О субдифференциале сублинейного интегрального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

О СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЕ СУБЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

© 2010 г. Е.К. Басаева, М.А. Плиев

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, backoffice@smath.ru

Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Centre RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, backoffice@smath.ru

Рассматриваются сублинейные интегральные операторы, определенные в пространстве измеримых сечений банахова расслоения. Дано аналитическое представление указанных операторов.

Ключевые слова: измеримое банахово расслоение, измеримое сечение, лифтинг, сублинейный интегральный оператор, субдифференциал.

We consider a sublinear integral operators on the Banach measurable section spaces. The analytical representation has described. Keywords: measurable Banach bundles, measurable section, lifting, sublinear integral operator, subdifferential.

Вычисление субдифференциалов негладких отображений является важной задачей теории экстремальных задач. К числу наиболее ярких результатов в этом направлении следует отнести формулы вычисления субдифференциалов интегральных функционалов, заданных на различных классах функциональных пространств. Первая работа в этом направлении была выполнена Штрассеном, вычислившим субдифференциал сублинейного функционала [1]. В дальнейшем в работах ряда российских и зарубежных математиков была создана теория двойственности интегральных функционалов, заданных на пространствах измеримых скалярных и векторнозначных функций [2, 3]. В 1990 гг. само понятие вектор-функции (измеримой или непрерывной) было помещено в новую концептуальную рамку благодаря пионерской теории банаховых расслоений [4]. В связи с этим возникает естественная задача - расширить теорию двойственности на пространства сечений банаховых расслоений. Первый шаг в этом направлении сделан в [5].

Предварительные сведения

Через (О, Е, /) обозначим пространство с мерой. Говорят, что пространство (О, Е, /и) обладает свойством прямой суммы, если существует семейство попарно непересекающихся множеств конечной ненулевой меры О^, ^еН , такое, что /(О\О^) = 0 и

каждое множество А , 0 < /(А) < , может быть

( \

представлено в виде A = A0 U

U (A П )

где

н0 = н0 (А) - конечное или счетное подмножество

н , /А) = 0.

Пусть, как обычно, L0(О,Е,/и) и (О,Е,/и) -пространства (классов эквивалентности) измеримых и существенно ограниченных функций соответственно; Ьх (О, Е, /и) - множество всех измеримых существен-

но ограниченных функций, определенных почти всюду на О.

Если / или а - конечная мера, то (О, Е, /) и Ь0(О,Е,/) - порядково полные векторные решетки, более того, ¿0(О, Е,/) - расширенное К-пространство. В общем случае порядковая полнота Х0 (О, Е, /) связана со свойством прямой суммы.

Отображение р: Ьх (О, Е, /) ^ Ьх (О, Е, /) называют лифтингом (О, Е, /), если для всех а, ¡3 е Я и /, g е (О, Е, /) выполнены условия: р(/) е / и ёош (р(/)) = О; если / < g , то р(/) < р(§) всюду на О ; р(а/ + 3) = ар(/) + ¡р^), р/) = р(/)р(g) , р(/ V g) = р(/) V р^), р(/ л g) = р(/) л р(g); р(0) = 0 и р(1) = 1 на О .

Теорема 1 [6, 1.4.8]. Для пространства с мерой (О, Е, / ) следующие условия эквивалентны: (О, Е, / ) обладает свойством прямой суммы; (О, Е, /) допускает лифтинг; Ь0 (О, Е, /) - расширенное ^ пространство.

Банаховым расслоением над О называют произвольное отображение X, определенное на О и ставящее в соответствие каждой точке со е О некоторое банахово пространство Xа - слой в точке а . Норму элемента х в слое Xа будем обозначать через 11 х||а .

