CC BY
13
Владикавказский математический журнал июль-сентябрь, 2007, Том 9, Выпуск 3
УДК 517.98
ПРОСТРАНСТВА СО0-ФУНКЦИЙ И УДВОЕНИЕ ПО АЛЕКСАНДРОВУ
А. Е. Гутман, А. В. Коптев
Памяти Г. Я. Лозановского
В данной работе мы попытались изложить ключевые этапы исследования пространства СОо(^) = С($) + со(в), элементы которого являются суммами непрерывных и «дискретных» функций на компакте Q без изолированных точек. При этом основное внимание уделяется описанию компакта (5, реализующего банахову решетку СП0(() в виде С((5). Кроме того, довольно большой фрагмент статьи посвящен аналогичному кругу вопросов, связанному с пространством СО0((,Х) «непрерывно-дискретных» сечений банахова расслоения X и с пространством СО0-гомоморфизмов банаховых расслоений.
Ключевые слова: банахова решетка, АМ-пространство, удвоение по Александрову, непрерывное банахово расслоение, сечение банахова расслоения, банахов С(()-модуль, гомоморфизм банаховых расслоений, гомоморфизм банаховых С(()-модулей.
Банахово пространство X = (X, +, ■, ||-||) над полем Ж вещественных чисел, снабженное (частичным) порядком называется банаховой решеткой, если
(1) порядок ^ является решеточным, т. е. для любых ж, у £ X существуют супремум ж V у и инфимум ж Л у (а значит и модуль |ж| := ж V -ж);
(2) порядок ^ согласован с линейными операциями, т. е. для любых ж, у, г £ X и 0 ^ А £ Ж из ж ^ у следует ж + г ^ у + г и Аж ^ Ау;
(3) норма ||'|| монотонна относительно порядка т. е. для любых ж, у £ X из |ж| ^ |у| вытекает ||ж|| ^ ||у|| (откуда следует, что ||ж|| = |||ж||| для всех ж £ X).
Банахова решетка X называется абстрактным М-пространством с единицей или, более коротко, ЛМ1-пространством, если
(4) ||ж V у|| = тах{||ж||, ||у||} для всех 0 ^ ж, у £ X;
(5) существует такой элемент 1 £ X, что |ж| равносильно ||ж|| ^ 1 для всех ж £ X. Классическими примерами АМ1 -пространств служат функциональные банаховы пространства с равномерной нормой, снабженные поточечным порядком:
(а) (Жп, ||.||те), п £Н;
(6) пространство I™ ограниченных последовательностей;
(в) пространство (классов) существенно ограниченных измеримых функций на пространстве с мерой П;
(г) пространство Снепрерывных функций на компакте Q (т. е. компактном хаус-дорфовом топологическом пространстве).
Теория банаховых решеток включает следующий хорошо известный факт.
Теорема Крейнов — Какутани. Всякое ЛМ1-пространство линейно изометрично и порядково изоморфно пространству Сдля подходящего компакта Q (причем такой компакт Q является единственным с точностью до гомеоморфизма).
© 2007 Гутман А. Е., Коптев А. В.
Можно сказать, что в общем случае компакт, соответствующий по теореме Крейнов — Какутани рассматриваемому АМ1-пространству, оказывается «необозримым» («неявным», «неконструктивным»), хотя бы потому, что известные универсальные подходы к его «построению» существенно опираются на аксиому выбора (или лемму Цорна) и задействуют такие понятия, как ультрафильтры, максимальные идеалы и т. п. Впрочем, на пути к искомому компакту часто возникают и другие довольно громоздкие конструкции, ослабляющие интуитивную связь с исходным АМ1-пространством. Так, один из классических способов построения компакта ф, реализующего данное АМ1-пространство X в виде С(ф), состоит в следующем: сначала рассматривается порядковое пополнение X пространства X, затем X представляется в виде пространства С(ф) непрерывных функций на экстремально несвязном компакте ф (который возникает, например, как множество всех ультрафильтров базы X, наделенное специальной топологией) и, наконец, искомый компакт ф получается в результате «склейки» точек ф, не разделяемых функциями, соответствующими элементам исходного пространства X. Другой распространенный подход к построению реализующего компакта АМ1 -пространства состоит в рассмотрении второго сопряженного пространства и привлечении реализационных фактов теории коммутативных банаховых алгебр, задействующих такие «неявные» объекты, как, например, характеры алгебры. Пожалуй, самый короткий универсальный путь к реализующему компакту проложен в [1], где точки компакта возникают в виде максимальных порядковых идеалов исходного АМ1-пространства. (Но и эту конструкцию по понятным причинам вряд ли можно считать «обозримой».)
