Сокращение паретовского оптимума в задачах многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

Д. С. Смирнова

СОКРАЩЕНИЕ ПАРЕТОВСКОГО ОПТИМУМА В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

1. Мы изучаем задачи многокритериальной оптимизации с качественными критериями. Формально такая задача может быть задана в виде системы

С = (А, (^), (1)

где А - непустое множество альтернатив, ^)j^ - множество критериев, <7 - некоторое конечное множество. Каждый критерий qj представляет собой отображение множества альтерната в А в некоторое линейно упорядоченное множество (цепь) (Cj, <), представляющее собой шкалу для измерения соответствующего признака. Отображение qj задает ранжи-

А

отождествляем любые две альтернативы, для которых совпадают значения всех признаков qj, т. е. полагаем = а2, если для всех ; € J имеет место qj (а^ = qj (а2).

Определение 1. Говорят, что альтернатива а' является не ме-

а

а <Раг а'), тел и а' не менее предпочтитель на, чем а сразу по всем критериям ^ )jeJ'■

а <Раг а' ^ (V; € J(а) < щ(а'). (2)

Определение 2. Альтернатива а* € А называется оптимальной по Парето (или эффективной), если она является максимальной относительно предпочтения по Парето. Множество всех альтернатив, оптимальных по Парето в модели С, составляет так называемый Партовский оптимум и обозначается РагОр^С.

Оптимальность по Парето альтернативы а* € А означает отсутствие А

предпочтению. Согласно определению 2 это условие сводится к отсутствию такой альтернативы а € А, для которой при всех ; € J имеют место соотношения: qj(а) > qj(а*), причем хотя бы одно из этих соотношений должно выполняться как строгое. Содержательно Парето-

а* € А

улучшена ни по одному из критериев без ухудшения по какому-либо другому критерию. Поэтому оптимальность по Парето является необходимым условием оптимальности для модели (1), т. е. ОрС С РагОрС.

Таким образом нахождение оптимальных альтернатив для модели (1) можно рассматривать как некоторое сокращение паретовского оптимума. В данной работе предлагается два способа сокращения паретовского оптимума, основанных на дополнительной информации об упорядочении критериев по относительной важности.

2. Пусть информация об относительной важности критериев задана с помощью отношения частичного порядка ш на множестве критериев (можно считать, что отношение ш задается на множестве индексов </). При этом считаем, что г >ш 3 тогда и только тогда, когда критерий ^ является более важным чем qj■.

Следуя Л. А. Скорнякову [1], определим отношение ш на множестве альтернатив А следующей формулой:

ах < «2 ^ (V; е J(ах) <j qjЫ V (Зг >" 3)ф(ах) < ^Ы). (3)

Таким образом, условие ах <ш а2 означает, что для любого индекса; е J либо а2 превосходит ах по критерию qj■, либо найдется более важный критерий г >ш 3 такой, что а2 строго превосходит ах по критерию qi. Из работы [1] следует, что ш является отношением порядка, если J -конечное множество.

Замечание 1. Если ш = ДJ (т. е. дополнительная информация об относительной важности критериев отсутствует), тош =<Раг. Действительно, в этом случае второй член дизъюнкции в формуле (3) будет ложным, поэтому выполняется первый член дизъюнкции, т. е. ах <Раг а2.

Замечание 2. Пусть ш - линейный порядок на множестве 3, тогда ш совпадает с лексикографическим порядком ш = ш1ех.

Действительно, положим J = {1,2,...,ш} и 1 >ш 2 >ш ... ш. Пусть ах <ш а2, т. е. выполняется правая часть (3). Надо проверить, что ах <^х аз. Предположим, что qх(aх) = qх(a2),..., ^к-х)(ах) = ^к-х)Ы и qk(ах) = qk(а2), где к = 1, 2,..., ш. Тогда выполнено qk(ах) <к qk(а2) т. к. в противном случае qk (ах) >к qk (а2) и мы получаем противоречие с (3) при 3 = к. Таким образом, показали, что ш С ш1ех.

