Связь между решетками контекстов с бинарным и парным отношениями Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

В.Е. Новиков

УДК 519.4

СВЯЗЬ МЕЖДУ РЕШЁТКАМИ КОНТЕКСТОВ С БИНАРНЫМ И ПАРНЫМ ОТНОШЕНИЯМИ

В работах немецких математиков Р. Вилле [1] и Б. Гантера [2] был основан формальный концептуальный анализ (ФКА) и показаны его приложения, связанные с базами данных [3]. Основная идея ФКА состоит в построении контекста с бинарным отношением и его решётки концептов, которая рассматривается как источник дополнительных знаний в классификации объектов, описанных в базе данных. Предположим, мы имеем базу данных (табл. 1), в которой да^ означает, что объекту присущ а^-й атрибут, нет^ означает «не присущ».

Тогда по традиционному ФКА мы получаем контекст (С, М, I), с бинарным отношением I (табл. 2) и соответствующую ему решётку концептов ¿1 (рис. 1), где {а}' = {1, 2,3,4, 5,6, 7,8} {а2}' = {2,3, 5,6} {аз}' = = {3,4,6, 7} {02}'П{аз}' = {3,6}.

Таблица 1 Таблица 2

Объекты Атрибуты

С а1 а2 аз

1 да1 нет2 нетз

2 да1 Д&2 нетз

3 да1 Д&2 даз

4 да1 нет2 даз

5 да1 Д&2 нетз

6 да1 Да2 даз

7 да1 нет2 даз

8 Да1 нет2 нетз

С М

а1 а2 аз

1 X

2 X X

3 X X X

4 X X

5 X X

6 X X X

7 X X

8 X

В работах [4, 5] был рассмотрен контекст с п-арным отношением, что позволяет не трансформировать базу данных в бинарное отношение, а прямо на её основе строить решётку концептов по выбранным объектам. В частности, табл. 1 описывает 4-арное отношение. Используя его для соответствующего контекста, мы получаем р 1 ({да1}) = = {1, 2,3,4, 5,6, 7,8} Р 1 ({да2}) = {2,3, 5,6} Р 1 ({нет^}) = {1,4, 7,8} Р 1 ({даз}) = ^{3,4,6, 7}, рН{нетз}) = {1, 2, 5,8}д Р1 ({дЧ) П ^ 1 ({даз}) = = {3, 6} Р1 ({да2})П р^({нетз}) = {2, 5} Р1 ({нет2}) П р 1 ({даз}) = = {4, 7} р1 ({ 2}) р1 ({ з}) {1, 8}

ка концептов ¿2 показана на рис. 2. Таким образом, при трансформации

базы данных по традиционному ФКА мы теряем заметную часть информации. В частности, такая потеря нарушает естественные представления классической логики. Если по какому-либо атрибуту мы можем выделить один подвид (как непустое и собственное подмножество некоторого вида), то вместе с ним непременно выделяется ещё не менее одного подвида, либо тот, который этим атрибутом не обладает, либо те, которые имеют другие его значения. Значит, в нашей решётке каждый неатомный элемент должен покрывать не менее двух элементов. Решётка Ь2 (рис. 2) обладает этим свойством, а решётка Ь\ (рис. 1) — нет и является подрешёткой решётки Ь2.

Рис. 1 Рис. 2

В традиционном ФКА рассматривается также многозначный контекст как четвёрка (С, М, Ж, I), где С, М и Ж ^ множества объектов, многозначных атрибутов и значений атрибутов соответственно, а I С С х М х Ж — тернарное отношение, удовлетворяющее условию

(д,ш,у) Е I, (д,т,и;) Е I ^ V = и.

Если (g,m,w) Е I, то w — значение атрибута m для объекта g и выполняется условие, что существует точно одно значение для каждой пары объект атрибут. Последнее условие означает, что исходное отношение не только однозначное относительно множества объектов, но и полное относительно всех атрибутов.

