Решение пространственной нелинейной задачи ползучести для среды со случайными реологическими характеристиками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

Н. Н. Попов, С. А. Забелин

РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ СРЕДЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ РЕОЛОГИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

На основе линеаризации определяющего уравнения ползучести и применения метода спектральных представлений получено решение пространственной задачи о напряжённо-деформированном состоянии стохастически неоднородной среды. Определяющее уравнение ползучести, взятое в виде степенной функции от интенсивности напряжений, сформулировано в стохастической форме. Проведён статистический анализ случайных полей напряжений и скоростей деформаций.

Аналитические методы решения стохастических задач достаточно хорошо разработаны только для линейно упругих сред [1]. В условиях ползучести разработка аналитических методов решения стохастических краевых задач сталкивается с серьезными трудностями, основными из которых являются физическая и статистическая нелинейности определяющих уравнений. Отмеченные сложности приводят к тому, что аналитические решения стохастических краевых задач ползучести получены лишь для одномерных и плоских задач, на основе линеаризации по методу малого параметра [2-5].

В данной работе приводится решение пространственной задачи о нелинейной ползучести стохастически неоднородной среды, при этом упругие деформации считаются малыми и ими допустимо пренебречь. Частный случай этой задачи, когда пространство растягивалось вдоль осей Х\ и Х2 одинаковыми напряжениями, рассматривался в работе [6].

Пусть компоненты тензора напряжений а^ удовлетворяют уравнениям равновесия

где Л^к — единичный антисимметричный псевдотензор. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.

Уравнения (1) и (2) замыкаются определяющим соотношением, которое принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения в стохастической форме [6]

материала. С помощью случайной однородной функции и(х\, Х2, Хз), статистические характеристики которой известны ((и) = 0, (и2) = 1), описываются возмущения реологических свойств материала, а число а (0 < а < 1) играет роль коэффициента вариации этих свойств.

Соотношения (1)-(3) задают стохастическую задачу ползучести, которую будем решать приближенно на основе метода линеаризации относительно напряжений а^.

Пусть компоненты тензоров напряжений и деформаций представлены в виде суммы детерминированного слагаемого и флуктуации:

В дальнейшем, для упрощения задачи, предполагается, что детерминированные составляющие

Статистическая линеаризация соотношения (3) относительно флуктуаций а*^ выполняется с учётом возможности пренебрегать произведениями вида ст^, а!1а*^. С целью физической линеаризации функция ви-1 разлагается в степенной ряд, и в этом разложении учитываются только линейные члены:

; =0 (і, 3 = 1, 2, 3),

(1)

а компоненты тензора скоростей деформаций р; —условиям совместности:

(2)

(3)

где в2 = ^ (Забегу — —интенсивность напряжений; 5ц —символ Кронекера; с, п — постоянные

+ аЬ, (°И > = , (а*3 > = °

Різ = Р% + Р*ц, (Ру > = р%, (Різ > = °

(4)

касательных напряжений ст^, а^з и а2з равны нулю, а составляющие нормальных напряжений аЦ а22 и а3з являются постоянными.

(5)

„„„ „2 ___ _02 I _02 I _0 2 _0 _0 _0 _0 _0 _0 „ * _ _ * 7 I _ * 7 I _ *7 7 _ о_0 _0

где ^0 = а11 + а22 + а33 а11а22 а11а33 а22а33, 8 = а11^1 + а22^2 + а33^3, = 3аДО а™ (по

греческому индексу в здесь и в дальнейшем суммирование не производится).

В итоге флуктуации тензора скоростей деформаций р* согласно (3)-(5) имеют вид

Рде = \с*Г1 (3оде - + кЬ8* + Р#, = с«о“1(7^ (/3 / (6)

где к =

Если в уравнения совместности для флуктуаций скоростей деформаций

Л*кЛ1тпРкт,]п = 0

подставить соотношения (6), то можно получить систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно флуктуаций а*:

а * 1, 12( 1 + ^3) + а2 2, 12( 1 + к^3) + а33,1^2 + к1з) + аи,1213 = 3(а *3 23 + а2 3,13 — а 1 2,33) ,

а* 1,13 (—1 + к)112) + а22,1^2 + к1г) + а3 3,13( —1 + к1213) + аи,1312 = 3 (а * 3,12 + а * 2,23 — ^3,22^ (7)

а* 1,23 (2 + + а22,23( 1 + к1112) + а33,23( 1 + к1113) + аи,23^1 = 3(а * 2,13 + а * 3,12 — а23,и) '

