Спектр оператора Лапласа связных компактных простых групп Ли ранга один и два Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 152, кн. 1 Физико-математические пауки 2010

УДК 514.764.227—514.765—517.984.56—511.

СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА СВЯЗНЫХ КОМПАКТНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ РАНГА ОДИН И ДВА

В. М. Свиркип

Аннотация

Излагается алгоритм вычисления спектра лапласиана для вещественных и комплексных функций па связной компактной простой группе Ли с биипвариаптпой римаповой метрикой. Указанный алгоритм используется для явного вычисления спектра лапласиана для компактных связных простых групп Ли ранга один и два.

Ключевые слова: оператор Лапласа, спектр, представление группы Ли, старший вес. форма Киллипга.

Введение

В работе [1] изучается спектр оператора Лапласа на гладких вещественных функциях, определенных на компактных однородных нормальных римановых многообразиях. Показано, что эту задачу можно свести к рассмотрению компактных односвязных (связных) простых групп Ли О с биипвариаптпой (то есть инвариантной относительно левых и правых сдвигов) римаповой метрикой V. В последнем случае на основе теорем 4.4 и 5.2 из [1]. доказательство которых опирается на результаты теории линейных конечномерных представлений групп Ли. предлагается способ вычисления спектра лапласиана, который применяется в § 7 в [1] для вычисления спектра лапласиана на группе Ли (Би(2), V), изометричной единичной евклидовой трехмерной сфере Б3.

В работе [2] приводится упрощение доказательства теоремы 4.4 из [1]. а также в следствии 1.4 формулируется улучшенный алгоритм поиска спектра лапласиана на односвязной группе Ли О с метрикой V. Применение этого алгоритма иллю-

О

Улучшение алгоритма в основном заключалось в переходе к комплексному случаю при подсчете кратности собственного значения лапласиана.

В § 1 настоящей работы алгоритм поиска спектра лапласиана из [2] обобщается на неодносвязный случай, то есть рассматривается случай произвольной комО

совпадепие спектров лапласиана в вещественном и комплексном случаях для любого компактного риманового многообразия класса . Далее с использованием предложения 1 и рассуждений § 1 [2] формулируются теоремы 1 и 2. являющиеся соответственно аналогами теорем 4.4 и 5.2 из [1] в комплексном случае. Из тео-

О

к поиску множества старших весов Л+(О) всех ее неприводимых комплексных представлений.

Поиск множества старших весов Л+(О) сводится к поиску решетки Л(О) всех

О

О

подробно рассматривается в [3] и в добавлении А.Л. Оншцика в книге [4]. В предложении 4 доказывается, что множества Л+(О) и Л(О) задаются целочисленной

решеткой / группы Ли G, определенной однозначно для группы Ли G с точностью до внутреннего автоморфизма. Далее формулируются основные свойства характеристической решетки A(G), главными из которых являются следующие: характеристическая решетка A(G) однозначно определяет группу Ли G с точностью до изоморфизма и соотношение (7) определяет все возможные характеристические решетки A(G) для заданной алгебры Ли. Использование свойств характеристической решетки в качестве итога рассуждений в § 1 позволило сформулировать в следствии 5 алгоритм вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли с фиксированной простой алгеброй Ли g и биинвариантной римановой метрикой v.

На основании следствия 5 в § 2 вычисляются спектры лапласианов всех связных компактных простых групп Ли ранга один: SU(2) и SO(3), а в §§ 3-5 с учетом результатов вычислений из статьи [2] задаются спектры лапласианов всех связных компактных простых групп Ли ранга два: SU(3) и SU(3)/C(SU(3)), G2, Spin(5) и SO(5).

1. План поиска спектра лапласиана связной компактной простой группы Ли

G

мановой метрикой v. Множество Spec (G, v) всех собственных значений оператора Лапласа — Бельтрами Д на гладких вещественных функциях, определенных на (G, v),

соответствующих собственных функций, называется спектром оператора Лапласа. Некоторые общие понятия и результаты, относящиеся к оператору Лапласа Бельтрами, его собственным значениям и собственным вещественным функциям на компактных римановых многообразиях класса GTO, указаны в [1]. Лапласиан естественным образом обобщается на комплекснозначные функции. Рассмотрим комплексный случай подробней.

Пусть (N, v) - компактное риманово многообразие класса Gс метрическим тензором v, / — комплекснозначная функция на (N, v), вещественная /д := Re / и мнимая / := Im / части которой являются вещественными функциями класса G2 . Лапласиан комплекснозначной функции / по определению равен комплекснозначной функции

Д/ := Д/д + гД/z. (1)

Пусть EAC и Е® являются соответственно пространствами комплексных и вещественных собственных функций, отвечающих собственному числу А. Из формулы (1) следует, что вещественные функции g, h G Е® задают комплекснозначную функцию / = g + ih G EJp, и, наоборот, вследствие однозначности разложения комплекснозначной функции / та вещественную g = Re / и мнимую h = Im / части функция / G Е^ отвечает двум вещественным функциям g, h G Е®. Таким образом, множества собственных значений лапласиана для пространств вещественных и комплекснозначных функций совпадают и имеют место соотношения Ес = Е ® + + *Е® и dim с E^C = dim R Е®. Получаем

Предложение 1. Спектры, лапласиана для пространств комплексных и вещественных функции на компактном римановом многообразии класса Gсовпадают.