Вместе с тем очевидно, что изучение свойств какого-либо конкретного АМ1-пространства может существенно упроститься, если удастся найти явное и простое описание соответствующего реализующего компакта. В качестве примера рассмотрим банахову решетку X, являющуюся замыканием (по равномерной норме) пространства всех функций / : Р ^ Ж, определенных на бесконечном множестве Р и являющихся постоянными на Р за исключением конечного числа точек.1 (Пространство таких функций / несмотря на свою простоту играет важную роль в некоторых вопросах теории регулярных операторов в векторных решетках; см., например, [8]). Каждый элемент пространства X можно описать как функцию х : Р ^ Ж, для которой существуют число А и последовательность точек рп £ Р такие, что х = А вне {рп : п £ и х(рп) ^ А при п ^ то. Поскольку X является АМ1-пространством, оно изоморфно С(ф) для некоторого компакта ф. Теперь устройство пространства X становится совершенно прозрачным, если заметить, что в качестве ф можно взять александровскую одноточечную компакти-фикацию Р и {то} дискретного топологического пространства Р. (В компакте Р и {то} точки р £ Р изолированы, а окрестностями точки то являются дополнения конечных подмножеств Р.) Изоморфизм АМ1-пространства X на С(Р и {то}) осуществляется доопределением функции х £ X в точке то числом А, фигурирующим в приведенном выше описании х.
Пусть теперь ф — произвольный непустой компакт без изолированных точек и пусть Со(ф) — совокупность всех таких функций / : ф ^ Ж, что множество {д £ ф : |/(д)| > е} конечно для любого числа е > 0. В работе [9] Ю. А. Абрамович и А. В. Викстед ввели в рассмотрение пространство
СОо(ф) := С(ф) + со(ф)
функций / : ф ^ Ж, каждая из которых представляется в виде суммы / = /с + / непрерывной /с £ С(ф) и «дискретной» / £ Со(ф) составляющих. Стоит сразу отметить, что благодаря отсутствию в ф изолированных точек имеет место разложение в прямую
1 Авторы признательны Владимиру Вениаминовичу Иванову за приятное обсуждение этого примера.
сумму CDo(Q) = C(Q) ф Co(Q), а отображения f ^ fc и f ^ fd представляют собой соответствующие линейные проекторы.
Ю. А. Абрамович и А. В. Викстед показали в [9], что относительно равномерной нормы и поточечного порядка пространство CDo(Q) представляет собой банахову решетку, обладающую некоторыми весьма экзотическими порядково-топологическими свойствами, и отметили, что несмотря на свою «причудливость» эта банахова решетка является AMi-пространством, а значит (согласно теореме Крейнов — Какутани) изоморфна пространству C(Q) для подходящего компакта Q. Оставив в стороне вопрос о явном описании соответствующих компактов Q, авторы работы [9] тем не менее заметили, что благодаря своим необычным свойствам такие компакты представляют интерес и для общей топологии.
Пространства CDo(Q) (и другие аналогичные пространства «непрерывно-дискретных» функций) послужили предметом дальнейших исследований (см., например, [2, 10, 11]), в рамках которых появилось первое явное описание реализующего компакта Q пространства CDo(Q). А именно, в работе [12] З. Эрджан установил, что в качестве Q можно взять множество Qx{0,1}, наделенное следующей сходимостью:
(qa,ra) ^ (q,r) тогда и только тогда, когда fc(qa) + rafd(qa) ^ fc(q) + fd(q) для любой функции f е CDo(Q).
Теорема [12]. Введенная выше сходимость соответствует некоторой компактной хау-сдорфовой топологии на Qx{0,1}. Сопоставление каждому элементу f е CDo(Q) функции f : Qx{0,1} ^ R, определенной равенством /(q,r) = fc(q) + rfd(q), осуществляет изометрический и порядковый изоморфизм CDo(Q) на C(Qx{0,1}).
Этот результат сыграл ключевую роль в проблеме описания компакта Q, реализующего CDo(Q) в виде C(Q).
Предложенный подход к определению реализующего компакта можно было бы подвергнуть критике, заметив, что в определении его топологии в явном виде участвует само пространство CDo(Q) — ведь это обстоятельство не позволяет в полной мере свести изучение CDo(Q) к C(Q), возвращая анализ свойств Q и C(Q) к рассмотрению исходного пространства CDo(Q). Тем не менее в [12] было приведено альтернативное описание сходимости сетей в Q, не использующее пространство CDo(Q) как таковое и задейству-ющее лишь сходимость в Q. Пожалуй, единственным возможным объектом для критики осталось введение топологи посредством сходимости сетей, усложняющее ее осмысление с традиционной «окрестностной» позиции.
