CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 14-18
УДК 517.98
НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СЕЧЕНИЯ РАССЛОЕНИЙ БАНАХОВЫХ РЕШЕТОК
А. Е. Гутман, А. В. Коптев
В работе уточняется понятие непрерывного расслоения банаховых решеток и исследуются порядковые свойства пространства СО0-сечений такого расслоения.
Ключевые слова: непрерывное банахово расслоение, банахова решетка, расслоение банаховых решеток, СО0-сечение банахова расслоения, удвоение по Александрову.
Основная цель данной заметки — выяснить, при каких условиях непрерывная структура расслоения банаховых решеток X над топологическим пространством Q согласуется с поточечными решеточными операциями. В качестве приложения мы покажем, что пространство СОо^, X) непрерывно-дискретных сечений такого расслоения X является банаховой решеткой, и исследуем ее порядковые свойства. Говоря о непрерывных банаховых расслоениях, мы следуем терминологии и обозначениям из [1] и [2, §2.4].
Пусть X — дискретное банахово расслоение над каким-либо множеством Q, каждый слой X (д) которого является банаховой решеткой. Тогда векторное пространство БX) всех сечений расслоения X представляет собой векторную решетку относительно поточечного порядка
и ^ v & и(д) ^ г>(д) для всех д е Q,
причем решеточные операции также вычисляются поточечно:
(и V v)(g) = и(д) V v(g), (и Л v)(g) = и(д) Л v(g), и+(д) = и(д)+, и-(д) = и(д)-, |и|(д) = |и(д)|
для всех д е Q. Если, кроме того, Q является топологическим пространством, а X — непрерывным расслоением, то решеточные операции в X) не всегда сохраняют непрерывность сечений. Например, если X — постоянное непрерывное банахово расслоение над Ж со слоями X(д) = (Ж, |-|), а порядок на X(д) определяется правилом
(ж ^ у, если д е 0>; ж ^ у, если д е
то положительная часть и+ = XQ непрерывного сечения и = 1 оказывается разрывной во всех точках. В следующей теореме приведены условия, каждое из которых обеспечивает согласованность решеточной структуры слоев с непрерывной структурой расслоения.
© 2013 Гутман А. Е., Коптев А. В.
Теорема 1. Пусть X — непрерывное банахово расслоение над произвольным топологическим пространством Q, причем каждый слой X(д) является банаховой решеткой. Следующие утверждения попарно равносильны:
(1) отображение Vх: ((д, х), (д, у)) £ (Q <Х> X)х ^ (д, х V у) £ Q <Х> X непрерывно;
(2) отображение (•)+: (д, х) £ Q <Х> X ^ (д, х+) £ Q <Х> X непрерывно;
(3) множество СX) является подрешеткой БX);
(4) существует послойно плотное в X векторное подпространство и С СX), являющееся подрешеткой <5^, X);
(5) существует послойно плотное в X подмножество и С СX) такое, что «1 V и2 £ СX) для любых щ, и2 £ и;
(6) существует послойно плотное в X подмножество и С СX) такое, что и+ £ СX) для любых и £ и.
< Эквивалентность (1) ^ (2) обеспечивается очевидными равенствами
х+ = х V 0, х V у = (х — у) + + у
и непрерывностью линейных операций (см. [1, 2.1.5]), (2) влечет (3) благодаря [1, 2.1.7], импликации (3) ^ (4) ^ (5) очевидны, а из (5) следует (6) по следующей причине: если и удовлетворяет (5) и и0 £ и, то
(и — и0)+ = (и V и0) — и0 £ СX)
для всех и £ и, а значит, и — и0 удовлетворяет (6).
Покажем, что (6) ^ (2). Пусть и — множество, удовлетворяющее (6). Рассмотрим пару (д,х) £ Q ® X, окрестность и точки д, сечение и £ СX) и число е > 0 такие, что (д,х+) £ и (и, е), т. е.