К этой системе необходимо добавить уравнения равновесия для флуктуаций напряжений

а** = 0. (8)

Пусть функция и(Х1, Х2, Х3), с помощью которой задаётся случайное поле возмущений реологических свойств материала, является однородной и изотропной. Тогда она допускает спектральное представление в виде интеграла Фурье—Стилтьеса [7]:

и(х1, х2, х3) = егшкхк ¿^(^1,^2,^3), (9)

причём для случайного дифференциала ^(^1, ^2, ^3) выполняется условие стохастической ортогональности:

Ш2, ш'2, Сс>з)) = — Ш2)5(и)з — Сс>з)с?Сс>1С?Сс>2С?Сс>зС?Сс>/1С?Сс>2С?Сс>з,

где Би(^1,Ш2,Ш3) —спектральная плотность поля и(Х1, Х2, Х3), ¿(х) —дельта-функция Дирака, черта означает комплексное сопряжение.

При быстро изменяющемся случайном поле микронеоднородностей и (Х1, Х2, Х3) решение линеаризованной задачи (7), (8) также будет однородным, и его можно искать в виде

еШкХквтп(^1,Ш2,Ш3) ^^(^1 ,^2,^3), (10)

где втп(^1,^2, Ш3) — неизвестные весовые функции, которые можно вычислить из системы линейных уравнений, которая получается подстановкой представлений (9), (10) в соотношения (7), (8):

^1вп + ^2в12 + ^3в13 = 0, Ш1в12 + ^2в22 + ^в23 = 0, Ш^13 + ^в23 + ^в33 = 0,

^1^2 [( —1 + Ш3)в11 + ( —1 + к12¿3)в22 + (2 + к1з) Д33] —

— 3Ш3(^2в13 + ^1в23 — ^3в12) = —^1^2а13,

^1^3 [( —1 + к11 ¿2)в11 + (2 + к2)в22 + ( —1 + к1213)/в33] — (11)

—3Ш2(^1в23 + ^3в12 — ^2в13) = —^1^3а12,

^2^3 [ (2 + Й/2)в11 + ( —1 + к1112)в22 + ( —1 + кЫ3)в33] —

—3^1(^3в12 + ^2в13 — ^1в23) = —Ш2Ш3а^1.

Решая систему (11), можно получить

/Зц — — -

a ^2l i (w| + w|)2 + l2 (w2w2 + 2w 2w^) + l3 (w2w2 + 2w 2w2) j

A

P22 —

a(l\ (w2w2 + 2u\u%) + 2/2 (wf + w2)2 + ¿3 (wf w2 + 2w|w2))

“Д

e33 — —

a(l 1 (w2w2 + 2w ^3) + l2 (w 2w2 + 2ш|ш2) + 2l3 (w 2 + w2)2)

A

ei 2 —

aw 1 w2(2l 1 (w2 + w2) + 2і2 ( w 2 + w2) + l3 ( w 2 + w2 — w2))

A

ei з —

^23 =

aw 1 w3(2l 1 (w! + w2) + і2 ( w 2 — w2 + w2) + 2l3 ( w 2 + w2))

A

aw2w3(l 1 ( — w 2 + w2 + w2) + 2і2 ( w 2 + w2) + 2l3 ( w 2 + w^))

A

где A — 3w4 +

n — 1

I 2 ( w2 + w2)2 +12 (w 2 + w2) +12 (w 2 + w2) 2+

+ l 1і2 ( w2 w2 + 2w 2w2) + l 1I3 (w2w2 + 2w 2w2) + і2і3 ( w 2w2 + 2w2w2)

(12)

w — w,;w,;

Таким образом, формулы (10), (12) задают точное решение линеаризованной задачи (7), (8). Важнейшими характеристиками случайного поля напряжений являются его одноточечные моменты второго порядка:

А*« = (а* а**). (13)

Как известно, формула (13) при г = к, j = 1 задает дисперсию случайной функции а**, а при г = к, j = 1 — корреляционный момент связи между функциями а** и а**. При помощи формул (10), (13) можно получить следующее выражение для моментов второго порядка:

ijki

Su(w 1, w2, w;i)@ij(w 1, w2, w;i)Pki(w 1, w2, w3) dw 1 dw2 dw3.

(14)

Спектральная плотность б'и изотропного скалярного поля С/ зависит только от модуля волнового вектора со = \Дс>2 + + с^з, а для дисперсии имеет место соотношение [7]:

СО

Du — 4n J S(w)w2 dw — 1.

