Классификационные теоремы для толерантных накрытий Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. И. Небалуев

УДК 513.6

КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ НАКРЫТИЙ

Настоящая статья является продолжением работы [1] и существенно опирается на основную теорему 3 о поднятии толерантного отображения из этой работы.

Определение. Толерантное отображение назовём толерантным накрытием, если для любого среза р : (X, т) —> (X, т), х е X имеем

1) р"'(т:<^>)= ит <>'>;

2) У\,Уг ер"'(4 У\ *Уг =>*<У\ >гя<у2 >=0;

3) (\/у е р"] (х)) р : х < у >—» т < х > - толерантный гомеоморфизм.

Толерантные пространства (Х,х), (Х,т), р~'(х)с:Х называются

соответственно накрывающим пространством, базой и слоем над точкой хтолерантного накрытия р.

В вопросе о классификации толерантных накрытий достаточно ограничиться линейно связными пространствами (А',х), и (А'.х). Поэтому мы будем рассматривать категорию А, объектами которой будут толерантные накрытия р\( Х,т) (Х,х) с линейно связными (Х,х) и (А\т), а морфизмами из объекта р, : (Х\,х\) —»(Х,х) в объект р2 ■ (Х2,Х2) -» (Х,х) будут толерантные отображения

/: (Хьх!) -» (Х2,Х2) такие, что

Р2°/ = Р\- (1)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Отображение / в формуле (1) само является толерантным накрытием.

ТЕОРЕМА 1. Толерантные накрытия р] : {Х\,Х1) -» (Х,х) и р2 : (X2,Т2 ) —> (X,т) будут эквивалентны в категории А тогда и только тогда, когда для точек х\ еХг,Х2 еХг таких, что р](х\) = р2(х2) = х0 подгруппы р]к(п(Х\,Х\)) и р2к(п(Х2,х2)) сопряжены в фундаментальной группе ж(Х,х0) базы (Х,х).

Доказательство. В этой теореме рж -- гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный толерантным отображением р. В случае, когда р - толерантное накрытие, в виду свойства единственности накрывающего пути рп является инъективным гомоморфизмом.

Пусть/- эквивалентность в категории А, поэтому /я - изоморфизм. Тогда из равенства (1) следует, что р1и(тс(А'1 )) = р2к(п(Х2,х2)) и р2(/(х\)) = р2(х2), что и показывает сопряжённость подгрупп ры(и(Х\,х^) и р2л(п(Х2,х2)) в п(Х,х0).

Обратно, если (71(^1,л:,)) и р2л(п(Х2,х2У) сопряжены, то найдется х'2 е р~'(х0) такая, что р1л(п(Х],х1))= р2п(п(Х2,х'2)). Тогда по основной теореме о поднятии [1] существуют толерантные отображения р\ : Х\ —> Хг,р\ (лл) = х'2 и р'2\Х2 —» Х\,р'2(х'2) = х\ такие, что Р\ — Рг° Р\ >Р2 ~ Р\ ° Р\• Следовательно, р] <>1-^ = ^ °{р,2°р\ ). А так как {р'2°р\ )(*1) = = 1тр (хО, то по теореме единственности поднятия для толерантных накрытий имеем р'2°р\ = 1 ^. Аналогично р'2°р\ = 1 у,.

Таким образом, р\ и р'2 - эквивалентности в А между р] и р2. Теорема доказана.

Описанное выше соответствие между классами эквивалентных толерантных накрытий и классами сопряжённых подгрупп в фундаментальной группе базы является биективным.

ТЕОРЕМА 2. Пусть (Х,т) - линейно связное толерантное пространство и Я - некоторая подгруппа фундаментальной группы тг(Х,х0). Тогда существует толерантное накрытие р : (X, т) —► (X, т) такое, что рл(п(Х,х0)) = Н, р(хо) = х0.

Доказательство. Рассмотрим множество р(Х,х0) толерантных путей в (Х,х) с началом вхо [1]. На этом множестве определим отношение эквивалентности

При п = 1 положим г(ю1) = еГ(| :/| —>{х0}. Зададим на множестве X отношение толерантности т своими срезами

И»41 Ю'ш <=>Юя(1) = ЮтО) и [И„°йз'т_1]б Я

Через X обозначим множество, элементами которого будут {оэ„} -классы этого отношения.

Определим отображение г :р(Х,х0)-* р(Х,х0), сопоставляющее пути со„ длины п > 2 путь г(ю„) = длины п -1 такой, что

^ < {а „} >= {{©'Л } I (За", е }) г(ш", ) е {ш„}}.

Затем строим толерантное отображение р :(Х,т) —> (Л1,!:), корректно определяемое формулой р({шл}) = соя(1). Громоздкая проверка условий определения показывает, что р является толерантным накрытием.

Далее, по шя е р(Х,х0) строим толерантный путь со» в та-

кой, что

= }' где ®<0) = е*о = хо'

а для / = 1,п, к =0,1

Тогда

росоя=ш„, е>,,(0) = {е1о} = л:о, ш„(1) = {ю„}.

Если же [юл] е Я, то со„ - петля в , так как ш„£х.. Более

того, р71([со„]) = [р°ш„] = [со„],т.е. Я с р„(л(Х,хо)) ■

Обратно, пусть м„ - произвольная петля в (Х, г) с вершиной в х0 и пусть р°а'п = сой. Возьмём ещё раз путь ш„, накрывающий сол, описанный выше. Из свойств единственности накрывающего пути для толерантных накрытий следует, что а>„ = 0)'п. Отсюда, в частности,

юя(0=ю;(1)=*о ={Е*0}-

Но по построению ш„(1) = {«„}■ Значит, а>„ ^ еХд и, следовательно, [<вл]е Я . Это доказывает обратное включение рл{к(Х,х0))а Я . Теорема доказана.

В качестве следствия получается

ТЕОРЕМА 3. Всякое линейно связное толерантное пространство обладает односвязным накрытием, которое является универсальным объектом в А и определяется однозначно с точностью до эквивалентности,

БИБЛИОГ РАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Небалуев С. И. Толерантное пространство путей и основная теорема о поднятии толерантного отображения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 78 - 81.