Сравнительный анализ решений стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы на основе методов малого параметра и Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Физика»

тояния [2, 3], аналогичной (7)-(9). При этом величины вх^(г,г), рх^(г,г) и е^ ге8(г,г) рассчитываются через напряжения а^еБ( г, г), а ^ г, г) и а ГеБ( г, г) в поверхностном слое.

В качестве примера, на рис. 3 приведены результаты расчета кинетики осевой а!^ компоненты тензора остаточных напряжений на поверхности образца (упрочненного слоя) при г = а (к = 0).

Анализ результатов расчёта позволяет сделать вывод о том, что циклическая компонента существенно влияет на процесс релаксации остаточных напряжений: происходит расслоение кривых релаксаций; увеличивается скорость процесса релаксации; из-за циклической составляющей происходит «флуктуация» упругих деформаций и напряжений в цилиндрическом об-

разце, за счёт чего на фоне ползучести образца процесс релаксации становится «локально не монотонным» (см. рис. 3). Отметим, что при нагружении цилиндра происходит мгновенный скачок осевой компоненты

остаточных напряжений а!^ на величину приложенного напряжения. Для окружной компоненты остаточных напряжений а^ кривые релаксации на по-

верхности упрочнённого слоя имеют аналогичной вид, что и для а^, но для неё в момент приложения нагрузки скачок отсутствует.

Все полученные результаты приведены для промежутка времени, в котором деформирование цилиндрического образца происходит в пределах двух пер -вых стадий (без учёта повреждённости и разрушения от усталости).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Радченко В. П., Саушкин М. Н. Математические модели восстановления и релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом слое цилиндрических элементах конструкций при ползучести / Изв. вузов. Машиностроение, 2004. — № 11. — С. 3-17.

2. Радченко В. П., Саушкин М. Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочнённых конструкциях. — М.: Машиностроение-1, 2005. — 226 с.

3. Радченко В. П., Ерёмин Ю. А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. — М.: Машиностроение-1, 2004. — 268 с.

Поступила 11.10.2006 г.

УДК 539.376

В. Н. Исуткина, А. Ю. Маргаритов

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА И МОНТЕ-КАРЛО

Выполнен сравнительный анализ аналитического решения краевой задачи установившейся ползучести, полученного по методу малого параметра с учетом четвертого приближения, и численного решения этой же задачи методом Монте-Карло. Проведено детальное исследование случайного поля скоростей деформаций в зависимости от степени неоднородности и показателя нелинейности материала. Установлено соответствие решений по обоим методам.

Одним из приближенных аналитических методов решения стохастических краевых задач как в упругой области, так и в условиях ползучести является метод малого параметра [1-7]. Однако вследствие существенных трудностей вычисления моментов второго и более высокого порядков случайной функции он позволяет найти решения краевых стохастических задач уста-116

> . МПа

-100

-200

-300

100

200

и ч

4

^2

Р и с. 3. Кривые релаксации осевой компоненты остаточных напряжений а!^е8(г) на поверхности упрочнённого слоя цилиндрического образца из материала ЭИ 698 при Т = 700 * С при растягивающей нагрузке а0 = 450 МПа с циклической компонентой: 1 —

аа = 0; 2 —аа = 30МПа ; 3 —аа = 45МПа ; 4 — = 60 МПа

новившейся ползучести лишь для первых трех приближений [1, 3, 6, 7], при этом вопросы сходимости метода малого параметра в условиях ползучести практически не исследованы. Поэтому вопрос адекватности аналитического решения, полученного по методу малого параметра, остается открытым.

В данной работе приводится сравнение решений краевой задачи установившейся ползучести, полученных по методу малого параметра с учетом четвертого приближения и по методу Монте-Карло, для толстостенной трубы из стохастически неоднородного материала под действием внутреннего давления. Задача рассматривается в цилиндрических координатах для случая плоского деформированного состояния.

1. В [6] данная задача была решена с учетом третьего приближения, однако сходимость решения исследована не была. Поэтому одной из задач данной работы являлась оценка влияния четвертого приближения и корреляционных моментов восьмого порядка на приближенное аналитическое решение.

Краевая задача задается уравнением равновесия

Л Ог , Ог -ОФ _ 0.

