Об одном классе нестационарных случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.216

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

КОРОБСКАЯ А. В._________________________

Описывается один класс эволюционно представимых нестационарных случайных процессов в рамках гильбертова подхода к корреляционной теории случайных процессов. Вычисление инфинитезимальной корреляционной функции, описывающей отклонение случайного процесса от стационарного, осуществляется при помощи резольвенты оператора, дающего эволюционное представление. При этом используются треугольные модели диссипативных операторов.

Введение

В [1] был введен класс так называемых эволюционно представимых нестационарных процессов, для которых при вложении в гильбертово пространство соответствующая кривая является решением задачи Коши. Для таких процессов в [1] была установлена тесная связь со спектральной теорией несамосопряженных или неунитарных операторов. В дальнейшем подход, предложенный в [1], привлек внимание широкого круга исследователей [2-6]. Однако эволюционно представимые процессы, порождаемые задачей Коши с оператором, который является самосопряженным возмущением оператора Вольтерра, не изучались. Поэтому возникает необходимость в расширении класса нестационарных случайных процессов в рамках корреляционной теории.

Целью исследования является изучение одного класса нестационарных случайных процессов и получение канонического представления для инфинитезимальной корреляционной функции.

Задача исследования состоит в решении задачи Коши для соответствующего эволюционно представимого диссипативного процесса первого ранга нестационарности в случае, когда рассматривается самосопряженное возмущение оператора Вольтерра.

Решение. Включим оператор A в операторный комплекс

K = (Af = a(x)f (t, x) + i J f (t, y)dy ,

x

L2 [0; l], g(x) = 1, J = 1).

Поскольку все характеристики нестационарности тесно связаны с однопараметрической полугруппой опе-

_ iAt ґ A * * \

раторов e (A Ф A ) , то можно вычислить непосредственно ^(t, x) = eiAtf0(x), воспользовавшись

iAt

представлением e в виде

eiAt =—— J eitX (A— XI) —MX,

2ni *

где Y - контур,

охватывающий спектр оператора A , или решая задачу Коши (1).

Найдем резольвенту и полугруппу для треугольной модели оператора (1), когда (1) имеет вид:

Afx = xfx + i J ftdt.

x

Вычислим резольвенту R X = (A — XI) 1 оператора A и пусть (A — XI)—1 f = h, тогда

fx = (x — X)hx + iJ htdt.

x

Сделаем замену Gx = (x — X)hx и перепишем это равенство в виде

f

x

Gx + iJ

G,

t — X

dt.

x

После дифференцирования получим задачу Коши

G— i-^- = f',

x — X

Gi = fi

(2)

Постановка задачи

В работе изучаются случайные процессы, операторное представление которых порождается операторами

і

в L2 [0;l] вида (Af)(x) = a(x)f(x) + iJ f(y)dy,

_____ x

где a(x) = a(x). Соответствующая кривая 5(t, x) в

L2 [0;l] имеет вид 5(t, x) = eiAt 5 0 (x), т. е. является решением задачи Коши:

= a(x)5(t,x)+i J 5(t,y)dy

x

5(0,x) = f0(x).

(1)

Легко проверить, что функция

Gx = (x — — J

i f(l) f(x —X) f,

(l —X)i Jx(t — X)i t

f'dt

является решением задачи Коши (2). Получаем, что

i—1 f(l) f(x — X)

hx = (x — X)i—— J x Л _ 7 V J

i-1

. . . f'dt

(l — X) Jx (t — X). t .

Таким образом, резольвента R X = (A — XI)—1 опе-

і

ратора Afx = xfx + iJ ftdt, действующего в про-

x

странстве L2 [0; l], имеет вид:

РИ, 2013, № 2

27

Rx (A)f(x) = (x-X)l-1f- -

Воспользуемся формулой контурного интегрирования для вычисления полугруппы zt = eltA . Как известно [3]:

eltA =—— f (A -XI) -1elXtdX 2nl \ .

