Статистические характеристики полей напряжений деформации при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

№2

2006

539.376

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ

Д-р физ-мат. наук, проф. В. П. РЛДЧЕНКО, каш), физ-мат. наук, доц. Н.Н. ПОПОВ

%

На основе метода линеаризации в корреляцией нам приближении получено решение плоской задачи установившейся ползучести стохастически неоднородной среды. Стохастичность введена в определяющее соотношение установившейся ползучести при помощи случайной функции двух переменных. Проведено исследование случайного поля напряжений для плоскости при двухосном погружении в зависимости от степени неоднородности и показателя нелинейности материала, а таюк'е параметра нагру-жения. Найдены оценки средних значений и дисперсий случайного поля деформаций.

On basic of linearization method in correlation approach the solution was found for flat task of steady-state creep of stochastically nonuniform medium. Stochasticily used in determined ratio of steady-state creep by means of two variables function. Depend upon the degree of nonuniform and index of nonlinearity as well as parameter of weighting the research of random stress field was made for flatness under biaxial stress. Marks of average values a>} I dispersion of random deformation field was found.

Вопросы расчета на прочность и надежность элементов конструкций в условиях ползучести требуют полной информации о реологических характеристиках материалов, носящих явно выраженный стохастический характер, начиная с атомно-молекуляриого уровня и заканчивая уровнем элемента конструкций [1—4]. Широко используемые для оценки ресурса безопасной эксплуатации элементов конструкций феноменологические теории ползучести, как правило, носят детерминированный характер и не учитывают явления разброса для деформации ползучести, перемещений, времени разрушения и т.д. Неточности детерминированного расчета на прочность покрываются, например, назначением коэффициента запаса прочности, который во многих случаях выбирается без достаточных оснований. Отсюда естественным образом возникает задача разработки методов решения стохастических краевых задач ползучести и методик оценки показателей надежности элементов конструкций на их основе.

Существующие подходы решения стохастических краевых задач ползучести базируются на методе статистических испытаний (метод Монте-Карло), который требует большого объема экспериментальных данных, и сводятся к многократному численному решению детерминированных краевых задач для сгенерированных случайных реализаций с последующей статистической обработкой результатов [5—7]. Однако при численных методах решения краевых задач безусловно часто теряется внутренняя суть задачи, всеобъемлющая трактовка результатов в зависимости от варьируемых параметров. В этом плане аналитические методы решения стохастических краевых задач ползучести позволяют в более полном объеме трактовать и полученные результаты, и место этих результатов (в целом) в анализируемом явлении. Поэтому нами был выбран аналитический подход к решению стохастических краевых задач установившейся ползучести применительно к задаче о двухос-

№2

2006

ном растяжении плоскости из стохастически неоднородного материала. При этом вводятся ограничения о малости упругих деформаций и считается, что ими допустимо пренебречь. Частный случай этой задачи при равномерном растяжении плоскости в направлении главных осей рассматривался в [8].

Определяющее соотношение ползучести принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения в стохастической форме [8]

Ри

Л 1 ^

(1 + а £/(*,,х,)), (1)

где я — интенсивность напряжений,

$2 = 0,5(Зет. а. — ст.-сг..),

' \ 0 и и ]] / '

Ру — компоненты тензора деформаций ползучести, ст. — компоненты тензора напряжений, 6,у —символ Кронекера, и(х{)х2) —случайная однородная функция, описывающая реологические свойства материала с математическим ожиданием {£/) = 0 и дис-персиеи (и2) = 1; (X — число, играющее роль коэффициента вариации реологических свойств материала; с, п — постоянные материала; точка означает дифференцирование по времени. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2.

Компоненты тензора напряжений а., удовлетворяют уравнениям равновесия

а/м = 0 '

(2)

а компоненты тензора скоростей деформаций рг — условиям

А1Аы Pjk.ii =°-

(3)

которые получаются из уравнений совместности для деформаций путём дифференцирования по времени. Здесь А,, — единичный антисимметричный псевдотензор

\

О 11

V

1 о

Пусть тензор напряжений представлен в виде суммы детерминированного слагае-

^ и ишую^яимм гг

а и= + > М = а°и> № = 0- (4)

мого а? и флуктуации ст*.