(15)

Интеграл (14) после перехода к сферическим координатам

W 1 = W sin cos 0, w2 = w sin ^ sin 0, w3 = w cos с учётом (15) приводится к виду

2п П

А

^ijkl — j Rijkl(íf,d') d^’d0,

0 0

0

где Rijki —известная рациональная функция переменных sin cos sin 0, cos 0.

Моменты второго порядка случайного поля напряжений зависят от коэффициента вариации реологических свойств материала а, показателя нелинейности п и компонент девиатора детерминированных напряжений ¿1/3, ¿2/3. Третья компонента 1з/3 девиатора и интенсивность напряжений Зо, входящие в (12), могут быть выражены через ¿1 и ¿2:

¿3 — — (11 + ¿2)) so —

2 l2 + 1° + ¿1¿2

3

На рисунке представлены результаты численного вычисления дисперсий нормальных напряжений при п = 4 (на рисунке цифры без штрихов) и п = 8 (цифры со штрихами):

D

D

1111

1111

D

D2222

asp,

2222

D

D

3333

as

3333

as?.

о

о

о

в виде графиков в зависимости от отношения l = Z1/Z2 •

График функции D®222 симметричен относительно прямой I = — а для двух других дисперсий имеет место соотношение

D1111 (l) = D3333(—1 — !)•

Дисперсии имеют экстремумы: ^3т в точке l = 0 (max), ^^з в точке l = —1 (min) и D0222 при I = —\ (max). По мере удаления от точек экстремума они достаточно быстро приближаются к своим асимптотическим значениям, при этом

D1111 (то) — D3333(to) — D2222 (0)) D2222(to) — D1111(0) — D3333( — !)•

В табл. 1 представлены значения величины 8о (в процентах), характеризующей разброс

напряжений в зависимости от переменных йппв точке максимума I = —

Как видно из табл. 1, для материалов с высоким показателем нелинейности (п = 9) величина V^2222/5° находится в пределах от 0,831% (а = 0,1) до 4,153% (а = 0,5). В случае низких показателей нелинейности, когда возможна полная линеаризация закона ползучести (п = 1) разброс напряжений значительно больше. Здесь значения \/-^2222/5° заключаются в пределах от 5,113% (а = 0,1) до 25,564% (а = 0,5).

Выполним теперь исследование стохастических полей скоростей деформации ползучести. Линеаризованные соотношения для флуктуаций скоростей деформаций ползучести согласно (6) можно

- - /\ 1 ^ ^ / \ 1 3' / \ 1 V V ^ — \ • / \ s \ / \ /

А ! / 4 Г! / ' ’1 /" \ 1 \ 1 i У /\ / \ / \ / \2 / /

í ~ " ~ КА л

-10 -5 0 5 1

Дисперсии нормальных напряжений: 1 и 1' — В0Ш; 2 и 2' — ^2222; 3 и 3' — Б%333 (без штрихов при п = 4; со штрихами при п = 8)

Т аблица 1

Значения величин \JD2222/8о (в процентах)

п о: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,1 5,113 2,990 2,145 1,685 1,393 1,187 1,039 0,927 0,831

0,2 10,225 5,980 4,289 3,370 2,786 2,375 2,078 1,854 1,661

0,3 15,338 8,970 6,434 5,056 4,178 3,562 3,118 2,782 2,492

0,4 20,450 11,960 8,579 6,741 5,571 4,750 4,157 3,709 3,322

0,5 25,564 14,950 10,724 8,426 6,964 5,937 5,196 4,637 4,153

представить в виде:

ГГ)* —

Рп — д66о

Р*22 =зС80 1

Рзз = 1

•* ___ 1^.*

^ _ 3

Рн = оСв0

(2 + кі2) о\і + (-1 + к1і^2)^22 + (-1 + к1і1з)стзз + аІЛ\ (—1 + кІіІ2)^і і + (2 + к^2)ст2 2 + (-1 + кІ2 Із)^зз + аиІ2 (—1 + кіі із) 2 і + (-1 + кІ2 Із)^22 + (2 + к12)стзз + аШз * = І-

(16)

На основании (16) для дисперсий скоростей деформаций получим

1

^[Ри] = -С ¿о

2 „2п— 2

£

= ¿С2**""2!?