Тогда для ^(t, x) = eltAf(x) получим:

а ряд

Z

|(u - x) • i • ^k

сходится при любом x , ^ и

|(t,x) = --1- f e"1 ((x-X) 2niJ.

l-1 f(l)

(1 -X)1

(x X)-fu du)dX

1

- f

x (u -1)

= _Z f eiti (1-x )i f(l)< 2 ni f X -1 X -

k=0 (k!)

t, потому что радиус его сходимости R = ОО .

Данная сумма (3) является разложением в ряд вырожденной гипергеометрической функции [5]:

F(a, T,z ) = Z -(О^ї,

О (Y)k • k!

где для нашего случая z = it(u - x) , (a)k = lk, (.)k = k!. Тогда имеем

F(a, Y,z) = F(lk,k!,lt(u - x)) и справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если оператор, действующий в пространстве L2 [О, l], имеет вид:

x

і

Afx = xfx + lj ftdt,

то

+ ff'(„1_ f eiXt (X-x)‘ dX )du $(t,x) = eltAf(x) = -eltx • f(1) • F(lk,k!,it(1 -x)) -

J u 2nl(X-u)1 X-x . 1

-f eltx •F(lk,k!,lt(u -x))fUdu,

x

где f(x)є L2[0,1],а F(lk,k!,lt(u - x)) имеет вид:

Вычислим интеграл

f ^X) J VX -

і f(x-x)ieixt_dx_ 2nl * X - u X - x

= —— f elXt(1 + )-l_^ =

2nl * X - x X - x

._L f eiXt(1 - .x - u + (-i)(-i - 1) • (x - u)" +

' 2nl( X- x 2! (X - x)2

+

(-l)(-i - 1)(-i - 2) (x - u)3

3!

l • l

= eltx(1 + — t(u - x) +

1!

(X- xX i(i +1) • i2 (2!)2

+...)

(X - x) dX

X-

x

t2(u - x)2 +

+

i(i + 1)(l + 2) • i (31?

-t3(u -x)3 +...)

Перепишем выражение в скобках как сумму:

Z ((u - x) •t •l)k •. k=0 (k!)2 k’

где lk = i(i + 1)...(l + k -1).

Данный ряд сходится, так как

|ik| < 1 • 2 •... • (1 + k -1)< k!,

(3)

F(. ]! ЧЧ ^((u - x)lt)k .

F(lk,k!,lt(u - x)) = Z TTTTi--------.k, (4)

k=0 (k!)

здесь u є (x;1].

Перейдем к общему случаю. Этот подход был предложен для рассматриваемого оператора В. А. Золотаревым. Пусть оператор A имеет вид:

1

Af = a(x)fx + if ftdt.

x

Вычислим резольвенту R X = (A - XI) 1 оператора A и пусть (A - XI)-1 f = h . Тогда

(a(x) -X)hx +1 f htdt = fx.

x

1

После замены f htdt = y(x) получим задачу Коши:

/ l f(x)

У-----X X А У =■

< a(x) - X a(x) - X

y(1) = 0

28

РИ, 2013, № 2

-f-----dp

, J a(P)-X H

Функция y = ce x является решением одно-

родного уравнения, а решение задачи Коши имеет вид:

Преобразуем слагаемые (7) с помощью интегральной формулы Коши [3]:

=-^ I

Ire

-tX

(A -XI) -1f = - y' = -

f(x)

2ni JY^ - a(x)

-dX = e

-ta (x)

a(x) - X

■ +

1 1 a(P)-XdP f - • f(u) 1 a(P)-XdP

+-----------ex • I-----• eu du =

a(x) -X * a(u) -X

l .

_ f(i) A ace-)=xd\ і х

I1 =—— f dpf-

X X (X -

^ -tX

2n- xx X (X - a(x))(X - a(e))

dX

+ •

a(x) -X a(x) -X

і -f —-—dp

хIf '(u) • e 1 du.

x

Вычислим ztf :

£(t,x) = ztf = --— f I(v ex'^H; eItxdX-t X X - <

f f(l) e1X-0(P)dPe-tX,

2п- X X - a(x)

1 l f------------dP

1 ГГ x X-a(P)

2n-

jjeJxX-a(P) • f '(u) du

^ -tX

---------dX (5)

a(x) -X ’ (5)

Y x

где u є (x; l].

