Конечная представимость в слоях просторных банаховых расслоений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2005, Том 7, Выпуск 1

УДК 517.98

КОНЕЧНАЯ ПРЕДСТАВИМОСТЬ В СЛОЯХ ПРОСТОРНЫХ БАНАХОВЫХ РАССЛОЕНИЙ

А. Е. Гутман, А. В. Коптев, А. И. Попов

В данной статье показано, что слои просторных непрерывных банаховых расслоений наследуют (а в некоторых случаях и усиливают) конечную представимость нормированного пространства в «соседних» слоях. Каждый из установленных здесь фактов можно расценивать как аналог соответствующего свойства ультрапроизведений банаховых пространств.

Локальная теория банаховых пространств (восходящая к работам Джеймса, Линден-штрауса, Пельчинского, Розенталя) изучает свойства банаховых пространств, связанные со структурой их конечномерных подпространств (такие свойства называются локальными и, как правило, они имеют геометрический характер). В рамках этой теории особую роль играет конструкция ультрапроизведения банаховых пространств, с помощью которой, в частности, удалось решить несколько открытых проблем локальной теории и выявить взаимосвязи между локальными и «бесконечномерными» свойствами банаховых пространств.

Многие результаты локальной теории в общих чертах могут быть охарактеризованы следующим образом. Пусть X = (Х»)^/ — семейство банаховых пространств, Я — ультрафильтр на I и X /Я — ультрапроизведение X по Я. Если каждое из пространств X» обладает определенным локальным свойством (Р), то свойством (Р) обладает и пространство X/Я, причем зачастую для X/Я справедлив некоторый более сильный вариант (Р). Наоборот, если X/Я обладает определенным локальным свойством, то этим свойством (или некоторым более слабым его аналогом) обладают пространства X» для «почти всех» I £ I.

Аналогичный характер имеют некоторые результаты инфинитезимального анализа, связанные с понятием нестандартной оболочки банахова пространства (что объясняется достаточно очевидной связью нестандартной оболочки с конструкцией ультрастепени).

Результаты, подобные упомянутым выше, встречаются и в теории непрерывных банаховых расслоений (НБР). В этом случае они формулируются в терминах свойств слоев НБР и имеют следующий общий вид: если X — НБР над топологическим пространством Q и д £ то локальные свойства слоев X(р) расслоения X в точках р, близких к д, тесно связаны с соответствующими свойствами слоя X(д).

Аналогия между слоями НБР и ультрапроизведениями банаховых пространств особенно ярко выражена в случае просторных расслоений (см. [1, гл. 3]). Например, если X — просторное НБР над Q ив Q имеется дискретное всюду плотное подмножество I, то каждый слой расслоения X оказывается изометричным ультрапроизведению пространств X(^ по некоторому ультрафильтру на I.

© 2005 Гутман А. Е., Коптев А. В., Попов А. И.

Исторически просторные банаховы расслоения возникли как реализационный инструмент изучения решеточно нормированных пространств (см. [1, 3]) и постепенно сформировали вполне самостоятельную область исследований. В рамках этой теории были, в частности, вскрыты определенные связи с нестандартным анализом. Последнее обстоятельство можно рассматривать как еще один источник аналогии между просторными НБР, нестандартными оболочками банаховых пространств и их ультрапроизведениями.

В данной статье мы постарались проследить упомянутые выше взаимосвязи на примере такого классического локального свойства, как конечная представимость. Мы показываем, что слои просторных НБР способны наследовать и усиливать конечную представимость нормированного пространства в «соседних» слоях. Каждый из установленных ниже фактов можно расценивать как аналог (а в некоторых случаях и как обобщение) одного из приведенных в [4] свойств ультрапроизведений банаховых пространств. Так, следствие 3 аналогично предложению [4, 6.1], теоремы 6 и 7 и следствие 8 можно считать аналогами теоремы [4, 6.3], а теорему 12 — адаптацией предложения [4, 6.2].

Все векторные (и, в частности, нормированные) пространства, рассматриваемые в данной работе, предполагаются заданными над полем Ж действительных чисел.

Пусть X и У — нормированные пространства и е > 0. Линейный оператор Т : X ^ У назовем (1 + е)-представлением X в У, если

^ ||х|| < ||Т(х)|| < (1 + е)||х||

для всех х £ X. Пространство X называется (1+ е)-представимым в У, если существует (1 + е)-представление X в У. Говорят, что X конечно представимо в У, если любое конечномерное подпространство X является (1 + е)-представимым в У для всех е > 0.