е0 := ||х+ — и(д)|| < е.
Нам предстоит найти такую окрестность V (г>,£) пары (д, х), что (•)+ [V (г>,^)] С и (и, е). Положим 5 := (е — е0)/2 и выберем сечение v £ и так, чтобы
||х — v(д)|| < 5.
Тогда ||х+ — v+(q)|| ^ ||х — v(g)|| < 5, откуда
||и(д) — v+(q)|| ^ ||и(д) — х+|| + ||х+ — v+(g)|| < е0 + 5.
Благодаря непрерывности и и v + найдется такая окрестность V С и точки д, что
||и(р) — v+(p)|| < е0 + 5 при р £ V.
Тогда V(v,5) — искомая окрестность пары (д,х). Действительно, если (р, у) £ V(v, 5), то ||у+ — v+(p)|| ^ ||у — v(p)|| <5 и поэтому
||у+ — и(р)|| < ||у+ — v+ (р)|| + ||v+(p) — и(р)|| <5 + е0 + 5 = е,
т. е. (•)+ (р,у) £ и (и, е). >
Замечание 1. Список утверждений, равносильных (1)—(6), можно расширить, подставив Л вместо V в (1) и (5), а также или вместо (•) + в (2) и (6).
Замечание 2. Если считать банахову решетку топологической алгебраической системой с (непрерывными) линейными и решеточными операциями, то утверждения (1)
и (2) теоремы 1 означают, что Q <Х> X является расслоением таких систем в смысле определения [3, 1.5]. Отметим также, что множество U, удовлетворяющее условию (4) теоремы 1, является решеточной непрерывной структурой на X, а значит, пара (X, U) представляет собой непрерывное расслоение банаховых решеток согласно определению, принятому в [4], причем структура U эквивалентна (см. [1, 2.1.8]) исходной непрерывной структуре расслоения X. (При этом импликация (4) ^ (3) в теореме 1 совпадает с леммой [4, §2].) Приведенные выше соображения служат основанием для следующего определения.
Определение 1. Непрерывным расслоением банаховых решеток назовем непрерывное банахово расслоение, слои которого являются банаховыми решетками и которое удовлетворяет любому из эквивалентных условий (1)-(6) теоремы 1.
Возникшее понятие непрерывного расслоения банаховых решеток предоставляет возможность уточнить основные факты о сечениях банаховых расслоений и получить их аналоги, отражающие наличие порядка в рассматриваемых алгебраических системах. В качестве примера остановимся на исследовании порядковых свойств пространства непрерывно-дискретных сечений. (В этой части заметки мы используем термины и обозначения, введенные в [5, 6].)
Определение 2. Пусть Q — непустой компакт без изолированных точек и X — непрерывное расслоение банаховых решеток над Q. Как легко видеть, пространство •^(Q, X) всех ограниченных сечений X является порядковым идеалом векторной решетки S(Q, X), а пространство
со(Q, X) = {u G S(Q, X) : || u|| G Cq(Q)}
является порядковым идеалом •^(Q, X). Кроме того, если u, v G S(Q, X) и |u| ^ |v|, то ||u| ^ |v|, а если в добавок v G •^(Q, X), то ||u|| ^ ||v||. Таким образом, •^(Q, X), со(Q, X) и C(Q, X) представляют собой банаховы решетки относительно поточечных линейных операций, поточечного порядка и равномерной нормы. Для любого сечения u G S(Q, X) из очевидного равенства ||u|| = |||u||| вытекает эквивалентность u G c0(Q, X) ^ |u| G c0(Q, X). Напомним также, что CD0(Q, X) — банахово подпространство •^(Q, X), которое представляется в виде прямой суммы
CDo(Q, X) = C(Q, X) е со(Q, X)
с соответствующими линейными проекторами (-)c и (-)d (см. [5]).
Теорема 2. Пусть X — непрерывное расслоение банаховых решеток над непустым компактом Q без изолированных точек.
