Абстрактная характеристика Парето-предпочтений Текст научной статьи по специальности «Математика»

jbj2 G {1, 2,3,..., n} то определению j2 = (jbj2)5 T-e. ji,j2 С j2, и по утверждению 2 теоремы 1 Pj2 < Pj1 и Pj2 < Pj2. Таким образом, PJ2 = pjiЛ j■ и Для люб ого J = ( ji ,j2,...,jk ) pjfc = Pji Л pj2 Л... Л pjk, где Л операция пересечения в решётке разбиений множества объектов G. Следовательно, множество Lp(K) является подрешёткой решётки Lp(G). При этом po является единицей в решётках Lp(K) и Lp(G), pn является нулём решётки Lp(K). Разбиен ия pj5 где j G {1, 2,3, ...,n}, являются коатомами решётки Lp(K).

Обратно, пусть дана некоторая подрешётка L Ç Lp(G), содержащая p0, где G — конечное множество. Пусть p1,p2,...,pn — все коатомы этой решётки, a e1,e2,...,£n — соответствующие эквивалентности на множестве G. Построим контекст K(L) = (G, (p^), р), где р = {(д,£1(д),£2(д),... ,£n(g))l g G G}. Построенный контекст является однозначным, поскольку любой g G G попадает только в один блок £j(g) разбнения pj, j G {1, 2,3,..., n}. Любой собственный концепт контекста K(L) по любому Jk Ç П является одним го блоков разбиения pjfc множества G. И поскольку pjfc = pj1 A pj2 A ... A pjk (является пересечением некоторых коатомов решётки L), то решётки L и Lp(K(L)) состоят из одних и тех же элементов, т.е. L = Lp(K(L)). □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Novikov V. Е. Formal conceptual analysis within n-агу relation context // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2006. JVS 9 (15), вып. 2, С. 18-22.

2. Ganter В., Wille R. Formal Concept Analysis. Mathematical Foundatoins. Berlin : Springer Verlag, 1999.

3. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных отображений j j Теория полугрупп и её приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1965. Вып.1. С. 3-178.

4. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. М, : Мир, 1987.

5. Новиков В. Е. Решётки концептов в однозначном контексте // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 52-55.

УДК 519.4

В. В. Розен

АБСТРАКТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПАРЕТО-ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Математическая модель задачи многокритериальной оптимизации может быть представлена в виде набора

G = (A,qi,...,qm) , (1)

где А — множество допустимых альтернатив, дх,..., дт — критерии оценки этих альтернатив. В данной статье рассматриваются задачи многокритериальной оптимизации с качественными критериями. Качественный критерий характеризуется тем, что шкалой для его измерения служит некоторое линейно упорядоченное множество (цепь) {С^, <); формально представляет собой отображение дj : А ^ С^ . Далее полагаем 7 = {1,..., т}, д(а) = (д^а),..., дт(а)) — векторная оценка альтернативы а е А .

Одна из важнейших задач многокритериальной оптимизации состоит в построении отношения предпочтения на множестве альтернатив. Решение этой задачи предполагает задание некоторого решающего правила. Наиболее известным решающим правилом является Парето-предпочтение [1], которое осуществляется по формуле

ах <Раг а2 & (V; е 7)gj■ (ах) < qj■ (а2). (2)

С каждой задачей многокритериальной оптимизации С вида (1) связана структура Парето-предпочтения (А, <Раг^. В данной статье решается задача абстрактной характеристики структур Парето-предпочтений, ассоциированных с задачами вида (1) с фиксированным множеством

шкал критериев {Cj, <j) -^.Полагаем С = П Cj. Мы предполагаем вы-

3 jеJ

полненпе следующего дополнительного условия:

(а) : тел и ах = а2, то хотя бы для одного ; е 7 имеет место gj (ах) =

дj (а2) •

Основная теорема. Для того чтобы структура предпочтений {А, ш) совпадала со структурой Парето-предпочтений, ассоциирован-

С

бы {А,ш) было упорядоченным множеством, размерность которого не т

Доказательство. Необходимость. Из определения (2) непосредственно следует, что отношение <Раг является рефлексивным и транзитивным, т.е. отношением квазипорядка. В силу дополнительного условия (а) оно будет отношением порядка па множестве А. Оценим его размерность.

