Спектральная последовательность Картана - Лере для толерантных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

11 (x, x, x) ee RR для любого x E X;

(iii) (xi,x2,x3) E R (xi1 , xi2 , xi^ ) E R для любых 1 < i1,i2,i3 < 3;

(iv) (x,y,z), (z,y,v) E R (x,y,v) E R для любых элементов x, y,z,v E X, удовлетворяющих условию y = z.

R

x, y E X z E X, что (x,y,z) E R.

Основная теорема. Пусть A = (Q,A,B,S,X) - произвольный автомат без равнодействующих входных сигналов. Тогда, A в том и только том случае является универсальным планарным автоматом Atm(nQ, Пв) для некоторых плоскостей Пq = (Q,Lq), Пв = (B,LB) если канонические от,ношения, Rq, Rb этого автомата являются ква,-

QB

ветственно, а также выполняются следующие свойства:

1) если (q1,q2, q3) E Q3 \ Rq, то для любых x1, x2, x3 E Q, y1,y2,y3 E E B найдется такой элемент a E A, что 6a(qi) = xi w Xa(qi) = yi для

1 < i < 3;

2) если для отображений f : Q ^ Q, ф : Q ^ B при, любых значениях q1,q2,q3 E Q существует x E A, для которого 6x(qi) = f(qi) и Xx(qi) = ^>(qi) для всех 1 < i < 3, то найдется такой элемент a E A, что 6a(q) = f(q) и Xa(q) = ф(у) для всex q E Q.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Kapmecu Ф. Введение в конечные геометрии, М, : Наука, 1980,

2, Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов, М, : Высшая школа, 1994,

3, Molchanov V. A. On definability of universal planar automaton by its semigroup of input symbols // Semigroup Forum, 2011, Vol, 82, P. 1-9,

4, Улам С. Нерешенные математические задачи, М, : Наука, 1964,

УДК 513.6

С. И. Небалуев

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КАРТАНА — ЛЕРЕ ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Основным результатом статьи является теорема о спектральной последовательности Картана — Л ере для толерантных пространств.

Пусть п - произвольная группа. Рассмотрим [1, 2] толерантное пространство (Т пространство) (K), где K = п х N,

(*,о* (g2 ,a2) ~ {a1=ara1=a2;

70

Предложение 1. (К, £) - линейно связное Т пространство с тривиальными (в положительных размерностях) гомотопическими и гомологическими группами: (Уп ^ 1) пп(К) = 0, НП(К) = 0. □ На пространстве (К, £) определено действие группы п:

Н • (д, а) = (дН-1, а), (д, а) Е К, Н Е п.

Это действие является точным, но не вполне разрывным [3]. Построим новое пространство (К',£'), в котором

К' = {до,... ,д8; ао,... ,а8|з Е N и {0},дг Е п,аг Е М,аг < аг+Ь2 = 0,5, }

(до,..., д8; ао,..., а8)£'(Но,..., Н*; Ьо,..., Ь*) ^^

в

до = Нго,..., д8 = Нь; ао = Ьго,..., а8 = Ьь, 0 < ¿о < ... < г8 <

о

Так как симплициальный комплекс $ (К') (см. [2]) является барицентри-

о

ческим подразбиением комплекса $ (К), то НП(К') = НП(К) = 0 п ^ 1. Из результатов работы [2, гл. 3, п. 3] следует, что п1 (К') = п1(К) = 0. Применив далее теоерму Гуревича [4], получим

Предложение 2. Т пространство (К',£') линейно связное и

(Уп ^ 1) Пп(К') = 0, ЯП(К') = 0. □

На (К',£') можно определить вполне разрывное действие (см. [3]) п

Н • (до,... ,д8; ао,... ,а8) = (доН-1,... ,д5Н-1; ао,... ,а8).

