Некоторые алгебраические операции над формальными контекстами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ceppa {Em = 0 Emt} сходящаяся к H(E), такая, что (см. также теорему

s,t '

2) Es2t = Hs(P; Ht(X)) = Hs(n; Ht(X)). Отсюда, с учетом (2), получается

Теорема 3 (спектральная последовательность Картана — Лере). Пусть (X, т) - линейно связное Т пространство, на котором вполне разрывно действует группа п, и пусть (Y = Х/п,9 = = тП) - пространство орбит. Тогда, существует спектральная последовательность {Em = 0£mtl? сходящаяся к H (Y )7 такая, ч то E^ t =

= Hs(n; Ht(X)). □ s'

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zeeman Е. С. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /ed. M. K. Ford, London, 1962.

2. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных пространств. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

3. Небалуев С. И. Накрывающие преобразования толерантных пространств / / Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвуз, сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат ун-та, 2003, вып. 2, С, 30-35,

4. Небалуев С. И., Сусин M. Н. Толерантное расслоение путей и теорема Гуре-вича для толерантных пространств // Изв. Сарат ун-та. Нов, Сер, 2009, Т. 9, Сер, Математика. Механика. Информатика, вып. 4, ч. 1.С. 41-44.

5. Небалуев С. И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: труды VI Международной конференции. Чебышевекий сборник : Тула, 2004. T.V, вып. 3(11). С. 64-97.

6. Небалуев С. И., Кляева И. А., Сусин М.Н. Построение спектральной последовательности толерантного расслоения // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. вып. 5. С. 94-118.

УДК 519.7

В. Е. Новиков

НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ФОРМАЛЬНЫМИ КОНТЕКСТАМИ

В статье представлено исследование формальных контекстов с точки зрения их алгебраических преобразований. Если в предыдущих исследованиях [1, 2] формальный контекст рассматривался как некоторая фиксированная данность, то эта статья открывает исследование поведения структуры концептов при изменении содержания контекста, т. е. динамического процесса в контексте.

Восстановим некоторые определения концептуального анализа [3], обобщая их на контекст с (п + 1)-арным отношением с помощью аппарата алгебры отношений В. В. Вагнера [4]. Будем говорить, что задан формальный полиатрибутный контекст, К = (О, (М;),р), если заданы О - непустое конечное множество объектов, (М;) - семейство непустых конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < % < п, р С О х М1 х ... х Мп - некоторое (п + 1)-арное отношение. Под словом «контекст» далее будем понимать «полиатрибутный контекст».

Будем говорим, что контекст К = (О, (М;),р) однозначен относительно множества объектов, или просто однозначен, если отношение р имеет ^-зависимость О ^ Мп. Ранее было показано, что множество всех концептов однозначного контекста относительно упорядоченности по включению образует решётку. Для однозначного контекста К = (О, (М;), р) обозначим через Ь(К) решётку его концептов.

В [5] был рассмотрен способ минимизации семейства атрибутов контекста при сохранении с точностью до изоморфизма упорядоченного множества его концептов. В минимизированном однозначном контексте К = (О, (М;),р), 1 < % < п, может существовать один общий атрибут а € М^, т.е. атрибут, для которого выполняется равенство р^ (О) = {а}. Поскольку в этом случае атрибут а присущ всем объектам контекста, то он является несущественным, т.е. не выделяет никаких собственных концептов. А значит, множество атрибутов М^ в этом случае также можно удалить из контекста, не нарушая структуру концептов. Так преобразованные контексты будем называть контекстами без общего атрибута.

Соединение К1 > <К2 контекстов К1 = (О, (А;),р), 1 < % < п, и К2 = (О, (Д:),^), 1 < % < ш, определяется равенством

К > = (О, (Мг), р X), 1 < % < п + ш,

где М; = А; при 1 < % < п М; = Д;-п При п + 1 < % < п + шр [> < =

= и (р) х ^(д). Таким образом, соединение контекстов определено для део

контекстов с один и тем же множеством объектов и равносильно тому, что к одному контексту добавляются множества атрибутов другого контекста, сохраняя атрибуты каждого объекта из второго контекста.