Лр р

граничными условиями для напряжений на внешнем и внутреннем радиусах

ог (1) _-д, ог (р) _ 0; уравнениями совместности деформаций

Л е г Лр

и определяющими соотношениями вязкого нелинейного течения для деформаций ег и £ф :

Р^ + £ ф-£ г = 0

л/5 п у/э п

= -—с (Оф - ог) [ + аи(Р)], &ф = — с (ф - ог) [ + аи(р)],

(1)

(2)

(3)

(4)

где ог, Оф — радиальное и тангенциальное напряжения; и(р) — функция, описывающая стохастическую неоднородность материала оболочки трубы; а — коэффициент вариации механических свойств — малый параметр (0 <а< 1); с, п — постоянные материала; р _ —,

Р = — , а и Ь — внутренний и наружный радиусы трубы 1 <р<Р .

По методике, изложенной в [6], найдены скорости деформаций с учетом четвертого приближения, которые

Є = Т °ф

V2

ур/

1 2 тт 2

1 + а—Н1 + а п

2 (П + 1) Н2 п + 1 Н „з Н1 ,2 Н 2

2 (п +1)2

НН 2 +

4 (п + 1)(п + 2 з

5 Н1

2 (п +1)2 (2п +1)

3п5

3п5

НН3 -

+ а~

+ а

(п + 1)(2п +1)

3п3

Н з -

(п + 1)(2п +1) (3п +1)

V

Н 4 +

2 (п + 1)2 (п + 2) Н2Н +

п6 1 2

(п +1) 2

V/-Н +

2п

, 2(п + 1)(п + 2)(п + 3) Н4

+--------------3 7--------------Н1

3п

о(а4)

где

Т=

(75 )п-1 сА

А =

Ч

2

рп -1

1 р ■ -1--

Н, = ВІ, (Р); В =-г; I, (р) = |и1 (х)х п

2

1 -Р п

ndx.

Дисперсии скоростей деформаций вычисляются в предположении, что функция и(р), задающая поле возмущений механических свойств материала, распределена по нормальному закону (^и _ 0, (и2^ _ 1). В этом случае моменты нечетных порядков равны нулю, а центральные моменты четных порядков выражаются через моменты второго порядка.

п

п

следующие выражения:

с учетом первого приближения —

В [еф]_ Т2 №1 Га2-^ В [Я1 ] + о(а2) '■ -1 ^р 0 ё п2 у

с учетом второго приближения —

В [е ф]_ Т7

Га Л4

Р

р

а2^ В [Я1 ] + а'

4 (п +1)2

В

с учетом третьего приближения —

4

2

В [е ф]_ Т7

р

а^—г В [н1 ] + а'

4 (п +1)2

В

п

[ н.2 ]

+ а

-а

+ а

(п +1)2

В [н 2 ]-

н1 н^ + о(а4)

(п + 1)2

В [н 2 ] +

+а

6 (п +1)2 (2п +1)2 9п6

В [Н з ] + а(

4 (п +1)4

п

в [нн 2 ] + а'

6 16 (п +1)2 (п + 2 )2

9п

10

В

[ н3 ]■

5

п

н1 нз -а4

4 (п +1)

2 1 0

н( н 2 +

+а44(п + 1)(2л +1)Д °з)-а»16( +,1);(п + 2У(н,н2)яД-

Зп

Зп

-а

4 <п+^^ н (н.н 2 )+а>8 <п+1)2 ^1)<п+2 >/ нз °+о°)

с учетом четвертого приближения —

В [е ф]_ Т7

4

Р

р

а2^ В [н1 ] + а‘

4 (п +1)2

В

[ н.2 ]

+ а

(п +1)2

В [н 2 ] +

+а

6 (п +1)2 (2п +1)2

9п6

В [н з ] + а(

4 (п +1)4

В [нн2 ] + а'

6 16 (п +1)2 (п + 2 )2

9п

10

В

[ н.3 ]■

+а8 („ +1)2 (2п +1)2 <3п +1)2 В[н4] + а,4(„ +1)4 ((п +1)2 В[н1нз] +

144п8

9п

+а

8 4 (п + 1)4 (п + 2)2 в [ н2

12

[ н2 н 2 ]

+ а

(п +1)6 10

В

+а

п*“ ■- -1 4п

4 (п +1)2 (п + 2 )2 (п + 3)

9п

14

В

[ н4 ]

+а4£)-

-а

8 (п +1)2

н (н^н2 )) + а'

4 16(п + 1)(п + 2) н а4 4(п + 1)7 тт2

\2 I 0

н1 н3 )-а4

п' \ / 3п \ / п

« (п +1) (2п + 1)(3п +1) ° *0 \ + а6 8(п +1) (2п +1) н2

н2 н 2 -

-а

3п7

н2 н4 ) + а6

-а

8(п +1) (п + 2)

0 0

н2 (н2 н 2)