Функция V: О ^ X называется сечением над ^ш(у) := {а е О: v(®) < +да} расслоения X, если v(а) е Xа для всех а е ^ш^). Будем говорить, что сечение V определено почти всюду, если множество О\domV имеет нулевую меру. Множество почти всюду определенных сечений расслоения X обозначается X). Множество сечений V с 5"~(О, X) называется послойно плотным в X, если множество {у(а): V е V, а е dom(v)} плотно в Xа для любой

точки йеП. Сечение V называется скалярно измеримым, если измерима функция ю — |Мю)||ю. Заметим, что линейная комбинация конечного числа почти всюду определенных сечений v1,...,vn, определяемая поточечно, также является почти всюду определенным сечением, определенным на РП=1 ^ош VI.

Измеримой структурой в X называют послойно плотное множество скалярно измеримых сечений I с (О, X), являющееся векторным подпространством в (О, X). Банахово расслоение над множеством X с заданной измеримой структурой I называют измеримым банаховым расслоением (ИБР) над О и обозначают (X, I).

Пусть (X, I) - ИБР над О. Сечение, совпадающее с v на измеримом множестве А с О и равное нулю на дополнении к А, обозначим через [А^. Сечение 5 е (О, X) называют ступенчатым, если

п

5 = 2 [А, IV,- для некоторых п е N, А1,..., Ап е Е и

г=1

V,.••,^ еI. Сечение Vе (О,X) называют измеримым, если для каждого А е Е, /(А) < да, существует такая последовательность V) п^ ступенчатых сечений, что vn (ю) ^ V®) для почти всех юеО.

Множество всех измеримых сечений расслоения X обозначим М(О, X). Для v, и е М(О, X) положим

V ~ и , если V®) = и(ю) для почти всех юеО. Класс эквивалентности, содержащий элемент V е М(О, X),

обозначается символом ~ := V~ . Фактор-множество М(О, X)\~ естественным образом превращается в векторное пространство. Для каждого элемента ~ е М (О, X)\ ~ можно ввести векторную норму

| ~ | :=| V | ~ е Ь0(О, Е,/. Тогда пара (М(О, X)\~, | • | ) становится решеточно нормированным пространством над Ьо (О, Е, /). Отметим, что пространство Ь0(О, X):= (М(О, X)\~,| •) можно наделить естественной структурой модуля над кольцом Ь0 (О, Е, /), полагая ~ ~ = (ег)~ для всех е е Ь0 (О, Е, /) и

V е Ь0 (О, X). При этом выполняется равенство | ~ ~| =| ~ | ~| .

Измеримое банахово расслоение X называется сепарабельным, если существует счетное множество измеримых сечений, послойно плотное в X .

Если (О, Е, /) - пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы, то порядковый идеал Е в Ь0 (О, Е, /) называют идеальным пространством над (О, Е, /).

Пусть Е - идеальное пространство над Ь0 (О, Е, /). Положим по определению Е(X) := .-{V е Ь>(О,X): | v| е Е}.

Известно, что Е(X) - это ¿0-полное решеточно нормированное пространство, а Ь0(О, X) - его максимальное расширение [6, теорема 2.5.3].

Пусть X - ИБР над О. Рассмотрим лифтинг р: (О, Е, /) ^ Ьда (О, Е, /).

Отображение рX : (О, Е, /, X) ^ (О, Е, /, X) назовем лифтингом пространства (О, Е, /, X) (ассоциированным с р), если для всех и, V е (О, Е, /,X) и е е (О, Е, /) справедливы условия: рx(и)еи и Aoш(рx(и)) =О; |||Px(и)||=р( и|); рх (и + v) = рx(и) + рx(v); рx (еи) = р(e)рx (и); множество {рx(и): и е(О,Е,/,X)} послойно плотно в X.

Если существуют лифтинг пространства

(О, Е, /) и ассоциированный с ним лифтинг пространства (О, Е, /, X), то говорят, что X - измеримое банахово расслоение с лифтингом (подробнее см. [2, гл. 3; 6, § 2.5]).