Отметим, что при l = u :

1 -tX - f-^L

1 f e J X-a(P)

-Л f

9 m J

x Л “AH7 -л

-ex dX =

- I

dP

X-a(p)

Разложим e x в степенной ряд и перепишем (6)

в виде:

, . u dp

1 _ -tX -1------

-L f_e----------e fx X-“(e)dX

2п- 'X- a(x)

itX u

i-ta(x)

—f_dL_d X

(1!) • 2п- X X - a(x)X X - a(P)

--tX u dp

----------f—--------(f

(2!) • 2п- X X - a(x; x X - a(p)

где u є (x;l].

)2dX-...

=11 (■

u e-ta(x

i-ta(P)

• + •

(a(x) -a(e)) (a(e) a(x))

- 2 u t1

I2 =------------fdt1 fdt2 х

2 (2!) • 2rnJ 1j 2

)dP;

_ -tX

e

{ (X - a(x))(X - a(t1 ))(X - a(t 2 ))

• 2 u t1

-dX :

e

-ta (x)

-— f dt1 f dt2 (---

(2!) x 1jx 2 (a(x)-a(t1))(a(x)-a(t2))

+

-ta(t1)

+ ■

+ •

(a(t1) -a(x))(a(t1) -a(t2))

e-ta(t2)

(a(t2) -a(x))(a(t2) -a(t1))

+

).

2п- * X - a(x)

, r dp

1 f e Jx X-a(P) .

----1-----------ex dX (6)

2п- X X - a(x) ^ ;

Учитывая полученную закономерность, выписываем In :

• П u t1 t n-1

In =-(Пі) Idt1 xdt2 ". -fdt

2''* J ln

x x x

‘(-

-ta(x)

+

-+... +

(7)

(a(x) - a(t1)) •... • (a(x) - a(t n))

e1ta(tl)

+--------------------------------------------

(a(t1) - a(x)) • (a(t1) - a(t2)) • ... • (a(t1) - a(tn ))

elta(tn)

+-------------------------e------------------------------)

(a(tn) - a(X)) • (a(tn) - a(t1)) • ... • (a(tn) - a(tn-1)) '

(8)

Тогда (5) примет вид:

l -

1 ^.-tX f - dp

S(t,x) = f(l) • —11 ^-^a—e x X-a dX-

2n- Jy X - a(x)

u

l 1 _-tX f - dp

- f f '(u) • (-_L f --------------ef X-a,|il dX)du =

Jx 2П J X-a(x) '

РИ, 2013, № 2

29

i2

- f(1) • (І0 + iIi + _27I2 + ••• + —:ln + •••)-2! n!

1 *2 in

- J f /(u)du • (Io + *Ii + —12 + ••• + — In + •••)

J 2! n!

x

“ *k ~ 1 ^ •k

- f(') - Z -j-rik - J f /(u) - (Z ■k!Ik)du -

k-0 k! x k-0 k!

*k 1 ~ ik

+ jf(u)(^lkl

k-0 x k-0

где u є (x;l], а ^ имеет вид:

• k 1 І1 Ik-1

~ jk 1 jk /

f(x)-Io -Z77 + Jf(u)(Zl“7Ik) udu,

~--(cry Jdti X dt 2 ••• j*

2k

xx

ita(x)

(

+

-+••• +

(a(x) - a(ti)) • ••• • (a(x) - a(t k))

gi<“(t1)

+-----------------------------------------

(a(t 1) - a(x)) • (a(t 1) - a(t2)) • ••• • (a(t 1) - a(tk))

gita(tk)

+----------------------------------------------

(a(tk) - a(x)) - (a(tk) - a(ti)) - •••- (a(tk) - a(tk-i))"

Теорема 2. Если оператор, действующий в про

странстве L2 [0,1], имеет вид:

1

Afx -a(x)fx + 7 J ftdt,

)

то его полугруппа равна кривой в

L2 [0,1]:

n

~ *k

5(t,x) - e“f(x) - f(x)-e“x) - Z ^ +

k-0 k!

