Построение аналитического решения двумерной стохастической задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

Н. Н. Попов, В. Н. Исуткина

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ

На основе метода малого параметра решена в первом приближении двумерная стохастическая нелинейная краевая задача ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления. Задача рассматривается в полярных координатах для случая плоского деформированного состояния. Стохастич-ность введена в определяющие соотношения ползучести, взятые в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения, при помощи случайной однородной функции двух переменных. Проведён статистический анализ случайных полей напряжений и скоростей деформаций.

При решении стохастической нелинейной краевой задачи ползучести для толстостенной трубы под действием внутреннего давления в работах [1, 2] предполагалось, что случайные свойства материала изменяются только вдоль радиуса цилиндра. При этом допущении задача становится одномерной, решение которой на основе метода малого параметра можно получить с любой степенью точности.

В данной работе стохастические свойства материала трубы описываются случайной функцией двух аргументов радиуса г и угла р. Компоненты тензора деформаций и напряжений

также будут являться случайными функциями г и р. Задача рассматривается в полярных

координатах для случая плоского деформированного состояния.

Пусть компоненты тензора напряжений аг, ар, агр удовлетворяют уравнениям равновесия [3]

да г 1 да г р аг — ар да г р 1 дар 2а г (п

—— + —р р = 0, р = 0, (1)

дг г дг г дг г др г

а компоненты тензора скоростей деформаций ег, £р, егр — условию совместности [3]

д Ёр 1 д2Ёг Ёр дЁг д Ёгр 2 дЁгр (2)

г дг2 + г др2 + дг дг дг др + г др

Уравнения (1) и (2) замыкаются определяющими соотношениями, которые принимаются в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме

Ёр = -Ёг = -вп 1 {ар — а г) (1 + аЩ, Ёгр = ев" 1агр (1 + аЩ. (3)

с 2'

Здесь в2 = 11[ар —аг)2 + 4а2^ — интенсивность напряжений; с и п — постоянные материала. С помощью случайной однородной функции и (г, р) описываются реологические свойства материала, а число а (0 < а < 1) играет роль коэффициента вариации этих свойств. Математическое ожидание (и) и дисперсия (и2) имеют значения 0 и 1 соответственно. Обозначая через а и Ь

соответственно внутренний и внешний радиусы цилиндра, граничные условия задачи примут

вид

аг (а, р) = — q, аг (Ь, р) = агр(а, р) = агр(Ь, р) = 0, (4)

где д — внутреннее давление.

Соотношения (1)—(3) при граничных условиях (4) задают стохастическую краевую задачу ползучести, которую будем решать относительно компонент тензора напряжений. Поставленная задача является физически и статистически нелинейной, в связи с чем строится ее приближенное решение на основе метода линеаризации. Для статистической линеаризации задачи (1)—(3) производится разложение компонент тензора напряжений и деформаций по малому параметру а

а1; = а°{] + аа*., (а1;) = а°.., (а*1]) = °; (5)

Ёч = ЁЬ + аЁЬ, (Ёч) = Ё], (ЁЬ) = 0; (6)

где а11= аг, а12= агр, а22 = ар, Ё11 = Ёг, Ё12 = Ёгр, Ё22 = Ёр.

Нулевое приближение тензора напряжений задаёт известное детерминированное решение [4]:

а°г = А^Ъ —п — г — а°Гу = 0,

аф = Л|Ь_п-(і--1 г- «1, А = ■ й (7)

п ’ -2 и-1'

\ \ п) ) ап — ъ п

С целью физической линеаризации соотношений (3) представим функцию 8п—1 с помощью (5) в виде

п—1

8п—1 = 14 + 8*)

где

4 = 4 1°р — <) ' 8* = 2а(^— °*г) 1°р— <) '

и разложим ее в ряд Тейлора с учётом только линейных членов:

(8)

Флуктуации скоростей деформаций согласно (3), (5), (6), (8) будут иметь вид:

- * - * С п —1{{ о о\Гг ( * - * п— 1 * /А\

= — ег =180 1[°<р—°г)и + п [а<р—аг}} > ег<р = С80 апр- (9)

При получении выражений (9) были отброшены все слагаемые, содержащие а и более высокие степени а.

Если подставить соотношения (9) в уравнение совместности для флуктуаций скоростей деформаций (2), то можно получить следующее дифференциальное уравнение относительно флуктуаций напряжений:

- д2I* п - д21* -I б!о , Л М, І діо 1о ) д<,

гп~71"^дг^+п1 "Г(п-11 д7+310)а7"4Ч -1) аї~7І~аф+

(дІ0 )2 32І0 дІ0 ) і"3 д2и 3 д2и

+ п(п -1^ г (п - 2) —— + г і0 ——^ + 3і0 —— I і* = —^^7 - 10 г

\дг) дг2 0 дг) * г дф2 0 дг2 -і2о22гпд0+31°)ди-п1о2г(п-112до)+ г1од10+31одг)и’ (10)

где 10 = аф а ◦ , 1* = аф а * '