Вычисление кратности собственного значения, а значит, и самого спектра, лапласиана проще вести в комплексном случае, чем в вещественном. Поэтому при составлении плана поиска спектра лапласиана для связной компактной простой G

водимые ниже аналоги теорем из [1], сформулированные в комплексном случае.

Далее /д (соответственно гд) обозначает отображение /д : Н € О ^ дН € О (соответственно гд : Н € О ^ Нд € О); ¿д - (инвариантная) вероятностная мераХаара на О, пропорциональная мере объема определяемой римановой метрикой V. Мера Хаара ¿д индуцирует инвариантное скалярное произведение в вещественном линейном пространстве Ь2(О, ¿д), которое естественным образом обобщается до инвариантного эрмитового скалярного произведения на комплексном линейном пространстве ¿С(О, ¿д) := Ь2(О, ¿д) + гЬ2(О, ¿д). Из формулы (10) теоремы 30 в [5] следует, что размерность пространства матричных элементов Мс неприводимого комплексного представления с равна ¿с2, где ¿с — размерность представления с. Повторяя ход доказательства теоремы 4.4 в [1] и заменяя неприводимые вещественные представления г на неприводимые комплексные представления с, получаем аналог указанной теоремы в комплексном случае.

О

римановой метрикой V, с - некоторое неприводимое комплексное представление группы О размерности ¿с. Понимая с как некоторый гомоморфизм с : О ^ и(йс) групп Ли, можно утверждать, что все функции с^ : О ^ с(д)^; г, ^ = 1,..., ¿с, являются линейно независимыми над С собственными функциям,и оператора Лапласа Д мо (О, V) с одним и тем же собственным значением Ас. Линейная оболочка Мс этих функций является прямой суммой ¿с неприводимых пространств представления д : д € О ^ д(д) группы О (где д(д) сопоставляет каждой вещественной функции / мо О функцию д(д)(/) := / о /д-1), ограничение которого на

с. с

О

некоторый ортонормированный относительно стандартного скалярного произведения (■, •) но Ь2 (О, ¿д) базис ггз ¿с2 комплекснозначных функций в Мс, получим полную в Ь2(О, ¿д) ортонормированную систему (из собственных функций опе-Д

Из теоремы 1 вытекает следствие, аналогичное следствию 1.1 нз [2].

Следствие 1. В обозначениях теорем,ы, 1 получаем, что кратность собствен-А

с:\с = \

где с пробегает все классы эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы Ли С, отвечающих собственному числу А.

Прежде чем сформулировать теорему, которая предоставляет способ вычисления Ас и ¿с через старший мс представления с, аналог теоремы 5.2 [1] для комплексного случая, изложим необходимые для дальнейшего сведения н рассуждения из § 5 [1].

На основании п. 11 § 3 гл. III и п. 1 § 6 гл. III книги [6] приведем распространение предложения 5.1 н предшествующих ему рассуждений нз [1] на комплексный случай.

Предложение 2. Для всякой группы Ли С существует соответствие между неприводильылт линейными комплексными (вещественными) представлениями г группы Ли С и неприводимыми линейными комплексными (вещественными) представлениями р ее касательной алгебры Ли 0, заданное формулой р = ¿г(е). Если группа Ли С односвязна, то указанное соответствие является взаимнооднозначньш,.

Из предложения 2 следует, что рассмотрение неприводимых представлений

О

лений ее алгебры Ли д.

Определение 1. Билинейная (симметричная) форма кр та алгебре Ли д, заданная формулой:

кр(и, V) = ^асе(р(и)р^)), и, V € д,

называется формой, ассоциированной с представлением р. Форма ка^, где аё(и)^) := [и, V] - присоединенное представление алгебры Ли д, называется формой Киллинга алгебры Ли д.

О

д

представления аё. При этом для любого неприводимого ненулевого представления р алгебры Ли д, форма кр отрицательно определена и пропорциональна скалярному произведению V.

Опуская детали, скажем, что алгебра Ли д определяет систему корней Г как некоторое подмножество дуального пространства 1(М)* к вещественной форме 1(М) подалгебры Картана комплексной оболочки к алгебры Ли д. Определяются подсистемы Г+ С Г положительных корней иП = («1,..., а;} С Г+ положительных (линейно независимых) простых корней. Пара (^(К), (■, ■)) является вещественным евклидовым пространством, где (■, ■) := := каа|^К) - ограничение формы Киллинга к^ алгебры Ли д та подпространство 1(М). Сохраняя то же обозначение, форму (■, ■) можно перенести на дуальное пространство 1(М)*. Более подробная информация о системе корней и весов алгебры Ли содержится в § 5 [1] или § 1 [2], а также в книге [7].