Как бы то ни было, отмеченный выше «недостаток» был полностью устранен В. Г. Троицким в [15]. Для удобства введем два отображения (-)c, (-)d : Q ^ Qx{0,1}, полагая
qc := (q, 0), qd := (q, 1). Кроме того, для всякого подмножества P С Q положим
Pc := {Pc : P е P} = Px{0}, Pd := {pd : p е P} = Px{1}.
В своей «заметке» [15] В. Г. Троицкий описал топологию З. Эрджана на Qx{0,1} = Qc U Qd следующим образом: точки qd являются изолированными, а базовыми окрестностями всякой точки qc служат множества вида Uc U Ud\{qd}, где U — окрестность точки q в исходной топологии компакта Q.
Построенное таким способом топологическое пространство Q = Qc U Qd, которое обычно именуется удвоением по Александрову (Alexandroff duplicate) компакта Q и обозначается символом A(Q), действительно обладает рядом экзотических свойств. Как
известно [7, 3.1.G], оно хаусдорфово и компактно (более того, в нем компактно любое содержащее Qc множество), его «непрерывная часть» Qc гомеоморфна Q, а «дискретная часть» Qd открыта и всюду плотна в Q. Отметим также, что удвоение окружности (называемое «двойной окружностью Александрова») служит классическим примером наследственно нормального топологического пространства, не являющегося совершенно нормальным и удовлетворяющего первой аксиоме счетности, но не сепарабельного и тем самым не удовлетворяющего второй аксиоме счетности [7, 3.1.26].
Теперь, вооружившись новым определением компакта Q = Qc U Qd, можно легко получить характеризацию сходимости сетей в Q (аналогичную приведенной в [12]). Поскольку все точки qd £ Qd изолированы, сеть в Q сходится к qd тогда и только тогда, когда она устанавливается на qd. Что же касается точек qc £ Qc, то сходимость сети (qa,ra) к qc равносильна следующему условию: начиная с какого-то индекса точки (qa, ra) отличны от qd и qa ^ q в исходной топологии Q.
Помимо простого и явного описания топологии Q в окрестностных терминах В. Г. Троицкий предложил следующую элегантную характеризацию элементов CDo(Q).
Теорема [15]. Функция f : Q ^ R принадлежит CDo(Q) тогда и только тогда, когда f имеет предел в каждой точке Q. При этом непрерывная часть fc £ C (Q) функции f £ CDo(Q) вычисляется формулой
fc(q) = lim f (p) для всех q £ Q. p
Этот результат послужил очень удобным инструментом, позволившим значительно упростить исследование свойств CDo(Q) и, в частности, получить элементарные доказательства известных фактов об этом пространстве.
Очередной этап изучения CDo-пространств характеризуется переходом от вещественных функций f : Q ^ R к вектор-функциям f : Q ^ X, где X — банахова решетка. Изоморфизм между банаховыми решетками CDo(Q, X) и C(Q, X) в случае метрического компакта Q без изолированных точек фигурирует уже в [12]. В более общем случае связь между пространствами векторно-значных CDo-функций и непрерывных функций исследована в работе Ш. Алпая и З. Эрджана [2]. Дальнейшее развитие наметившейся теории показало , что основные факты о реализации CDo-пространств в виде пространств непрерывных функций выдерживают переход не только к вектор-функциям, но и к сечениям банаховых расслоений.
Банахово расслоение (или, точнее, непрерывное банахово расслоение) над Q является формализацией интуитивного представления о «непрерывной» функции X, определенной на Q и сопоставляющей каждой точке q £ Q некоторое банахово пространство X(q) (называемое слоем X в точке q). Один из формальных подходов к определению «непрерывности» X [3, § 2.1; 6, 2.4.3] заключается в выделении так называемой непрерывной структуры в X — некоторого векторного подпространства Cx пространства сечений
S(Q, X) = {u: Q ^ U X(q) : u(q) £ X(q) для всех q £ q) L q&Q J
(снабженного поточечными операциями, см. [3, 1.7.3; 6, 2.4.3]) такого, что, во-первых, поточечная норма
||c||| : Q ^ R, |||c|| (q) = ||c(q)||x(q) (q £ Q)
каждого сечения c £ Cx непрерывна и, во-вторых, Cx послойно плотно в X, т. е. множество {c(q) : c £ Cx} всюду плотно в X(q) для всех q £ Q. Непрерывная структура Cx
позволяет определить совокупность СX) непрерывных сечений расслоения X как множество всех таких сечений и £ Б^, X), что ||и — с|| £ Спри с £ С%.