Несложно установить, что отношение конечной представимости транзитивно: если X, У и 2 — нормированные пространства, X конечно представимо в У, а У конечно представимо в 2, то X конечно представимо в 2.

Точка топологического пространства называется а-изолированной, если пересечение любого счетного семейства ее окрестностей является ее окрестностью. Отметим, что в рамках предположения об отсутствии измеримых кардиналов (не противоречащего аксиомам ZFC) для экстремально несвязных компактов (ЭНК) понятия изолированной точки и а-изолированной точки совпадают (см. [1, 1.1.9]).

Большинство используемых нами терминов, обозначений и фактов из теории банаховых расслоений можно найти в [1] (см. также [3, § 2.4]).

1. Предложение. Если некоторое всюду плотное подпространство нормированного пространства X конечно представимо в нормированном пространстве У, то X конечно представимо в У.

< Пусть Xo — всюду плотное подпространство X, конечно представимое в У. Благодаря транзитивности отношения конечной представимости достаточно установить, что X конечно представимо в Xo. Зафиксируем произвольные конечномерное подпространство ^ С X и число е > 0 и построим (1 + е)-представление ^ в Xo.

Рассмотрим базис {/1,... ,/7} пространства ^ и введем на ^ норму || • Ц1, полагая || "127=1 Аг/г||1 = 1 А для всех А1,..., А7 £ Ж. Поскольку на конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, существует константа С > 0 такая, что ||/1|1 ^ С||/1| для всех / £ ^. Подберем элементы Х1,..., х7 £ Xo так, чтобы

е

||/4-х<" ^ С(ТГ^, *= 1,-,*,

и определим линейный оператор Т : ^ ^ Хо формулой Т( = 1 = 1 Тогда для любого элемента / = 1 £ ^ мы имеем

II/- Т (/)|| =

^А/ - Жг)

£ МИЛ - Жг|| < ^^ £ ^

<

Се

С(1 + е) С (1 + е) 1 + е

Следовательно, для всех / £ ^ справедливы соотношения 1е

"'" "'" " I/II — I/ - Т (/)|| < ||Т (/)||

1 + е 1 + е

е

< ||/|| + ||/-Т(/)|| < ||/|| + -+- ||/1| < (1 + е

1 + е

а значит, Т является (1 + е)-представлением ^ в Хо. >

2. Лемма. Пусть У — НБР над вполне регулярным топологическим пространством Q, д £ Q и е> 0. Предположим, что конечномерное нормированное пространство ^ является у/1 + е-представимым в У (д). Тогда существуют линейный оператор Б : ^ ^ С(Q, У) и окрестность и точки д такие, что

1

< ЦБ(/)(р)|| < (1 + е

1 + е

для всех / £ ^ и р £ и.

< Рассмотрим у/1 + е-представление Т : ^ ^ У(д). Согласно [2, следствие 8] существуют линейный оператор Б : Т(^) ^ СУ) и окрестность и точки д такие, что |Ы| < №)(р)|| < ||^И для всех д £ Т(^) и р £ и. Тогда для / £ ^ и р £ и справедливы неравенства

-+-||/|| < ^^||/|| < ||Т(/)|| < ||Б(Т(/))(р)|| < ||Т(/)|| < (1 + е)||/||,

1 + е 1 + е

а значит, оператор Б = Б о Т и множество и являются искомыми. >

3. Следствие. Пусть X — нормированное пространство, У — НБР над вполне регулярным топологическим пространством Q и д £ Q. Если X конечно представимо в У (д), то для любого конечномерного подпространства ^ С X и любого е > 0 существует окрестность и? точки д такая, что ^ является (1 + е)-представимым в У (р) для всех

р £ и/.

В случае просторного расслоения У следствие 3 поддается обращению. Более того, справедливо следующее утверждение.

4. Теорема. Пусть X — нормированное пространство, У — просторное НБР над ЭНК Q и д £ Q. Предположим, что для любого конечномерного подпространства ^ С X и любого е > 0 в каждой окрестности точки д найдется такая точка р, что ^ является (1 + е)-представимым в У (р). Тогда X конечно представимо в У (д).

< Зафиксируем конечномерное подпространство ^ С X и число е > 0 и покажем, что ^ является (1 + е)-представимым в У(д).