+

1 ~ ik /

J f(u)(Z !7!Ik)udu,

x k-0 k!

где f(x)є L2 [0,1], u є (x;1], а Ik имеет вид (8)

Перейдем к вычислению инфинитезимальной корреляционной функции [ i ]:

W(t,s) - (2ImA^(t), ^

Поскольку в рассматриваемом случае

1

2Im Af - Jf(x)dx - (f,g)g,

0

где g(x) = i (т•е• dim2Im AH - i), то

W(t, s) -9(t)9(s), где

Ф(і) -(E(t,x),g) - J^(t,x)dx^

0

Следовательно, при a(x) - x имеем:

1

9(t) - -f (1) • JeitxF(ik ,k!, it(1 - x))dx -

0

11

- JJeitxF(ik, k!,it(u - x))f/(u)du dx -

0x

1

- - J eitxf (1)F(i k, k! ,it(1 - x))dx -

0

1

- JxeitxF(ik,k!,it(x - x))f/(x)dx -

0

- -Jeitxf (1)F(ik,k!,it(1 - x))dx , (9)

0

где F(ik,k!,it(u -x)) -

Z((u-x)it)^

kb (k!)2

• ik•

Таким образом, доказана следующая теорема^

Теорема 3^ Пусть Еt - эволюционно представимый

диссипативный процесс первого ранга нестационарности, спектр которого состоит из всех точек

интервала [0; і ]. Тогда инфинитезимальная корреляционная функция имеет вид W (t, s) - 9(t)9(s),

где ф(і) имеет вид (9), процесс E,t асимптотически затухает и его корреляционная функция имеет вид

K(t, s) - J ф(і + т)ф^ + x)dx •

0

В общем случае имеем:

1 ^ • k

Ф(і) - Jf(x) • ei№) • (Z—)dx +

o k-0 k!

11 ^ ,

+ JJf(u)(Z:7TIk) ududx-

0 x k-0 k!

1

- J f (x)• (eita(x)

“ ik “ i /

•Zt^ + x)dx,

k-0 k! k-0 k!

где Ik имеет вид (8) При этом корреляционная функция K(t, s) -(Е t , Е s) - J Е(^ t)E(x, s)dx •

0

Выводы

Предложенный в статье операторный подход реализован для моделирования одного класса нестационарных случайных процессов в рамках корреляционной теории Вычислена полугруппа операторов для мо-

1

дельного оператора Afx - xfx + i I ftdt и для опера-

30

РИ, 20i3, № 2

тора,

имеющего более общий вид

і

Af = a(x)fx + ij ftdt. Получена инфинитезималь-

X

ная корреляционная функция для эволюционно представимого диссипативного процесса первого ранга нестационарности.

Практическое значение: результаты данного исследования могут служить основой для моделирования корреляционных функций нестационарных случайных процессов при обработке статистических данных, а также для построения спектральной теории некоторых классов нестационарных случайных функций.

Литература: 1. Лившиц М. С. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах / М. С. Лившиц, А. А. Ян-цевич. Х. : Изд-во Харьк. ун-та, 1971. 160 с. 2. Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представле-

УДК656.13:658

МОДЕЛЮВАННЯ ВИРОБНИЧОЇ ЛОГІСТИКИ В УМОВАХ ПЕРЕБУДОВИ ПІДПРИЄМСТВА

ГРИШКО С.В., ГУЦА О.М., СУХОМЛІНОВ А.І.

Аналізуються методи формування ефективної виробничої логістики в умовах перебудови виробництва. В рамках детермінованого моделювання виробничої логістики розглядаються одно- та багато- продуктові транспортні задачі. Окреслюються підходи до формування виробничої логістики в рамках детермінованого моделювання.