Понятие непрерывного сечения банахова расслоения можно расценивать как обобщение понятия непрерывной вектор-функции. Действительно, если X — банахово пространство, то СX) = СX), где X — постоянное банахово расслоение со слоями X(д) = X, снабженное непрерывной структурой, состоящей, например, из постоянных функций с : Q ^ X [3, 2.2.1].
Отметим, что имеется альтернативный — и в определенном смысле эквивалентный — подход к введению непрерывной структуры, при котором непрерывность сечений возникает как чисто топологическое понятие. (Изложение обоих подходов, а также обоснование их эквивалентности можно найти в [13].) Обозначим символом Q ® X объединение попарно непересекающихся копий {g}xX(д) слоев банахова расслоения X над Q:
Q ® X = {(д,ж) : д £ Q, ж £ X(д)}
и для произвольного сечения и £ Б X) определим функцию Q <8 и : Q ^ Q <Х> X, полагая ^ <8 и)(д) = (д,и(д)) для всех д £ Q. Тогда всевозможные «трубки»
{(д,ж) £ Q <8 X : д £ и, ||ж — с(д)|| < е},
определяемые сечениями с £ С%, открытыми подмножествами и С Q и числами е > 0, образуют базу некоторой открытой топологии на Q ® X [13, 5.3]. При этом индуцированная топология каждой копии {q}xX(д) С Q <Х> X слоя X(д) совпадает с исходной топологией этого слоя как банахова пространства, а произвольное сечение и £ Б^, X) оказывается непрерывным тогда и только тогда, когда функция Q ® и : Q ^ Q <Х> X непрерывна (в обычном смысле) относительно топологии трубок [3, 2.1.7].
Различные непрерывные структуры С и С2 в X могут порождать одну и ту же топологию на Q ® X. В этом случае непрерывные структуры С и С2 называют эквивалентными, а банаховы расслоения (X, С1) и (X, С2) отождествляют. Такое отождествление оправдывается в том числе следующим фактом.
Теорема [3, 2.1.8]. Пусть С и С2 —непрерывные структуры в X и пусть СX | С1) и С(Q, X | С2) — соответствующие им множества непрерывных сечений. Тогда следующие условия равносильны:
(1) С и С2 эквивалентны;
(2) СX | С1) = С(Q, X | С);
(3) СX | С1) С С(Q, X | С);
(4) С С СX | С2);
(5) пересечение СX | С1) П С(Q, X | С2) послойно плотно в X.
Полезно иметь в виду следующие основные свойства множества СX) непрерывных сечений банахова расслоения X над компактом Q.
(а) Если и £ СX), то ||и| £ С
(6) Множество СX) является замкнутым векторным подпространством банахова пространства X) всех ограниченных сечений X, снабженного равномерной нормой ||и|| = ||||и|| || = 8ир?6д ||и(д)||.
(в) Если и £ СЙ, X) и / £ С(Q), то /и £ СX). В частности, СX) является банаховым С -модулем.
(г) Множество СX) заполняет слои X. Более того, для любых д £ Q и ж £ X(д) существует такое сечение и £ СX), что и(д) = ж и ||и|| ^ ||ж||.
Доказательства утверждений (а)-(в) имеются, например, в [3, §2.3]. Утверждение (г) принято называть теоремой Дюпре [13, 2.10]. Отметим, что эта теорема справедлива для банахова расслоения над произвольным топологическим пространством Q [5, 1.1].
Введенная выше топология трубок позволяет интерпретировать разнообразные топологические понятия и факты, касающиеся сечений u £ S(Q, X), в терминах соответствующих функций Q ® u. Например [3, 2.3.7], сечение u £ S(Q, X) имеет предел x £ X(q) в точке q £ Q тогда и только тогда, когда предел функции Q ® u : Q ^ Q <Х> X в точке q равен (q, x):
lim u(p) = x ^ lim (p, u(p)) = (q, x) в Q ® X. p^q p^q
Согласно [3, 2.3.8] и теореме Дюпре последнее соотношение равносильно существованию
такого сечения v £ C(Q, X), что v(q) = x и lim ||u(p) — v(p)|| = 0.
p^q
Пусть X — произвольное банахово расслоение над Q. Аналогами пространств co(Q) и CDo(Q) являются пространства co- и CDo-сечений
co(Q, X) = {u £ S(Q, X) : ||u|| £ co(Q)}, CDo(Q, X) = C(Q, X) + co(Q, X),
снабженные равномерной нормой. Пространство CDo(Q, X) было впервые рассмотрено Т. Хоим и Д. А. Роббинсом в статье [14] (там оно фигурирует как сумма r(n)+r(no)), где, в частности, построена линейная изометрия этого пространства на банахово пространство всех непрерывных сечений некоторого банахова расслоения X над удвоением Q компакта Q. (О том, как устроено расслоение X, мы поговорим чуть позже.) Кроме того, в [14] установлены некоторые взаимосвязи между C^)-линейными операторами из C(Q, X) в C(Q) и C(Q)-линейными операторами из C(Q,X) в C(Q).