3п8

\4 / 0 0

н2 {нхн 3 )-

) + а6 2(п + 1) ( н2 н22) +

+а

п\ п \ /

6 8(п +1)2 (п + 2)(п + 3) / н^2 н°Л + а6 (п +1)2 (2п + 1)(3п +1) / н ^

3п

10

н2 н4 ) + а6

6п°

н 2 н 4 )-

-а6 4 (п + 13п72п +н <нн 3 ) + а64 Н + п <п + 2 > н (н 2) _а« (п^/ /°2 яА -а6 4 (п +1)2 У >(n + 3У н2 Я0-

-а6 4 Н + 'з>nHn +1) Д (н;н2) + а«8 (п + '>2 (* + '>(n + 2 ) £ ° -

-а616 <п + '>3, <п + 2 ^нн 2 )яА -а8 <п +1)3 <3п + '>> £ (нн3) +

+а,( + 1>3 (2п +3„)(3„ + 'Ип + 2 ) н°4 (, 2 А-а*(п +1)4 Н„„,1)(3" +')/ 9 0 А-

. (п + 1Г(2„ + 1)(3п + '«п + 2)(п + 3) •0 “Л

-а-----------------9?-------------------н N-

-а,8 (п + !>> + ')<п + 2 )1{н'н3 (н 2) + а8 2 <п + ->ni,нn + ')(н0>0

+а8 8 (п + ')3 (2п + 1)(п + 2 Хп + 3) /(ни )н°А-а8 2 (п + '),51(п + 2 )(н12’н 2) -

-а8 8 (п + ')3 ^ )2 (п + 3((н;н 2 ) + а8 2 (п + 1>4Х„'+2 )(п + 3> Я22 + о(а8)

Все моменты вычисляются через моменты функции 1к (р), которые могут быть выражены через корреляционную функцию К (х2 - X' ) однородного поля и (р). Например, для ^/12 (р) имеем

РР -1-2 -1-2 РР -1-2 -1-2

/7°(р)_//(и(х')и(х2)>Х1 „х2 „Лх1Лх2 _Цк(х2-X')х1 „х2 „Лх1Лх2,

11 11 а один из моментов восьмого порядка вычисляется по формуле /0 0 \

( н22 н4 _ 48Б61К1 (п)1К5 (п) + 24Бб7К2 (п) + 12пБ51К1 (п)7К4 (п),

РР -1-2 -1-2

где 1К' (п)_ Цк (х2 - х' )х1 „х2 пЛх1Лх2,

11

РРР -1-2 -1-2 -1-2

1К4 (п)_|||К(х2 - х')К(х3 - х')х1 „х2 „х3 „dX1aX2aX3,

1 11

РРРР -1-2 2 2 2

7К5 (п )_1111К (х2 - х' )К (х3 - х' )К (х4 - х2 )х1 „х2 „х3 „х4 пЛх1Лх2Лх3Лх4 . 1111

В настоящей работе по аналогии с [6] корреляционная функция аппроксимируется выражением

К(р)_ е ур1 сое(Рр) + |Р^(РМ)

(5)

где у, Р — постоянные величины.

од

в безразмерных величинах. Рассматривалась толстостенная труба с внутренним и наружным радиусами соответственно а = 1, Ь = 2.

Расчеты выполнялись при различных значениях у, Ь. На рис. 1 изображены графики дис-

персий приведенных скоростей деформаций Б

одд

в зависимости от радиуса р, вычисленных

с учетом первого, второго, третьего и четвертого приближений при у= 10, Ь = 30, а = 0,3 и п = 5 .

На рис. 2 изображены графики дисперсий приведенных скоростей деформаций Б *'

од

в зависимости от параметра нелинейности установившейся ползучести п , вычисленных с учетом первого, второго, третьего и четвертого приближений при у = 10, Р = 30, а = 0,3 и р = 1,5.

Как следует из представленных данных, четвертое приближение вносит несущественную поправку в аналитическое решение, и в практических расчетах достаточно ограничиваться лишь первыми тремя приближениями.

2. Помимо отмеченных выше приближенных аналитических методов, существующие численные подходы решения стохастических краевых задач ползучести базируются на методе статистических испытаний (Монте-Карло) и сводятся к многократному численному решению

Р и с. 1. Графики дисперсий приведенных скоростей деформаций Б

е ф „ ~п в зависимости от стей деформаций Б е ф

сд одп

Р и с. 2. Графики дисперсий приведенных скоро-в зависимости от пара-

радиуса р при у = 10, Р = 30, а = 0,3 и

п = 5 : 1 — с учетом первого приближения, 2 — с учетом второго приближения, 3 — с учетом третьего приближения, 4 — с учетом четвертого приближения

метра п при у = 10, Ь = 30, а = 0,3 и р = 1,5 :

1 — с учетом первого приближения, 2 — с учетом второго приближения, 3 — с учетом третьего приближения, 4 — с учетом четвертого приближения

детерминированных краевых задач для сгенерированных случайных реализаций с последующей статистической обработкой результатов расчета напряженно-деформированного состояния [8-10].

