Корреляционная теория некоторых классов нестационарных случайных функций конечного ранга нестационарности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Последующие выкладки проводятся по той же схеме, что и в п.3. Записывая A(x, є) в виде

A(x, є)=А0(х)+єА!(х)+є 2B(x, є), составим интегральное уравнение

X

в(х)=іє 1 V(x, s, є)В^, є)G(s)ds-

a

1 x

— 1 V(x, s, є)G(s, є)ds . (28)

іє a

Поскольку второе слагаемое в правой части (27) имеет порядок 0(є P+1), а ядро интегрального оператора мало (порядка є), методом последовательных приближений легко доказать, что G(x)=0fcp1).

Поскольку разность W=z-G в силу (26) и (28) удовлетворяет (1), z(x, є) асимптотически представляет решение на всем интервале [a, b].

5. Выводы

Получен алгоритм «склеивания» ВКБ-асимптотик в точках разрыва коэффициентов СТУ. Исследуя выражения (24) и (25), легко увидеть, как разрывы -сосредоточенные неоднородности канала - порождают преломления и отражения ВКБ-волн [2]. На этих неоднородностях, таким образом, происходит рассеяние волн. Оно происходит на любом неоднородном участке канала. Но в случае, когда неоднородность имеет высокий порядок гладкости, рассеяние имеет сверхстепенной порядок малости. Такие порядки не могут быть учтены ВКБ-методами.

Научная новизна: усовершенствован метод блок-диагонализации матриц при достаточно общих пред-

УДК519.21

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО РАНГА НЕСТАЦИОНАРНОСТИ

ПЕТРОВА А.Ю.________________________________

Вводятся функциональные и числовые характеристики, позволяющие описать отклонения векторных случайных процессов и последовательностей от стационарных. Вводится понятие эволюционной представимости для векторного случайного процесса (последовательности) и получены необходимые и достаточные условия в терминах корреляционной матрицы для соответствующей эволюционной представимости.

Введение

Определенный интерес представляют векторные нестационарные случайные функции. Векторные стационарные случайные последовательности и процессы изучены достаточно подробно [1, 2]. Скалярные не-

РИ, 2007, № 1

положениях об элементах матриц, включая бесконечномерный случай, что позволяет использовать этот метод для решения уравнений Максвелла.

Практическая значимость: разработанный алгоритм блок-диагонализации матриц позволяет произвести вывод систем телеграфных уравнений, шороко используемых в электродинамике.

Литература: 1. Дикарев В.А. Асимптотические представления обобщенной системы телеграфных уравнений // Радиотехника и электроника АН СССР. 1974б Т. XIX, .№11. С. 2349-2356. 2. Дикарев В.А. Волны в многопроводных системах с распределенными параметрами // Радиотехника и электроника АН СССР. 1974б Т. XX, №12. С. 2618-2621. 3. Дикарев В.А., Кольцов В.П., Мельников А.Ф., Шкляров -Л. И. Вычислительные методы в задачах радиоэлектроники. К.: Вища школа, 1989. 303 с. 4. Sibuya J. Formal Solution of a Linear Ordinary Differential Equation on the n-th order at a Fuming Point // Ervas. 1962, № 4. Р. 115-139.

Поступила в редколлегию 12.03.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Агапова Ирина Степановна, канд. техн. наук, ст. преподаватель кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-436.

Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-436.

Подгорбунский Никита Сергеевич, инженер-программист ДП ТОА «Украина». Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61195, Харьков, ул. Метростроителей, 15, кв. 23, тел. 71602-70.

стационарные случайные процессы и последовательности исследованы в [3-6].

Целью работ ы является изучение некоторых классов векторных нестационарных случайных функций.

Задача: введение функциональных и числовых характеристик, описывающих отклонения векторных случайных функций от стационарных, а также получение критериев принадлежности нестационарных векторных случайных функций тому или иному классу.

Рассмотрим некоторые классы нестационарных векторных случайных функций.

Пусть §(n) = (§1(n),§2(n),...,£,k(n)) , Щj(n) = 0, j = 1,k - случайная векторная последовательность (далее |(n)). Рассмотрим матрицу W(n, m) с элементами Wap (n, m) = Kap (n, m) - Kap (n +1, m +1), где Kap (n, m) - корреляционная матрица.

В дальнейшем матрицу Wap (n, m) будем называть матрицей корреляционных р азностей (МКР).