Достаточно очевидное разложение в прямую сумму CDo(Q, X) = C(Q, X)®co(Q, X) позволяет ввести в рассмотрение линейные проекторы (-)c и (-)d пространства CDo(Q, X) на соответствующие подпространства C(Q, X) и co(Q, X). Таким образом, каждое сечение u £ CDo(Q, X) единственным образом представляется в виде суммы u = uc + ud своей непрерывной uc £ C(Q, X) и «дискретной» ud £ co(Q, X) частей.
Из упомянутой выше теоремы В. Г. Троицкого легко вывести ее дословный аналог для сечений.
Следствие. Сечение u £ S(Q, X) принадлежит CDo(Q, X) тогда и только тогда, когда u имеет предел в каждой точке Q. При этом непрерывная часть uc £ C(Q, X) сечения u £ CDo(Q, X) вычисляется формулой
uc(q) = lim u(p) для всех q £ Q. p^q
Несложная проверка показывает, что поточечная норма ||u|| : Q ^ R всякого сечения u £ CDo(Q, X) принадлежит CDo(Q), причем || u|| c = || uc || и ||u|| d| ^ || ud||. Таким образом, пространство CDo(Q, X), снабженное поточечной нормой Щ-Ц, является реше-точно нормированным пространством над банаховой решеткой CDo(Q) и пространством со смешанной нормой ||u|| = ||||u|| || [6, 7.1.1]. Кроме того, из ограниченности линейных проекторов (-)c и (-)d и полноты пространств C(Q, X) и co(Q, X) вытекает полнота CDo(Q, X) относительно этой смешанной нормы ||-||. Отметим также, что CDo(Q, X) является банаховым CDo(Q)-модулем относительно поточечного умножения.
Обратимся теперь к представлению CDo(Q, X) в виде пространства непрерывных сечений. Следуя [14], определим слои будущего банахова расслоения X над удвоением Q = Qc U Qd следующим образом:
X(qc) = X(qd) = X(q), q £ Q.
Далее, для каждого сечения u е CDo(Q, X) определим сечение 5 е S(Q,X), полагая
5(qc) := Uc(q), 5(qd) := u(q), q е Q.
Покажем, что множество
% := {5 : u е CDo(Q, X)}
является непрерывной структурой в X. Действительно, в силу очевидной линейности отображения u ^ n множество C^ является векторным подпространством S(Q,X). Кроме того, для любого сечения u е CDo(Q, X) мы имеем | | | n|| | = | | | u | | | е C(Q). Наконец, множество C^ содержит послойно плотное в X множество {n : u е C(Q, X)} и тем самым само является послойно плотным в X. Условимся сохранять символ X для обозначения непрерывного банахова расслоения (X, Cjr) над Q и называть расслоение X удвоением расслоения X.
Теорема [14]. Отображение u ^ n осуществляет линейную изометрию CDo(Q, X) на C(Q,X). При этом f u = /5 для любых f е CDo(Q) и u е CDo(Q, X).
В качестве иллюстрации мы уточним связь между расслоениями и их удвоениями в случае постоянных расслоений, а также продемонстрируем согласование этой связи с переходом к подрасслоению, непрерывной заменой переменной и ограничением на топологическое подпространство. (Подробные доказательства всех приведенных ниже утверждений имеются в [4].)
Рассмотрим произвольное банахово пространство X и предположим, что X является постоянным банаховым расслоением над Q со слоями X (q) = X. Из определения удвоения X видно, что все его слои совпадают с X. Обозначим через const(Q,X) и const (Q, X) множества всех постоянных сечений расслоений X и X соответственно. Как легко видеть,
const (Q,X) = {5 : с е const(Q,X)} С C(Q,X).
Следовательно, const (Q,X) является непрерывной структурой в X, эквивалентной Cjr,
а значит, X представляет собой постоянное банахово расслоение над Q5 со слоем X. Это наблюдение позволяет почти без изменений перенести все основные факты о пространствах сечений CDo(Q, X) и C(Q,X) на случай пространств вектор-функций CDo(Q,X) = C(Q,X) + co(Q,X) и C(Q,X).