Объединение К1 и К2 контекстов К1 = (О1, (М;),р) и К2 = = (О2, (М;),^) определяется равенством

К и К2 = (О1 и О2, (Мг),р и ?),

74

где G1 U G2 и рU я являются теоретико-множественными объединениями. Таким образом, объединение контекстов определено для контекстов с одним и тем же семейством атрибутов.

Следующие утверждения определяют условия устойчивости однозначных контекстов относительно операций соединения и объединения.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

1) если Ki = (G, Щ,р), 1 < i < n, и K = (G, (Б{),я), 1 < i < m, однозначные контексты, mo K1 > <K2 также однозначный контекст;

2) если K1 = (G1, (Mi),p) и K2 = (G2, (Mi), я) однозначные контексты и [J (а{д}(р)) = U (а{д}(я))> то K1 U K2 также однознач-

geG1nG2 деС1ПС2

ный контекст, в частности, если G1 П G2 = 0.

Следующие утверждения характеризуют решётки концептов соединения и объединения однозначных контекстов. Объединение решёток всюду рассматривается как объединение упорядоченных множеств.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1) если K1 = (G, Щ,р), 1 < i < n w K2 = (G, (Б{),я), 1 < i < mi, однозначные контексты, mo L(K1 > <K2) = L(K1) U L(K2);

2) если K1 = (G1, (Mi),p) и K2 = (G2, (Mi), я) однозначные контексты без общего атрибута с условием G1 П G2 = 0, то L(K1 U K2) = = (L(K1) \ {G1}) U (L(K2) \ {G2}) U {G1 U G2}.

Замечание. Второе утверждение означает, что решётка концептов объединения контекстов совпадает с решёточным объединением решёток концептов каждого из контекста, когда склеиваются только наибольший и наименьший элементы. Условие «без общего атрибута» во втором утверждении является существенным. Поскольку в объединении общий

G1

G2

Добавление концептов G1 или G2 не разрушит решётки L(K1 U K1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Новиков В. Е. О концептуальном анализе на контексте е многомерными атрибутами // Математика. Механика : еб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 82-85.

2. Новиков В. Е. Теоретико-множественный подход к структуре генераторов концепта // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 50-56.

3. Ganter В., Wille R. Formal Concept Analysis. Mathematical Foundatoins. Berlin : Springer Verlag, 1999.

4, Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 1965, Вып. 1, С, 3-178,

5, Новиков В. Е. Концепты и функциональные зависимости // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 68-70,

УДК 519.682.1

А. А. Орел

О НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ФАНТОМНЫХ ТИПОВ ДАННЫХ

В работе [1] предложено при конструировании фантомных типов данных использовать в качестве определяющего отношения отношение предпорядка, которому соответствует тип функциональной зависимости, представленный на языке Haskell конструктором типа (->)• На основании рассмотренного отношения была решена задача статической проверки типов. Однако данное отношение не обладает свойством симметричпо-сти, что накладывает ограничения на область его применения. Фантомные типы данных, построенные на основе этого отношения, не позволяют, например, решить задачу динамической проверки типов [2]. Для решения такой задачи требуется реализация свойства рефлективности с помощью функции с сигнатурой ref 1 : : ТЕ a b, где ТЕ a b - тип данных, соответствующий отношению эквивалентности, и реализация двух функций from и to с сигнатурами

from :: ТЕ a b -> а -> b и to :: ТЕ a b -> b -> а

Заметим, что при наличии свойства симметричности, реализуемого функцией symm с сигнатурой symm : : ТЕ a b -> ТЕ b а, достаточно иметь лишь одну из функций from или to, например from, так как to может быть получена как композиция from . symm.

Для определения базового типа ТЕ a b можно воспользоваться отношением эквивалентности в виде (А => В) & (В => А), реализуемым в силу изоморфизма Карри — Ховарда типом пары функциональных зависимостей (а -> b, b -> а) [3], или использовать на основе принципа Лейбница отношение эквивалентности в видеУ f. f а -> f b (см. [2]).

Рассмотрим другие возможности. В начале определим отношение эквивалентности с использованием альтернативы ( | ) в форме (А | В) => (А & В). Соответствующий тип данных ТЕ a b можно представить средствами языка Haskell в виде

type ТЕ a b = Either a b -> (a, b)

76