Далее нелинейная задача ползучести (1)—(3) линеаризуется относительно флук-туаций напряжений. С целью физичекой линеаризации функция У1"1 разлагается в степенной ряд и в этом разложении учитываются только линейные члены. Для стохастической линеаризации определяющего соотношения (1) использовалось корреляционное приближение теории случайных функций, т.е. предполагалось, что произведения-

эк *

ми вида а.]ак1, а11аи допустимо пренебречь. В итоге определяющие соотношения ползучести (1) будут иметь вид

№2

2006

1

Р21 =т«о ' [к +2ст22 ~ап + +°2г1г)кг >

_ ¥ п-1 *

Р 12 «О ^12*

(5)

где = (а° )2 + (а°2)2 - , /, = 2а° - а»2, /2 = 2а°2 - а° , к, = ^^

2У

Флуктуации тензора скоростей деформаций /?* = р.. - определяются формулами

1

р22 — -с^1" (2а22 — сти +(о11/1 Н-а22/2+ а£Л21,

3

♦ * л — | *

Р12 ~ ^12

(б)

а флуктуации тензора напряжений, согласно (2), (4), удовлетворяют уравнениям

= 0 •

(7)

Если в уравнения совместности для флуктуаций скоростей деформаций АуАир*кМ =0 подставить соотношения (6), то можно получить

а11,22 (2 + £,/,) + а22 23 (- 1 + к{12) + сг*1л 1 (-1 + к21л) +

+ст22лI + к212) — 6сг*2л 2 — -а(С/Л2/, + [/Л1/2). (8)

Если ввести функцию напряжений Т7 для флуктуаций тензора напряжений

то вместо системы (7),(8) получим единственное дифференциальное уравнение относительно функции Т7

Пусть функция С/ (хрх>), с помощью которой задается-случайное поле возмущений механических свойств материала, является однородной и изотропной. Тогда она допускает спектральное представление в виде интеграла Фурье—Стилтьеса [9]

и (л",д2) = /(11)

X

причем для случайного дифференциала ¿Лр(и)ри)2) выполняется условие стохастической ортогональности

^ф(ШрС02)^ф(Шра)2)) = 5/7(сор 0)2)6(0)5 — о)2)б(о)2 — о)2)г/о)|Г/со2^/о)|^/оУ2,

2006

№2

где (со,, со2) —спектральная плотность поля, 3{х) —дельта-функция Дирака, а черта

означает комплексное сопряжение.

При быстро изменяющемся случайном поле микронеоднородностей и (х], х2) решение линеаризованной задачи (10) также будет однородным и его можно искать в виде

F=J ¡eWWafa^dvíía,,^), (12)

•—ОО

где а(а>1,со2) - неизвестная весовая функция, которую можно вычислить из линейного уравнения при подстановке представлений (11), (12) в соотношение (10)

аоз,4 (2 + к212) + 2а0),203з (2 + к{12) + асо2 (2 + к111) = а(а+ ш,2/2). (13)

Из (13) получаем

а

а -

(cDj/, + cof/2

ш*(2 + кг12) + 2cofo)2 (2 + ) + со2 (2 + кх1х)'

Таким образом, компоненты тензора флуктуаций напряжений согласно (9), (12) можно вычислить по формулам

+оо

= JJe'(^—-)flm;,(cüptó2>/(p(0Jp032), (14)

где ап ~ -со2а, а22 = -со^а, a12=0)1Cü2a.

При помощи (14) и известной формулы для вычисления дисперсий напряжений а

/пп

D К„ ]=(b

пт

о

получаем

D ] = J J4 р С02)а2ш (ш1,0), УФ (íüj, ш2). (15)

Спектральная плотность изотропного скалярного поля V зависит только от модуля волнового вектора со0 = ^о^ + со* , а для дисперсии имеет место равенство [9]

со

Du = 27CJ5(Ü)0)cüo¿CO0 = 1.

