Модели многокритериальной оптимизации с равноценными критериями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 1301-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Докл. АН СССР, 1951, Т. 77, .V" 1. С. 11-14,

2. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов, Дис, докт, физ.-мат, наук, Новосибирск, 1973, 242 с,

3. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями // Функц. анализ. 1976. Т. 10. № 4. С. 69-80.

4. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Матем, сборник. 1977. Т. 102(144). № 3. С. 457-472.

5. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-büsehel // Math. Z. 1984. Vol. 188. N 1. P. 55-68.

6. Тихомиров С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций. Дис. канд. физ.-мат. наук. Саратов. 1987. 126 с.

7. Гасымов М. Г., Магеррамов A. M. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов //Докл. АН Азерб. ССР. 1974. Т. 30. № 12. С. 9-12.

8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семин. им. И. Г. Петровского. М,: Изд-во Моск. ун-та. 1983. № 9. С. 190-229.

9. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та. 1994. 160 с.

10. Рыхлое B.C. Кратная полнота собственных функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка // Исследования по теории операторов: Сб. статей / БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1988. С. 128-140.

УДК 519.4

Д. С. Смирнова

МОДЕЛИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С РАВНОЦЕННЫМИ КРИТЕРИЯМИ

Будем рассматривать задачу многокритериальной оптимизации по качественным критериям в виде

G = (A, (qjjj) , (1)

где A - непустое множество допустимых альтернатив, (qj)j j — критерии оценки этих альтернатив. Качественный критерий qj характеризуется тем, что шкалой для его измерения служит некоторое линейно упорядоченное множество (цепь) {Cj, <j) ; формально qj представляет собой

отображение : А ^ С. Каждой альтернативе а е А сопоставляется вектор д(а) = ^(a))jеJ, называемый векторной оценкой альтернативы а и содержащий всю информацию об этой альтернативе; при этом в теоретическом анализе сравнение альтернатив заменяется сравнением их векторных оценок.

Иногда на отображение д : А ^ П С накладывают дополнительное

j еJ

условие:

(V; е 3)qj(ах) = qj(а2) ^ ах = а2. (2)

Заметим, что условие (2) позволяет отождествить альтернативу с ее векторной оценкой.

Обозначим через К класс моделей многокритериальной оптимизации вида (1) с дополнительным условием (2). Напомним, что отношение предпочтения по Парето задается следующей формулой:

ах <Раг а2 & (V; е 3)щ(ах) <j qj(а2).

В общем случае можно задать различные отношения предпочтения р. Тогда в качестве оптимальных альтернатив для модели О будем рассматривать множество альтернатив Мр, которые являются максимальными

р

по Парето-предпочтению альтернатив составляет так называемый паре-товский оптимум.

В общем случае для моделей многокритериальной оптимизации клас-

р

ными являются две задачи:

1. Сокращение множества оптимальных альтернатив.

2. Исследование на внешнюю устойчивость множества оптимальных альтернатив Мр.

Напомним, что свойство внешней устойчивости подмножества Мр в модели О е К задается формулой

(Ча е А)(3а*е Мр)а <р а*. (3)

О

нительной информацией о равноценности критериев в следующем виде:

1) Все критерии измеряются в одной шкале (С, <), т.е. в се Cj = Си считаются равноценными.

2) Наборы значений критериев не зависят от порядка перечисления компонент.

В этом случае определим симметрическое отношение предпочтения по Парето следующей формулой:

ai <Spar ö2 ^ (3n1,n2)(qni(i}(ai) < qV(i)(a2) Л ... Л qvi(n)(ai) < ЯП^М),

(4)

где ni,n2 - некоторые перестановки на множестве 1...n. Заметим, что

<par <spar (5)

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны между собой:

1)(3ni,n2)ni(ai) <Par п2(а2)7

2)(3n2)ai <Par п2(а2),

3)n^(ai) <par п^(а2)7 гс^е п^ - перестановка, в которой элементы расположены по возрастанию.

Доказательство. 1) ^ 2) и 2) ^ 1) следует из определения симметрического отношения предпочтения по Парето. Докажем 1) ^ 3). Дано:

pii(Ci) = (cii(i), cii(2), ..., СП1(п)) ,

pi2(c2) = (cj;2(i), сП2(2), ..., сП2(п)),

n)

i < c2 ci < c2

n1 (i) < cn2(i), ..., cn1(n) < cn2(n).

Доказательсьво проведем по индукции по числу критериев. База индукции: п = 1. Тогда сх = (сх),с2 = (с2). Следовательно, существует только одна перестановка - п° - тождественная. Из условия 1) получаем, что п°(сх) <раг п°(с2), но в данном случае п° = п^, следовательно, условие 3) также выполнено.

