Решение нелинейной стохастической задачи ползучести для толстостенной трубы методом малого параметра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

А.А. Должковой, Н.Н. Попов

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Методом малого параметра во втором приближении получено решение задачи о ползучести толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Стохастичность введена в определяющее соотношение ползучести, взятого в виде нелинейной теории вязкого течения, при помощи случайной функции одной переменной. Вычислены дисперсии случайных скоростей деформаций ползучести при условии, что функция, задающая случайное поле возмущений механических свойств материала, распределена по нормальному закону. Произведено сравнение результатов, полученных в данной работе, с результатами для аналогичной задачи, решенной в первом приближении.

Исследование напряженно - деформированного состояния элементов конструкций, работающих в условиях нелинейной ползучести, является достаточно сложной задачей. Сложность обусловлена скорее не поиском характеристик некоторой “осредненной” конструкции, а необходимостью учета стохастических неоднородностей материала, поскольку опытные данные по деформации ползучести, как известно, имеют значительный разброс.

В данной работе решается статистически нелинейная задача о ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления д. Рассмотрим данную задачу в цилиндрических координатах, в предположении, что стохастические неоднородности материала оболочки трубы описываются функцией одной переменной (радиуса г). При этом компоненты тензора деформаций и тензора напряжений будут также случайными функциями только радиуса г.

В соответствии с теорией вязкого течения деформации ползучести вг и 8ф описываются следующими реологическими соотношениями в стохастической форме [1]:

ёг = е5п-1аг [1 + аи (г)];

ёф = еЗп-1а~[1 + аи (г)], (1)

где S -интенсивность и аг , а ф - девиаторы напряжений, которые имеют вид

5 = Л аф ; аг =-2(оф - а г); Оф= 2(аф-аг); (2)

и(г) - случайная функция, описывающая стохастическую неоднородность материала оболочки, характеристики которой известны: <и>=0, <и2>=1; а - коэффициент вариации механических свойств; с, п - постоянные материала; < >- символ математического ожидания.

Напряжения аг и а ф удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия

а + аг-аф= 0 (3)

ёг г

и граничным условиям

а г (а) = -д, аф(Ъ) = 0, (4)

где а и Ъ - внутренний и наружный радиусы трубы.

Компоненты тензора скоростей деформаций удовлетворяют условию совместности

ёё *

Рассмотрим задачу определения напряженного состояния трубы, которая сводится к решению системы уравнений (1), (3), (5) относительно напряжений при граничных условиях (4).

Подставляя определяющие соотношения (1) в условия совместности деформаций (5), получаем уравнение (штрихом обозначается дифференцирование по г):

(п - 1)г5 'а ф [1 + аи (г)] + гБаф [1 + аи (г)] + г5афаи' + 25аф [1 + аи (г)] = 0,

которое с использованием (2) можно привести к виду:

пг(аф - а')[1 + аи(г)] + аг(аф-аг)и'(г) + 2(аф-аг)[1 + аи(г)] = 0 . (6)

Теперь, используя вытекающее из (3) соотношение

аф-аг = га'г , (7)

г—^ + ёф-ёг = 0. (5)

уравнение (6) можно привести к виду

п(аф - а')[1 + аи(г)] + ага' и'+ 2а'г[1 + аИ(г)] = 0.

Из последнего уравнения выражаем аф :

а ([! + аи(г)](п - 2) - гаи') (8)

^ (р м ттґ ч-, (8)

п[1 + аи (г)]

и подставляем в уравнение

°(Р-°г= г°г

которое получено дифференцированием уравнения равновесия (3) по г. Тогда получим статистически нелинейное уравнение второго порядка относительно радиального напряжения:

п + 2 г

г[1 + аи (г )]с" +-[1 + аи (г )]а'г +—аи'а'г = 0 . (9)

пп

Для приближенного решения (9) используется метод разложения напряжения аг по малому параметру а:

ад

аг = а г 0 +^а*агк , <аг ) = а г 0 . (10)