(1) Пространство CD0 (Q, X) является банаховой подрешеткой •^(Q, X).
(2) Линейный проектор (-)c: CD0(Q, X) ^ C(Q, X) является решеточным гомоморфизмом: (u V v)c = uc V vc, (u Л v)c = uc Л vc для всех u, v G CD0(Q, X).
(3) Для любых u, v G CD0(Q, X) выполняется неравенство |(u V v)d| ^ |ud| V |vd|. В частности, ||(u V v)d|| < || ud|| + || vd|| и ||(u V v)d|| < ||ud|| + ||vd||.
(4) Пусть Q и X — удвоения Q и X соответственно. Тогда X представляет собой непрерывное расслоение банаховых решеток относительно естественного порядка, а отображение u ^ u, где u(q, 0) = uc(q) и u(q, 1) = ^^для всех q G Q, является не только линейной изометрией между CD0(Q, X) и C(Q, X) (см. [5, теорема 6]), но и порядковым изоморфизмом.
< Для любого сечения и £ С00^, X) имеем |и+ — (ис)+| ^ |и — ис| = |и^| £ с0^, X), а значит, v := и+ — (ис)+ £ с0^, X), откуда с учетом непрерывности (ис)+ следует и+ = (ис)+ + v £ С00(Q, X) и (и+ )с = (ис)+, что доказывает (1) и (2).
Приступая к обоснованию (3), предварительно покажем, что в любой архимедовой векторной решетке справедливо неравенство
|х1 VX2 — у1 Vy21 ^ |х1 — у11 V |х2 — уг|. (*)
Благодаря принципу Юдина о сохранении соотношений достаточно установить (*) для вещественных чисел. В этом случае без нарушения общности можно считать, что х 1 = тах|хьх2,уъу2}, а тогда |х1 VX2 — у1 Vу21 = х1 — у1 Vy2 ^ х1 — у1 ^ |х1 — у11 V |х2 — у21. Теперь для всех и, v £ С00(Q, X) с учетом (2) и (*) имеем
|(и V v)d| = |uVv — (иVv)c| = |иVv — исVVc| ^ |и — ис| V |v — Vc| = Ы V
Для доказательства (4) заметим, что из_(1) и (2) следует 5(д,г) + = (и+)~(д,г) для всех и £ С00 (Q, X), (д,г) £ (5, и поэтому X является непрерывным расслоением банаховых решеток. Кроме того, если и £ С^^, X) и и ^ 0, то в силу (2) мы имеем ис ^ 0, откуда 5(д, 0) = ис(д) ^ 0 и 5(д, 1) = и(д) ^ 0 для всех д £ Q, а значит, 5 ^ 0. Если же 5 ^ 0, то и(д) = 5(д, 1) ^ 0 для всех д £ Q, т. е. и ^ 0. >
Замечание 3. В отличие от (-)с линейный проектор (^л: С00X) ^ с0X) оказывается решеточным гомоморфизмом лишь в вырожденном случае X = {0}. Более того, если X ф {0}, то (^ не является положительным оператором. Действительно, пусть и £ СX), и ^ 0 и и(р) > 0 для некоторой точки р £ Q. (На роль и подходит модуль ненулевого непрерывного сечения.) Определим сечение v £ с0^, X), полагая v(p) = и(р) и v(q) = 0 при д = р. Тогда т := и — v £ С00^, X) и т ^ 0, но т = —v < 0.
Определение 3. Пусть X и & — (дискретные) банаховы расслоения над произвольным множеством Q. Следуя [5, §4], обозначим символом S[X, &] векторное пространство всех сечений дискретного банахова расслоения над Q со слоями В (X(д), &(д)). Таким образом, Б[X, &] состоит из всевозможных функций Н, определенных на Q и сопоставляющих каждой точке д £ Q ограниченный линейный оператор Н(д): X (д) ^ &(д). Для векторного подпространства и С БX) и сечения Н £ , &] определим линейный оператор Ни: и ^ Б^, &) формулой (Нии)(д) = Н(д)и(д), и £ и, д £ Q.
