Толерантное пространство путей и основная теорема о поднятии толера Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИИЕС.'КИЙ СПИСОК

1. Хромова Г.13. Об оценках погрешности приближённых решений уравнений первого рода// ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 609.

2. Молоденкова ИД. Построение операторов, восстанавливающих производные // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. С. 95 98.

3. Хромова Г.В., Молоденкова ИД. Методы приближённого решения задачи восстановления функций: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Ч. II.

4. Хромова Г.И. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений I рода // Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. 1994. № 4. С. 3-10.

5. Хромова Г.В. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. 1993.Х» 1. С. 13 18.

6. Хромова Г.В., Молоденкова ИД. Об одной модификации задачи Колмогорова-Никольского // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2002. Вып. 4. С. 155- 159.

УДК 51 1.3

С. И. Небалуев

ТОЛЕРАНТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ПУТЕЙ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПОДНЯТИИ ТОЛЕРАНТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

В теорию толерантных пространств удаётся перенести значительную часть алгебро-топологической техники [1]. В частности, получена полная теория толерантных накрытий [2]. Доказательство теоремы о классификации толерантных накрытий существенно опирается на основную теорему о поднятии толерантного отображения, которая в свою очередь использует свойства толерантного пространства путей. Целью статьи является изложение упомянутого выше.

Толерантное пространство - это пара (Лг, т), где X — множество, а таХхХ - рефлексивное и симметричное отношение. Отображения толерантных пространств, сохраняющие толерантность, называются толерантными.

В теории толерантной гомотопии вместо единичного отрезка используются толерантные пространства (Iп,\п), где п е N,

/„ =

1 п п

Толерантное отображение со„ :(/„,1„)->(.У,т) назовем толерантным путём в пространстве (Х,т) длины п. Для любого т е N такого, что т > и, определим толерантный путь ютп :(/т,1т)->

со (»ui®-^

jü>„(l), k-üji

Удобно считать com „ = co„ для m<n.

На категории толерантных гомотопических типов определён функтор, сопоставляющий каждому толерантному пространству (Х ,х) с выделенной точкой xQ б X фундаментальную группу я(А\л:0), а каждому толерантному отображению/ - индуцированный гомоморфизм /я.

Определение 1. Линейно связное толерантное пространство (-Уд) назовем ограниченным, если минимальные длины путей, соединяющих точки пространства ограничены.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Толерантно стягиваемое пространство (Л'.т) является линейно связным ограниченным пространством с тривиальной фундаментальной группой.

Толерантное пространство (Z,r) с определением azb о|а - Ь|<1 является линейно связным, с тривиальной фундаментальной группой, но неограниченным.

Определение 2. Толерантное пространство {X,т) назовем неограниченным толерантно стягиваемым, если его можно представить в виде

00

* = Uхм так, что XMaXM+l (VW>l), и ,т \Хм )- ограниченные м =1

стягиваемые пространства (V М >l).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Неограниченное толерантно стягиваемое пространство (А",т) односвязно, г. е. имеет тривиальную фундаментальную группу.

Пусть теперь ((T,G),y0) - линейно связное толерантное пространство с отмеченной точкой у0 еК. Обозначим через $э(У,у0) множество всевозможных толерантных п>т-ей со„ :(/„,1„)->(У,0) с началом в точке шл(о)=,у0. Определим на множестве путей p(Y,y0) отношение толерантности положив при m > п

«[(Vk,l = bm) шт,„Щ].

ПРЕДЛОЖЕНИИ 3. Если C0„,0)'m е p{Y,у0), то

Возьмем М е. N и определим подпространство в ^о),^) Р,Ж.Уо)=К, ep{Y,y0)\n<M}.

ТЕОРЕМА 1. Для всех натуральных М е N толерантные пространства путей {рм (У,Уо),£) являются ограниченными толерантно стягиваемыми.