к=1

Подставляя (10) в уравнение (9), можно получить

о п + 2 о

г[1 + аи(г)][а''0 + аа'1 +а а"г2 + ...] +-[1 + аи(г)][а'0 +аа', +а а'2 + ...] +

п

г

+ —аи '[а'0 +аа'г1 +а2а'г 2 + ...] = 0. (11)

п

Уравнение (11) эквивалентно системе уравнений, полученной приравниванием множителей при одинаковых степенях а:

п+2

га,0 +-аг 0 = 0; (12)

п

п + 2 г

а +-а'г1 =--и а,0; (13)

пп

га''гк + — а'гк =--и '[а'к - - иа'гк_2 + и 2а'гк_3 - ... + (-1) ^и^], к = 2,3,4... (14)

Решение системы (12)-( 14) в рекуррентной форме связано с большими трудностями. Поэтому ограничимся системой трех первых уравнений, которую можно получить из (11) при учете только членов, содержащих а0, а1, а2, пренебрегая членами, содержащими а3. Эта система будет состоять из уравнений (12),(13) и уравнения (15), полученного из (14) при к = 2:

п + 2 г

га,2 +-----а'г2 =--и'[а^ -иа,0] . (15)

пп

Уравнение (12) при граничных условиях (4) дает известное детерминированное решение [2]:

1 „2/

- - Ъ/п - а

Подставляя детерминированное решение аг0 в уравнение (13), получаем соотношение

± (- ■* % а 1__ щ.27

а г о = А

где А =-2^—. (16)

ёг V г1) п2 ’

интегрируя которое, находим решение второго уравнения системы в виде

2/

2АЬ/п т. . -2/

аг1 =----------1(г) - с1г /п + с2, (17)

п

где 1(г)- интеграл от случайной функции

I(г) = | и(х)х 1 2"ёх,

а

а постоянные интегрирования с1 и с2 определяются из краевых условий аг1 (а) = аг1 (Ь) = 0 .

В результате решение (17) примет следующий вид:

п

п

а = 2Аьїп ((а-2/п - г-2/п

)Н -1(г)),

(18)

где Н = ВІ (Ь), В =

а-2/п - ь-2/п

Далее, подставляя полученные решения (16) и (18) в уравнение (15), имеем

, 1+2/ Л 2 АЬ/

г 'г /п -____________

а , г .

ёг 1 г2 1 -2

Н-+п+1 и V

Интегрируя это соотношение, получим решение третьего уравнения системы

2 АЬ'

п + 1

, -1-2/ 2Н

х /пёх----------------1 (г)

+ с211 а 2п - г /п | + с

22

(19)

2п п

а

где постоянные интегрирования находятся из граничных условий: аг2 (а) = 0, аг2 (Ь) = 0 , отку-

2Н2 п +1 '

да следует с22 = 0 , с21 =

21 2 п

2п

Г 2 -1-2/

-Ь , где Ь = ВЗ(Ь), 3(г) = 1 и (х)х 'пёх .

В результате решение (19) определяется формулой

2 АЬ'

п +13 (г) - Щ-1 (г) - С (г ~2/п - а-21 п)

(20)

2п п

где введено переобозначение с21 = С .

Таким образом, получили решение системы, записанное в виде уравнений (16), (18) и (20), которое определяет радиальное напряжение аг во втором приближении.

Теперь найдем приближенные значения компонент тензора скоростей деформаций ёг и ёф . Из соотношений (1) и (2) видно, что для этого понадобится величина аф -аг, определяемая

соотношением (7) и разложением (10). Эту величину с помощью полученных решений (16), (18) и (20) можно представить в виде

а<р-аг = г(а( 0 +аа(1 +а2а'- 2 ) =—\ ~

2А IЬ п I г

2аН аи а 2Ни а (п +1) тт2 а 2С

1 + —;-----------------------------------------:-+- „ и +- —

п2 п п 2п2 п

Возводя последнее соотношение в степень п и подставляя полученное выражение в (1), можно найти выражение для компоненты ёф :

*р=т\ь-

, 2аН аи а22Ни а2 (п + 1)тт2 а22С

1 + —;------------------------------------:-+- „ и +- —

(1 + аи),

сАп

где Т =

п"

Разлагая степенную функцию в ряд Тейлора по а и учитывая только члены до второго порядка малости, получим

