаты могут найти применение при решении задач устойчивости нелинейных систем.

Ключевые слова: теория управления, нелинейные системы с нечетким управлением, нечеткие модели Takagi - Sugeno, устойчивость, нечеткий наблюдатель, нечеткий регулятор.

Takagi - Sugeno fuzzy models. V.A. Goryshkin (Russian State Technological Universtiy (MATI), Moscow, 121552)

A concept of Takagi - Sugeno fuzzy model is discussed. An example of nonlinear system fuzzy controller is constructed. The question of asymptotic stability of nonlinear system equilibrium state is studied. The results may be used in problem solving of nonlinear systems stability.

Key words: control theory, nonlinear fuzzy control systems, Takagi - Sugeno fuzzy models, stability, fuzzy observer, fuzzy controller.

В теории управления особое внимание всегда уделялось проблеме построения математических моделей и алгоритмов управления при отсутствии достаточных знаний об объекте управления. В последнее время в связи с изучением слабо формализованных сложных систем наблюдается рост интереса к различным аспектам проблемы интеллектуального управления.

Одно из направлений, ориентированных на моделирование на основе экспертных знаний и принятие решений в условиях нечеткости и неопределенности, связано с теорией нечетких множеств Заде. Одним из важнейших приложений нечетких множеств является анализ и построение нечетких регуляторов и систем управления различными процессами.

Важной задачей при исследовании систем управления, имеющих нелинейности и неопределенности, является задача определения состояния системы в зависимости от начальных данных. Для линейных систем эта задача решается построением линейного наблюдателя для наблюдаемой системы. Для некоторых классов нелинейных систем с нечетким управлением разработаны методы построения нечеткого управления.

В теории линейных систем одним из наиболее важных результатов является так называемый принцип разделения, состоящий в том, что построение регулятора и наблюдателя может быть выполнено раздельно вне зависимости от устойчивости замкнутой системы [1, 2]. Подобный принцип разделения также применим для некоторых классов нелинейных систем с нечетким управлением. В настоящей работе рассмотрен основанный на модели Takagi - Sugeno пример использования принципа разделения для управляемых систем, используемых в различных отраслях техники и естествознания.

Нечеткие модели Takagi - Sugeno представляют собой нелинейные системы, способные аппроксимировать широкий класс систем с помощью совокупности продукционных правил вида ЕСЛИ ... ТО.

Основная особенность нечетких моделей Takagi - Sugeno состоит в описании локальной динамики каждого линейного правила линейной системы. При построении непрерывных моделей Takagi - Sugeno используются нечеткие предикатные правила, записанные в виде

ЕСЛИ z\(t) есть Мц и ... и zp(t) есть Mip,

ТО x(t) = Atx(t) + В,u(t),

y(t) - С. x(t), i-1, 2, г.

Здесь Мц - нечеткое множество, г - число нечетких правил, x(t)eRn - фазовый вектор, u(t)eRm - вектор входа, y(t)&Rq - вектор выхода, Ai&Rnxn, H,eR" Ci&Rq/'n, z(t) = (zi(t),..., zp(t)) - вектор известных переменных посылок, которые могут быть функциями фазовых переменных, внешних возмущений или времени.

Нечеткие модели Takagi - Sugeno обладают высокими аппроксимационными способностями. Посредством увеличения количества правил п удается описать с очень высокой точностью нелинейные динамические процессы. Кроме этого, усредняющие свойства механизма вывода у и специфический вид функций принадлежности позволяют сделать модели Takagi - Sugeno малочувствительными к погрешностям измерений. Являясь нелинейными и непрерывными функциями входных переменных и параметров, нечеткие модели Takagi - Sugeno позволяют аналитически исследовать устойчивость нелинейных систем. Одним из методов исследования устойчивости нечетких систем является метод линейных матричных неравенств, который успешно используется для анализа устойчивости однородных непрерывных и дискретных нечетких систем. Удобство метода линейных матричных неравенств во многом связано с возможностями его численной реализации в интегрированной среде МА^АВ.

В качестве примера построения нечеткого регулятора рассмотрим следующую нелинейную систему:

хх (?) = х2 (?) + х32 (?) + х4 ? +1 и ? ,

х2 (?) = Зх, (?) + х2 (?),

х3 (?) = х4 (?) х4 (?) + х3 (?), (1)

х4(?) = х3(?) + х2(?),

уг(0 = х4(?) + 1 х2 ? +х4(?),

^2(?)=Хг(?) + 2хз(?).

Предположим, что x1(t) и x3(t) в (1) наблюдаемы, при этом x2(t) и x4(t) оцениваются нечетким наблюдателем. Также предположим, что

х1 (?) е -а, а , х3 (?) е -Ь,Ь , (2)

где a и Ь принимают положительные значения. Нелинейные члены х) и х^(?) можно представить в виде

х2^)=Мп х2(?) -а2 +Мп х2(?) -О, х3(?)=М21 х3(?) -Ь4+М22 х3(?) -О,

где

Мп х2(?) , Ми х2(?) , М21 х3(?) , М22 х3(?) є 0,1 , Мп х2(?) +М12 х2(?) =1, М21 х3(?) +М22 х3(?) =1. Решая эти уравнения, получим:

М,, X, ? = —

х,2 ?

Мі -1 • а2 >

х,2 ?

М,„ х, ? = 1 —М,, х ? =1----------

42 Л1 - А -""Чі ■'Ч ‘ * 2

а

х4 ?

М., х, ? =-

21 3 64 ’

X4 ?