Пусть :1 < 2 < ••• <т^ отношение линейного порядка па множестве индексов 7. Далее, для любого ;* = 1,...,т через Wj* обозначаем линейный порядок па 7, который совпадает с w1 па 7 — {; *} и является первым (наименьшим) элементом относительно Wj*. Пусть А^ лексикографическое произведение семейства цепей {Cj, <j)jеJ7 где множество индексов 7 упорядочено отношением порядка Wj*. Как известно

[1, 2], Aj* является линейным порядком на C. Определим на множестве А бинарное отношение wj*, j* = 1, ...,ш, по правилу

ах а2 ^ д(ах) <Л д(а2). (3)

Учитывая дополнительное условие (а) получаем, что отношение Ш*

А

Лемма 1.Имеет место равенство:

<Par = р| wj*. (4)

j *£J

Доказательство. Установим вначале при произвольном j * £ J включение <parС wj*. В самом деле, пусть a1 <Par a2, то есть qj(ai) < qj (a2) ПРИ всех j £ J. Зафиксируем произвольно j * = 1,...,ш. Пусть jo — первый номер в упорядочении Wj*, при котором qj0(a1) = qj0(a2).

Так как справедливо qj0 (a1) <j0 qj0 (a2) то выполнено строгое неравен-

■ *

ство qj0 (a1) <j0 qj0 (a2), поэтом у q(a1) <A q(a2) и согласно (3) имеем ' * • *

a1 <ш a2, что доказывает включение <parС wj . В силу произвольности j * £ J получаем в (4) включение слева направо. Установим обратное

включение. Пусть выполнено a1 < a2 относительно порядка Р| wj*. То-

j* £ J

гда при каждом j * £ J имеем a1 <ш° a2 , то ее ть q (a1) <A° q(a2). Полагая последовательно j * = 1, ...,ш, имеем согласно определения лексикографического порядка Aj * :

q1(a1) <1 q1(a2), ...,qmЮ <m qmM,

то есть q(a1) <Par q(a2) , что доказывает лемму 1. Из леммы 1 непосредственно следует, что размерность порядка <Par не превосходит мощности множества J, то есть числа ш, что доказывает необходимость.

Достаточность. Пусть dim (А, w) = ш* < ш. Надо построить задачу многокритериальной оптимизации с качественными критериями так, чтобы отношение порядка w совпало с Парето-предпочтением этой задачи. По определению размерности упорядоченного множества существует ш* < ш линейных порядков Wj на А , пересечением которых является w. Дублируя, в случае необходимости, ш — ш* линейных порядков, приходим к равенству

w = П w. (5)

j=1...m

При каждом ] Е ^ ^^^^^^^^^ множество С^, равномощное множеству А и пусть qj : А ^ С — биекция, реализующая взаимно-однозначное соответствие между ними. Определим отношение на Cj , полагая

qj(«г) <• qj(«2) ^ а (6)

Очевидно, что является линейным порядком па Су, то есть {Cj, < — цепь. В силу (5), (6) имеем

а1 <ш а2 ^ (У? = 1, ...,т)а1 а2 ^ (У? = 1, (а1) < qj■ (а2).

Данная равносильность означает, что порядок ш совпадает с Парето-предпочтением для задачи многокритериальной оптимизации

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Подиновский В. В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М, : Наука, 1982.

2. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. М, : Наука, 1970.

УДК 514.133

Л. Н. Ромакина

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРТРИСЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

На гиперболической плоскости Н положительной кривизны [1] зададим пучок О прямых с центром в действительной точке Б и действительную прямую 1,1 = О полю с Ь которой относительно абсолютной линии 7 не совпадает с точкой Б. На каждой прямой пучка построим точку, сопряженную относительно абсолюта точке пересечения этой прямой с I. Множество всех таких точек назовем ортрисой с базой I и вершиной Б. Прямую ЬБ назовем главной осью, а пучок О — определяющим пучком ортрисы. Соответственно типу прямой I ортрису будем называть гиперболической, эллиптической или параболической. В данной статье исследуем гиперболические ортрисы.

Б

плоскости Н определяющий пучок О соответственно типу измерения в нем будем называть гиперболическим, (эллиптическим). Если Б Е 7, О