, 2аН Т7 а 2Ни а2(п +1) т2 а22С

1 +-----------аи------- ---+ —!-------- и +-----------+

+

п(п -1)

14а2Н2 4а2Ни а2и2 Л

2

- + -

2п

+ о(а2) (1 + аи) =

= Т

2Н 2а2 (п +1 )Н2 а2 (п +1 )Ь

1 + а-------+

п

+ о( а2)

= -єг

(21)

Найдем основные статистические характеристики случайных скоростей деформаций. Учи-

г 1 2/

тывая формулу для интеграла от случайной функции (I(г)} = | (и(х)}х /пёх и замечая, что

а

<и(х)>=0, получаем следующее соотношение для средних скоростей деформаций:

п

1

п

п

п

2

п

п

п

п

2

Ь

г

п

п

п

4

3

2

п

п

п

2

Ь

3

2

г

п

п

M [£l = -M [er ] = T\-

1 2a2(n + 1)^H 2^ a2(n +1)( L)

+ o(a2)

(22)

Дисперсии случайных скоростей деформаций вычислялись в предположении, что случайная функция и (г), задающая случайное поле возмущений механических свойств материала, распределена по нормальному закону. В этом случае моменты нечетных порядков равны нулю, а центральные моменты четных порядков выражаются через моменты второго порядка.

Например, центральные моменты четвертого порядка вычисляются по формуле [3]:

(101213011) = кикз4 + кик2Л + к1Лк23, (23)

где 110 - центрированные случайные величины, к^ - моменты второго порядка.

Рассматривая выражение (21) как сумму зависимых случайных функций, для дисперсий случайных скоростей деформаций можно получить следующее соотношение:

«?„]=тгI -

4a"

. 4Г D[H]+ 4a4(n +1)2 D[H2], a4(n + 1)2 d[t] 4a4(n +1)2 / 0- 0

r J n2 n6

D

-d[l]-

, (24)

где моменты нечетных порядков опущены.

Моменты второго порядка, входящие в формулу (22) для дисперсий скоростей деформаций, могут быть выражены через корреляционную функцию К(х2 - х1) случайного однородного поля и(г):

гг 2/2/

(і2 (r)^ = JJk(x2 -x1)x1 1 x2 1 'ndx1dx2

аа

r 2/ r 2/

J(r)} = |(u2 (r)jx 1 'ndx = | x 1 'ndx.

(25)

Используя формулу (23), а также формулы (25), распишем каждое слагаемое формулы (24):

Ь Ь 2/ 2/

(и2^ = В2{12(Ь)^ = В2Цк(х2 -х1)х1 1 х2 1 'пёх1ёх2 ;

а а

б\н2]=/Я4\ = 3(и2У = 3В4|К(х2 -х1)х1-1-2Пх2-1-2пёх1ёх2 ;

\ / V а а )

= 1 Ь2\ = В2 Л (и2(х1 )и2(х2 )}х-~2пх-1-2пйххйх2 =

\ / а а

(Ь __ 2/ Л2 (ЬЬ __ 2/ __ 2/ 4 2

= В21 | (и2 (х1 ^х11 'пёх1 + 2В21 и(х1 )и(х2 )х11 х2 'пёх1ёх

0

b V Л і b b 2/

= Bz \ jx 1 //ndx + 2B2 \ jjK(x2 - x1 )xx 1 /

а J v а а

ю\ b b b /

-1- V -1-2/

- x1 )x1 /nx2 /ndX 1dX2

= B2J(b})2 + 2B2(l2(b}) ;

' H2 L) = B3 jjju (x1)U (x2) U 2(x3)^x/ x- 'nx31 'ndx1dx2dx3

3 — -1-2/ -1-2/ br -1-2/ 3 і — -1-2/

B jjK (x2 - x1) x1 x2 /ndx1dx2 j x /ndx + 2B \ J j К (x2 - x1) x1 /n

а а а v а а

-1-2/ -1-2/

n x 2 n dx1 dx2

= (H2)Bj(b)) + 2B3(12(b))2.

