Моделирование краевого эффекта в задаче о растяжении стохастически неоднородной полосы при ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАЕВОГО ЭФФЕКТА В ЗАДАЧЕ О РАСТЯЖЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Л. В. Коваленко, Н. Н. Попов

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mails: flytitmouseamail.ru; ponick25agmail.ru

Моделируется краевой эффект при решении стохастической нелинейной краевой задачи ползучести о растяжении неоднородной бесконечной полосы. Определяющие соотношения ползучести, взятые в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения, сформулированы в стохастической форме. Задача решается приближенно по методу возмущений относительно компонент тензора напряжений. На основе решения проведён статистический анализ, позволяющий определить основные особенности краевого эффекта.

Ключевые слова: ползучесть, стохастически неоднородная полоса, случайное поле напряжений и деформаций.

Введение. Научно-технический прогресс, достижения в сфере высоких технологий диктуют необходимость глубокого и детального изучения свойств используемых материалов. При эксплуатации материалов на производстве необходимо учитывать, что все они обладают той или иной степенью неоднородности. Эта неоднородность в материалах может возникать из-за различных технологических и структурных факторов, случайных изменений в параметрах технологических процессов при изготовлении изделия. Структурная неоднородность существенно влияет на процессы деформирования твердых тел, что приводит к их преждевременному разрушению.

Как правило, задачи на ползучесть решаются в детерминированной постановке. Однако если принимать во внимание естественный разброс опытных данных, то становится ясно, что этот подход оказывается явно недостаточным, т.к. он не может объяснить ряд механических эффектов, возникающих в результате неоднородности материала. Одним из таких эффектов является краевой эффект. Суть его состоит в том, что вблизи границ тела со структурной неоднородностью имеется пограничный слой, в котором возникают концентрации напряжений, причём они могут достигать достаточно больших значений. Поэтому их неучёт в расчётах на ползучесть может привести к нежелательным последствиям — к переоценке прочностных свойств материалов. Теоретическое объяснение этого эффекта в условиях ползучести на основе решения стохастической краевой задачи проведёно для полуплоскости [1, 2] и полупространства [3, 4]. В данной работе рассматривается ползучесть стохастически неоднородной полосы с быстроосциллирующими реологическими свойствами.

Попов Николай Николаевич — доцент кафедры прикладной математики и информатики; к.ф.-м.н., доцент.

Коваленко Людмила Викторовна — аспирант кафедры прикладной математики и информатики.

1. Постановка задачи. Пусть бесконечная стохастически неоднородная полоса (пластина) —то ^ Х\ ^ то, —Ь ^ Х2 ^ Ь растягивается вдоль оси Х\ постоянными напряжениями ац = а0, которые приложены на бесконечности Х1 ^ ±то, а её границы Х2 = ±Ь свободны от напряжений:

а22\х2=±Ь = 0’ а121х2 =±Ь = 0- (1)

Пусть компоненты тензора напряжений ац удовлетворяют уравнениям равновесия

ацц = 0 {г,3 = 1,2), (2)

а компоненты тензора скоростей деформаций рц — условию

Лц Лк1рцк,а = 0, (3)

которое получается из уравнения совместности деформаций путём дифференцирования по времени, Лц —единичный антисимметричный псевдотензор:

'0 1

Л ~ 1 -1 0

Уравнения (1) и (2) замыкаются определяющими соотношениями ползучести, которые принимаются в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме [1]:

Pij = csn~l (aij - (1 + OiU (жь x2)), (4)

где s — интенсивность напряжений:

2 1/o Л

S = — (OOijOij — (TiiGjj) ,

Sij —символ Кронекера, c, n, a — постоянные материала, U (xi, Ж2) —случайная однородная функция, описывающая флуктуации реологических свойств материала с математическим ожиданием (U) = 0 и дисперсией, равной (U2) = 1, точка обозначает дифференцирование по времени. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2. Постоянная a в формуле (4) определяет степень неоднородности материала, и для реальных материалов может изменяться в пределах от 0,05 до 0,5.