о

Если перейти в интеграле (15) к полярной системе координат а^ = tofl eos ср; а)2 = щ sin ф, то он приводится к виду

^ 2 п

D ] = — J Кш (sin ф>COS ф) ¿ф , (16)

где Rm — известная рациональная функция переменных sin ф, созф.

Анализ случайного поля напряжений был проведен при условии, что плоскость растягивается в двух взаимно ортогональных направлениях = а0, = Лет0, где h — параметр, he R.

Для этого случая функции Я 5 входящие в (16), имеют вид

№2

2006

а а0 ((2 — /г)з1п2 ф+ (2/г -1)соз2 ф)$т2 ф

Рц

(2 + к21г)$т4 2(2 + £1/2)соз2ф8т2ф+ (2 + Л1/1)соз4ф '

сш° ((2 — /г)81п2 ф+(2/г-1)со82 ф)соз2 ф (2 + )8]п4 ср+ 2(2 + А,/2)с052ф8т2ф-1-(2 + ^1/1)со$4ф '

аа° Ц2 — /г)з1п2 ф+(2/г-1)соз: ф^тфсовф

(2 4- к212 )Бт4 Ф + 2 (2 + кх12 )соз2 фвт2 ф + (2 + кх1х )соз4 ф '

(17)

7 /л /\ о 1 /о/ 14 о /7-» 7 14/ о^ г (л-1)(2-Л) , (/г — 1)С2/г —1>

где 1{ = (2 - К)а ; /2 = (2/г - 1)а° ; .у" = (/г - //. + 1)(ст°)'; к{ = ----; к2 = ----

Вычисляя численно интеграл (16) с учетом (17) для различных Л, и и а, получаем значения для дисперсий напряжений. В табл. 1 приведены значения безразмерной величины 0[ап]/(асг°)2при различных к и п. Из табл. 2 следует, что разброс напряжений ] существенно зависит от величины 1г = ст^/с®, и, следовательно, от напряжения а22,

причем эта зависимость не монотонная.

Таблица I

Значения £>[ап]/(аст0)2 при различных значениях И и п

п к 2 4 6 8 10 12

-4,00 1,077 0,518 0,315 0,217 0,160 0,125

-2,00 0,419 0,178 0,102 0,067 0,048 0,036

-1,00 0,204 0,076 0,041 0,027 0,019 0,014

-0,50 0,128 0,044 0,023 0,015 0,010 0,008

-0,25 0,099 0,033 0,017 0,011 0,007 0,006

0 0,078 0,025 0,013 0,008 0,005 0,004

0,25 0,065 0,021 0,011 0,007 0,004 0,003

0,50 0,060 0,021 0,011 0,007 0,005 0,003

1,00 0,060 0,031 0,019 0,012 0,009 0,007

2,00 0,037 0,024 0,018 0,014 0,012 0,010

4,00 0,222 0,161 0,127 0,105 0,089 0,077

Значения ^О [а11]//а°, характеризующей относительную величину разброса напряжений как функцию переменных а и п при ¡г -2, приведены в табл. 2. Зависимость

величины

0[а

п-

а° от коэффициента вариации а является линейной при фиксиро-

ванных значениях параметров А и п. С увеличением показателя п степенного закона

ползучести величина

а

и.

а0 уменьшается при любых значениях а .

№2

2006

Таблица 2

Значения величины [а,, /а0 при Н = 2

п а 2 4 6 8 10 12

од 0,048 0,039 0,033 0,030 0,027 0,025

0,2 0,097 0,078 0,067 0,060 0,054 0,050

0,3 0,145 0,116 0,100 0,089 0,082 0,075

0,4 0,193 0,155 0,134 0,119 0,109 0,100

0,5 0,242 0,194 0,167 0,149 0,136 0,126

Оценим величину разброса флуктуации касательного напряженияст* . По условию

п ^

задачи детерминированная часть этого напряжения а12 =0, В этом случае разброс ст12

характеризуется величиной фэ сг12]/а° , значения которой в зависимости от а и п (1г = 2)

приведены в табл. 3. Разброс касательного а12 и нормального аи напряжений имеет одинаковый порядок при фиксированных значениях а и п. Поэтому пренебрегать флук-туациями касательного напряжения с12 не следует, даже если а"2 = 0.