х, ? =1 -М., х, ? =1--3

22 Л3 - А 21 Л3 - Ь4 '

При этом Мп, М12, М21 и М22 могут быть интерпретированы как функции нечетких множеств. Тогда нелинейная система представляется нечеткой моделью Takagi - Sugeno, задаваемой с помощью правил вида:

Правило 1.

ЕСЛИ x1(t) есть М11 и x3(t) есть М12,

т0 [•¿(0 = Дх(0 + 51м(0,

1Х0 = с1х(0.

Правило 2.

ЕСЛИ Х\(1) есть М11 и х3(0 есть М22,

то |^) = 4х(0+52м(0, ІХ0 = с2х( 0-

Правило 3.

ЕСЛИ Хі(0 есть М\2 и х3(0 есть М2Ь

то И0 = 4х(0+£3и(0, |Я0 = с3х(0.

Правило 4.

ЕСЛИ х^О есть М\2 и х3(0 есть М22,

ТО {±(0 = 4Х(0+ДМ0,

ІХ0 = СА 0-

Здесь

х(0= хДО, х2(0, х3(0, х4(0

Го

4 =

1 0 0 > 'а4 +\л

1 0 0 0 > с1 = О + ■'Т о

а4 > ві =

0 1 ~ і 0 7 1 У0 1 2 0у

1 0 0; V 0 V

4 =

"о 1 ъ2 0^ V +і^

3 1 0 0 0 О + ■'Т сз о

0 0 1 а4 , В2 = 0 , с2 = ч° 1 2 °У

1 ъ1 V 0 У

4 =

Го і о о^

3 10 0

0 0 10 0 10 0

В,=

ГП

о

о

чО/

с,=

0 10 1 0 12 0

4 =

"о 1 ъ2 0^ гп

3 1 0 0 > В4 = 0

0 0 1 0 0

1 ъ2 Оу ,0,

с4 =

ґо 1 о О 0 12 0

V

/

Нечеткая модель, задаваемая указанными правилами, является точным представлением нелинейной системы (1) при условиях (2) в случае, когда исходные переменные не зависят от оценки переменных X () и X (*) ■

При численном моделировании можно задавать различные значения а и Ь в рамках использования изучаемой технической системы.

Построенный нечеткий регулятор делает устойчивой систему управления в целом, при этом оценка нечеткого наблюдателя состояния нелинейной системы является оценкой, которая характеризуется отсутствием стационарных ошибок.

В общем случае ситуация следующая.

Пусть

т

0

г Х(/) = ^/2. z(Y) Ах(і) + Вм(і) , і=\ г у(0 = & с.х(0, /=1 (3)

7 ^ 10‘ где к г(0 = Г , Xй7' /=1 р пі г{() = ]^[А/^ (0) для всех ґ. j=l

При построении нечеткого наблюдателя требуется [3], чтобы выполнялось соотношение

х(0 - Щ) —»■ О

при ? —> со, где .€(/) - положение вектора, определенное нечетким наблюдателем. Это условие гарантирует стремление к нулю стационарной ошибки. Структура нечеткого наблюдателя для непрерывной нечеткой системы задается с помощью правил следующего вида:

ЕСЛИ (г) есть Ыл и ... и 2 (г) есть Ы1р ,

то 1(0=430+Дм(0+*,СК0-Я0)

Я0 = СД0, /=1,2,..., г.

Если вектор г(ґ) не зависит от состояния переменных, определенных нечетким наблюдателем, то при наличии нечеткого наблюдателя регулятор примет вид

г и(о=-^к(2(тт- /=1 (4)

Соответствующие правила управления запишутся следующим образом: ЕСЛИ ^ (г) есть ЫЛ и ... и 2 (г) есть М ,

г то и(о=-^кш)кт. /=1

Нечеткий наблюдатель для непрерывной нечеткой системы задается следующим образом:

1(0 = АДО+В,и( 0+к, ш - Я0) Я0 = СД0, г =1,2,..., г. (5)

С учетом (3)-(5) расширенная непрерывная система записывается в виде

Р(о=£1>, *(о *, *(о с„т, ¿= 1 ]-\ (6)

(А-ВК /і,/-' ^ где (3(0= х(0, а(0 . ('1/ = , а(0 определяется уравнением и Л Л . . V 1 1 J )

1=1 І=1

а К, ^ находятся с помощью техники выпуклой оптимизации на основе линейных матричных неравенств [3].

С помощью результатов работ [3] и [4] устанавливается следующая теорема.

Теорема. Если для системы (4) существует положительно определенная матрица Р такая, что

ОтР + РО <0,

II II 5

(д«л, + <у) ^(д«л, + <у)<°. «МгЧ*0,

то состояние равновесия системы (6) асимптотически устойчиво в целом.

Приведенная теорема является обобщением теоремы об асимптотической устойчивости

17

состояния равновесия на случай, когда учитывается наличие нечеткого наблюдателя. Имеют место также аналоги сформулированной теоремы для обобщенных моделей Takagi - Sugeno (а именно, дескрипторных моделей) как при наличии, так и при отсутствии нечеткого наблюдателя.

Литература

1. Driankov D., Hellendorm H., Reich FrankM. An introduction to fuzzy control. - Berlin: Springer, 1996.

2. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. - 1992. - V. 45. - № 2. - Р. 135-156.

3. Tanaka K, Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality pproach. - N.Y.: Wiley, 2001.

4. Tanaka K, Wang H.O. Fuzzy regulators and fuzzy observer: a linear matrix inequality approach // Proc. Of 36th IEEE Conference of Decision and Control. V. 2. - San Diego, 1997. - P. 1315-1320.