Существует стандартный метод трансформации (называемый простым шкалированием) многозначного контекста (G, M, W, I) в однозначный: для каждого m Е M, рассматриваем однозначный контекст Sm := = (Gm, Mm, Im), где m(G) С Gm. Тогда коптекст (G, N, J), определённый условиями

1) N := UmEM{m} х Mm;

2) (g, (m, n)) E J (g, m,w) E I Л (w, n) E Im,

является преемственным контекстом,.

Допустим, многозначный контекст определяется базой данных, заданной табл. 3, где С = {1, 2,3,4, 5,6, 7,8} М = {т^т^. Тогда Мт1 = = {01,02,03} Мт2 = {61,62} (табл. 4) и описанный метод даст контекст, задаваемый табл. 4. При этом р 1 ({а1}) = {а1}/ = {1,4} р 1 ({а2}) = = {02} = {2, 5} р 1 ({03}) = {03} = {3,6} р 1 ({61}) = №} = {1, 2,3}, Р' 1 (Ы) = = {4, 5,6} Откуда {01} П^} = {1} ЬУ ГК^У = {2}, {«зУП^У = {3} КУП^} = {4} ЬУП^У = {5} {аз}^{&2}/ = = {6}.

Таблица 3 Таблица 4

G m1 m2

1 а1 b1

2 «2 b1

3 аз b1

4 а1 b2

5 «2 b2

6 аз b2

G m1 m2

а1 а2 аз b1 b2

1 х х

2 х х

3 х х

4 х х

5 х х

6 х х

Следовательно, концептуальные решётки контекста с тернарным отношением и контекста с бинарным отношением совпадают (см. рис. 3), что, прежде всего, обуславливается указанным выше требованием однозначности и полноты исходного отношения (на практике не всякая база данных обладает этим свойством).

Рис. 3

К тому же в случае анализа на контексте с тернарным отношением нет никакой необходимости осуществлять какую-либо дополнительную трансформацию исходного отношения, приводящую к непродуктивному увеличению таблицы, а достаточно воспользоваться известными операторами баз данных.

Теорема 1. Пусть K = (G, G х Mi х M2 х ... Mn_b р С G х Mix

х M2 х ... Mn-1) некоторый контекст с n-арным отношением и L1 его концептуальная решётка. Пусть K1 = (G, M, I) - контекст, с бинар-

Ki

традиционного ФКА, и L2 соответствующая концептуальная решётка. Тогда, L2 является подрешёткой решётки L\ с тем же наибольшим и наименьшим элементом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Wille R. Bedeutungen von Begriffsverbanden // В, Ganter, R. Wille, K.E. Wolff и др. Beitrage zur Begriffsanalyse. Mannheim: Wissenschaftsverlag, 1987, B.I. P. 161-211.

2. Ganter В., Wille R. Formal Concept Analysis. Mathematical Foundations. Berlin: Springer, 1998.

3. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М,: Мир, 1987.

4. Новиков В.Е. Концепты и функциональные зависимости // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9.

5. Новиков В.Е. Функциональные зависимости в формальном контексте // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 53-55

УДК 519.95:681.31

А.А. Орел

ШАБЛОНЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ СЕТЕЙ ПЕТРИ

В работе [1] была рассмотрена технология проектирования бизнес-процессов, состоящая из двух этапов. На начальном этапе применялась методология структурного проектирования БАБТ и создавалась функциональная модель, а затем на ее основе строилась имитационная модель с использованием сетей Петри.

В работе [2] была рассмотрена обратная задача построения функциональной 8Л1)Т-.\юде. ш на основе сети Петри.

В работе [3] было предложено выделить полезные, часто используемые, конструкции управления в схемах потоков работ. Такие конструкции названы шаблонами, по аналогии с часто используемыми шаблонами разработки программного обеспечения.

В данной статье предложены шаблоны сетей Петри, при помощи которых реализуются некоторые полезные конструкции 8А1)Т-.\юде. пей.

Пусть имеются процессы РА, РВ и РС, связанные между собой одним из двух способов, представленных на рис. 1,2.