Подставляя в уравнение (10) детерминированное решение (7), после преобразований будем иметь

2д2и д2 и 4г д2&*ф (п - 4)гди 4(п - 2) да*ф 4(п -11 2 _2 2 д2и 2д2и ди) /11ч

г -^г----------------------------^ +----о-----Т2-------5— К = ^Аг п —-7Т - Ґ—Г + г— . (11)

дг2 дф2 п дг дф п дг п2 дф п2 п2 [дф2 дг2 дг )

Флуктуации напряжений удовлетворяют также уравнениям равновесия (1):

да* 1 д°*ф а*- аф д°*ф 1 даф 2о*

-тг- +---+----------ф = ", ~гф + —+------------ф = ", (12)

г г г г г г ф г

Таким образом, статистически линейная задача представляет собой стохастическую систему из трёх линейных дифференциальных уравнений (11),(12) с частными производными относительно флуктуаций напряжений а*, с граничными условиями

а* (а, ф)= а**(Ъ, ф) = 0, а*ф(а, ф) = а*Гф(Ъ, ф)=0.

Если перейти к функции напряжения ¥ по формулам

* = 1 д^ 1_д^ * = &¥ * =1 д^_ (13)

°г г дг + г2 дф2’ аф дг2’ °г ф г2 дф г дг дф ’

*

2

то уравнения равновесия (12) будут выполняться тождественно, а уравнение (11) относительно функции напряжения ¥ будет иметь вид

2д4¥ 2(п — 2) д3¥ (п — 2)(3п — 2) д2¥ (п — 2)(3п — 2)1 д¥ 2(п — 2) д4¥

дг 4

-Г—7 + -

п дг3 п2

2(п — 2)(3п — 2)1 д3¥

гдгдф2

4(2п -6п + 3) 1 д ¥ 1 д ¥ 2 2

--------------- -------+--------------= — Аг—п

п2 г2 дф2 г2 дф4 п2

дг 2дф2

д2и

дф2

- г

д2и ди

дг2 + г дг

Граничные условия для уравнения (14) определяются следующими соотношениями:

1 д¥ 1 д2¥

1 ¥ 1 2¥

-----+

г дг г2 дф2

= 1 д¥ +1 д2 ¥

г дг г2 дф2

г=Ъ

1 д¥ 1 д2¥

= 0, —~-----------------------------

г2 дг г дг дф

г2 дг г дг дф

=0•

(15)

г=Ъ

Пусть случайная однородная функция и (г, ф), с помощью которой задаётся случайное поле возмущений реологических свойств материала, представима в форме [5]

и (г, ф)= Ло ]о(г) + \/2£ [Хк ео8 кф + вк вт кф ]к (г),

к=1

(16)

где 1к(г) — функция Бесселя I рода целого порядка; Лк, вк — независимые случайные величины, причём {Лк) = (вк) = 0, (Л2к) = (в2к) = 1. Решение уравнения (14) можно искать в виде

¥ = Л0/0 (г) + 'У2^ /к(г) (Лк сов кф + вк ят кф •

к=1

(17)

Подставляя представления (16) и (17) в уравнение (14), для определения /к(г) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

2 „{у 2(п — 2)г (п — 2)(3п — 2) ц (п — 2~)(3п — 2) 1 . 2

г2 —

-/0'+

/о--

■“/о = ~2 Аг

-2+1

(г]0(г) — 2Ыг)),

2 1у 2(п — 2)г I (п — 2)(3п — 2) 2(п — 2) Л (п — 2)(3п — 2)(1 + 2к2) /1

г п-----------“— !к +-----------72------+ —;;— к \/к---------------------з------------

+

(4(2п2 — 6п + 3) 2\ к2/к 2 _2

(18)

+к

) = п! Аг—2 ((г2 — 2к2 — 2к)}к(г)+2г1к—1(г)), к е N.

Здесь производные вычисляются по переменной г. Решение уравнения (18) имеет такой вид:

4

/к(г) = X (Ак1 (г) + Ск1) шы(г),

I=1

где Шкг(г) — фундаментальное решение однородного уравнения, соответствующего (18); Ск1 — постоянные, определяемые из граничных условий (15); Ак1 (г) — функции, определяемые методом вариации произвольных постоянных.