Определим функцию (■, ■} следующим образом:

Г,, т . 2 (а, ¡3)

{¡3, а} := ------

(а, а)

для а = 0, в € 1(М)*. Известно, что если а и в € Г, то (в, а} € Ъ. Фундаментальные веса т1,..., ет; алгебры Ли д определяются однозначно следующими соотношениями:

(ет*, аj} = , где 5^ — символ Кронекера, 1 < г, ] < /. (2)

Значение старшего веса для теории линейных представлений видно нз следующих результатов Э. Картана (см. [8])

Предложение 3. Множества весов Л(д) и старших весов Л+(д) всех неприводимых комплексных представлений комплексной оболочки к простой алгебры Ли д с фундаментальными весами ет1,... ,ет; задаются следующим, образом:

I

Л(д) = |л € 1(М)* Л = ^Л*ет*, где Л* € ъ}, (3)

Л+(д) = |л € 1(М)* Л = ^^Л*ет*, где Л* € Ъ и Л* > о|.

*=1

При этом неприводимое комплексное представление алгебры Ли к с точностью до эквивалентности определяется своим, старшим весом Л € Л+(д).

Вследствие формулы (2) множества Л(д) и Л+(д) можно задать посредством отображения {•, •}:

На основании предложений 2 и 3 и предложения 1.3 из [2]

Следствие 2. Пусть О и О1 - связные компактные группы Ли с простой алгеброй Ли д, при этом групп а Ли О1 является односвязной. Пусть, далее, Л(д), Л(О) и Л(О1) (Л+(д), Л+(О) и Л+(О1)) - множества (старших) весов всех

д

О О1

Переформулируем теорему 5.2 из [1] для комплексного случая, исходя из предложений 1. 2 и предложения 1.4 из [2]. а также из равенства собственных значений лапласиана, отвечающих неприводимым комплексному и вещественному представлениям группы Лн с одним н тем же старшим весом.

Теорема 2. Предположим, что биинвариантная риманова метрика V на

Од

ших весов Л+ (О) определяется скалярным произведением v(e) = —каа (минус формой Киллинга) на д. Пусть старшему весу Л € Л+ (О) отвечает неприводимое комплексное линейное представление с : О ^ СЬ(й(Л + в), С) группы Ли

О с собственным значением А(Л) лапласиана Д на (О, V). Тогда имеют место равенства

Если v(e) = —7ка^, то все числа в формуле (4) нужно умножить на 1/7, а все остальное оставить без изменений.

Из теоремы 2 н следствия 1 получаем

Следствие 3. В обозначениях теоремы 2 кратность собственного значения А лапласиана Д на (О, V) равна

где Л пробегает все элементы множества Л+ (О), отвечающие собственному А

Из теорем 1 и 2 следует, что вычисление спектра лапласиана связной компактной группы Ли О сводится к поиску множества стар ших весов Л+(О) всех ее

Л(д) = {Л є і(М)* | {Л, є Z, где 1 < і < 1}, Л+(й) = {Л є і(М)* | {Л, «¿} є ^ и {Л, а.і} > 0, ще 1 < і < 1}.

Л(Сі) = Л(0) м Л(С) С Л(0), Л+(Сі) = Л+ (д) и Л+(С) С Л+(в).

А(Л) = — [(Л + в,Л + в) — (в,в)],

(4)

«¿(Л + /3) = (ііпіс с = Л —

(в

(5)

где

аЄГ+

(6)

неприводимых комплексных представлений. Согласно предложению 2 в односвязном случае множество Л+(С) совпадает с множеством Л+(д), которое определяется системой корней группы Ли G через фундаментальные веса; в произвольном случае Л+(С) является лишь некоторым подмножеством множества Л+ (g), причем, как будет показано ниже, множество Л+(С) совпадает с Л+(д) только в односвязном случае и определяет группу G с точностью до изоморфизма.

Пусть k - комплексная оболочка алгебры Ли g группы Ли G. Тогда для присоединенного представления ad : k ^ gl(k) разложение в прямую сумму весовых подпространств (см. § 1 [2]) имеет вид: k = Vo 0 Va. Из определения подпространства

а£Г

Vo следует, что оно является абелевой, в частности, нильпотентной подалгеброй ал-k Vo

подалгеброй Картапа. Для удобства будем обозначать Vo через t. Подалгебра t

k

рая не содержится ни в какой большей абелевой подалгебре. Вследствие того, что связная компактная абелева группа Ли является тором (п. 2.20 [4]), вещественная форма t(R) подалгебры Кар тана t, как максимальная абелева подалгебра алгебры Ли g, при экспоненциальном отображении exp группы Ли G переходит в максимальный тор T группы Ли G, то есть такой тор, который является подгруппой G

тором. При таком построении тора T непосредственно получаем равенство t(R) = = L(T), где L(T) - касательное пространство тора в единице. Максимальные торы подробно рассматриваются в главе 4 [4]. В частности, в п. 4.23 [4] доказывается, что любые два максимальных тора T и Ti сопряжены посредством некоторого внутреннего автоморфизма, то есть существует такой элемент x G G, что Ti = xTx-i. Отсюда вытекает следующее замечание.

Замечание 2. Любая конструкция, кажущаяся зависимой от выбора максимального тора (подалгебры Картана), на самом деле с точностью до внутреннего

Gg

t

тор T группы Ли G с касательным пространством L(T) = t(R) в единице. Тогда целочисленной решеткой I в пространстве L(T) называется множество exp\L(T^(e), где e - единица группы, exp |Ь(Т) : L(T) ^ T - сужение экспоненциального отображения exp та пространство L(T).

