Решётки разбиений в однозначном контексте Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

В. Е. Новиков

РЕШЁТКИ РАЗБИЕНИЙ В ОДНОЗНАЧНОМ КОНТЕКСТЕ

Восстановим некоторые определения концептуального анализа [1]. Будем говорить, что задан формальный полиатрибутный контекст, К = (О, (Мг), р), если заданы О — непустое конечное множество объектов, (Мг) — семейство непустых конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < г < пир С О х М\ х ... х Мп — некоторое (п + 1)-арпое отношение. При и =1 понятие полиатрибутного контекста полностью совпадает с понятием контекста обычного формального концептуального анализа [2]. Под словом "контекст"далее будем понимать "полиатрибутный контекст".

Чтобы использовать аппарат алгебры отношений В. В. Вагнера [3] на полиатрибутном контексте введём следующие обозначения. Пусть р С М\ х • • • х Мп — п-арное отношение. Обозначим П = (1, 2,3,..., п), Мп = М\ х • • • х Мп % = ¿1 и «к = (¿1,¿2,... , ¿к), х-к = (хч,хг2,.. .,хч), М1к = Мг1 х Мг2 х • • • х Мгк для произвольных 1 < г1 < ... < гк < п. Введём следующее обозначение для результата булевой операции объединения над данными множествами: цЛ = % и При этом также обозначаем %к С п. Говорим, что ^-система х-к входит в отношение р, если существует п-спстема хп € р, для которой элементы хг1, хг2,..., хгк являются её соответствующими компонентами. Для С п, а - € М-я, X С Мт обозначим:

— 1 я

(р) = {У-к € М!к 1 У-вадит в р}, }(р) = {хп € р 1 а1я С хп },

р-к(х-> = п-к}(р)), рЗк (Х) = П{р-к(хь> : Хя € х},

р-.-к (X) = Рт. (р- (X)).

Пусть теперь задан формальный контекст К = (О, (Мг),р). В этом случае для (п + 1)-арного отношепня р С О х М1 х ... х Мп О

по(р) = {х € О | х входит в р}, ро(х-.> = по(а^.}(р)), ро (X) = = П{р0 (х > : х € X}. Если для некоторого X С О существует %к С п, такое что выполняется

X =Р о- (X),

то X называется концепт,ом, по системе атрибутов %к пли просто концептом, контекста К. Концепты, отличпые от 0 и О, будем называть собственными.

Будем говорить, что в отношении р С Мп имеет, место Г-зависимость М- ^ М-к, 1д , % С п, если р-к (х -), ж - € М/ , определяет отображение п- (р) ^ п-к (р). Г-зависимость М- ^ М-к, 1Я, % С п, будем называть Б-зависимостью., если определяемое им отображение р-к (ж/-)• п- (р) ^ П/ (р) является взаимно-однозначным.

Будем говорим, что контекст К = (С, (М^),р) однозначен относи-

р

имеет Г-зависимость С ^ Мп. В частности однозначный контекст моделируется любой реляционной базой данных [4], в которой множество объектов является одним из ключей этой базы.

В [5] была установлена следующая теорема.

Теорема 1. Пусть К = (С, (М^),р) - однозначный контекст,. Тогда, справедливы следующие утверждения:

1) множество собственных концептов по любому % С п образует разбиение множества п0(р), которое обозначаем п0(р)/-к;

2) если, 1д С % (1д,3р С п), то по(р)/-р < по(р)/тя, т.е. по(р)/-р является измельчением разбиения, п0(р)/-;

3) если %,]р С щ и По(р)/ — < По(р)/ -ч,то По(р)/-р = По(р)^у~р;

4) если концепт X в решётке концептов не является атомом, то X покрывает не менее двух концептов контекста К;

5) высота решётки концептов этого контекста не превосходит значения шгп{п + 1, |п0(р)|}7 а её ширина не превосходит значения |по(р)|-

рС то п0(р) = С. Если это не так, то всегда можно перейти к контексту К = (С', (М{),р), где С С С ж С' = п0(р). Поэтому далее будем полагать, что однозначный контекст К = (С, (М^),р) обладает от-

рС Р-к = п0(р)/-к, £-к — это эквивалентность, соответствующая разбиению Р-к, и Ьр(К) = {Р0, Р-к | % С п}, где Р0 — это разбиение множества С,

С

что любой собственный концепт по любому % С п является одним из

Р к С

Пусть Ьр(С) — решётка разбиений множества С.

Теорема 2. Для любого однозначного контекста К = (С, (М^),р) множество Ьр(К) является подрешёткой решётки разбиений Ьр(С). И для любой подрешётки Ь С Ьр(С), содержащей, Р0, существует однозначный контекст, К(Ь) такой, что Ь = Ьр(К(Ь)).

Доказательство. Рассмотрим множество Ьр(К). Для любых

ji,j2 £ {1, 2,3,..., n} то определению j2 = (j'bj^) т.е. ji,j2 С j2, и по утверждению 2 теоремы 1 Pj2 < Pj1 и Pj2 < Pj2. Таким образом, р2 = pjiЛ j■ и Для люб ого Jк = ( ji, j2,... , jk ) pjfc = Pji Л pj2 Л... Л pjk, где Л операция пересечения в решётке разбиений множества объектов G. Следовательно, множество Lp(K) является подрешёткой решётки Lp(G). При этом p0 является единицей в решётках Lp(K) и Lp(G), pn является нулём решётки Lp(K). Разбиен ия pj5 где j G {1, 2,3, ...,n}, являются коатомами решётки Lp(K).

Обратно, пусть дана некоторая подрешётка L Ç Lp(G), содержащая po, где G — конечное множество. Пусть p1,p2,...,pn — все коатомы этой решётки, a £1,£2,...,£n — соответствующие эквивалентности на множестве G. Построим контекст K(L) = (G, (p^), р), где р = {(g, £i(g), £2 (g),..., £n(g))| g G G}. Построенный контекст является однозначным, поскольку любой g G G попадает только в один блок £j(g) разбиения j j G {1, 2,3,..., n}. Любой собственный концепт контекста K(L) по любому Jk Ç n является одним го блоков разбиения pjfc множества G И поскольку pjfc = pj1 A pj2 A ... A pjk (является пересечением некоторых коатомов решётки L), то решётки L и Lp(K(L)) состоят из одних и тех же элементов, т.е. L = Lp(K(L)). □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Novikov V. Е. Formal conceptual analysis within n-агу relation context // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2006. JVS 9 (15), вып. 2, С. 18-22.

2. Ganter В., Wille R. Formal Concept Analysis. Mathematical Foundatoins. Berlin : Springer Verlag, 1999.

3. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений j j Теория полугрупп и её приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып.1. С. 3-178.

4. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М, : Мир, 1987.

5. Новиков В. Е. Решётки концептов в однозначном контексте // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 52-55.

УДК 519.4

В. В. Розен

АБСТРАКТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПАРЕТО-ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Математическая модель задачи многокритериальной оптимизации может быть представлена в виде набора

G = (A,qi,...,qm) , (1)