Сублинейные интегральные операторы, определенные на пространстве сечений банахова расслоения

Пусть (О, Е, /) - пространство с мерой; X - ИБР над (О, Е, /) с лифтингом; Е с Ь0 (О, Е, /) - идеальное пространство; Е' - идеальное пространство, двойственное к Е , т.е.

Е' :=|е'е Ь0(О, Е, /) : (Уе е Е) 11 е' е | й/(ю) <да|.

Рассмотрим банахову решетку ¥ с порядково непрерывной нормой. Пусть (Кю)юеО - семейство непрерывных сублинейных операторов Кю : Xю ^ ¥ таких, что для всех и е Е(X) вектор-функция ю I—^ Кю(и(ю)):= К(ю,и(ю)) измерима по Бохнеру, а функция ю — ||Кю || мажорируется некоторой измеримой функцией из Е'. Тогда определен сублинейный оператор К: Е^) ^ ¥

К (и) = | К (ю, и(ю)) ф(ю) (и е Е(X)) , (1)

О

где интеграл понимается в смысле Бохнера. В данном контексте возникает естественная задача - описать субдифференциал оператора К . Впервые аналогичный результат для выпуклых интегральных функционалов был получен Штрассеном в [1]. Обобщение этого результата для сублинейных функционалов, определенных на пространстве сечений банаховых расслоений, имеется в работе А.Г. Кусраева [5].

Докажем техническую лемму, которая понадобиться в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть (О, Е, /) - пространство с мерой; X - ИБР над (О, Е, /) с лифтингом; ¥ - банахово пространство. Тогда существует и единственно ИБР с лифтингом Т над (О, Е, /) такое, что в каждой точке ю слой Т (ю) является подпространством Ь(X(ю), ¥).

Доказательство. Рассмотрим постоянное ИБР О х {р}. Воспользовавшись [4, теорема 5.2.3], найдем ИБР с лифтингом Y над О такое, что Р является банаховым подпространством каждого слоя У (а). Осталось применить [4, теорема 4.4.6].

Обозначим через Е^) * множество всех линейных операторов Т: Е(Л) ^ Ь1 (О, Е, /, F), для которых существует элемент 0 < е' е Е такой, что | Ти\ < е'| и| .

Пусть О х {р} - постоянное расслоение. Тогда существует ИБР с лифтингом (У, О) такое, что F -всюду плотное подпространство в У (а) для почти всех а е О. Векторнозначный лифтинг в Ьх (О, У) обозначим рУ.

В случае, когда X - сепарабельное ИБР, для пространства Е(X )* существует удобное описание.

Лемма 2. Если X - сепарабельное ИБР с лифтингом, то пространство измеримых сечений Е (2) и

пространство операторов Е(X) * линейно изомет-ричны. Изометрия состоит в сопоставлении измеримому сечению V е Е (2) оператора Ту : Е(К) ^

^ Е/,F), задаваемого формулой Т : и ^ (и, ^ .

Доказательство. Воспользуемся неравенством | (и,V)| <| и|| V! . Так как | V! е Е, то Т„ е Е(X)* . Пусть теперь Т е Е(X) *. Заметив, что оператор Т сохраняет полосы, и разлагая пространство Е(X) на дизъюнктные полосы, можно свести доказательство к случаю | Т| = 1 и считать, что оператор Т действует в

(О, Е, /, У). Если теперь ру - лифтинг пространства (О, Е, /, У), то сечение V е Е(2), определяемое формулой (х,v(а)^ := (рх о Т)(а), х = и(а)

(а е О), будет требуемым.

Обозначим через \пдКаё/(а) множество всех линейных операторов из Е(X) в р, которые можно представить формулой и(-) ^ Д и (а), и' (а)) йр(а),

О

где и'е Х0(0,2) - измеримое сечение такое, что и'(а) е дКа для всех а е О и | и' е Е'.