Обозначим через Ы множество всех окрестностей точки д и каждому элементу и £ и сопоставим точку ри £ и такую, что ^ является 1 + е-представимым в У (ри). С учетом

е

е

леммы 2 для любой окрестности и £ и существуют линейный оператор Бц : ¥ ^ С(ф, У) и открыто-замкнутая окрестность Уц точки рц такие, что

^||/|| < ||Бц(/)(р)|| < (1 + е)||/||

для всех / £ ¥ и р £ Уц. Согласно принципу исчерпывания (применительно к полной булевой алгебре открыто-замкнутых подмножеств ф) имеется семейство (Вц)иш попарно непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств Вц С Уц такое, что е^и&и Вц = с! ицш Уи. Положим В = иц^ц Вц. Как легко видеть, д £ е1 В.

Определим линейный оператор Б : ¥ ^ С(ф,У), для каждого элемента / £ ¥ полагая Б(/) = Бц (/) на Вц, Б(/) = 0 на е1 В и продолжая полученное сечение на весь компакт ф с сохранением непрерывности (см. [1, 3.1.1(1)]). Тогда для любого элемента / £ ¥ и любой точки р £ В имеют место неравенства

1 "' ||Б(/)(р)|| < (1 + е

1 + е1

Благодаря включению д £ е1 В эти неравенства сохраняют силу для ||Б(/)(д)||. Следовательно, оператор Т : ¥ ^ У(д), определенный формулой Т(/) = Б(/)(д), является (1 + е)-представлением ¥ в У(д). >

5. Следствие. Пусть X — нормированное пространство и У — просторное НБР над ЭНК ф. Предположим, что для любого конечномерного подпространства ¥ С X и любого е > 0 существует такая точка д| £ ф, что ¥ является (1 + е)-представимым в У (д|). Тогда X конечно представимо в некотором слое расслоения У.

< Обозначим через Е и Т множества положительных чисел и конечномерных подпространств X соответственно и снабдим произведение Е х Т порядком, полагая (е, ¥) ^ (5, С) в том и только том случае, если е ^ 5 и ¥ С С. Благодаря компактности ф сеть (д£)(£,1)€£хТ имеет предельную точку д £ ф. Тогда для любой пары (е, ¥) £ Е хТ и любой окрестности и точки д найдется такая пара (5, С) ^ (е, ¥), что д^< £ и, в частности, ¥ является (1 + е)-представимым в У(д^). Следовательно, по теореме 4 пространство X конечно представимо в У (д). >

В дальнейшем нам пригодится следующий факт, с очевидностью вытекающий из [2, предложение 13] и предложения 1.

6. Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство и У — просторное НБР над ЭНК ф. Если точка д £ ф не является а-изолированной и X конечно представимо в слое У (д), то X изометрично вкладывается в У (д).

7. Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное пространство и У — просторное НБР над ЭНК ф. Предположим, что для любого конечномерного подпространства ¥ С X и любого е > 0 существует бесконечное подмножество С ф такое, что ¥ является (1 + е)-представимым в У (д) для всех д £ . Тогда X изометрично вкладывается в некоторый слой расслоения У.

< Пусть {/ : * £ Н} — всюду плотное подмножество X. Для каждого п £ N обозначим через ¥7 линейную оболочку 1ш{/1,..., /7} множества {/1,..., /7}. Поскольку множества ф|/7 бесконечны, в каждом из них можно выбрать по элементу д7 £ ф|/7 так, чтобы члены последовательности (д7)7ем были попарно различны. Благодаря компактности ф множество {д7 : п £ Н} имеет предельную точку д £ ф. Таким образом, последовательность (д7)7ем и точка д удовлетворяют следующим условиям:

(а) для любого п £ N пространство ¥7 является (1 + 1/п)-представимым в У(д7);

(б) любая окрестность д содержит бесконечное множество точек д7.

Положим F^ = |Jn6n Fn. Ясно, что F^ — всюду плотное подпространство X. Как легко видеть, для любого конечномерного подпространства F С F^, любого числа е > 0 и любой окрестности U точки q найдется такой номер n G N, что F С Fn, 1/n < е и qn G U; в частности, благодаря условию (а) пространство F является (1 + е)-представимым в Y(qn). По теореме 4 пространство F^ конечно представимо в Y(q), откуда согласно предложению 1 в Y(q) конечно представимо и пространство X. Кроме того, из условия (б) следует, что точка q не является ст-изолированной. Следовательно, в силу теоремы 6 пространство X изометрично вкладывается в Y(q). 1>