Таблица 3

Значения величины

а

12.

/а0 при 1г ~ 2

я а 2 4 6 8 10 12

од 0,055 0,038 0,030 0,025 0,022 0,019

0,2 0,110 0,076 0,060 0,051 0,044 0,039

0,3 0,164 0,114 0,090 0,076 0,066 0,058

0,4 0,219 0,152 0,120 0,101 0,088 0,078

0,5 0,274 0,191 0,151 0,126 0,110 0,097

Выполним теперь исследование стохастических полей деформаций ползучести. Линеаризованные соотношения для деформаций ползучести при постоянном тензоре напряжений, полученные из (5),

можно представить в виде

Р

№2

2006

Рг2 = ~с<,'о ('; + (-1 + 2)а*

3

II

+

(2 + £2/2)о22 + аШ2),

/1-1 * Р\2 "

(18)

Для математических ожиданий деформаций ползучести имеют место выражения

Р\

0

Рч

1

3

О

Р 22

3

с^и- (р1°2) = р1°2=0.

На основании (18) для дисперсий деформаций ползучести получим

1 Т/1-4 4 т-ч

/,+(2 + Ау,К

1 + Л, /,) ст22 + а Щ

/2 + (-1 + Л2/,) а*, + (2 + ) ст22 + а Шг

Преобразуем первые два уравнения из (20)

9

о

ом Ц^ + Л^у + О

а

1 + к112 )2 + а2/,2 +

+ 2^сг^С/^а/, (2 + кх1у) + 2^а^ст22^(2 + )(-1 + к{12) + 2 ^а/, (-1 + кх12)\,

(19)

(20)

9

1 ^ I ГЛ

т I

ст

и

а,,

(2 + &2/2)~ + а2/2 +

+2 (а^ ¿7) а/2 (-1 + *2/,) +2 ст*„) (2 + *2/,) (-1 + кг1х) + 2 (р'22и ) а/, (2 + и,)),

(21)

/ * * где(аист

1

271

I Л|1(ф)Л22(ф)^ф; (а^гу) = у-1 /?м(ф)^ф; (а22£/

о 0

2л

2п

1

2л

271

/г22(ф^/ф.

о

Здесь величины /?п , /?22 вычисляются по (17).

Для количественного анализа полученных результатов вычислялись доверительные

интервалы по правилу «трех сигма» для деформаций (рИ)± 3 АО

Р\

,(р22)±3^0 р*22

Рп)±ф

Р\2

, по формулам (19), (21) для стали 12Х18Н1 ОТ при температуре 1123 К,

а0 =39,24 МПа,п = 3,2, с = 6,67 • [10]. На рис. 1 приведены графики математическо-

-9

го ожидания деформации (ри)и его доверительных интервалов (/?п)±3у£ а = ОД и 0,3 для Н = 0,5 в зависимости от времени (интервал в 70 часов).

Р\

при

Выводы

1. С увеличением показателя установившейся ползучести п дисперсии напряжений уменьшаются при любом значении коэффициента вариации а.

№ 2 2006

(Рп)

0,035 0,03

0,025 0,02 0,015

0,01 0,005

10 20 30 40 50 60 л час

Рис. 1

2. Напряжения ап, а22 (детерминированные части которых ст° и а°22 являются приложенными напряжениями вдоль главных осей) взаимно влияют на дисперсии друг друга. Причем, чем больше напряжение вдоль одной оси, тем сильнее его влияние на увеличение разброса вдоль другой оси.

3. При двухосном растяжении плоскости в двух взаимно ортогональных направлениях и о*22 появляются случайные касательные напряжения, величина флуктуации которых имеет тот же порядок, что и флуктуации нормальных напряжений, чего не наблюдается для детерминированного случая.

4. Полученные результаты могут служить основой при оценке надежности растягиваемых пластин в условиях установившейся ползучести, а также использоваться при интерпретации экспериментальных данных в условиях двухосного нагружения плоских образцов из реономных стохастических сред.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. — М.: Машиностроение, 1984. — 312 с.