Доказательство. Строим толерантное отображение

осуществляющее стягивание, определив ) как толерантный путь

п в пространстве (У, 9) такой, что

ТЕОРЕМА 2. Толерантное пространство путей (рм (У.Уо),!;) является неограниченным толерантно стягиваемым пространством.

Определение 3. Толерантное отображение р: (А",т)—> (А",т) назовем толерантным накрытием, если для среза х(х) по любой точке х е X имеем:

1) Р~Ч*))= Lш-.

М

2) yuy2ep~lW, Ух ^=

3) (у уе/>ч(дг)) р: т(у) —> - толерантный гомеоморфизм. Теперь мы можем сформулировать основную теорему о поднятии

толерантного отображения.

ТЕОРЕМА 3. Пусть р: ((Л",т),:*0)-> ((А'.т),*,,) - пунктированное толерантное накрытие, и (У,б) - линейно связное толерантное пространство. Тогда пунктированное толерантное отображение /:((У,е),у0)->((*,тЮ

имеет поднятие

т. е. р о / ' = / тогда и только тогда, когда

jMY,y0))cz рМ*,ч))-Здесь через я(У,>'0),7г(А',]с0) обозначены фундаментальные группы пространств (У,0) и {X,z), а через fn,pn — гомоморфизмы, индуцированные отображениями/и р.

Доказательство. Необходимость следует из функториальных свойств фундаментальной группы. Для доказательства достаточности следует рассмотреть толерантное отображение \\1 = / ° ср, где

4>:(p(y,;yoUMM)

такое, что ф(шп) = ы„(]), и воспользоваться теоремой 1 для построения отображения > (Л'.х), накрывающего \\i = p°\\i'. Затем строим /' = у' о ф-1 - искомое поднятие для /.

80

ЬИБЛИОП'АФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Небалусв С.И. Алгсбро—топологические характеристики толерантных пространств // Математика и её приложения. Caparon: Изд-во Capar, ун-та, 1991. С. 105-107.

2. Небапуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Tei. докл. V междунар. конф. Тула, 2003. С. 166 167.

УДК 519.4

В. £. Новиков СПЕКТР ПОНЯТИЙ НА « АРНЫХ ОТНОШЕНИЯХ*

Эта статья является продолжением статей [1,2] и посвящена дальнейшим исследованиям понятий на л-арных отношениях. В ней дан перечень основных определений, включая спектр понятий «-арного отношения, и приведены некоторые результаты исследований спектра понятий бинарных отношений. Основной результат статьи показывает, что любое конечное бинарное отношение определяется своим спектром понятий с точностью до подобия.

Пусть р сМ, х... х Мп - некоторое «-арное отношение и элементы x¡ еЛ/(|,..., x¿tEM¡t. 1 <í'j <...<ik < п. Будем говорить, что ¿-система (xit,...,x¡k) входит в р, если существует и-система, (xltx2,—,хп) е р, в которой элементы x¡t,...,x¡ присутствуют в качестве соответствующих компонент. Если А=1, то просто говорим: элемент x¡ е M¡, 1 <г < п, входит в р.

Рассмотрим конечные непустые подмножества из множества натуральных чисел, упорядоченных естественным образом. Упорядоченные

множества условимся обозначать ik =(ii,¡2.....ГДе l-'i < — <»'*> при

этом положим i| = i,, ñ = (1,2.....п). Указанные множества будем использовать в качестве индексов, обозначая М^ х ...xMi( > (xii,xÍ2,...,x¡k)=x¡k, {M¡t ,...,M¡t }={Mji[}, {Jf^ ,..., xit } = {jc¡t }. Задачи, связанные с теорией реляционных баз данных [3], естественно приводят к следующим трём унарным операциям над отношениями.

Пустьр с Мн, 1 <k,s<n и a¡k е М. Тогда формула

(P)={*í( eAfrJ д^'входит в р} будет определять оператор проекции п-ариого отношения р на М-, формула

' Работа выполнена при поддержке INTAS (грант № 99-1224).

81