Векторную последовательность |(n) будем называеть квазистационарной, если ранги квадратичных форм

29

X /W(n,m)a(n),a(m)\ (1)

n,m=1 ' H2

ограничены в совокупности, а

р = max rang Е ^W(n, m)a(n), a(m)^

n,m=1

назовем рангом нестационарности.

Очевидно, что если векторная случайная последовательность |(n) стационарна, т. е. |j(n) - стационарные и стационарно связанные последовательности, тогда р = 0. Это следует из того, что корреляционная матрица зависит от разности соответствующих аргументов и Wap (n, m) = 0 . Отметим, что при вложении стационарной векторной последовательности в гильбертово пространство H^ получаем детерминированную векторную последовательность (xi(n), X2(n),...,Xk(n)), причем Xj(n) = TnX0j, где T - унитарный оператор в гильбертовом пространстве H5 = Vcjk|j(k) [1]. j,k

Wap (t, s)

A q- Ap i

la (t), |p (s)

V

где §a(t) = eitA40a, a, P = 1,k.

В дальнейшем ограничимся для простоты изложения случаем k = 2 .

Теорема 1 (критерий эволюционной представимости для векторозначных кривых в гильбертовом пространстве). Для того чтобы комплекснозначная матрица-функция K(t, s) была корреляционной матрицей векторной эволюционно представимой кривой X(t) = (xi(t), X2(t)), где

xa(t) = eitAaX0a (a = 1,2), Ai,A2 є [H, H], необходимо и достаточно, чтобы:

1) матрица JK(t, s) была эрмитово неотрицательной;

2) K(t, s) - дважды непрерывно дифференцируема;

3) существовала константа 0<о<да такая, что

Из условия Kap (n, m) =

= (xа (n), xр (m)) = ^Tn-mX0a ,X0^ = Kap (n - m) следует, что Wap (n, m) = 0 , а, значит, и p = 0 .

N1 ^

E ^iM(tk,tj)ak,bj) k=1j=1'

2

<

N1

N2

<»І ^KC(tk,tj)a k, a j^ • E (K^(tk,tj)bk,bj^

k,j=1

k,j=1

Таким образом, матрица корреляционных разностей и ранг нестационарности характеризует степень отклонения векторной последовательности от стационарной.

Случайную векторную последовательность будем называть эволюционно представимой, если в соответствующем гильбертовом пространстве X(n) = (T1nX0bT2‘x02,...,Tk'x0k), где T1,T2,...,Tk -попарно-коммутирующие ограниченные операторы. Стационарная векторная последовательность всегда эволюционно представима.

Если рассматривать векторные случайные процессы (^1(t), %2(t),..., Ik(t)), то легко показать, что из условия Kар (t, s) = M|a (t)|p (s) = Kap (t - s) следует, что векторный стационарный случайный процесс всегда имеет представление (eitA'%01,... ,eitA|0k), где A -вообще говоря, неограниченный оператор [2]. Для характеристики отклонений от такого стационарного векторного случайного процесса естественно ввести инфинитезимальную корреляционную матрицу с элементами Wap (t, s) = -(St + ds)K ap (t, s). Для эволюционно представимых векторных случайных процессов

(eitA1 ^01, ... ,eitAk ^0k) для Wap (t, s) легко получить представление

где M(tk,tj) = —K(t,s)

t=tk

ak =

( a(1) Ї

ak

a(2)

Vak ;

bk =

bk11 Л bk2) у

aka),bka) є C, a = 1,2.

Доказательство. Необходимость. Пусть K(t,s) = (Kap (t,s)) = ((xa (t), XP (s))),

где xa (t) = eitAa X0a, A1, A2 - линейные ограниченные операторы в H, a, р = 1, 2 .

Пусть {tk} - всюду плотное счетное множество на

[0, да) и ak =

( a(1) ї

ak

a(2)

Vak ;

, aka) є C, a = 1, 2, тогда

E (Kc(tk,tj)Sk,aj) = E E (xa(tk)aka),xp(tj)a(P)\ =

k,j=r ' k,j=1a,p=1' '

N1 2

EEXa (tk)a

k=1a=1

> 0.

s -tj

2

30

РИ, 2007, № 1

Отметим, что K(t, s) бесконечно дифференцируема, если xа (t) эволюционно представимы и Ai,A2 -ограниченные операторы.