Актуальність, мета та задачі дослідження

Починаючи з 70-х років минулого століття логістика, яка відома з античних часів, перейшла у фазу бурхливого розвитку і стала об ’ єктом досліджень, в першу чергу, економістів та прикладних математиків. За цей час змінився і предмет самої логістики. Від науки та практики забезпечення військ логістика перетворилась, з одного боку, у самостійну галузь світової економіки, з іншого - на науку, що базується на методах математики та економіки і втілює свої досягнення в автоматизованих та автоматичних системах управління різних рівнів - від малого підприємства та приватного підприємця до транснаціональних корпорацій та наддержавних утворень.

Виробництво в сучасних умовах характеризується сталим ускладненням бізнес-процесів. Збільшується номенклатура товарів. Це призводить до ускладнення структури матеріального потоку, що забезпечує виробництво та зростання значущості інформаційного потоку, що супроводжує матеріальний потік. Зрозуміло, що ефективне управління матеріальним потоком можливе тільки за наявності досконалих комп’ютеризованих систем, які ґрунтуються на теоретичних засадах сучасної логістики і забезпечують ефективний супровід матеріального потоку у режимі реального

ний несамосопряженных и неунитарных операторов / В. А. Золотарев. Х. : [ХНУ], 2003. 342 с. 3. Zolotarev V. Nonstationary curves in Hilbert spaces and their correlation functions. I / V. Zolotarev, K. Kirchev // Integr Equat Oper Theory, 1994. Vol. 19. Р. 270-289. 4. Zolotarev V. Nonstationary curves in Hilbert spaces and their correlation functions. II / V. Zolotarev, K. Kirchev // Integr Equat Oper Theory, 1994. Vol. 19. Р. 447-457. 5. Никифоров А. Ф. Основы теории специальных функций / А. Ф. Никифоров. М.: Наука, 1974. 303 с. 6. Яглом А. М. Введение в теорию стационарных случайных функций / А. М. Яглом // Усп. мат. наук. 1952. Т. 7. Вып. 5(51). 168 с.

Поступила в редколлегию 20.05.2013

Рецензент: д-р физ.-мат.наук, проф. Золотарев В. А.

Коробская Анна Викторовна, канд. пед. наук, старший преп. кафедры высшей математики и информатики ХНУ им. В. Н. Каразина. Научные интересы: случайные процессы. Адрес: Украина, 61022, Харьков, пл. Свободы, 4, тел. 057-707-51-90, e-mail:[email protected]

часу, підтримуючи при цьому зв’язок з системою управління підприємством.

Як відмічалось у [1], ’’актуальність управління матеріальними потоками обумовлена трьома компонентами:

- суттєвою роллю матеріальних потоків у виробничому процесі промислового підприємства,

- складністю управління рухом матеріальних ресурсів у просторі і часі,

- сучасними тенденціями організації виробництва.”

У складнення бізнес-процесів вимагає нових підходів до управління сучасним підприємством. Для досягнення високої ефективності діяльності підприємства необхідно мати максимально точну картину того, що відбувається, максимально точний аналіз. Крім того, дуже важливо мати прогноз наслідків виконання прийнятих рішень. Світова теоретична думка не стоїть на місці і продукує нові технології і методики моделювання бізнес-процесів. Звернемо увагу на появу нового стандарту для моделювання бізнес-процесів і мережевих послуг Business Process Modeling Notation (BPMN) [2]. Як показано у [3], ”ВРМЫ автоматизує і упорядковує бізнес-процеси, які є значущими для збільшення продуктивності, починаючи від найму персоналу і закінчуючи обробкою замовлення на покупку. ВРМN сприяє реструктуризації, контролю та управлінню виробничими процесами, що включають в себе людей і системи, для більш ефективного виконання робіт”. Якщо логістику розглядати як один з видів бізнес-процесів, то стає зрозумілим, що одним з найперспективніших підходів в логістиці є впровадження в практику господарювання візуального імітаційного моделювання бізнес-процесів [3].

Актуальність впровадження нових методів управління значно зростає у випадку перебудови підприємства, коли доводиться приймати рішення, наслідки яких не апробовані практикою господарювання, а є лише теоретичними розрахунками або, навіть, лише інтуїтивними здогадками.

РИ, 2013, № 2

31