Соотношения (2)—(4) при краевых условиях (1) задают нелинейную стохастическую краевую задачу ползучести, которая в дальнейшем решается приближенно относительно напряжений Oij.

2. Решение задачи. Представим тензор напряжений в виде суммы:

aij = aij + aij, (aij) = aij, (aij) = 0, (5)

где aij —детерминированные составляющие тензора напряжений, а a* j —флуктуации напряжений. В силу постановки задачи и граничных условий (1) во всей пластине имеем:

о _ о о _ п о _ п

Оц — а , 022 — и, а12 —

Выпишем функцию вп 1, входящую в определяющие соотношения (4), используя (5), в виде

71 — 1

= (5п +

где

во = а0, в * = а0 (2а £ 1 - а* 2).

Считая величину в * малой по сравнению с детерминированной величиной в2, разложим функцию вп-1 в окрестности значения в0 по степеням в * и в этом разложении ограничимся только линейными членами. В итоге получим:

п — 1 п — 1 , П 1 п — 3 ( 0\п-2 / о П 1

1 И 1 + Ч = (<7°' '

Ю" 2 (<7° + (2<Т*1 ~ ^22)) • (6)

Подставим в определяющие соотношения (4) выражения (5) и (6):

Рп = ~с (а°)п 1 (2(7° + п (2(7^ - (722) + 2(7°о:С/) ,

3

р22 = ((70)™“1 ^-(7° + ~—~~(722 - П(Т*п - (Т°а11 ^ , (7)

Р12 = С (а°\п-1 а *2-

В данных преобразованиях для статистической линеаризации определяющего соотношения (4) использовалось корреляционное приближение теории случайных функций, т. е. предполагалось, что произведениями вида а*-а*г, аПа* - допустимо пренебречь по сравнению с а—.

Флуктуации скоростей деформаций р* - согласно (7) имеют вид

Р*1 = ((70)™“1 (п (2<7п - (722) + 2<7°аЕ7) ,

1 ( 0\п-1 / 3 + п * * 0

Р*22 = ^(а) у-^—(Т22 - П(Т*П -стаи у (8)

р12 = С (а0\п-1 а 1 2-

Из уравнений (2) и (3) следует, что

а—= о, (9)

Л — Лк1р * к,И = 0-

Поскольку Л12Л12 = Л21Л21 = 1, Л12Л21 = -1, а Лц = Л22 = 0, то уравнение совместности для флуктуаций деформаций запишется в виде

р11,22 + р22,11 — 2р 12,12 = 0- (10)

87

Подставляя в уравнение совместности деформаций (10) соотношения (8), можно получить линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно а*,:

4па11,22 — 2п (°22,22 + а* 1,п) + (3 + п) а22,11 — 12,12 =

= —2аа0 (2и,22 — и,и) (11)

с краевыми условиями

а*2| = 0, а *2| ,, =0.

22 1x2 = ±Ь 1 12 1Ж2 =±Ь

Вводя функцию напряжений Р с помощью формул а * 1 = Р,22, а*2 = Р,11, а*2 = — Р, 12, вместо системы (9)—(11) получим одно дифференциальное уравнение

(3 + п) Р,11и + 4 (3 — п) Р, 1122 + 4пР,2222 = —2аа0 (2и,22 — и,и) (12)

с краевыми условиями

Р,11 1x2 =0 = 0, Р,12|Х2=0 = 0- (13)

Случайная однородная функция и(Ж1,Ж2), с помощью которой описывается случайное поле возмущений реологических свойств материала, задаётся в виде [5]

U = ^ Ak cos (wckжі + udkж2 + ),

k=i

где Ck, dk —безразмерные величины порядка единицы; и — параметр, имеющий размерность, обратную длине, такой, что функция U является почти периодической быстроосциллирующей функцией координат; Ak, ^k — случайные величины, обладающие свойствами: Ak — центрированные случайные величины, ^k имеют равномерное распределение в интервале (0; 2п), причём все случайные величины независимы.