Далее, пусть Xo — подрасслоение банахова расслоения X над Q, т. е. такое банахово расслоение над Q, что X(q) является банаховым подпространством X (q) для каждой точки q е Q и, кроме того, C(Q, Xo) = C(Q, X) П S(Q, Xo) [3, 2.2.2; 6, 2.4.11]. Учитывая очевидное равенство Co(Q, X) = Co(Q, X) П S(Q, X), мы заключаем, что
CDo(Q, Xo) С CDo(Q, X) П S(Q, Xo).
Любопытно отметить, что множества CDo(Q, X) и CDo(Q, X) П S(Q, Xo) могут как различаться, так и совпадать, причем оба случая возможны для нетривиальных подрас-слоений Xo (т. е. ненулевых и не равных всему X). Вместе с тем, несмотря на возможное отсутствие равенства CDo(Q, Xo) = CDo(Q, X) П S(Q, Xo), аналогичное равенство для удвоений рассматриваемых объектов справедливо всегда: если Xo — подрасслоение X, то Xo — подрасслоение X и, в частности, C(Q, Xo) = C(Q,X) П S(Q, X).
Переходя к анализу согласования между процедурой удвоения и непрерывной заменой переменной, рассмотрим произвольные непустые компакты P и Q без изолированных
точек. Для банахова расслоения X = (X, Сх) над ф и непрерывной функции < : Р ^ С0 символом Xо< обозначается банахово расслоение над Р со слоями (Xо<)(р) = X (<(р)) и непрерывной структурой {с о < : с £ Сх } [3, 2.2.6]. Как легко видеть, и о < £ С (Р, X о <) для всех и £ С(ф, X).
Функцию < : Р ^ ф назовем локально уникальной, если любая точка ро £ Р имеет такую окрестность и С Р, что <(р) = <(ро) для всех р £ и\{ро}. Оказывается, что непрерывные локально уникальные функции самым тесным образом связаны с пространствами СОо-функций и СОо-сечений. А именно, следующие свойства непрерывной функции < : Р ^ ф равносильны:
(1) функция < локально уникальна;
(2) прообраз <-1(д) любой точки д £ ф конечен;
(3) если / £ со(ф), то / о < £ со(Р);
(4) если / £ СОо(ф), то / о < £ СОо(Р), (/ о <)с = /с о <, (/ о = / о <;
(5) если X — банахово расслоение над ф и и £ со(ф, X), то и о < £ Со(Р, X о <);
(6) если X — банахово расслоение над ф и и £ СОо(ф, X), то и о < £ СОо(Р, X о <), (и о <)с = ис о <, (и о = иЙ о <.
Не менее удачной оказывается связь локально уникальных функций с удвоениями Р = Рс и Р^, <5 = фс и ф^. А именно, если определить «удвоение» <5 : Р ^ функции < : Р ^ ф вполне естественными формулами
<5(Рс) := <(р)с, <5(р^) := <(рк р £ Р,
то функция <5 будет непрерывной тогда и только ^гогда, когда функция < непрерывна и локально уникальна. Непрерывность <5 : Р ^ С/ дает возможность рассмотреть банахово расслоение X о <5 над Р (где X — по-прежнему банахово расслоение над ф). Как и следовало ожидать, в этом случае имеет место равенство X о <5 = X о <, причем 5 о <5 = гТо~< для всех и £ СО^ф, X).
Пусть теперь Р — непустой компакт без изолированных точек, являющийся топологическим подпространством ф. Для банахова расслоения X = (X, Сх) над ф символом X|р обозначается банахово расслоение над Р со слоями (X|р)(р) = X(р) и непрерывной структурой {с|р : с £ Сх} [3, 2.2.5]. Сразу отметим очевидное равенство С(Р, X|р) = С(Р, X), где С(Р, X) — множество всех непрерывных сечений расслоения X, определенных на Р [3, 2.1.2]. Вновь оправдывая ожидания, удвоение Р компакта Р оказывается топологическим подпространством удвоения О/ компакта ф. При этом имеют место следующие соотношения!:
(а) = X\р и, в частности, С(Р, З^Р) = С(Р,Х
(б) и|р = п|р для всех и £ СО^ф, X);
(в) если и £ СОо(ф, X), то^и|р £ СОо(Р, X|р), (и|р)с = ис|р, (и|р= иЙ|р.
Из определения удвоения (5 = фс и видно, что отображение (-)с является гомеоморфизмом ф на замкнутое подмножество фс С (5. Это наблюдение позволяет, рассматривая (-)с в качестве отождествления, считать ф топологическим подпространством (5. Тогда, принимая это соглашение, мы приходим к следующим равенствам: (а ) XX о (■ )с = XX \Q = Х^^;
(б') 5 о (-)с = и^ = и для всех и £ С(ф, X).