Рассмотрим процедуру решения поставленной краевой задачи (1)-(4) на основе метода Монте-Карло.

Численный метод решения детерминированной краевой задачи ползучести для толстостенной трубы под действием внутреннего давления Р приведен в [11, 12], согласно которому основные окончательные расчетные формулы для напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы при ползучести имеют вид:

о0 (г, г ) =

Р • а2

1 -

Г

2 (1 -V

2

;8 (х, г)

ёх -

и 2 2

Ь - а

Г х2Л

1-1 Ь2

V /

ёх

Ра2

I 2 2

Ь - а

1 ь2 1 + ~ г

2 (1 -V2) Ь2 - а2

1 а2

1 + “У г

' х2Л 1 - Х2 Ь2

V J

г х2Л

1 - Х2 Ь2

V J

Ах -

хЛх

Лх +

2 (1 -^

8г (?)=ь2 - а 2 I Лер (г’/)+р* (г’/ )]гЛг - Еп Ло0 (^?)+о0 (г’1)]гЛг |;

1 18 (х, /)хЛх + | 8( ’ ) Ах

(6)

о0 (г,/)=Е [8г ^)- еРр (г’?)- р2 (г’1)]+п(о0+о0);

е (г,?) = Е{(1+ У)°0 (г,1)-у30} + е1р (г,*) + Р‘ (г,*) (' = г,0),

где а и Ь — внутренний и внешний радиусы трубы; о^1, о0 , о°2 — радиальное, окружное и осевое номинальные напряжения соответственно; £г, £0, £2 — радиальная, окружная и осевая полные деформации; ер, е0, еР — радиальная, окружная и осевая пластические деформации;

рг, р0, р2 — радиальная, окружная и осевая деформации ползучести; J0 = о0 + °° + °0; V , Е — коэффициент Пуассона и модуль Юнга;

л (е0 + р0) л (ер + р2)

8(г,() = рг - р0+ ер - е0 - г-

--т-

(7)

Лг Лг

В рассматриваемом случае все компоненты пластических деформаций в (6), (7) равны нулю, а компоненты деформации ползучести удовлетворяют соотношениям нелинейно-вязкого течения (4).

Задача (6), (7) решается шагами по времени, при этом приращения деформации ползучести на шаге Д/ рассчитываются по соотношениям (4) на основе метода Эйлера.

В силу постановки стохастической краевой задачи (1)-(4) силовые и геометрические характеристики предполагались детерминированными, а вся стохастичность заложена в материале трубы через случайную функцию и (р) с корреляционной функцией вида (5) и параметром неоднородности материала а.

Численная реализация решения стохастической краевой задачи на основе метода Монте-Карло заключается в следующем. На первом этапе исходя из вида корреляционной функции (5) осуществляется генерация случайных реализаций и (р) (1 <р<Р). Затем для каждой реализации и (р) решается численно соответствующая детерминированная краевая задача на основе

реологической модели (6)—(7). Затем после N раз решения краевой задачи (И — объем выборки для генерации случайных величин) находятся статистические оценки для интересующих выходных параметров (перемещения, деформации, напряжения и т.п.).

Объем выборки для генерации случайной реализации и (р) в расчетахсоставил величину N = 40.

Для численного исследования рассматривалась толстостенная труба теми же параметрами с а = 1 и Ъ = 2. В качестве примера на рис. 3 приведена часть сгенерированных реализаций и (г) для случая у = 10, Ь = 30 (см. формулу (5) ).

Целью дальнейших исследований являлся анализ величин показателя нелинейности установившейся ползучести п и коэффициента вариации а на величины дисперсий скоростей деформаций £ г и £ф .

Численные расчеты, выполненные для толстостенной трубы как методом малого параметра, так и методом статистических испытаний, показали что дисперсии приведенных скоростей

деформаций Б

£г О 8 £Ф

едп едп

с увеличением п увеличиваются, причем наибольшие значения

дисперсий наблюдаются вблизи внутренней поверхности трубы, а наименьшие - в окрестности наружной поверхности трубы.