9

2 2п 2

£

(2 + кі2) і + (-1 + кІіІ2)^22 + (-1 + кіі із) з з + аШі (-1 + кіі І2) ст 2 і + (2 + кІ2) ст2 2 + (-1 + кІ2 із) ст з з + аиІ2 (-1 + кіі із) ст 2 і + (-1 + к^2^з) ст2 2 + (2 + кі2)стзз + аЦіз

В[Рц] = дС2«о" ^ [<^]> Запишем в развёрнутом виде £[^22]:

^[^22] = д^О™ 2(( — 1 1 ^2)2 -1-^1111 + (2 + кІІ)2Б2222 + (“1 + &Ыз)2 £>3333 +

+ 2(-1 + кіі ¿2) (2 + к^2)^іі22 + 2(-1 + кііі2) (—1 + кУ з )^цз з + 2(-1 + кіі ¿2) (2 + ^2)^22 з з+ + а2^2 + 2(-1 + кіі^2)аі2 (ст 2 іЦ) + 2(2 + кі^а^ст^Ц) + 2(-1 + к і2 і з )аі2(стззЦ)

где

(ст*,-и) =11 I Би(Ш1,Ш2,Шз)вг^-(^1,Ш2,Шз) ^1 ^2 ^з-

Эти величины вычисляются, как и дисперсии напряжений, переходом к сферической системе координат с учётом формулы (15).

В силу громоздкости, развёрнутый вид дисперсий и Арзз] здесь не приведён.

В табл. 2 приведены значения коэффициента вариации л/£>[Р22]/(р22) в процентах в зависимости отаип при I = — Математическое ожидание (Р22) определяется формулой:

<Р22> =Р22 = ^Св£_1Я2.

Таблица 2

Значения коэффициента вариации \JD\p22І/(Р22) в процентах в зависимости от а и п

при l = -1/2

n a 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,1 0,5667 0,5695 0,5848 0,6000 0,6133 0,6247 0,6343 0,6425 0,6496

0,2 0,7528 0,7547 0,7647 0,7746 0,7831 0,7904 0,7964 0,8016 0,8060

0,3 7,5279 7,5465 7,6472 7,7460 7,8313 7,9038 7,9643 8,0156 8,0598

0,4 15,0559 15,0930 15,2944 15,4919 15,6627 15,8076 15,9286 16,0312 16,1196

0,5 22,5838 22,6396 22,9417 23,2379 23,4940 23,7114 23,8929 24,0468 24,1793

Как видно из табл. 2, коэффициент вариации скорости деформации p22 с возрастанием n меняется незначительно, а зависимость этого коэффициента от параметра а является линейной (что естественно, так как в задаче была произведена линеаризация относительно а).

Максимально возможное отклонение напряжений и скоростей деформаций от среднего значения характеризуется утроенным коэффициентом вариации (правило «трёх сигм»). Отсюда ясно, что стохастические неоднородности материала способны оказывать существенное влияние на оценку работоспособности элементов конструкций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ломакин, В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел [Текст] / А. В. Ломакин. — М: Наука, 1970.-137 с.

2. Должковой, А. А. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра [Текст] / А. А. Должковой, Н. Н. Попов, В. П. Радченко // ПМТФ. — 2006. — Т. 47, № 1. — С. 166-171. — ISSN 0869-5032.

3. Попов, Н. Н. Построение аналитического решения двумерной стохастической задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы [Текст] / Н. Н. Попов, В. Н. Исуткина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007. — № 2(15). — С. 90-94. — ISSN 1991-8615.

4. Радченко, В. П. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости [Текст] / В. П. Радченко, Н. Н. Попов // Изв. вузов. Машиностроение. — 2006. — № 2. — С. 3-11. — ISSN 0869-5032.

5. Попов, Н. Н. Решение нелинейной стохастической задачи методом малого параметра при плоском напряжённом состоянии [Текст] / Н.Н. Попов, С. А. Забелин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2006.— № 43. — С. 106-112. — ISBN 5-7964-0877-1.

6. Попов, Н. Н. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды [Текст] / Н. Н. Попов, Ю. П. Самарин // ПМТФ. — 1985. — № 2. — С. 150-155. — ISSN 0869-5032.

7. Свешников, А. А. Прикладные методы теории случайных функций [Текст] / А. А. Свешников. —М.: Наука, 1968. — 464 с.

Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 30.11.2007

nial@mail. ru

N. N. Popov, S. A. Zabelin

THE NONLINEAR CREEP’S PROBLEM’S DECISION FOR MEDIUM WITH CASUAL REOLOGICAL CHARACTERISTICS

The spatial problem’s decision stress-strain stochastically inhomogeneous’s state medium based of linearization the creep’s equations with using the spectral representations is received. The determining creep’s equation, taken in the form of power function from intensity of stress, in the stochastic form is formulated. A statistical analysis of random fields stresses and deformations speeds is completed.

Samara State Technical University Received 30.11.2007

[email protected]