В соответствии со сложившейся традицией, вводя в рассмотрение какие-либо новые объекты, мы не можем позволить себе оставить в стороне исследование соответствующих морфизмов. Пусть X и ^ — банаховы расслоения над ф. (Как и прежде, ф — непустой компакт без изолированных точек.) Символом £[Х, ^] обозначим совокупность
всевозможных функций H, определенных на Q и сопоставляющих точкам q е Q ограниченные линейные операторы H(q) : X(q) ^ Y(q). Как легко видеть, S[X, Y] является векторным пространством относительно поточечных операций.
Для H е S[X, Y] и u е S(Q, X) будем обозначать символом Hu сечение расслоения Y, определяемое формулой (Hu)(q) = H(q)u(q). Введем в рассмотрение векторные подпространства C[X, Y], Co[X, Y], CDo[X, Y] С S[X, Y], состоящие из тех функций H е S[X, Y], для которых из u е C(Q, X) следует Hu е C(Q, Y), Hu е Co(Q, Y), Hu е CDo(Q, Y) соответственно. Элементы этих трех подпространств условимся называть соответственно гомоморфизмами, Co-гомоморфизмами и CDo-гомоморфизмами из X в Y. Использование термина «CDo-гомоморфизм» оправдано еще и тем фактом, что пространство CDo[X, Y] состоит в точности из тех функций H е S[X, Y], для которых из u е CDo(Q, X) следует Hu е CDo(Q, Y).
Как легко видеть, C[X, Y] + Co[X, Y] С CDo[X, Y].
С помощью принципа ограниченности можно показать, что supq6g ||H(q)|| < то для любого CDo-гомоморфизма H. При этом каждое из пространств C[X, Y], Co[X, Y], CDo[X, Y] является банаховым пространством относительно равномерной нормы ||H|| =
supqeQ ||H(q)|.
Простым примером Co-гомоморфизма служит любая функция H е S[X, Y], поточечная норма ||H| : q ^ ||H(q)|| которой принадлежит Co(Q). Тем не менее множество Co[X, Y], вообще говоря, не исчерпывается функциями такого вида. Действительно, из приведенных в [14, Example 9] построений следует, что в случае сепарабельного компакта Q существует Co-гомоморфизм, поточечная норма которого равна единице на всюду плотном подмножестве Q. Более того, можно утверждать, что вне зависимости от свойств Q поточечной нормой Co-гомоморфизма может быть совершенно произвольная ограниченная положительная функция f : Q ^ R. А именно, для любого непустого компакта Q без изолированных точек существуют банаховы расслоения X и Y над Q такие, что для произвольной функции 0 ^ f е ^(Q) найдется Co-гомоморфизм H е Co[X, Y] с поточечной нормой |H | = f. Стоит отметить, что в качестве X и Y можно выбрать постоянные расслоения, т. е. сформулированное выше утверждение сохраняет силу для функций H : Q ^ B(X, Y), где X и Y — банаховы пространства.
Как уже отмечалось, сумма гомоморфизма и Co-гомоморфизма представляет собой CDo-гомоморфизм. Менее очевидным представляется тот факт, что такими суммами исчерпывается все множество CDo-гомоморфизмов. А именно, имеет место разложение в прямую сумму
CDo[X, Y] = C[X, Y] ф Co[X, Y].
В частности, любой CDo-гомоморфизм H е CDo[X, Y] единственным образом представляется в виде суммы H = Hc + Hd, где Hc е C[X, Y] и Hd е Co[X, Y]. При этом ||Hc|| < ||H|| и ||Hd|| < 2||H|| для всех H е CDo[X, Y].
Очевидное неравенство ||fH|| < ||f ||||H|| (f е CDo(Q), H е CDo[X, Y]) позволяет заключить, что CDo[X, Y] является банаховым CDo (Q)-модулем.
Теперь рассмотрим удвоения X и Y5 банаховых расслоений X и Y и для каждого CDo-гомоморфизма H е CDo[X, Y] определим функцию H е S[X,Y], полагая
H(qc):= Hc(q), H(qd) := H(q), q е Q.
Теорема. Отображение H ^ H осуществляет линейную изометрию банахова пространства CDo[X, Y] на C[X,#]. При этом для любых f е CDo(Q), u е CDo(Q, X) и H е CDo[X, Y] имеют место равенства Hu = Hu и fH = fH.
Для произвольной определенной на ( функции О положим
О|с := О о (.)с = О(-, 0), ои := О о (.^ = О(-, 1).
Тогда из последней теоремы вытекает следующее описание гомоморфизмов из X в ^ функция О £ Б [Xпринадлежит С [Xв том и только в том случае, если
О|с £ С[X, ои - О|с £ со[X,
или, что равносильно,
0^ £ СОо[Х, О|с = (О|й)с.