I

G

exp \ G

чаем равенство exp(L(T)) = T, го которого следует, что сужение exp |L(T) экспоненциального отображения па пространство L(T) совпадает с каноническим отображением p тора T. Из свойств отображения p вытекает, что в пространстве L(T) размерноети l можно ввести базис vi;..., vl, при котором L(T) = Rl, T ^ Tl = Rl/Zl, и вектор x с координатами (xi,..., xl) в введенном базисе, где Xj G R, 1 < i < l, при отображении p переходит в элемент p(x) тора Tl, где p(x) = (xi mod 1,... ,xl mod 1). Таким образом, целочисленная решетка I в базисе v ]_,..., vl совпадает с целочисленной решеткой Zl прострапства Rl. Как следствие, целочисленная решетка I является решет,кой с базисом vi,..., vl, то есть свободной абелевой (аддитивной) подгруппой в пространстве L(T), порожденной vi , . . . , vl

I

симальному тору группы, Ли G, с базисом vi;..., vl и подмножесmeo I + С I всех

I

линейных комбинаций вида ^ п^, где щ € Z и щ > 0 щи г = 1,..., I, задают,

г=1

множества весов Л(О) и старших весов Л+(О) группы Ли О соответственно следующими равенствами

Л(О) = € 1(М)* | ^(«) € ^ ^ всех V € I} ,

Л+(О) = {^ € 1(М)* | ^^) € ^ гг ^^) > 0 , для всех V € /+} .

Корректность данного выше определения обосновывается замечанием 2. формулой (8) из [2] и инвариантностью скалярного произведения (•, •) относительно внутренних автоморфизмов группы.

Л(О)

множества Л+(О) сводится к поиску решетки Л(О). Множество весов Л(О) назы-

О

решетка подробно рассматривается в [3] и в добавлении А.Л. Ошпцика в книге [4].

Л(О)

Определение 3. Пусть Е - евклидово пространство. Наряду со скалярным произведением (•, •) будем рассматривать в Е функцию (•, •}, линейную лишь по первому аргументу и заданную формулой

{/3, а} = где /3, а € Е.

(а, а)

Системой корней в Е называется пара (Г, Е) (кратко Г), обладающая следующими свойствами:

1) Г является конечным подмножеством Е и 0 / Г;

2) если а € Г, то —а € Г, но са / Г для любых с € К, с = ±1;

3) если а € Г и Ра = (в € Е | (в, а) = 0}, то отражение а в гиперплоскости Ра переводит Г в себя;

4) (в, а} € ^ для любых в, а € Г.

Примером является описанная выше система корней (Г ^К)*) группы Ли О со скалярным произведением (•, •) = к^К)*, индуцированным формой Киллинга.

Пусть (Г, Е) - система корней и а1,..., а; - ее простые корни, тогда система (Г, Е) задает две замкнутые подгруппы Ло(Г) и Л1(Г) группы Е относительно операции сложения: Л0(Г) - подгруппа, порожденная системой Г, то есть

I

Ло(Г) = |в € Е в = Паз, где Щ € ^,

5 = 1

Л1 (Г) Г

(•, •}:

Л1(Г) = (в € Е | (в^-} € где з = 1,...,/} .

Согласно свойству 4) определения 3 верно включение Л0(Г) С Л1(Г). Из опре-Ло(Г) Ло(Г)

с базисом, состоящим из простых корней. Простые корни компактной полупростой группы Ли О составляют базис в пространстве 1(М)* (см. п. 12 [3, с. 15]). По-

О

получаем, что Л1(Г) = Л(д) и Л1(Г) является решеткой с базисом, состоящим из фундаментальных весов ет,..., ет;.

Решетки Л0(Г), Л(О) и подгруппа Л1(Г) обладают важными свойствами (см. [4, с. 134]), представленными в следующем утверждении.

О

Л(О) связана с решеткой Л0(Г) и подгруппой Л1(Г) следующими соотношениями:

Ло(Г) С Л(О) С Л1(Г), (7)

причем в этой цепочке аддитивных подгрупп группы 1(М)* каждая предыдущая является подгруппой следующей, при этом

Л1(Г)/Л(О) = П1(О), Л(О)/Л0(Г) = С(О),

где п1 (О) - фундаментальная гр уппа, а С (О) - центр группы Ли О

Л(О)

ОГ

обратить. Для более точной формулировки обратного утверждения введем понятие изоморфизма системы корней.

Определение 4. Пусть (Г1, Е^) и (Г2, Е2) - две системы корней. Изоморфизмом систем (Г1, Е1) и (Г2, Е2) называется линейный изоморфизм : Е1 ^ Е2, отображаюгций Г^ Г2 и удовлетворяющий условию (у>(а), у>(в)} = = (а, в} , где а, в € Гь

Основная теорема классификации связных компактных групп Ли формулируется следующим образом.

О1 О2

группы Ли, Т1 и Т2 - их максимальные торы, Е1 = Ь(Т1)% Е2 = Ь(Т2)*. Для всякого изоморфизма <р : Е1 ^ Е2 систем кор ней (Г1,Е1) и (Г2,Е2), удовлетворяющих условию: <р (Л(О1)) = Л(О2), существует такой изоморфизм Ф : О1 ^ ^ О2 групп Ли О1 и О2, переводящий в Т2, что Ф'|ь(Т) = ^*-1-

(Г, Е) Л

ранга в Е, удовлетворяющей условию Л0(Г) С Л С Л1(Г), существуют связная компактная группа Ли О, максимальный тор Т с О и изоморфизм <р : Е ^ ^ Ь(Т )* систем кор ней Г и Г(О), для котор ого <р (Л) = Л (О).