Так как M(tk,tj) =

_ '(iAixi(tk),xi(tj^ (iAixi(tk),X2(tj^''

(iA2x2 (tk), xi (t j)) (iA2x2 (tk),x2 (tj)) ^ ’

то

Ni ,

E E(IM(tk,tj)ak,bj\ k=i j=i

'Ni 2 ( ) N2 2 ( '

E E iA a x a (tk)aka), EE x p (tj)bf

\k=i a=i j=ip=i і

<| |A о

Ni 2

E Exa(tk)a

k=i a=i

(a)

k

2

N2 2

E E x p (tj)bj' j=ip=i

(p)

Ni

n i 2

< и- E (K(tk,tj)ak, j• E (]K(tk,tj)bk,bj), k,j=i k,j=i'

где u = max{||Aa||2, a = i, 2}.

Достаточность. Рассмотрим пространство

2

2

2

2

N _ _

H = { Ex(tk)hk, hk

k=1

h® ї

h<“>

є C}.

В H определим бинарную форму

/Ni _ N2 Л Ni N2,„ _ _ .

( Ex(tk)hk, Ex(tj)hj) = E E(I^(tk,tj)hk,hj) (2) \k=i j=i / k=ij=i'

Легко доказать, что бинарная форма (2) обладает свойствами скалярного произведения [3].

После замыкания бинарной формы получаем гильбертово пространство H . Пусть x(t) = (xi(t), x2(t)) -кривая в H . Тогда (xa(t), xp(t)) = Kap(t,s)

( a, p = i, 2 ).

Определим билинейный функционал ф следующим образом.

Пусть hk =

Г hki) Ї V hk2),

bj =

Г b(i) Л

b(2)

V j J

ha — E xa (tk)hk )

k=i

N2

gP = ExP(tj)b(P), h = (hi,h2), g = (gi,g2), j=i

тогда

Ni N2, „ - - \

®(h,g) = E E\IM(tk,tj)hk,bj^ = k=ij=i'

Ni N2 2 ( ) (R) 2

= EE E Map (tk,tj)hka)b(P) = E®(ha ,gp).

k=i j=i a,p=i a,p=i

В силу третьего условия теоремы этот функционал ограниченный и по теореме Рисса он имеет вид

E(iAahа, gp). Тогда

a,p=i

-dt(x a (t), g p) = E bfM ap (t,tj) = (iA a x a (t), g p) , dt j=i

откуда

смысле.

lim Xa(t + S)-Xa(t) 8—>0 Є

iA a x a (t) в слабом

С другой сторонні,

x a (t + є) - x а (t) ^ з2К аа (t,s)

s dtds

t=s

т. е.

x a (t + e) - x a (t)

ограничена в совокупности.

Поскольку

З 2K aa (t,s)

dt ds

t—s

Maa (t>s)

t=s

^ ■ x ■(t),x ■ <s^t. s =l ^ ■ x ‘

то

x a (t + e) - xa (t)

||iA a x a (t)f

2

и — x a (t) = iA a x a (t) в сильном смысле.

Отсюда следует, что

xa (t) = eltAa xoa или x(t) = (eltAixoi,eltA2xo2) . Теорема i доказана.

Теорема 2 (об эволюционной представимости для векторных последовательностей в гильбертовом пространстве). Для того, чтобы векторная последовательность X(n) была эволюционно представимой, необходимо и достаточно, чтобы ее корреляционная матрица удовлетворяла условиям:

1) матрица K(n, m) эрмитово неотрицательна;

2) существует константа % такая, что

N,M

Е ^L(n, m)an,bm)

n,m=i

N

H2

<X E (K(n,p)an,ap\ • E (^(m,q)bm,b^H ’

n,p=i ' H2 m,q=i ' H2

2

где L(n, m) = K(n +1, m) - K(n, m).

Доказательство теоремы для векторных последовательностей требует лишь очевидных изменений в доказательстве теоремы i.

Лемма. В случае, когда подпространства (I - T*Tp)H конечномерны, для Wpq(n, m) справедливо представление

РИ, 2007, № i

3i

Wpq(n,m) = Y ^Xp(n),gLp^J^Ppq^g^q),Xq(m^_ (3)

Доказательство. Пусть dim (I - T*Tp)H = rp,q <да, тогда (I-Tq*Tp) имеет вид

a - t*tp ) = E4 (• ,g^p^JLpf3q)g(q),

a,p=1 ' '

но тогда

Wpq (n, m) = ((I - T*Tp )xp (n), Xq (m)} =

= E (Xp(n)g(p^J[f|3qVg^q),Xq(m^5

откуда и следует конечность ранга соответствующей квадратичной формы. Лемма доказана.