Покажем обратное включение. Пусть ах <^ех а2 и ;х = 1,...,ш -первый номер, для которого qj■1 (ах) = qj■1 (а2), тогда по определению порядка ш1ех qj■1 (ах) ^ qj■1 (а2). В этом случае для 3 < ;х выполнено qj■ (ах) = qj■ (а2 ), да я 3 = ;х выполне но qj■ (ах) <j qj■ (а2), да я 3 > ;х выполнен второй член дизъюнкции формулы (3). Таким образом, формула (3) выполнена для всех 3 е </, т. е. ах <1ех а2.

Теорема 1. При, любом отношении порядка ш на множестве J гше-ега место включение Мах(ш) С РагОрС.

Действительно, сравнивая формулы (2) и (3) видим, что <РагС ) т. к. при условии а1 <Раг а2 для всех ; € J будет выполняться первый член дизъюнкции в формуле (3). Учитывая, что оба отношения <Раг и о являюся отношениями порядка, получаем, что <Раг Далее, пусть а € Мах (о)). Предположим, что а € РагОр£С. Тогда существует а1 € А такой, что а1 >Раг а, в силу доказанного включения а1 > а, что противоречит условию а € Мах (о)). Таким образом, множество максимальных элементов для отношения о является сокращением паретов-ского оптимума.

Простые примеры, приведенные в [2], показывают, что это сокращение может быть существенным.

3. Еще один метод сокращения паретовского оптимума связан с переносом канонического продолжения о порядка о на множество альтернатив. Согласно [2] оно может быть задано формулой

а1 < а2 ^ (^ € М(о))Яя(а1) < Я^). (4)

где М(о)) - семейство всех мажорантно стабильных относительно порядка о подмножеств множества </, ЯДа) = ^ (а)) (а)) - высота элемента qj (а) в редуцированной шкале Cj (состоящей из элементов рг^-).

)

жестве </. В этом случае семейство мажорантно стабильных подмножеств выглядит следующим образом:

{1} , {1, 2} , {1, 2,3} ,..., {1, 2,3,..., т} .

Согласно формуле (4) имеем

а1 < а2 ^ <

%1(а^) < %1^)),

%1(а^) + %2(а^) < %2^)) + %1(а2)),

%1(а^) + %2(а1)) + ... + %ш(а^) < < %1^)) + %2^)) + ... + %ш(а2)).

)

|шев7 то о включается в лексикографический порядок на множестве альтернатив.

В самом деле, рассмотрим альтернативы а1, а2 € А. Пусть выполнено а1 <ш а2, надо показать, что а1 <1ех а2. Предположим противное, т. е.

Ыоа) = Я!^),...,^-^^) = qj-1^2),^(01) > (02),... В этом случае, учитывая изотоииость функции к, получаем

'^(Я1(01)) = %1(а-2)),

<

к^-Даа)) = к^-^)), (а1)) > h(qj(а2)).

Складывая эти неравенства, приходим к неравенству Н5(а1) > > Н5(а2), где $ - мажорантно стабильное подмножество множества первых 3 крите ри ев {1, 2,3,...,3}. Это противоречит формуле (4). Показали включение с С

Обратное включение неверно. В самом деле, рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Возьмем множество альтернатив А = {а1, а2, а3, а4} и два критерия я1 и я2, где 1 2. Пусть ранжирование альтернатив по критириям Я1 и я2 заданы диаграммой:

02 аз

a1 . а1

аз . а4

а4 . а-2

qi q2

Здесь ai <1ex a2. С другой стороны, находим h(qi(a1)) + h(q2(ai)) = = 2 + 2 > 3 + 0 = h(q1(a2)) + h(q2(a2)). Таким образом, a1 <w a2 не выполнено.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М, : Наука, 1970.

2. Розен В. В. Принятие решений по качественным критериям. Математические модели. Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013. 284 с.

УДК 571.968

С. Ю. Советникова, Г. В. Хромова

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В задаче нахождения равномерных приближений к решению интегральных уравнений 1 рода с оператором двойного интегрирования дается конкретизация и уточнение общих положений о применении метода регуляризации Тихонова нулевого порядка гладкости.