Далее рассмотрим случай п = 2. Тогда сх = (сх,2),с2 = (с2,2). Из условия 1) получаем, что (с^ , сх2) < (с^ , с22).

Рассмотрим всевозможные варианты расположения компонент в векторах.

1) (сх , сх2) и (с^ ,с22) уже расположены по возрастанию. Тогда

п^(сх) < П^(с2). 1 2

2)(сх1, сх2 ) и (с^, с22) Расположены то убывайию, т.е. с^ < с^, сх2 < с22. В этом случае получаем п^(сх) = (сх2, с^),п^(с2) = (с22, с^), следовательно, (сх) < п^(с2)- 21 21

3) В одном векторе компоненты расположены по возрастанию, а в другом по убыванию. Пусть с^ < сх2, но с^ deg с22. Надо показать, что (сх , сх) < (с2 , с2 ). Так как (сх , сх) < (с2 , с2 ), то сх < с2 и сх < с2 , то

V 11? %2> — V j2 ' jl/ V г^ %2> — V jl^ j2n %1 — jl %2 — j2 '

схх < сх2 < сх2 < с21? следовательпо, с^ < с22, сх2 < с2х, отсюда следует,

™ ) <раГ (22'4)

Шаг индукции: пусть теорема верна для п — 1 компоненты. Рассмотрим случай п компонент. Имеем

Обозначим

П1(С1) — (С7Г1(1) , С7Г1(2) , ..., С7Г1(п}) ,

п2(с2) — (сП2(1), СП2(2), ..., СП2(п)).

6п2Ы — т^п(бп2 С?)).

Первый случай: ^ —

с1— (сП1(1),..., сП1(?1—1), сП1 (^4+1), ...сП1(п)),

2 2 2 2 62 — (6п2(1), ..., Сп2(?2 — 1), СП2(?2+1), ...Сп2(п)).

В этом случае 61 <раг 62, то предположению индукции п^(61) < <раг п^(62). Тогда дла векторов

(бП1 (1),..., 6П1(?1—1), бП1(?1+1), ...6П1(П)),

/ 2 2 2 2 \ (6П2(1), ..., 6П2(?2 —1), 6П2(?2+1), ...6П2(П))

доминирование по Парето имеет место. Следовательно, перестановка п^ приводит к паретовскому доминированию. Второй случай: ^ —

(бП1(1),..., 6П1(?1),..., 6П1(?2), ...6П1(П)),

/ 2 2 2 2 \ (6П2(1), ..., 6п2(л), ..., 6П2(?2), ...6П2(П)).

По предположению верны следующие неравенства:

6П1(?1) < 6П1(?2) < 6П2(?2). (б)

Рассмотрим перестановку

(бП1(1),..., 6П1(?2),..., 6П1(?1), ...6П1(П)),

/ 2 2 2 2 \ (сп2(х), ••', сп2(^1), ••', сп2(^2), •••сп2(п))'

Согласно первому случаю и воспользовавшись неравенствами (6), получаем, что перестановка п^ приводит к паретовскому доминированию.

Теорема доказана.

Следствие. М^рагС С МРагС. Это означает, что в случае равноценных критериев мы получаем сокращение паретовского оптимума.

Теорема 2. Пусть множество критериев J конечно, все цепи (С, удовлетворяют условию максимальности. Тогда, в любой за-

даче С Е К % в которой отношение предпочтения альтернатив являет,ся симметрическим отношением предпочтения по Парето, множество альтернатив оптимальных по симметрическому отношению предпочтения по Парето М^рагС будет внешне устойчивым.

Доказательство. Надо показать, что Уа Е АЗа* Е М^рагС такой, что а <враг а*. Зафпкснруем а Е А. Возможны два случая:

1) если а Е М^рагС, то а* = а и а <враг а;

2) если а Е М^рагС, тогда Зах Е А, а < ах если ах Е М^рагС, то требуемое утверждение доказано, иначе За2 Е А,ах < а2, если а2 Е М^рагС, то требуемое утверждение доказано и т.д.

В результате получаем последовательность

а <^раг ах <^раг а2 <^раг ...,

а так как упорядоченное множество (А, <Раг^ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, то эта последовательность оборвется на конечном номере к , причем имеет место а <^раг и а^ Е А*, то есть для модели Сг выполнено условие внешней устойчивости множества М^рагС.

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето—оптимальные решения многокритериальных задач. М: Наука, 1982. 256 е.

2. Розен В. В. Математические модели многокритериальной оптимизации по качественным критериям //Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар, науч. конф. Саратов: Издат, центр «Наука», 2012. 266 с.

3. Смирнова Д. С. Модели многокритериальной оптимизации с частично упорядоченным множеством критериев//Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. Саратов: Издат. центр «Наука», 2012. 293 с.