Накрывающие преобразования толерантных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

диаграмме:

... —^ 5rm+1(X,^,i0)

••• Пт+1(У,В,Уо)

Замечание. Техника, использованная при доказательстве теоремы 12, позволяет доказать стандартную теорему об изменении отмеченной точки Xq .

Библиографический список

1. Zeeman Е.С. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

2. Небалуев СИ. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств // Математика и ее приложения Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

3. Небалуев С.И. Процедура двойного замедления толерантного пути // Математика, механика и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998.

4. Небалуев СЛ. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докладов V Междунар. конф. Тула 19-24 мая 2003г. Тула: Изд-во ТГПУ, 2003.

-4 7гт(Л,10) —7гт(Х,Хо) тгт(Х,А,хо) —:д—У ...

Ч '

Ят(£,Уо) —^ Km{Y, у0) 7Гт(К,В,у0) —...

УДК 513.6

С И. НЕБАЛУЕВ

Накрывающие преобразования толерантных пространств

Толерантные пространства [1] являются математической моделью понятия схожести. В толерантных пространствах нет предельных переходов, а значит нет бесконечно малых, поэтому с их помощью можно определять геометрически подобные структуры на "дискретных" и конечных множествах.

Толерантным пространством называется пара (X, г), состоящая из множества X и отношения толерантности т С X -х X, представляющего собой рефлексивное и симметричное бинарное отношение. Отображения толерантных пространств, сохраняющие толерантность, будем называть толерантными отображениями.

В теории толерантной гомотопии [2] роль единичного отрезка играют толерантные пространства (/„,'».)> где п е М, /„ = | А; = 0, п}, ^¿„^ <=> \к — ^ 1. На категории толерантных гомотопических типов определен функтор фундаментальной группы ¡2],[3], сопоставляющий каждому толерантному пространству (Х,т), с отмеченной точкой х0 € X, его фундаментальную группу тг(Х,х0), а каждому толерантному отображению / : (X, т) -4 (У, в) — им индуцированный гомоморфизм Л : т(Х,х0) -> тг(У,уо), где /(х0) = у0-

Для толерантных пространств удалось построить полную теорию толерантных накрытий [4].

Определение 1. Толерантное отображение р : (Х,т) —> (Х,т) назовем толерантным накрытием, если для среза т < х > по любой точке х 6 X имеем:

1) р'1{т < х >) = и т < у >■,

уер-Ч*)

2) 2/1,1/2 6 р~1(х),у1 ф у2 => т < ух > Лг < у2 >= 0;

3) {Уу € р-1(х))р :т<у >—► т < х > — толерантный гомеоморфизм.

Имеется [4) следующий важный критерий толерантного накрытия.

Теорема 1. Сюряективное толерантное отображение р : (Х,т) —> (Х,т) является толерантным накрытием тогда и только тогда, когда р - толерантное расслоение (по Гуревину) со свойством единственности накрывающего пути.

Как и в алгебро-топологическом случае, толерантные накрытия с фиксированной базой (Х,т) классифицируются подгруппами фундаментальной группы тт(Х, Хо) [4).

Теорема 2. Пусть р : [Х,т) —> (Х,т) — толерантное накрытие с линейно связными пространствами (X, т) и (Х,т). Тогда:

1. Гомоморфизм ря : п(Х,хо) —> т(Х, р(1о)) — мономорфизм.

2. Множества р'1 (х) и п(Х,р(х0))/р^(п(Х,Хо)) равномощны для всех х € X.

3. Толерантное накрытие р' : (X', г') —► (X, т) эквивалентно р тогда и только тогда, когда подгруппы р„(тг(Х,хц)) и р^(7г(Х', Хд)) сопряжены в группе

1г(Х,х0), ха-р{ха) -р'{х'0).

4- Для любой подгруппы в С п(Х, хо) существует толерантное накрытие д : (Е, в) —> (Х,т) такое, что д,(7г(£,10)) = С, ч(ха) = хо-

В настоящей статье решается обратная задача построения накрывающего толерантного отображения по заданному накрывающему толерантному пространству.

Пусть р : (Х,т) —> (Х,т) - толерантное накрытие. Толерантные гомеоморфизмы / : (X, т) -> (Х,т) такие, что ро / = р будем называть накрывающими преобразованиями толерантного накрытия р. Толерантные накрывающие преобразования обра-

г

зуют группу относительно композиции. Обозначим эту группу стандартно и назовем группой накрывающих преобразований толерантного накрытия р.

Предложение 3. Пусть р : (Х,г) —¥ (Х,т) - толерантное накрытие с линейно связным накрывающим пространством (Х,т). Тогда для любой фиксироватюй тонки Хо 6 X отображение, сопоставляющее каждому накрывающему преобразованию / €_С(Х |Х) точку /(х0) € Р'Ч^о)) с хо = р(хо), является вложением множества в{Х |Х) вр-1(х0).