Далее были вычислены компоненты тензора напряжений согласно (5), (7), (13)

Л0 /0

+ \Па ^

к=1

/к к2 /к

г г2

ОО

[Лк сов кф + вк ^п кф,

Оф

ог = А^Ъ п — г п| + а

= а|ъ— 2 — 11----1 г—21 + аЛ0Г0 + ^2а ]Т /к (Лк сов кф + вк вт кф),

(19)

о г ф = \Ша £ к=1

к/к к/к

[—Лк сов кф + вк вт кф)

и по известной формуле теории вероятностей были найдены дисперсии случайного поля напряжений:

Б [о г] 1

а2 ~г 2

)2

2

к=1

</к к2 /к

Б [Оф]

а2

ТО

=(/0 12+^ (/к )2,

к=1

а

(к к

2 =21. к/к — -/к

2 к=1 г2 г к

г2 п2 г г

п

+

2

п

г=а

г=а

2

2

2

п

2

2

2

2

Таблица 1

Значения коэффициента вариации напряжения на внутренней поверхности трубы

п 2 3 4 5 6 7 8

0,1 2,01 1,59 1,31 1,12 0,97 0,86 0,77

0,2 4,02 3,18 2,62 2,24 1,94 1,72 1,54

0,3 6,03 4,77 3,93 3,36 2,91 2,58 2,31

0,4 8,04 6,36 5,24 4,48 3,88 3,44 3,08

0,5 10,05 7,95 6,55 5,60 4,85 4,30 3,85

Проведено исследование случайного поля напряжений при помощи коэффициента вариации. Получено, что наибольший разброс тангенциального напряжения -у происходит на внутренней поверхности трубы. Здесь, как видно из табл. 1, коэффициент вариа-

/Б [-у]

ции ◦— для материалов с высоким

—у

показателем нелинейности (п = 8) находится в пределах от 0,77% (а = 0,1) до 3,85% (а = 0,5). Для случая низких показателей нелинейности (п = 2) разброс напряжения -у около среднего напряжения немного больше. Здесь величина коэффициента вариации находится в пределах от 2,01%о(а = 0,1) до 10,05% (а = 0,5).

Радиальное напряжение имеет наибольший разброс на срединной поверхности. Причем это значение на порядок меньше, чем наибольший разброс для тангенциального напряжения.

Выполним теперь исследование случайного поля скоростей деформаций ползучести. Используя формулу для вычисления дисперсии двух случайных величин [6]

Б [X + У] = Б [X]+ Б [У]+2КХУ, где КхУ = {ХУ)-{Х){У), и формулу (9), имеем

1

Б | £у \ = Б [£г ] = - а с 5

2 2 2(п-1)

4

*0

к

у - кг\ + п Б

-у - -г

+ 2п

-у - -г

и

(20)

Используя (19), вычислим

-У - °*г = Я0\/0 - — ) + ТО

к=1

/к . к2 /к

[Як сое к у + вк ^п к у) .

Тогда моменты, входящие в выражение (20), будут вычисляться по следующим формулам:

Б

-у - -г

= 1А" - у| +2Е

/ч2

к=1

2

% + к2 /к !к -~ +

1к (г).

Для математических ожиданий скоростей деформаций ползучести имеют место выражения

{£у) = {-£г) = £°у = 2 Ы^-1 К - а°г) , {£гу) = £°Гу

= 0.

В табл. 2 представлены зна-

/Б [Еу] .

чения величины у ££ ^ (в процентах), характеризующей относительный разброс скорости деформации в зависимости от переменных а и п. Как видно из таблицы, коэффициент вариации скорости деформации £у с возрастанием п меняется незначительно, а зависимость этого коэффициента от параметра а является линейной.

Значения

Таблица 2

коэффициента вариации скорости ползучести на внешней поверхности трубы

п 2 3 4 5 6 7 8

0,1 11,34 11,28 11,25 11,23 11,22 11,21 11,21

0,2 22,68 22,56 22,50 22,46 22,44 22,42 22,42

0,3 34,02 33,84 33,25 33,09 33,66 33,63 33,63

0,4 45,28 45,12 45,00 44,92 44,88 44,84 44,84

0,5 56,7 56,4 56,25 56,15 56,10 56,05 56,05

2

2

Таким образом, случайные вариации реологических свойств материала могут оказывать существенное влияние на оценку работоспособности толстостенных труб. Время до разрушения, вычисленное с учетом стохастических неоднородностей может оказаться существенно меньше по сравнению с обычным детерминированным прогнозом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Должковой, А. А. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра [Текст] / А. А. Должковой, Н.Н. Попов, В. П. Радченко // ПМТФ. — 2006. — Т. 47, № 1. —С. 161-171. — 1ББЫ 0869-5032.

2. Исуткина, В.Н. Сравнительный анализ решений стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы на основе методов малого параметра и Монте—Карло [Текст] / В. Н. Исуткина, А. Ю. Маргаритов // Вестн. Сам. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2006. — № 43. — С. 116-123. — 1БВЫ 5-7964-0877-1.

3. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. —М.: Наука, 1975. —528 с.

4. Качанов, Л. М. Теория ползучести [Текст] / Л. М. Качанов. — М.: Физматгиз, 1960. — 455 с.

5. Лавренюк, В. И. Распределение напряжений около кругового отверстия в плоскости из стохастически неоднородного материала [Текст] / В. И. Лавренюк // Прикладная механика. — 1973. — Т. IX, Вып. 4. — С. 128-132.

6. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [Текст] / Е. С. Вентцель. — 10-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2006. — 575 с. — 1БВЫ 5-06-005688-0.

Самарский государственный технический университет, г. Самара vera_isutkina@mail.ги

Поступила 05.07.2007