Рассмотрим семейство связных компактных полупростых групп Ли с алгеброй д

Ли совпадает с семейством всех возможных решеток максимального ранга, удовлетворяющих соотношению (7). Таким образом, основную роль в классификации полупростых групп с заданной алгеброй Ли играет максимальная фундаментальная группа Л1(Г)/Л0(Г). Приведем из добавления А.Л. Онищика в книге [4] все максимальные фундаментальные группы для простых неабелевых алгебр Ли:

Тип Г Л В1, С-1, Ег -02я -02я+1 Ев Ей, Еь Сп

Л1(Г)/Л0(Г) Z1 Z2 z2 0 z2 Z4 0

Из теоремы 3 и предложения 5 получаем

Следствие 4. Пусть максимальная фундаментальная группа Л1(Г)/Л0(Г) д

д

пы Ли О1 с центром Л1(Г)/Л0(Г) и решеткой весов Л1(Г), совпадающей с ре-

Л(д) О0

группой Л1(Г)/Л0(Г) и решеткой весов Л0(Г).

Замечание 3. Из таблицы максимальных фундаментальных групп, приведенной выше, получаем, что следствие 4 применимо к алгебрам Ли со следующими типами систем корней: сериям Bi и C, Ap, где p - простое число, и ко всем исключительным алгебрам Ли.

Вследствие того, что корни алгебры Ли являются весами присоединенного представления и старшинство веса определяется порядком, описанным, например, в п. 12 [3, с. 15], получаем, что старшим весом присоединенного представления ad комплексной оболочки простой алгебры Ли g является максимальный по высоте (сумме компонент разложения на простые корни) корень, обозначаемый в книге [7] как а. На основании приведенных выше рассуждений и теорем 2, 3, а также следствия 3 и предложения 5 сформулируем правило вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли G с фиксированной алгеброй Ли g, предполагая использование табл. I-IX [7] (в которых р обозначает вектор в)-

Следствие 5. Для вычисления спектров лапласианов всех связных компакт-

g

метрикой v с условием v(e) = —Ykad нужно выполнить следующие действия:

1) вычислить выражение b := (а + в, а + в) — (в, в) ? предполагая, что относительно скалярного произведения (■, ■) (ко t(R)) векторы е* из соответствующей таблицы книги [7] взаимно ортогональны и единичны, где а - старший (максимальный) корень;

2) взять скалярное произведение (•,•) = ^ (•> •) i

3) найти фундаментальные веса w1,...,w1 алгебры Ли g (если g имеет ранг l) по соответствующей таблице из [7];

i

4) для каждого старшего веса Л е Л+ (g), то есть для каждого Л = ^ AjWj,

j=1

где Aj е Z и Aj > 0 щи j = 1,... ,l, найти собственное число А(Л) оператора Лапласа, отвечающее старшему весу Л, по формуле (4), делен ной на 7, и размерность ¿(Л +в) неприводимого комплексного представления комплексной оболочки алгебры Ли g со старшим весом Л, применяя формулу (5);

5) дм каждой решетки Л(О), удовлетворяющей соотношению Л0(Г) С С Л(С) С Л^Г), г<?е Л0(Г) и Л1(Г) - решетки, порожденные простыми корнями и фуундаментальнылш весами, найденные в п. 1) и п. 3) соответственно, G - группа Ли с алгебр ой Ли g, соответствующая характеристической решетке Л(С), выполнить следующие три пункта;

6) найти множество старших весов Л+ (G) = Л^) П Л+ (g), задав его через фундаментальные веса w1; ..., wl;

7) для каждого старшего веса Л е Л+^) найти из п. 4) собственное число А(Л) и размерноеть ¿(Л + в) неприводимого комплексного представления, отвеЛ

8) найти кратность каждого собственного значения А, применяя формулу (6), получив таким образом спектр Spec (G^jv) группы Ли G, отвечающей характеристической решетке Л^).

Таким образом, получаем все спектры Spec (G, v) групп Ли G с алгеброй Ли gv

Замечание 4. В формулах (5) и (6), применяемых в п. 4) и п. 8) следствия 5, вместо (■, ■) можно использовать любое пропорциональное ему скалярное произведение, в частности (■, ■) из п. 1) следствия 5.

Ниже, используя следствие 5, найдем спектры лапласиана всех связных компактных простых групп Ли ранга один: SU(2), SO(3) и ранга два: SU(3), G2, Spin(5), SU(3)/C(SU(3)^ SO(5) . В случае ранга два будем опираться на результаты вычислений из статьи [2] для односвязиых групп Ли.

2. Вычисление спектра лапласиана групп 8и(2) и 80(3)

Группам Ли 8и(2) и 80(3) соответствует алгебра Ли ви(2) с системой корней Аі. Применяем табл. I из книги [7]. Единственным простым корнем является

форма а1 = є1 — є2, при этом є1 + є2 = 0. Из последнего равенства получаем

«1 = 5 = 2ьі и /3 = —а\ = є і.