Доказательство этого утверждения следует из свойства единственности поднятия в накрывающее толерантное пространство отображений линейно связного толерантного пространства (см.теорему 1).

Согласно пункту 2 теоремы 2 имеется биекция между множеством точек слоя р~1{х0) и смежными классами группы 7г(Х,10) по подгруппе р„(7г(Х,10))- Вместе с предложением 3 это позволяет построить вложение ¡р базисного множества группы й(Х \Х) в множество правых смежных классов р„(тг(ЛГ, х0))\7г(Л", х0). Это вложение можно корректно задать формулой

<Р(Л =рЛ*(Х>*о))*\р°йп], (1)

где шл : (/„,(.„) —» (Х,т) - толерантный путь от точки хо до точки /(хо)> квадратные скобки обозначают класс толерантно гомотопных путей в (Х,т), а * обозначает операцию в п(Х,х0).

С помощью формулы (1), свойства единственности поднятия, упомянутого выше, основной теоремы о поднятии [5], а также с помощью функториальных свойств фундаментальной группы толерантного пространства доказывается следующее утверждение:

Предложение 4. Пусть р : (X, т) -» (X, т) - толерантное накрытие с линейно связным пространством (Х,Т) и пусть Ха £ X. Тогда вложение ¡р, определенное формулой (1), является изоморфизмом группы О(X | X) на фактор-группу М{рп(к(Х,Хо)))/рп(п(Х,Хо)), где N(p,(■п^(X ,Хо))) - нормализатор подгруппы р„{-ж(Х,х0)) в группе к{Х,р(ха)).

По аналогии с алгебро-^онологическим случаем назовем толерантное накрытие р : (Х,т) —* (Х,т) регулярным, если для любого замкнутого толерантного пути о)„ в {Х,т) все накрывающие его пути а?„ в (Х,т) такие, что р о шп — ып будут одновременно либо замкнуты, либо не замкнуты.

Используя теорию толерантных накрытий [4], не трудно доказать следующий критерий.

Предложение 5. Толерантное накрытие р : (А', г) -4 (X, т) будет регулярным тогда и только тогда, когда при р(хо) = р(х\) будем иметь р„(7г(Х,хо)) = = рп(ж(Х,Х\)). Если же пространство (Х,т) линейно связное, тпо регулярность р эквивалентна нормальности подгруппы рп(п(Х,Хд)) в группе 1г(Х,р(ха)) для некоторой точки Хд е X.

Объединяя предложения 4 и 5, получим следующую теорему:

Теорема 6. Пусть р : (X , т) —» (X, т) - толерантное накрытие с линейно связным пространством (Х,г). Тогда регулярность р эквивалентна транзитивности действия группы на каждом слое накрытия р. При этом будет иметь

место изоморфизм

<р : й ЦХ,р(х0))/р^(Х,х0)),Х0 € х.

Следствие. Пусть р : (X , т) —» (Х,т) - толерантное накрытие с односвязным и линейно связным пространством (X, г). Тогда группа накрывающих преобразований G(X изоморфна фундаментальной группе ж(Х,Хц).

Если для регулярного толерантного накрытия р : (Х,т) —> (Х,т) определим действие группы G = G(X накрывающих преобразований на накрывающем пространстве (Х,т) по формуле g -х — g(x), для g € G,x € X, то по теореме 6 орбиты группы G - это в точности слои накрытия Р. Поскольку слой р~1 (х) однозначно определяется точкой х £ X, то имеем биекцию между множеством орбит G\X и множеством X. Эта биекция превратится в толерантный гомеоморфизм, если на множестве орбит G\X задать структуру толерантного пространства с отношением толерантности та, которое определим срезами по формуле то < G ■ х >= {G у\у ет <х >}.

Воспользуемся приведенными выше рассмотрениями как моделью для общего случая, когда G - некоторая группа толерантных гомеоморфизмов произвольного толерантного пространства (У, в). Определим действие группы G на пространстве (У,в) формулой g ■ у = g(y),g eG,yeY.

Определение 2. Группу толерантных гомеоморфизмов G пространства (У, в) назовем вполне разрывной на (У,в), если для каждой точки у 6 У и для каждой пары git 32 € G имеем

[(Эи е 91 ' в < у >)(Эи е й • в < у >)и0и] =><?!= 92. (2)

Не трудно видеть, что вполне разрывная группа G на пространстве (У, (?) действует без неподвижных точек, т. е. все группы изотропии тривиальны, и что все ее орбиты дискретны в пространстве (У, в).

Если G — G(X \Х) - группа накрывающих преобразований толерантного накрытия р : (Х,т) —> (X, г), то группа G является вполне разрывной на пространстве (X ,т). Это следует из того, что для точек х 6 р 1 (х) срезы т < х > являются компонентами линейной связности в подпространстве р~1(т < х >) С X.