Для удобства дальнейших выкладок переходим к комплексному виду функции U:

U = ^ Ak exp (iu (ckxi + dkЖ2)), (14)

k=i

где ylk = Ak exp (iipk). Функция U введена так, что ее действительная часть равна самой функции U: Re U = U.

При быстроосциллирующих свойствах материала влияние граничных условий при Ж2 = b и Ж2 = — b друг на друга достаточно мало, и ими можно пренебречь. Тогда решение краевой задачи (12), (13) примет вид

ГО

F = ^ (vk + Wk + lk) k=1

Здесь Vk — частное решение уравнения (12), полученное при замене функции U k-тым членом разложения (14):

(3 + n) Vk,1111 +4(3 — n) Vk,1122 + 4nVk,2222 =

= 2aa°u2Ak exp (iu(ckx1 + dkx2)) (2dk — c|) ,

а Wk и lk — решения однородного уравнения, соответствующего (12), удовлетворяющие при x2 = b и x2 = —b условиям

Wk,n|x2=b = —Vk,11lx2=b, Wk,12 Ix2=b = —Vk>12L=b’ lk,11lx2 =—b Vk,11lx2 = -b’ lk’12l^2=-b Vk’12L2=-b'

Функции Vk можно искать в виде

Vk = fk exp (iu (CkЖ1 + dkЖ2))' (16)

Здесь величины fk — константы, которые могут быть найдены из алгебраического уравнения

(3 + n) w24fk + 4 (3 — n) u2ckdk fk + 4nu2dkfk = 2aa°Ak (2d| — c|) ,

из которого следует

2aa° Ak (2dk — ck)

fk =

u2 (3 + n)ck + 4(3 — n) c2dk + 4ndf’

Ряд £ ^к задаёт решение вдали от границ пластины без учета краевого к=1

эффекта. Функции Шк и 1к имеют характер пограничного слоя: они быстро затухают по мере удаления от границ Ж2 = Ь и Ж2 = —Ь. Их можно искать в виде

Шк = ^(¿Оехр гш (СкЖ1 — ¿кЬ), ¿1 = ш (Ж2 + Ь), (17)

1к = ^(^ехр гш (СкЖ1 + ¿кЬ), ¿2 = ш (ж2 — Ь), (18)

где функции (¿г)(з = 1,2) могут быть найдены из однородных дифференциальных уравнений

d4gs d2gs

- 4 (3 - n) + (3 + n) ck9k = 0 (19)

с краевыми условиями

gk

= M

ts=o fc’ di,

ts=°

= —idk fk' (20)

Найдем функцию $¿(¿1). Все корни Гк характеристического уравнения, соответствующего уравнению (19), простые и составляют величины

гк,2 = —ШСк(В ± ¿£2), гк,4 = ШСк(В ± гВ),

где

Ві =

V а + \/а2 + Ь2

, В =

1—а + \/а2 + Ь2

VI ’

2п

2п

Тогда решение уравнения (19) имеет вид

(21)

8=1

где С^ — произвольные постоянные.

Из четырех корней характеристического уравнения два корня и имеют положительные действительные части. Так как при ж 2 ^ то краевой эффект должен затухать, то две постоянные С3? и С^, соответствующие этим корням, равны нулю. Для нахождения двух других констант С^ и С| используем граничные условия (20). Решая систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными, находим константы С ^ и С|:

СГ = -

С2к =

гг

гг

(22)

Подставляя выражение (21)—(22) в (17) можно найти :

^ = / ехр (гш(скх і + 4Ь)) х

гк + ¿4

ехр (шг^(6 - ж2)) + Г\+_г(1к ехР (шг2 (Ь - ж2))

гг

(23)

Проводя аналогичные действия с привлечением выражений (18), (19), (20), находим решение в области ж2 ^ — Ь вблизи границы ж2 = — Ь:

= / ехр (гш(ск ж і - 4 Ь)) х

г2 - ¿4

ехр (6 + ж2)) + Г\, ехр (ыг%(Ь + ж2))

кк

гг

(24)

Подставляя (16), (23), (24) в (15), найдём решение задачи (12), (13) в общем виде:

Р = ^ /к (ехр (Мскж 1 + 4ж2)) + ехр (ш(02ж 1 + 4Ь)) х

г2 + ¿4

ехр (6 - ж2)) + Г\+_г^ ехр (шГ2 (Ь — Ж2)^

кк

гг

+

+ ехр (¿ш(с2 ж 1 — 4 Ь)) х

Г2 %(1к ехр (^(5 + ж2)) + _г^ ехр (иг%(Ь + ж2)) ^

гк гк

а

х

х

Переходя от функции напряжения F к напряжениям с помощью формул afi = F,22, ^22 = F,ii, of = —F, 12, получим решение задачи (1)—(4):

. / c, p-CfcBi^(b-X2)

On = ¡кш2еШСкХ1 í - di cos (dkux2)------------------—--------x

x [cfc(B 2 + B|)L 1 (w(b — ж2)) cos dkwb + dkL2 (w(b — ж2)) sin dkwb] —

Cfc e-cfcBi^(b+®2)

— X

B2

x [cfc(B2 + B|)L 1 (w(b + ж2)) cos dkwb + dkL2 (w(b + ж2)) sin dkwb] +

+¿f

Ck e-CfcBl^(b-X2)

- di sin (dkOJX2)--------------------------------------------------------------------^-[cfc(B2 + Bf)Li (w(b - ж2)) sindkwb-

B2

Cfc g-Cfc Bi^(b+^2)

-dkL2 (w(b - x2)) cos dkub\ H-----------------------х

B2

x [cfc sin dfcwb(B 2 + B|)Li (w(b + Ж2)) — dk cos dkwbL2 (w(b + Ж2)) ]

/

af2 = — X! fkCkw2 exP (iWCfcЖ 1) cos (dkWX2) -

e-cfcBi^(b-^2)

■2 exp (iüüCkXi) cos (dkux2)-----------------------

k=i V CkB2

x (25)

x [cfcL3 (w(b — ж2)) cos dkwb + dk sin (ckB2w(b — ж2)) sin dkwb] +

g-cfcBiw(b+£2)

x

x [cfcL3 (w(b + ж2)) sin dkwb — dk sin (ckB2w(b + ж2)) cos dkwb] +

г g-CfcBiw(b-£2)

+¿ sin (dkujx2)------------- ------[ckL3 (w(b — ж2)) sin dkuib—

L ck B2

e-cfc Bi^(b+^2)

-dk sin (ckB2u(b - ж2)) cos dkwb] H--------------------x

Ck B2

x [ckL3 (w(b + ж2)) sin dkwb — dk sin (ckB2w(b + ж2)) cos dkwb]

/ g-cfc Bi^(b-X2)

(TÍ2 = 2J /fcW2ck exp (гшскЖ1) I - dk cos (dkux2) H-------------—--------

x

B2

k=1

ck(B 2 + B|) sin (CkB2w(b — ж2)) sin dkwb — dkL 1 (w(b — ж2)) cos dkwb

g-cfcBiw(b+£2)

H----------------x

B2

ck(B 2 + B|) sin (CkB2w(b + ж2)) sin dkwb — dkL 1 (w(b + ж2)) cos dkwb

+

+

X

X

+І

e-ck Biw(b-X2)

- dk sin (dkUX2)---------- --------[pk(Bі + Bf) sin (CkB2u(b - x2)) cos dktob +

B 2

+dkL1 (u(b — x2)) sin dkub] +

0-екВ1ш(Ь+Х2)

B~2

x [ck(B2 + B|) sin (ckB2u(b + x2)) cos dkub + dkLi (u(b + x2)) sin dkub]

где

Li (w(b ± ж2)) = Bi sin (ckB2w(b ± ж2)) — B2 cos (ckB2w(b ± ж2)),

L2 (w(b ± Ж2)) = (B2 — B|) sin (ckB2w(b ± Ж2)) — 2B1B2 cos (ckB2w(b ± Ж2)), L3 (w(b ± Ж2)) = Bi sin (ckB2w(b — Ж2)) + B2 cos (CkB2w(b — Ж2)).