Статистическая обработка опытных данных показывает, что корреляционные функции механических характеристик являются знакопеременными затухающими функциями [4,5], и их можно аппроксимировать выражением:

К(p) = e~Yp cos(вр), p = x2 - x1 , у> 0 (26)

или более сложным соотношением

2

r

n

n

а

а

аа

2

ааа

2

К(р) = е у\р (^вр + взт Рр|), (27)

где у, Р -постоянные величины, определяемые по опытным данным из условий наилучшей аппроксимации.

Случайное поле микронеоднородностей, корреляционная функция которого задается выражением (26), не является дифференцируемым, что приводит к затруднениям при оценке надежности элементов конструкций по теории выбросов. Случайное поле с законом корреляции (27) дифференцируемо. Поэтому численные вычисления моментов второго порядка (25) проведены в предположении, что корреляционная функция случайного однородного и одномерного поля неоднородностей и(г) имеет вид (27):

К(р) = е40р (со8(20р) + -^п 20|р).

Р и с. 1. Графики дисперсий скоростей деформаций Р и с. 2. Графики дисперсий скоростей дев зависимости от г при различных п формаций в первом (сплошные линии) и вто-

ром (пунктирные линии) приближениях при различных а и п

Дисперсии скоростей деформаций в первом и втором приближениях при различных п и а

а \ п 1 3 5 7 9 11

Б1 0.0005 0.0012 0.0030 0.0073 0.0180 0.0441

Б2 0,1 0.0005 0.0013 0.0031 0.0075 0.0181 0.0443

Б1 0.0023 0.0050 0.0120 0.0290 0.0720 0.1750

Б2 0,2 0.0026 0.0055 0.0130 0.0320 0.0770 0.1870

Б1 0.0051 0.0110 0.0270 0.0660 0.1610 0.3930

Б2 0,3 0.0071 0.0140 0.0330 0.0780 0.1890 0.4580

Б1 0.0090 0.0200 0.0480 0.1180 0.2870 0.6990

Б2 0,4 0.0160 0.0280 0.0650 0.1550 0.3730 0.9030

Б1 0.0140 0.0310 0.0760 0.1840 0.4480 1.0920

Б2 0,5 0.0300 0.0510 0.1160 0.2750 0.6590 1.5890

Численные вычисления по формуле (24) для толстостенной трубы с внутренним и наружным радиусами соответственно - а=1, 6=2, показали, что дисперсии скоростей деформаций 0[^г ] и 0[ёр] с увеличением п увеличиваются, причем наибольшие дисперсии вблизи внутренней поверхности трубы, а наименьшие - в окрестности наружной поверхности трубы. Данное утверждение проиллюстрировано графиками дисперсий как функций, зависящих от г, изображенных на рис.1. На рис.2 изображен график, показывающий различия дисперсий, посчи-

танных в первом (сплошная линия) и втором (пунктир) приближениях. В правом верхнем углу рис.2 приведен срез этого графика при г = 1.5, показывающий зависимость дисперсий от показателя нелинейности п.

В таблице представлены значения дисперсий скоростей деформаций в зависимости от п и а при г = 1,5: в первой строке приведены значения, вычисленные по первому приближению; во второй - по второму приближению.

Из приведенных графиков и таблицы видно, что для слабонеоднородных материалов (а=0.1-0.2) значения дисперсий скоростей деформаций отличаются незначительно. Для материалов с большой степенью неоднородности (а=0.4-0.5) значения дисперсий скоростей деформаций, вычисленные по второму приближению, могут превосходить соответствующие значения, вычисленные по первому приближению, в полтора раза. Поэтому в данном случае неучет членов второго порядка малости может привести к необоснованному завышению показателей прочности и надежности толстостенной трубы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов Н.Н., Самарин Ю.П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородной среды // ПМТФ. 1985. №2. С. 150-155.

2. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455 с.

3. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.

4. Кукса Л.В., Лебедев А.А., Ковальчук Б.И. О законах распределения микродеформаций в двухфазных поли-кристаллических сплавах при простом и сложном нагружениях // Проблемы прочности. 1986. №1. С. 7-11.

5. БогачевИ.И., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое металловедение. М.: Металлургия, 1984. 176 с.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 01-01-00528