Вернемся к общему случаю произвольного толерантного пространства (У, б) с некоторой группой G его толерантных гомеоморфизмов. На множестве орбит G\Y определим структуру толерантного пространства с отношением толерантности ва, которое зададим своими срезами

вс < G ■ у >= {G ■ и |u е в < у > }.

(3)

Легко проверяется корректность этого определения, т. е. независимость от выбора представителя у в орбите С!-у, а также рефлексивность и симметричность отношения 9а- Кстати, корректность определения (3) можно записать в следующем виде:

в ■ у = в ■ у' => {в ■ и |и € в < у > } = {О • и' \и' е в < у' > }. (4)

Перейдем теперь к изложению основного результата.

Теорема 7. Пусть (3 — вполне разрывная группа толерантных гомеоморфизмов толерантного пространства (У,в). Пусть р : У —> в\У — каноническое фактор-отображение, т. е. р{у) = С ■ у, у € У ■ Тогда отображение р : {У, в) —► (С\У, вд) является толерантным накрытием. Если же пространство (У, 0) линейно связное, то толерантное накрытие р регулярно и (? = С(У|(?\У) является группой его накрывающих преобразований.

Доказательство

Толерантность отображения р следует из определений самого р и отношения во-Первое условие определения 1 для р следует из следующей цепочки легко проверяемых равенств

р-х(ва <а-у>) = р-1({0-и\иев<у>}) =

= и в-и= е<у'>= и в < у'>. ийв<у> у'еСц ¡/ер-ЧО-у)

Второе условие в определении 1 проверяем от противного. Пусть

ие0<д!-у>Пв<&-у>.

Так как 91,92 — толерантные гомеоморфизмы, то

и е 9, • в < у > П9г • в < у >.

Отсюда, применив условие (2), получим 91 = д2, что и требуется в условии 2 определения 1.

Проверяем теперь биективность отображения

р \в < у' >: в < у' >—> ев<ву>,

где у' е р-1 < й ■ у >. Имеем р(у') = О - у' — О ■ у. Воспользовавшись формулой (4), получаем

р(в < у' >) = {С ■ и' \и' 6 в < у' >} = {й ■ и \и € в < у >} = ва < <3 • у > .

Это показывает требуемую сюръективность. Если же и\,и'2 6 в < у' > и

Р{и'\) = О • и'х = (? • "2 = Р(и'2)>

ТО и', = д • и', ДЛЯ некоторого д £ й, И, значит, и', € 1 • в < У1 > Пд ■ в < у' >. Условие (2) в этом случае дает 9=1. Следовательно, и[ — и'2.

Осталось убедиться в толерантности отображения

{р\в<у'>)~1 ■.eG<Gy>—>e<y'>.

Пусть р(и) = G ■ и9aG ■ v — p(v) и и, v £ в < у' >. Тогда по определению во имеем v9u' = д ■ и для некоторого д € G. Но u' = g- 9<y'>uv£l-9<y'>. По условию 2 это означает , что д = 1. Следовательно, и — и' и ив v.

Итак, доказано, что р : (Y, в) —> (G\Y, во) - толерантное накрытие.

Далее заметим, что р{д ■ у) = р(у) для всех у £ Y и всех д € G. Это означает, что G С С(У|(7\У). Пусть теперь (У, в) - линейно связное толерантное пространство и / £ G[Y |(?\У) - произвольное накрывающие преобразование, т.е. р о f — р. Для произвольной точки уо е Y имеем Уо,/{уо) 6 Р~1(р(уо))' Так как G транзитивно действует на слоях толерантного накрытия р по построению, то /(г/о) = д-Уо — 9{Уо) для некоторого д е G. А так как для всех д € G имеем р о д = р, то по свойству единственности поднятия отображения для линейно связного пространства (К, 9) получаем / = у € G. Следовательно, G — G(Y |G\y), а транзитивность действия G на слоях толерантного р обеспечивает регулярность р (см.теорему 6). Доказательство теоремы 7 завершено.

Следствие. Пусть G - вполне разрывная группа толерантных гомеоморфизмов односвязного линейно связного пространства (Y,9). Тогда фундаментальная группа пространства орбит (G\Y, ва) изоморфна группе G.

Библиографический список

1. Zeeman Е.С. The topology of brain and visual perception, in The Topology of 3-Manifolds, M.K. Ford(ed). 1962.

2. Небалуев С. И. Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств // Математика и ее приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

3. Небалуев С.И. Процедура двойного замедления толерантного пути // Математика, механика и их приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998.

4. Небалуев СИ. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докладов V Междунар. конф. Тула 19-24 мая 2003г. Тула: Изд-во ТГПУ, 2003.

5. Небалуев С.И. Толерантное пространство путей и основная теорема о поднятии толерантного отображения // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.5.