Проще говоря, решением краевой задачи (1)—(4) являются действительные части (25), однако при вычислении дисперсий случайного поля напряжений по формуле

Dij = <1412) (26)

нет необходимости явного выделения действительных частей комплексных функций [6].

Полученное решение (25) удовлетворяет уравнениям равновесия и условию совместности точно, а граничные условия при Ж2 = ±b имеют невязку порядка wb exp (—wb). Таким образом, соотношения (25) дают асимптотическое представление решения исходной краевой задачи при wb ^ 1, где параметр w определяет характерную частоту флуктуаций реологических свойств материала, а b — характерный размер пластины.

На основе полученного решения проведён статистический анализ, для чего найдены дисперсии случайного поля напряжений по формуле (26) при Ck = dk = 1, а также исследовано их поведение вблизи и вдали от границ полосы Ж2 = ±b. Аналитические формулы для дисперсий не выписаны в силу их

2 '2

и 4

9

1,5

0,5

Г рафики нормированных дисперсий D0 при n = 3:1 — D0!, 2 — D02, 3 — D02

X

громоздкости. На рис. представлены зависимости нормированных дисперсий D% = от безразмерной координаты при степени нелинейности

ij Dij ( ГО )

установившейся ползучести n = 3. Здесь Dj(то) определяет дисперсию напряжения &ij для неограниченной плоскости. Она является постоянной во всей плоскости, а ее значения представлены в работе [2]. Графики нормированных дисперсий на этих рисунках построены при wb = 20. Видно, что на границах полосы ±wb разброс напряжений D0 г принимает значение, равное

1,5, тогда как D02 и D 02 равны нулю; они достигают своих максимальных значений в пограничном слое, ширина которого с ростом n увеличивается, но незначительно. Вдали от границ полосы дисперсии принимают те же значения, что и для неограниченной плоскости.

Отсюда ясно, что флуктуации напряжений в пограничном слое играют существенную роль при решении вопроса о надёжности элементов конструкций по критериям длительной прочности и мгновенных локальных напряжений за счёт выбросов напряжений. Неучёт краевых эффектов может привести к необоснованному завышению оценок работоспособности элементов конструкций в условиях ползучести.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-00478-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов Н.Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной плоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. — №1. — C. 159-164.

2. Попов Н. Н., Коваленко Л. В. Поля напряжений на границе стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. — №42. — C. 61-66.

3. Попов Н.Н., Коваленко Л. В. Нелинейная стохастическая задача о растяжении полупространства в условиях ползучести// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. — №1(14). — C. 56-61.

4. Попов Н.Н., Самарин Ю.П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды// ПМТФ, 1985. — №2. — C. 150-155.

5. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. — М.: Наука, 1970. — 139 с.

6. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений. — М.: Стройиздат, 1982. — 352 с.

Поступила в редакцию 24/XI/2008; в окончательном варианте — 03/III/2009.

MSC: 74E05, 74E35, 74C10, 74R20

BOUNDARY EFFECT MODELING IN THE PROBLEM OF STOCHASTIC HETEROGENEOUS STRIPE TENSION UNDER CREEP

L. V. Kovalenko, N. N. Popov

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

E-mails: flytitmouseamail.ru; ponick25agmail.ru

The boundary effect in stochastic creep boundary problem of endless heterogeneous stripe tension was modeled,. Determining creep factors which were applied in compliance with a nonlinear theory of viscid flow are formulated in a stochastic form. The problem is solved approximately with disturbance method related to tensions tensor-component. Statistical analysis was performed on the basis of solution allowing defining the basic features of boundary effect.

Key words: creep, stochastic heterogeneous stripe, stochastic field of stress and strain.

Original article submitted 24/XI/2008; revision submitted 03/III/2009.

Popov Nikolay Nikolaevich, Ph. D. (Phys. & Math.), Ass. Prof., Dept. of Applied Mathematics and Computer Science.

Kovalenko Ludmila Viktorovna, Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics and, Computer Science.