На рис. 4-6 и в таблицах 1 и 2 приведены типичные зависимости для дисперсии приведенных скоростей деформаций в зависимости от параметра нелинейности установившейся ползучести п , величины а, параметров у и Р в аппроксимации для корреляционной функции вида

(5) и радиуса трубы г (1 < г < 2).

1 1,5 Г

Р и с. 3. Сгенерированные реализации случайных функций и(г) в зависимости от г для случая у= 10, р = 30

Р и с. 4. Графики дисперсий приведенных ско-

ростей деформаций Ю

ед

в зависимости от

параметра п при у = 10, Р = 30, а = 0,3 и р = 1,5: 1— по методу малого параметра (с учетом четвертого приближения), 2— по методу Монте-Карло

и

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Рис .5. Графики дисперсий приведенных скоростей деформации в зависимости от 2 при а = 0,3, рассчитанных по методу Монте-Карло (1) и по методу малого параметра (2) при п = 5, у = 10, Р = 30

Р и с. 6. Графики дисперсий приведенных скоростей деформации в зависимости от 2 при а = 0,3, рассчитанных по методу Монте-Карло (1) и по методу малого параметра (2) при п = 5, у = 5,Р = 20

Т а б л и ц а 1

Дисперсии приведенных скоростей деформаций О в зависимости от п при у = 10, р =30, а = 0,3 и г = 1,5, полученные по методу Монте-Карло и методу малого параметра

п 1 3 5 7

Ю (метод Монте-Карло) 0,0029 0,0056 0,0129 0,0303

Ю (метод малого параметра) 0,0030 0,0052 0,0120 0,0290

Т а б л и ц а 2

Дисперсии приведенных скоростей деформаций О в зависимости от п при у = 5, р =20, а = 0,3 и г = 1,5, полученные по методу Монте-Карло и методу малого параметра

п 1 3 5 7

Ю (метод Монте-Карло) 0,0032 0,0064 0,0149 0,0351

Ю (метод малого параметра) 0,0040 0,0068 0,0160 0,0370

Выполненный детальный анализ данных расчета методом малого параметра и статистических испытаний, частично проиллюстрированный зависимостями на рис. 4-6 и данными табл. 1 и 2, позволяет утверждать, что в рассматриваемом примере для слабонеоднородных материалов (а= 0,1 + 0,3) значения дисперсий скоростей деформаций, полученные по обоим методам, отличаются незначительно, а это в свою очередь свидетельствует, во-первых, об адекватности как метода статистических испытаний при решении стохастической краевой задачи (1)-(5), так и приближенного аналитического решения по методу малого параметра, во-вторых, при решении стохастической краевой задачи установившейся ползучести (1)-(5) методом малого параметра достаточно ограничиться четвертым приближением.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. — Т. 47, № 1. — С. 159-164.

2. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряженного состояния // В сб. науч. тр.: Математическая физика — Куйбышев: КПтИ, 1977. — С.69-74.

3. Попов Н. Н. Нелинейная стохастическая задача ползучести толстостенной сферической оболочки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2000. — № 9. С. 186-190.

4. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды // ПМТФ, 1985. — № 2. — С.150-155.

5. Кунташев П. А., Немировский Ю. В. О сходимости метода возмущений в задачах теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ, 1985. — № 3. — С. 75-78.

6. Должковой А. А., Попов Н. Н., Радченко В. П. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра // ПМТФ, 2006. —Т. 47, № 1. — С. 161-171.

7. Радченко В. П., Попов Н. Н. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости // Изв. вузов. Машиностроение, 2006. — № 2. — С. 3-11.

8. Радченко В. П., Симонов А. В., Дудкин С. А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2001. — № 12. — С. 73-85.

9. Радченко В. П., Симонов А. В., Кубышкина С. Н. Об одном подходе к решению стохастической краевой задачи для толстостенной трубы под действием внутреннего давления в условиях реологического деформирования и разрушения материалов // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. одиннадцатой межвуз. конф. — Ч. 1. — Самара: СамГТУ, 2001. — С. 152-156.

10. Радченко В. П., Симонов А. В. Практические аспекты применения метода статистических испытаний к решению краевых задач с учетом реологических свойств материалов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Материалы 2 Всерос. симп. по промышленной и прикладной математике. — М.: Изд-во ТВП, 2001. — Т. 8, Вып.1. — С. 299.

11. Радченко В. П., Еремин Ю. А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. — М.: Машиностроение-1, 2004. — 265 с.

12. Радченко В. П., Кубышкина С. Н. Математическая модель реологического деформирования и разрушения толстостенной трубы // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 1998. — № 6. — С. 23-35.

Поступила 7.11.2006 г.