Теорема 3. Пусть X и & — произвольные расслоения банаховых решеток над Q, Н £ , &] и пусть и — послойно плотная векторная подрешетка Б^, X). Оператор Ни : и ^ Б^, &) положителен (является решеточным гомоморфизмом) тогда и только тогда, когда оператор Н(д): X (д) ^ &(д) положителен (является решеточным гомоморфизмом) для каждой точки д £ Q.
< Достаточность очевидна. Покажем необходимость. Зафиксировав произвольную точку д £ Q, рассмотрим всюду плотную в X(д) векторную подрешетку и(д) := {и(д) : и £ и} и линейный оператор Hq := Н(д)|и(?): и(д) ^ &(д). Если х £ и(д), то для сечения и £ и со значением и(д) = х мы имеем и+(д) = и(д)+ = х+, откуда Н<1х+ = Н(д)и+(д) = (Нии+)(д). Следовательно, в случае Ни ^ 0 мы получаем Н<1х ^ 0 для х ^ 0, а если Ни — решеточный гомоморфизм, то для любого х £ и (д)
^(х+) = Ни (и+)(д) = (Ни и)+(д) = (Ни и)(д)+ = (Н (д)и(д))+ = (Hqx)+.
Остается заметить, что из положительности (решеточной гомоморфности) сужения Hq ограниченного оператора Ни (д) на всюду плотную векторную подрешетку и (д) С X (д) следует положительность (решеточная гомоморфность) самого оператора Ни(д). >
Пространство линейных операторов, действующих в векторных решетках, по умолчанию снабжается порядком, порожденным конусом положительных операторов. Тогда для расслоений банаховых решеток X и & над Q каждое из пространств В (X(д), &(д)) оказывается упорядоченным, и на векторном пространстве Б[X, &] (и его подпространствах) возникает естественный поточечный порядок.
Следствие. Если X и & — непрерывные расслоения банаховых решеток над непустым компактом Q без изолированных точек, то определенные в [5] биекции между пространствами СОо^, &], С[X, #], ОгШ(СX), СОо(Q, &)), ОгШ(С(¿3, X), С(¿3, #)) являются не только линейными изометриями, но и порядковыми изоморфизмами.
Литература
1. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Тр. Ин-та математики СО РАН.—Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1995.—Т. 29.—С. 63-211.
2. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
3. Gierz G. Bundles of Topological Vector Spaces and Their Duality.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1982.— 296 p.
4. Kusraev A. G., Tabuev S. N. Banach lattices of continuous sections // Владикавк. мат. журн.— 2012.—Т. 14, № 4.—С. 41-44.
5. Гутман А. Е., Коптев А. В. Пространства cd0-сечений и cd0-гомоморфизмов банаховых расслоений // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика.—2007.—Т. 7, вып. 4.—С. 27-48.
6. Гутман А. Е., Коптев А. В. Пространства cd о-функций и удвоение по Александрову // Владикавк. мат. журн.—2007.—Т. 9, № 3.—С. 11-21.
Статья поступила 19 ноября 2013 г.
Гутман Александр Ефимович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, заведующий лабораторией функционального анализа РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4;
Новосибирский государственный университет, профессор кафедры математического анализа РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2 E-mail: gutman@math.nsc.ru
Коптев Александр Викторович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, старший науч. сотрудник лаб. функционального анализа РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4 E-mail: koptev@math.nsc.ru
CONTINUOUS-DISCRETE SECTIONS OF BUNDLES OF BANACH LATTICES
Gutman A. E., Koptev A. V.
The notion of a continuous bundle of Banach lattices is clarified and the order properties are studied of the space of cdo-sections of such a bundle.
Key words: continuous Banach bundle, Banach lattice, bundle of Banach lattices, CD0-section of a Banach bundle, Alexandroff duplicate.