2. Самарин Ю. П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Известия АН СССР. МТТ. — 1974. — № I. — С. 88—94.

3. Бадаев А. Н. К вопросу об определении функции распределения параметров уравнения состояния ползучести // Проблемы прочности. 1984. — № 12. — С. 22—26.

4. ЛокощенкоА. М., Шестериков С. А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растяжении // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1980. — № 3. — С. 155—159.

5. Р а д ч е н к о В. П., С и м о н о в А. В., Д у д к и н С. А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности // Вестник СамГТУ. Серия: физико — математические науки. — Вып. 12. — 2001. — С, 73—85.

6. Р а д ч е н к о В. П., С и м о н о в А, В., К у б ы ш к и н а С. Н. Об одном подходе к решению стохастической краевой задачи для толстостенной трубы под действием внутреннего давления в условиях реологического деформирования и разрушения материалов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды одиннадцатой межвузовской конференции. — 4.1. — Самара: СамГТУ 2001. — С. 1 52—156.

7. Р а д ч е н к о В. П., С и м о н о в А. В. Практические аспекты применения метода статистических испытаний к решению краевых задач с учетом реологических свойств материалов /У Обозрение прикладной и промышленной математики. Материалы 2 Всероссийского симпозиума по промышленной и прикладной математике. — М.: Изд-во ТВП. 2001. Т. 8. — Вып. I. — С. 299.

№2

2006

8. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряженного состояния // Математическая физика. — Куйбышев: КуАИ, 1976. — С. 107—110.

9. С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — VI.: Наука, 1968. — 464 с.

10. Закономерности ползучести и длительной прочности: Справочник/ Под ред. С.А, Шестерикова. — М.: Машиностроение, 1983.— 101 с.

Исследуется процесс вытялски топких стержней из разогретой стекломассы.Решается стационарная задача поведения стекломассы в зоне формирования оптических стержней. Задача сводится к интегрированию нелинейного дiiфференциапьного уравнения 2-го порядка относительно скорости. Уравнение не может быть проинтегрировано в замкнутом виде, поэтому, для нахождения решения использовалась система Рун-ге-Кугга.Решение позволяет вводить в полученное дифференциальное соотношение воз-лiyи(ения различных управляющих факторов. Таким образом, лtожно проследить> как меняется с течением времени отклик радиуса сечения волокна в определенном сечении на возмущение вязкости и найти распределение функции отклика радиуса сеченгш по длине волокна в произвольный фиксированный момент времени.

Process of extraction of pin-type rods from fluid glass is examined. Stationary problem of glass melt behavior in a zone of optical rods formation is solved\ It's reduced to integration of a nonlinear differential second-degree equation against velocity. The equation cannot be integrated in a self-contained aspect; hence, for finding a solution the Runge-Kugg system was used. Perturbations of various operating factors could be introduced into the obtained differential relation owing to the solution Thus, it is possible to trace the response of beam cross-section radius in certain circumstances on viscous resistance and find a distribution of the response function of cut radius throughout the fiber length in the arbitrary fixed instant.

Рассматривается процесс вытяжки оптических стержней из разогретой стекломассы. Качество стержней зависит от множества физических и технологических факторов, оптимальное значение которых обеспечивается системой управления процессом вытяжки [1]. Для решения задач управления в выбранной области параметров необходимо знать статические и динамические свойства объекта управления. Статические свойства определяются чувствительностью процесса к различного рода возмущениям, в том числе и технологических параметров, в установившемся состоянии. Автором ищутся решения для установившегося движения стекломассы в зоне формирования оптического стержня.

В работе [2] показано, что основные характеристики в зоне формирования оптического стержня при установившемся движении могут быть определены для модели одномерного потока из следующей системы дифференциальных уравнений:

666.1.4: 681.7.068.4

ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ СТЕКЛОМАССЫ

Канд. техн. наук, доц. В.А. ИЛЬИЧЕВ

dz 3|i-v2A,p

dv р-Хрgv

у

d v р-\рgV