1) Ь = (а + в, а + в) — (в, в) =8 (в, в) = 8.

2) (•,•) = £<•,•>•

3) Единственным фундаментальным весом является форма = ^(єі — £2) = = Єі-

4) Пусть Л = Л1ет1 Є Л+(ви(2)), где Л1 Є ^ и Л1 > 0; тогда Л + в = (Л1 + + 1)еті = ^©1^е V = Л1 + 1 и V Є N Найдем собственное число Л(Л), отвечающее старшему весу Л, разделив на 7 правую часть формулы (4):

А(Л) = -- [(А + /3,А + /3) - [13,13)] = -- [(г/еть г/ет!) - = -^-(г'2 ~ 1).

77 07

Теперь вычислим размерность ¿(Л + в) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу Л, по формуле (5):

м к , ¿Л (^1,2^0 Ак + т = (^,2^,) = "■

5) Указанные выше простой корень а и фундаментальный вес етх алгебры Ли ви(2) задают соответственно решетки Л0(А1) и Л1(А1) следующим образом:

Ло(А1) = |Ф1«1 | Ф1 е Z} = {2Ф1^1 | Ф1 е (8)

Л1(А1) = {Л1ет1 1 Л1 е ^}- (9)

Получаем, что максимальная фундаментальная группа алгебры Ли ви(2) равна Л1(А1)/Л0(А1) = Z2, то есть имеет простой порядок, поэтому решеток Л(С), удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две: Л0(А1) и Л1(А1). На основании предложения 5 решетке Л1(А1) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли ви(2), то есть группа Ли 8и(2), а решетке Л0(А1) - неодносвязная

группа Ли с алгеброй Ли ви(2), то есть группа Ли 80(3).

а) Приведем формулы, задающие спектр лапласиана группы Ли 8И(2).

6а) Из формулы (9) получаем множество старших весов группы Ли 8и(2)

Л+(8и(2)) = {Л1ет1 | Л1 е ^ Л1 > 0}.

7а) Пусть Л = Л1ет1 е Л+(8и(2)), тогда из п. 4) получаем:

А(Л) = -^2-1), (10)

¿(Л + в) = V, (11)

где V = Л1 + 1, V е N.

8а) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения А:

г(Л) = V2 = 1 — 87Л.

=1-87Л:

V2

Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно

3

---н соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли

87

8и(2) со старшим весом ^. Размерность этого представления равна 2. Крат-

3 247 „

ность собственного значения — — равна 1 + —— = 4.

87 87

б) Приведем формулы, задающие спектр лапласиана группы Ли 80(3).

66) Из формулы (8) получаем множество старших весов группы Ли 80(3)

Л+(80(3)) = |2Ф1ет1 | Ф1 е 2 и Ф1 > 0}.

76) Пусть Л = 2Ф1ет1 е Л+(8и(2)), тогда го п. 4) собственное число А(Л) и размерность ¿(Л + в) вычисляются по формулам (10) и (11) соответственно, где

V = 2Ф1 + 1, V е N и V = 1 (шоё 2).

86) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратА

а(А) = V2 = 1 — 87А.

^2 = 1-87А;

¿/=1(шо^ 2)

Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно

---и соответствует присоединенному представлению группы Ли 80(3) со стар-

7

шим весом 2^. Размерность этого представления равна 3. Кратность собствен-

1 87 „

ного значения-----равна 1 Л------= 9.

7 7

3. Вычисление спектра лапласиана групп 8и(3) и 8и(3)/С(8и(3))

Группам Ли 8и(3) и 8и(3)/С(8и(3)) соответствует алгебра Ли ви(3) с системой корней А 2. Применяем табл. I из книги [7]. Простыми корнями являются формы {а1 = £1 — £2, а2 = £2 — £3}, при этом е1 + £2 + £3 = 0.

Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из § 2 [2].

1) Ь = 6.

2) = |(-, -)-

3) Фундаментальные веса имеют вид: {п71 = — £2 — £3), П72 = -(£1 + £2 —

— 2£3)}.

4) Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 е Л+(ви(3)), где Л1; Л2 е 2 и Л1; Л2 > 0, тогда

Л + в = Vl'етl + V2ет2, где V! = Л1 + 1, V2 = Л2 + 1 и V1, V2 е N. Собственное число А(Л) Л

1

97

А(Л) — — —— (і'і + ь'іь'о + ^2 ) — 3 . (12)

Размерность ¿(Л + в) неприводимого комплексного представления, отвечающего старшему весу Л, равна

+¡3) = ^иіщ{іУі +щ). (13)

5) Указанные выше простые корни и фундаментальные веса алгебры Ли ви(3) задают соответственно решетки Л0(А2) и Лі(А2), определенные следующим обра-

Ло(А2) = (Фі«і + Ф2«2 | ^1, ^2 є ^>,

Л1(А2) = {Л1ГО1 +Л2^2 | Л1, Л2 е 2}. (14)

После замены переменных {Ф1 = 2^1 + ^2, Ф2 = ^1 + ^2} и выражения корней через фундаментальные веса {«1 = 2^1 — ^2, «2 = 2^2 — ^1} решетка Ло(А) приобретает следующий вид:

Ло(^2) = {3^1ет1 + ^2(^1 + ^2) | ^1, ^2 е 2}. (15)

Определим решетку Л1(А2) в базисе {ет1,ет1 + ет2} посредством замены переменных {Л1 = ^1 + ^2, Л2 = О2}:

Л1(А2) = {^1^1 + ^2(^1 + Ш2) | ^1, ^2 е 2}. (16)

Из формул (15) и (16) следует, что максимальная фундаментальная группа алгебры Ли ви(3) равна Л1(А2)/Л0(А2) = 23, то есть имеет простой порядок, поэтому решеток Л(С), удовлетворяющих соотношению (7), существует всего две: Л0(А2) и Л1(А2). На основании предложения 5 решетке Л1(А2) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли ви(3), то есть группа Ли 8И(3), а решетке Л0(А1) - группа Ли с нулевым центром и алгеброй Ли яи(3), то есть группа Ли 8и(3)/С(8И(3)).

а) Приведем формулы, задающие спектр лапласиана группы Ли 8И(3).

ба) Из формулы (14) получаем множество старших весов группы Ли 8и(3)

Л+(8и(3)) = {Л1ет1 + Л2ет2 | Л1? Л2 е 2 и Л1 > 0, Л2 > 0}.

7а) Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 е Л+(8и(3)), тогда го п. 4) собственное число А(Л) и размерность ¿(Л + в) вычисляются по формулам (12) и (13) соответственно, где

Vl = Л1 + 1, V2 = Л2 + 1, Vl, V2 е N.

8а) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратА

а(Л) = Ц +

V2 +^п+П2 =3-97А;

В § 2 статьи [2] при подсчете наименьшего по модулю ненулевого собственно-

4

го значения лапласиана была допущена ошибка, оно равно ——и соответствует

97

неприводимым комплексным представлениям группы Ли 8и(3) со старшими весами ^1 и ^2. Размерности этих представлений равны 3. Следовательно, кратность

4

собственного значения — — равна З2 + З2 = 18.

97

б) Приведем формулы, задающие спектр лапласиана группы Ли 8и(3)/С(8И(3)).

бб) Из формулы (15) получаем множество старших весов рассматриваемой группы Ли

Л+(8и(3)/С(8и(3))) = {(3П1 + П2)ет1 + П2ет2 | Пь П2 е 2 и П1 > 0, П2 > 0}.

76) Пусть Л = (3^1 + Й2)^1 + О2Ш2 е Л+(8и(3)/С(8И(3))), тогда из п. 4)

собственное число А(Л) и размерность ¿(Л + в) вычисляются по формулам (12)

и (13) соответственно, где Vl = 3^1 + ^2 + 1, V2 = ^2 + 1, Vl, V2 е N Vl > V2 и

v1 — v2 = 0(шоё 3).

86) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратность собственного значения А:

СГ(Л) = 7^)2 [г/,?(г/ + 7?)]2- (1?)

V2 +vц+ц2 =3-97Л; v>n? V—П—0(mod 3)

Сделав замену переменных {V = £ + 2-0, п = £ — ф}> получаем:

<Т(А) = XI [(^+ 2^)(^ - Ф)(2£ + Ф)]2- (18)

С2 +е^+^2 = 1—37Л; (

¿ем, ^еШ{0},£>^

Нетрудно проверить, что несмотря на то что определитель матрицы замены переменных V, п на переменные £, ф равен — 3, условия на V, п в формуле (17) равносильны условиям на £, ф в формуле (18).

Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно

---и соответствует присоединенному представлению группы Ли 8и(3)/С(8и(3))

7

со старшим весом ет1 + -ет2. Размерность этого представления равна 8. Следовательно. кратность собственного значения---------равна 82 = 64.

7

4. Вычисление спектра лапласиана группы С2

Группе Ли С 2 соответствует алгебра Ли д2 с системой корней С2 . Применяем табл. IX из книги [7]. Простыми корнями являются формы {«і = є і — Є2, «2 = — -2єі + Є2 + Єз}, при ЭТОМ Єї + Є2 + Є з = 0.

Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из § 4 [2].

1) Ь = 24.

2) =

3) Фундаментальные веса имеют вид: {еті = —Є2 + Єз, ет2 = —Єї — Є2 + 2єз}.

4) Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 Є Л+(д2), ще Лі, Л2 Є 2 и Лі, Л2 > 0. Вместо ет2 будем использовать ш = ет2 — еті, тогда Л + в = ^іеті + ^2ш^е ^і = Лі + Л2 + 2, ^2 = Л2 + 1, V., ^2 Є N V! > ^2. Собственное чпело А(Л), отвечающее старшему весу Л, равно

А(Л) = (іу{ + іуііуо + ¿4) ~ 7 . (19)

Размерность ¿(Л + в) неприводимого комплексного представления, отвечаЛ

й(А + /3) = + г/2)(г/і - + 2щ){2иі + г/2). (20)

5!