8. Следствие. Если сепарабельное нормированное пространство X конечно представимо в бесконечном числе слоев просторного НБР Y, то X изометрично вкладывается в некоторый слой Y •

9. Замечание. Из доказательства теоремы 7 видно, что в случае бесконечномерного сепарабельного пространства X условие бесконечности множеств QF может быть ослаблено. Например, достаточно потребовать, чтобы для любого е > 0 мощность |QF| множества QF была не меньше размерности dim F конечномерного подпространства F С X. Более того, достаточными являются соотношения |Q/dim F | ^ dim F. Можно также ограничиться требованием |QF | ^ ж для некоторой последовательности en ^ 0 и возрастающей последовательности конечномерных подпространств Fn С X со всюду плотным в X объединением.

10. Замечание. Требование сепарабельности пространства X в теореме 7 и следствии 8 не может быть опущено. Действительно, пусть Y — просторное НБР над бесконечным ЭНК с бесконечномерными гильбертовыми слоями (в качестве такого расслоения можно взять просторную оболочку постоянного НБР со слоем £2, см. [1, 3.1.7]), а X — гильбертово пространство, размерность которого превышает размерность любого слоя Y. Тогда X конечно представимо во всех слоях Y, но не вкладывается ни в один из них.

11. Как показывает пример, приведенный в замечании 10, изометричная вложимость каждого конечномерного подпространства нормированного пространства X в некоторый слой просторного НБР Y в общем случае не обеспечивает изометричную вложимость всего пространства X в какой-либо из слоев Y. Поскольку в приведенном примере пространство X не является сепарабельным, возникает вопрос, изменится ли ситуация, если дополнительно потребовать сепарабельность X.

Пример. Существуют сепарабельные банаховы пространства X и Y такие, что всякое конечномерное подпространство X изометрично вкладывается в Y, но все пространство X не вкладывается изометрично в Y.

Сразу отметим, что факт существования пространств X и Y, обладающих указанными выше свойствами, не следует расценивать как новый результат. Конкретный пример таких пространств мы приводим ради полноты картины.

Обозначим через Q одноточечную компактификацию N U {то} натурального ряда и рассмотрим НБР H над Q с гильбертовыми слоями H(n) = (Rn, У • Ц2) в точках n G N, нулевым слоем и непрерывной структурой

Y = {y G S(Q,H) : ||y(n)|| ^ 0 при n ^ то}.

Из очевидных равенств Y = C(Q, H) = Cb(Q, H) следует, что Y является банаховым пространством относительно равномерной нормы (см. [1, 2.3.6]). Сепарабельность Y также не вызывает сомнений. В качестве X возьмем пространство ¿2.

Как легко видеть, всякое конечномерное подпространство X изометрично вкладывается в У. Предположим вопреки доказываемому, что X изометрично вкладывается в У. Тогда У содержит бесконечномерное подпространство Уо, в котором выполнен закон параллелограмма: ||у + г||2 + ||у — г||2 = 2(||у||2 + ||г||2) для всех у, г £ У0. Пусть у £ Уо и т £ N таковы, что ||у|| = 1 и ||у(п)| ^ 1/3 при п > т. Поскольку пространство {г|{1,...,то} : г £ Уо} имеет конечную размерность d ^ 1 + ■ ■ ■ + т, найдется такой элемент г £ У0, что ||г|| = 1 и ||г(п)|| = 0 при п ^ т (в качестве г можно взять нормировку зануляющейся на {1,..., т} нетривиальной линейной комбинации d + 1 линейно независимых элементов У0). Тогда для всех п £ N справедливы неравенства ||у(п) + г(п)|| ^ 4/3, ||у(п) — г(п)|| ^ 4/3. Следовательно,

2 | ||л1 ~1|2 ^ по /п ^ л о (11 л. 112 | и __112 л

||у + г||2 + ||у — г||2 < 32/9 < 4 = 2{||у||2 + ||г

что противоречит закону параллелограмма.

Построенные выше пространства X и У очевидным образом дают отрицательный ответ на вопрос, затронутый в начале данного раздела (в качестве У достаточно взять НБР над одноточечным компактом со слоем У).

12. Множество Т конечномерных подпространств нормированного пространства X назовем аппроксимирующим,, если оно обладает следующими свойствами:

(1) для любых ¥1, ¥2 £ Т найдется пространство ¥ £ Т такое, что ¥1, ¥2 С ¥;

(2) объединение Т всюду плотно в X.