Обозначим Т пространство орбит через (п\К',£П) (см. [3]). С помощью результатов работ [3, 5] доказывается

п

ном Т пространстве (К',£'), у которого (Уп ^ 1) пп(К') = 0, НП(К') = = 0. Фактор-отображение р' : (К',£') —^ (п\К',£П) является универ-

п

зований. При, этом п1(п\К') = п, (Уп ^ 2) пп(п\К') =0. □

п

в (левом) п-модуле М определяются формулой

(Уп ^ 0) Яп(п; М) = То М), 71

где Ж[п] - групповое кольцо. Это означает, что для получения групп Нп(п; М), п ^ 0, надо взять точную (ацикличную) последовательность п

... А Сп А ... А С1 А Со Ж 0. (1)

Тогда Нп(п; М) = Нп(Сп <8>гм М), п ^ 0.

Пусть теперь (X, т) - линейно связное Т пространство, у которого п1(Х) = п, (Уп ^ 2) пп(Х) = 0. Тогда из [3] и [5] следует, что для универсального Т накрытия р : (Х,т) —> (X, т) получим (Уп ^ 1) пп(Х) = 0, Нп(Х) = 0. Отсюда следует, что в качестве последовательности (1) можно взять пополненный цепной комплекс {Сп(X),дп}п^о упорядоченных цепей (см. [2]). Следовательно, (Уп ^ 0) Нп(п; М) = Нп(С'(Х) М). С помощью явного построения цепного изоморфизма доказывается, что

(Уп ^ 0) Нп(С'(X) М) ^ Нп(Х; М),

где Нп (X; М) - гомологии Т пространства (X, т) с локальными коэффи-

пМ

ниях имеет место

Теорема 2. (Уп ^ 0) Н(п; М) = Hn(X; М). □ Пусть (X, т) - линейно связное Т пространство, на котором вполне

п

Т накрытие р : (X,т) —> (У = X/п,0 = тп), р(х) = х • п, у которого п = п1(У)/рп(п1 (X)) - группа накрывающих преобразований.

По теоореме 1 имеется ацикличное Т пространство (К',£'), па кото-

п

версальпое Т накрытие р' : (К',£') —> (Р = п\К, £ = £П). На пространстве (К' х X, £' х т) определим действие п:

д • (и, х) = (д • и, х • д-1), д Е п, и Е К', х Е X,

с пространством орбит (Е = п\(К' х X),т = (£' х т)п). Тогда Т отображения

Р К' х X -^ У, г1(и, х) = р'(и), г2(и, х) = р(х),

индуцируют Т отображения Р Е -^ У, которые являются Т расслоениями [6] со слоями (X, т) и (К',£') соответственно.

Из ацикличности (К', £') и спектральной последовательности Лере — Серра для расслоения [6] спектральная последовательность Лере —

72

Ceppa {Em = 0 ESm}, сходящаяся к H(E), такая, что (см. также теорему

2) E2st = Hs(P; Ht(X)) = Hs(n; Ht(X)). Отсюда, с учетом (2), получается

Теорема 3 (спектральная последовательность Картана — Лере). Пусть (Х,т) - линейно связное Т пространство, на котором вполне разрывно действует группа п, и пусть (Y = Х/п,9 = = тП) - пространство орбит. Тогда, существует спектральная последовательность {Em = 0E'mt}, сходящаяся к H (Y ), такая, ч то E^ t =

= Hs(n; Ht(X)). □ ''

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zeeman Е. С. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /ed. M. K. Ford, London, 1962.

2. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалуев С. И. Накрывающие преобразования толерантных пространств / / Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. вып. 2. С. 30-35.

4. Небалуев С. И., Сусин M. Н. Толерантное расслоение путей и теорема Гуре-вича для толерантных пространств // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 4, ч. 1.С. 41-44.

5. Небалуев С. И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: труды VI Международной конференции. Чебышевекий сборник : Тула, 2004. T.Y. вып. 3(11). С. 64-97.

6. Небалуев С. И., Кляева, И. А., Сусин М.Н. Построение спектральной последовательности толерантного расслоения // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. вып. 5. С. 94-118.

УДК 519.7

В. Е. Новиков

НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ФОРМАЛЬНЫМИ КОНТЕКСТАМИ

В статье представлено исследование формальных контекстов с точки зрения их алгебраических преобразований. Если в предыдущих исследованиях [1, 2] формальный контекст рассматривался как некоторая фиксированная данность, то эта статья открывает исследование поведения структуры концептов при изменении содержания контекста, т. е. динамического процесса в контексте.

73