Отметим также, что образы пространств С[X, ^] и со[Х, ^] относительно изометрии Н ^ Н описываются следующими формулами:
{ Н : Н £ С[X, } = { О £ С[Х,#] : 0|с = }
= { О £ Б[Х,#] : О|с = О|й £ С[X, },
{ Н : Н £ со[Х, } = { О £ С[Х,#] : О|с = 0 }
= { О £ Б[Х,#] : О|с = 0, О|й £ со[Х, }.
Приведенные выше сведения позволяют легко описать пространства гомоморфизмов, со-гомоморфизмов и СОо-гомоморфизмов в терминах их действия в банаховых модулях. Для произвольных банаховых С(()-модулей и и V обозначим символом Нот(и, V) банахов С(()-модуль всех ограниченных С(()-линейных операторов из и в V. Кроме того, для Н £ СОо[Х, ^] определим функцию Тя : С((, X) ^ СОо((, ^), полагая (Тяи)(д) = Н(д)и(д) для всех и £ С((, X) и д £ (. Тогда отображение Н ^ Тя осуществляет С(ф)-линейные изометрии между следующими парами банаховых С(ф)-модулей:
С[X, ^ Нот (С((, X),С((, )),
со[X, ^ Нот (С((, X),со((, ^)),
СОо[Х, ^] ^ Нот (С((, X),СОо((, ^)).
В частности, банаховы пространства СОо[Х, С[Х,#], Нот (С((, X),СОо((, ^)) и Нот (С((,Х), С((5,25)) линейно изометричны. Кроме того, имеет место разложение в прямую сумму
Нот (С((, X),СОо((, ^)) = Нот (С((, X),С((, ^)) ® Нот (С((, X),со((, ^)).
Таким образом, любой ограниченный С(()-линейный оператор Т : С((, X) ^ СОо((, ^) единственным образом представляется в виде суммы Т = Тс + Т^ ограниченных С(()-линейных операторов Тс : С((, X) ^ С((, ^) и Т^ : С((, X) ^ со((, ^). При этом Тс = Тяс и Т^ = Тяй, где Н — такой СОо-гомоморфизм из X в ^, что Т = Тя.
Литература
1. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.-368 с.
2. Алпай Ш., Эрджан З. Заметка о пространствах СО0(К) // Сиб. мат. журн.—2006.—Т. 47, № 3.— С. 514-517.
3. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Тр. Ин-та математики СО РАН.—Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1995.—Т. 29.—С. 63-211.
4. Гутман А. Е., Коптев А. В. Пространства CD0-сечений и CDo-гомоморфизмов банаховых расслоений // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика.—2007.—(В печати).
5. Коптев А. В. Несколько классов банаховых расслоений с непрерывными слабо непрерывными сечениями // Сиб. мат. журн.—2004.—Т. 45, № 3.—C. 600-612.
6. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
7. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—751 с.
8. Abramovich Y. A., Wickstead A. W. Regular operators from and into a small Riesz space // Indag. Math. N.S.—1991.—V. 2, № 3.—P. 257-274.
9. Abramovich Y. A., Wickstead A. W. Remarkable classes of unital AM-spaces // J. Math. Anal. Appl.— 1993.—V. 180, № 2.—P. 398-411.
10. Abramovich Y. A., Wickstead A. W. The regularity of order bounded operators into C(K). II // Quart. J. Math. Oxford Ser. 2.—1993.—V. 44, № 175.—P. 257-270.
11. Alpay §., Ercan Z. CDo(K,E) and CD^(K, E)-spaces as Banach lattices // Positivity.—2000.—V. 4, № 3.—P. 213-225.
12. Ercan Z. A concrete description of CD0(K)-spaces as C(X)-spaces and its applications // Proc. Amer. Math. Soc.—2004.—V. 132.—P. 1761-1763.
13. Gierz G. Bundles of Topological Vector Spaces and Their Duality.—Berlin: Springer, 1982. (Lecture Notes in Math.; № 955.)
14. Hoim T., Robbins D. A. Section spaces of Banach bundles which generalize some function spaces // Siberian Adv. Math.—2006.—V. 16, № 3.—P. 71-81.
15. Troitsky V. G. On CDo(K)-spaces // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, № 1.—С. 71-73.
Статья поступила 26 сентября 2007 г.
Гутман Александр Ефимович, д. ф.-м. н. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Новосибирск, 630090, РОССИЯ E-mail: [email protected]
Коптев Александр Викторович, к. ф.-м. н. Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Новосибирск, 630090, РОССИЯ E-mail: [email protected]