Теорема 3 (о ранге). Для того чтобы эволюционно

представимая последовательность Xj(n) = TnXQj

Далее

(I - T*T1)x1(n) = e((I - TrT1)x1(n),em1’1Aeii,1) .

m=1 ' '

((I - T*T1)X1(n), X1(k^ =

= X ((I-T*T1)X1(n),e(i^Ve(i,1),X1(k^ =

m=1 ' ' ' '

= EE(X1(n), cpSeS^/eS^, X1(k)Y

где cpfeg = ( (I-

((I - T*T1)X1(n), X2(k^ =

= e( (I - T*T1)X1(n), єІ2,1Л(єІ2,1), X2(k^ = m

= EE( Xl(n),cP1i)ei1,2Л(em2,1),X2(k^,

m p \ / ' •

где сУ;І> = ( (I-T1-T2)e<,r1>,ep1’2>).

Первая квадратичная форма имеет такую структуру:

(j = 1,2) была конечного ранга, необходимо и достаточно, чтобы dim(I - TpTa )H = ra,p <да (a, p = 1, 2). Доказательство. Нео бходимость. Пусть

N,M , „ .

rang Y /W(n,m)a(n),a(m)) n,m=0 ' '

H2

= Г < да

W1(n,m) = Y A арфа (п)фр (m), r <да,

а,Р=1

N ____

®1(n) = Y W (n, m)a(n)a(m) =

n,m=0

= E A ap a,P=1

N

N

Ефа(n)a(n) Ефр(m)a(m)

n=0 m=0

v a(n), a(m) є H2.

Тогда для эволюционно представимой последовательности имеем:

Е ^W(n,m)a(n),a(m)^=

n,m '

If I - T1*T1 UI - T2*T1

,*- V

I - T*T2 I - T2T2

Ea(1)(n)X1 (n)'j (ya(1)(n)X1(n)'j ^a(2)(n)X2(n)) fYa(2)(n)X2(n)J

Следовательно, rang

ҐI - T1*T1 I - T*T2 л

I - T2*T1 I - T2*T2

конечен. По-

Vі i2i1 ^ *2*2 у

этому максимальный не равный нулю минор имеет конечный порядок, откуда следует, что

dim(I - TpTa )H = ra,p <

да .

Достаточность. Пусть dimGap = ra,p и e(n’^) -базис в Gap, Gap = (I - T,*Tp)H . Учитывая, что (I - T*T2)* = I - Т2Т1 для W(n,k), получаем

— E Aap^a^p, a,P=1

N __ ~”N

где qa = Ефа(n)a(n), qp = Ефр(m)a(m),

n=0 m=0

rang Ф1 (n) = rang(A ар) < да ,

W2 (n, m) = Y A арфа (п)фр (m),

a,P=1

r ___

Ф2(n) = E Aapqa^p , rang Ф2(n) <да , а,Р=1

следовательно, ранг всей квадратичной формы конечен. Теорема 3 доказана.

Теорема 4 (о ранге). Для того чтобы эволюционный процесс Xа (t) = eitAа X0a (а = 1,2) был конечного ранга, необходимо и достаточно, чтобы

ra,p = dim (Aа - Ap )H < да .

W(n,k) =

= < (I_ T*T1)X1(n),X1(k) > < (I - T*T2)X1(n),X2(k) > ч< (I - T*T[)X2 (n), X1 (k) > < (I - T*T2)X2 (n), X2 (k) >y

Замечание. Если инфинитезимальную корреляционную матрицу определить как

Wap (t, s)

d 2K ap (t,s)

dtds

K ap (t, s)

РИ, 2007, № 1

32

(описывает отклонение Xk (t) от ~k (t) = eitUk X0k , где Uk - коммутирующий унитарный оператор), то в теореме 4ra,p следует определять следующим образом: ra,p = dim(I - ApAa )H.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3 и потому опускается.

Теорема 5. Если корреляционные матрицы двух векторных случайных процессов совпадают, то в соответствующем гильбертовом пространстве эти два векторных процесса унитарно эквивалентны, и если один из них эволюционно представим, то эво-люционно представим и другой.

Доказательство. Пусть у случайных векторных

процессов £(1)(t) = g(1)(t), I(21)(t)),

#(2)(t) = (|(2)(t), 42)(t)) таких, что (k)(t) = 0,

(j, k = 1,2), корреляционные матрицы совпадают: Kap (t, s) = K<g (t, s) , где Kap (t, s) = M^a (t)^(s) . Введем линейные множества:

^1 = Eaa,k^k)(ta), ^2 = Eba,k^k^a)

a,k a,k

(k = 1, 2, a є N), где {ta}”=1 счетное всюду плотное множество на интервале t є [0, да).