Тривиальным примером аппроксимирующего множества для нормированного пространства является совокупность всех его конечномерных подпространств.

В дальнейшем, говоря о сетях, индексированных аппроксимирующим множеством Т, мы подразумеваем, что Т упорядочено отношением включения.

Семейство (д»)ге/ точек топологического пространства ф назовем дискретным, если существует семейство (и»)г6/ попарно непересекающихся открытых подмножеств ф такое, что д» £ и» для всех * £ I.

Теорема. Пусть X — бесконечномерное нормированное пространство и У — просторное НБР над ЭНК ф. Предположим, что существуют аппроксимирующее множество Т конечномерных подпространств X, дискретное семейство (др )рточек компакта ф и сходящаяся к нулю сеть (ер) рположительных чисел такие, что каждое пространство ¥ £ Т является (1 + ер)-представимым в У(др). Тогда пространство X изометрично вкладывается в некоторый слой У.

< В силу компактности ф сеть (др)римеет подсеть (дра)аел, сходящуюся к некоторой точке д £ ф. Мы покажем, что X изометрично вкладывается в У(д). Благодаря полноте У(д) для этого достаточно установить, что в У(д) изометрично вкладывается всюду плотное подпространство иТ С X.

Рассмотрим семейство (ир)рпопарно непересекающихся открытых подмножеств ф такое, что др £ ир для всех ¥ £ Т. Для каждого ¥ £ Т определим число 5р > 0 равенством 1 + 5р = (1 + ер)2. С учетом леммы 2 для каждого пространства ¥ £ Т существуют линейный оператор Бр : ¥ ^ С(ф, У) и открытая окрестность Ур С ир точки др такие, что

1 ||Б|(/)(р)|| < (1 + 5|)||/||

1 + 5|

для всех / £ ¥ и р £ Ур.

Продолжим каждый из операторов Бр : ¥ ^ С(ф, У) до (нелинейной) функции Бр : иТ ^ С(ф, У), полагая Бр(/) = 0 при / £ ¥. Положим У = УУр и определим

функцию S : UF ^ C(V, Y), полагая S(f) = Sp (f) на Vf для всех f £ UF и F £ F. Не нарушая общности, можно считать, что все числа ер (а значит, и 6f) ограничены общей константой. Тогда для каждого элемента f £ UF непрерывное сечение S(f) над V является ограниченным, а значит, благодаря просторности расслоения Y продолжается до непрерывного сечения, определенного на всем компакте Q (достаточно продолжить S(f) нулем на Q\cl V и воспользоваться [1, 3.1.1(1)]). В частности, для любого элемента f £ UF существует предел

T(f) := lim Spa(f)(qFa) = lim S(f)(qpa) £ Y(q).

a£a a£a

Покажем, что определенная таким образом функция T : UF ^ Y(q) является линейным изометрическим вложением.

Пусть f, g £ UF и А, ß £ R. Рассмотрим индекс ß £ A, для которого f, g £ Fß. Линейность на Fß каждой из функций Spa, где Fß С Fa, позволяет заключить, что

T (Af + ßg) = lim SFa (Af + ßg)(qFa) = lim (ASpa (f )(qF*)+ ßSpa (g)(qp*)) = AT (f)+ ßT (g).

a6a a£a

Аналогичным образом устанавливается изометричность оператора T. Действительно, пусть f £ UF. Рассмотрим индекс ß £ A, для которого f £ Fß. Тогда в случае Fß С Fa имеют место неравенства

1 "" IISFa (f)(qFa )II < (1+

1 + Sfc_

откуда в силу очевидного соотношения lim ÖFa =0 следует, что

абл

|T(f)|| = limi ISFa(f)(qFa)II = IlfII. >

абл

Литература

1. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Тр. Ин-та математики СО РАН.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН.—1995.—Т. 29.—С. 63-211.

2. Коптев А. В. Критерий рефлексивности слоев банахова расслоения // Сиб. мат. журн.—1995.— Т. 36, № 4.—С. 851-857.

3. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

4. Heinrich S. Ultraproducts in Banach space theory // J. Reine Angew. Math.—1980.—Bd. 313.—S. 72104.

Статья поступила 2 февраля 2005 г. Гутман Александр Ефимович, д. ф.-м.н.

Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН E-mail: [email protected]

Коптев Александр Викторович, к. ф.-м.н.

Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

E-mail: [email protected]

Попов Алексей Игоревич

Новосибирск, Новосибирский государственный университет