С семейством (Ка)аеО свяжем оператор Я:Е(К) ^!1(О,Е,/,F) по формуле Яи :=ж(К(а,и(а))) (и е Е(X)), где я(^) - класс эквивалентности измеримой вектор-функции g . Ясно, что Я - сублинейный оператор.

Лемма 3. Для произвольного ИБР X и банаховой решетки F с порядково непрерывной нормой имеет место формула дК = | дЯ .

о

Доказательство. Достаточно воспользоваться тем фактом, что оператор Магарам можно выносить из-под знака субдифференциала слева [7, теорема 4.5.2]. В случае, когда F - банахова решетка с по-

рядково непрерывной нормой, интеграл Бохнера I/ : Ь1 (О, Е, /, F) ^ F является оператором Мага-

рам [6, теорема 3.4.2 (4)], и таким образом справедлива формула д(1ц о К) = д(1ц о Я) = 1Ц о дЯ , откуда

и следует требуемое.

Сформулируем основной результат статьи - аналог формулы Штрассена для введенного выше класса сублинейных интегральных операторов.

Теорема 2. Пусть (О,Е,/) - пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы; X - сепарабельное ИБР над (О, Е, /) с лифтингом;

(Кю)юеО - семейство операторов, определенное в (1). Тогда имеет место представление дК = \дКю й/(а).

о

Доказательство. Включение дК с^дК(®, и(а)) й/(т)

очевидно. Установим обратное включение. Пусть Т едК и ||Ка || < е'(а) (аеО) для некоторого 0 < е'е Е' . Тогда справедливо неравенство | Ти| < е'| и| (и е Е(X)) и, следовательно, Т е Е(X) *.

По лемме 1 справедливо представление Ти = (и, ^ (и е Е(X)) для некоторого V е Е (2). Привлекая свойство прямой суммы и разлагая пространство Е(X) на дизъюнктные полосы, без ограничения общности можно считать, что характеристическая функция множества О принадлежит Е .

Пусть последовательность измеримых сечений (ип) nеN плотна в X. Заменив, если надо ип на ии/(1+| иИ |), можем считать, что ии е Е(X). Возьмем произвольный представитель у0 из класса эквивалентности ~ . Символом О(и) обозначим множество тех аеО, для которых нарушается неравенство

(u(rn,v0(®)) < К(ю,и(ю)). Тогда D = UD(un) -

мно-

жество нулевой меры. Для любого а & О выполняется неравенство (х, v0(a)^ < К (а, и(а)), когда х е X' (а) := {ип (а): п е N. Так как множество X' (а) плотно в Xа, то в силу непрерывности операторов Ка, у0 (а) это неравенство выполняется на всем пространстве Xш. Это означает, что у0 (а) е дКа. Определим сечение и', полагая что и'(а):= v0(а) при а & О и считая и'(а) произвольным оператором из дКа при а е О. Тогда и' - измеримое сечение из Е'(2) для всех аеО и и'(а) = ^(а) для почти всех аеО. Так как (и(а), и' (а)) < (и(а), ^ (а)) для почти всех аеО, то Ти = (и(а), и' (а)^ < (и(а), v0 (а)^ .

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 09-01-00442.

n=1

Литература

1. Strassen V. The existence of probability measures with given martingales // Ann. Math. Stat. 1965. Vol. 36. P. 423-439.

2. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математической экономике. М., 1985. 352 с.

3. Castaing Ch., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifunctions. Berlin, 1977. 278 p.

Поступила в редакцию

4. Гутман А.Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком. Новосибирск, 1995. С. 63-211.

5. Кусраев А.Г. О теореме типа Штрассена для измеримых селекторов // Владикавказский мат. журн. 2006. Т. 8, вып. 4. С. 32-37.

6. КусраевА.Г. Мажорируемые операторы. М., 2003. 619 с.

7. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциальное исчисление: теория и приложения. М., 2007. 560 с.

22 мая 2009 г.