Введем

Переходя к замыканию З1 и 32, получаем, что U -унитарное отображение гильбертова пространства З1 = H1 в гильбертово пространство 32 = H2:

UH1 = H2. Отсюда следует, что U|(1)(t) = |(2)(t) и

u^21) (t)=^22)(t).

Докажем вторую часть теоремы 5. Пусть

|(1)со=eitA1^0\), і21)со=eitA2102,

тогда |(2)(t) = U|(1)(t) = eitB1^22)(t) = eitB2 ^022),

где B1 = UA1U-1, B2 = UA2U-1, £, 01 =

§022 = U^012. Теорема 5 доказана.

Теорема 5 может оказаться полезной при построении канонических представлений для инфинитезимальных корреляционных матриц, матриц корреляционных разностей и корреляционных матриц, а также для получения спектральных разложений некоторых классов нестационарных векторных случайных функций с использованием спектральной теории несамосопряженных и неунитарных операторов или коммутирующих систем таких операторов.

Теорема 6. Если корреляционные матрицы двух векторных случайных последовательностей совпадают, то в соответствующем гильбертовом пространстве эти две векторные последовательности унитарно эквивалентны, и если одна из них эволю-ционно представима, то эволюционно представима и другая.

(x,y)_. = Mxy = Е аa,kcp,iM|^j)(tk)|pj)(ti) j a,k,p,l

(j = 1, 2).

Введем отображение U є [З1, З2]:

U Eaa,k5k)(ta) _ Eaa,k^k^a)

a,k a,k

Тогда U является изометрией. Действительно,

(Ux(1),Uy(1)) 32

- Eaa,kbp,lM^k )(ta)^( )(tp) -

a,k,p,l

= Eaa,kbp,lKki)(ta, tp ) = a,k,p,l

= Eaa,kbp,lKk1l)(ta, tp) = (X(1), y(1))^

a,k,p,l ^ ’

(x(1) = Ea<x,klk1)(ta), y(1) =Ebp,ll(1)(tp)).

a,k P,l

Доказательство для векторных случайных последовательностей аналогично доказательству теоремы 5.

Выводы

Результаты исследования могут быть применены для моделирования многомерных нестационарных случайных функций, а также для построения спектральной теории некоторых классов нестационарных векторных случайных функций.

В данной работе получены новые научные результаты: введены характеристики отклонения векторных случайных функций от стационарных (инфинитезимальная корреляционная матрица, матрица корреляционных разностей и ранг нестационарности); получен критерий эволюционной представимости нестационарных векторных случайных процессов и последовательностей; установлена связь для эволюционно представимых кривых хар актер а нестационарности с размерностью подпространств

----*---- A a- Ap

(I - TpTa )H a . P H.

i

Практическое значение: предложенный в статье подход может быть использован для моделирования некоторых классов нестационарных случайных функ-

РИ, 2007, № 1

33

ций при помощи спектральной теории систем несамосопряженных операторов, а также для корреляционной обработки многомерных случайных сигналов.

Литература: 1. Розанов Ю. А. Спектральная теория многомерных стационарных случайных процессов с дискретным временем // Успехи матем. наук. 2 (13). М., 1958. С. 92142. 2. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М.: Физматгиз, 1963. 284 с. 3. Лившиц М. С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовом пространстве. Х.: Изд-во ХГУ, 1971. 160 с. 4. Бабий В. И. Об одном классе нестационарных кривых в гильбертовом пространстве. Часть I / ХГУ. Х., 1993. 16 с. Деп. В ГНТБ Украины 27.04.93 № 860, Укр 93. 5. Бабий В. И. Об одном классе нестационарных кривых в гильбертовом пространстве. Часть II / ХГУ. Х., 1993. 20 с. Деп. В ГНТБ Украины

29.04.93 № 861, Укр 93. 6.Бабий В. И., БендукаБ., Янцевич А.А. Универсальные модели сжимающих операторов / ХГУ. Х., 1993. 15 с. Деп. В ГНТБ Украины 27.04.93 № 859, Укр 93.

Поступила в редколлегию 03.03.2007

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Золотарев В. А.

Петрова Анжела Юрьевна, соискатель, преподаватель кафедры информационных технологий и математики Харьковского гуманитарного университета «Народная украинская академия». Научные интересы: моделирование случайных процессов, нестационарные случайные функции. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Лермонтовская, 27, тел.: 716-44-09, e-mail: [email protected] или [email protected].

34

РИ, 2007, № 1