5) Указанные выше простые корни и фундаментальные веса алгебры Ли д2 задают решетки Л0(С2) и Лі(С2) соответственно, выразив корни через фундаментальные веса {«і = 2еті — ет2, «2 = 2ет2 — Зеті}, получим

Ло(^2) = { (2Фі — Ф2)еті + (2*2 — 3Фі)ет2 | Фь *2 Є 2},

Лі(С2) = {Ліеті + Л2ет2 | Лі,Л2 Є 2}. (21)

Пусть в - это линейное преобразование в : М2 ^ М2, заданное следующим образом: (Фі, Ф2) ^ (2Фі — Ф2, 2Ф2 — 3Фі). Тогда вследствие того, что в задается

целочисленной матрицей с единичным определителем, в является изоморфизмом решетки 22 на себя. Поэтому Л0(О) = Л1(С2^, решетка Л(О), удовлетворяющая соотношению (7), единственна и совпадает с Л1(С2). Из предложения 5 следует, что существует единственная группа Ли О = С2 с алгеброй Ли д2, причем она односвязна.

Таким образом, нужно вычислить спектр только для группы С2 с характеристической решеткой Л 1(02).

6) Из формулы (21) получаем множество старших весов группы Ли С2

Л+(С2) = {Л^1 + Л2^2 | Л1, Л2 £ 2 и Л1 > 0, Л2 > 0 }.

7) Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 £ Л+(С2), тогда го п. 4) собственное число А(Л) и

размерность ¿(Л + в) вычисляются по формулам (19) и (20) соответственно, где V! = Л1 + Л2 + 2, = Л2 + 1, V1, V2 £ N V! > V2 .

8) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем крат-

А

= (БУР ^ [г/??(г/ + ??)(?7-г/)(г/-|-2?7)(2г/+ ??)]“.

v2 + vn+n2 = 7—127Л; v,nеN,n>v

Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно

------И соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли С 2

27

со старшим весом ет1. Размерность этого представлепия равна 7. Следовательно,

кратность собственного значения--------равна 72 = 49.

27

5. Вычисление спектра лапласиана групп 8рт(5) и 80(5)

Группам Ли 8рт(5) и 80(5) соответствует алгебра Ли во(5) с системой корней В2 • Применяем табл. II из книги [7]. Простыми корнями являются формы {«1 = £1 — £2, «2 = £2}-

Приведем результаты вычислений в первых четырех пунктах, взятые из § 3 [2].

1) Ь = 6.

2) =

3) Фундаментальные веса имеют вид: {ш! = £1, то = ^(£1 + е2)}-

4) Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 £ Л+(во(5)), где Л1? Л2 £ 2 и Л1? Л2 > 0. Вместо ет1 будем использовать ш = ет1 — -ет2, тогда Л + в = v1w + v2ет2, где v1 = Л1 + + 1, v2 = Л1 + Л2 + 2, V;!, v2 £ N v2 > v1. Собственное число А(Л), отвечающее

Л

Х(А) = -^(^ + 4-5). (22)

Размерность ¿(Л + в) неприводимого комплексного представления, отвечаЛ

¿(А + /3) = ^1У11У2(^2 ~ ^1)^1 + щ)- (23)

5) Указанные выше простые корпи и фундаментальные веса алгебры Ли бо(5) задают решетки Л0(В2) и Л1(В2) соответственно следующим образом:

Ло(В2) = {Ф1«1 +^2«2 | ^1, ^2 £ 2}, Л1(В2) = {Л1Ш1 +Л2^2 | Л1, Л2 £ 2}. (24)

После замены переменных {Ф1 = ^1 + ^2, Ф2 = ^1 + 2^} и выражения корней через фундаментальные веса {«1 = 2^1 — 2^2, «2 = 2^2 — ^1} решетка Ло(В2) приобретает следующий вид:

Ло(В2) = {^1^1 + 2^2^2 | О1, ^2 £ 2}. (25)

Из формул (24) и (25) следует, что максимальная фундаментальная группа алгебры Ли во(5) равна Л1(В2)/Л0(В2) = 22, то есть имеет простой порядок, по-Л(О)

Л0(В2) и Л1(В2). На основании предложения 5 решетке Л1(В2) соответствует односвязная группа Ли с алгеброй Ли во(5), то есть группа Ли 8рт(5), а решетке Л0(В2) - неодносвязная группа Ли с алгеброй Ли во(5), то есть группа Ли 80(5). а) Приведем формулы, задающие спектр лапласиана группы Ли 8рт(5).

6а) Из формулы (24) получаем множество старших весов группы Ли 8рт(5)

Л+(8рт(5)) = {Л1ет1 + Л2ет2 | Л1,Л2 £ 2 и Л1 > 0,Л2 > 0}.

7а) Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 £ Л+(8рт(5)), тогда из п. 4) собственное число А(Л) и размерность ¿(Л + в) вычисляются по формулам (22) и (23) соответственно, где Vl = Л1 + 1, V2 = Л1 + Л2 + 2, V1, V2 £ N и V2 > Vl.

8а) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратА

= ТзТ)2 X ~ ^ ^ 2 •

( 52+П2=5 — 127Л;

5>п

Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно

5

-----н соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли

127

8рт(5) со старшим весом -ет2. Размерность этого представления равны 4. Следо-

5

вательно. кратность собственного значения — —— равна 42 = 16.

127

80(5)

80(5)

Л+(80(5)) = {^1^1 + 2^2^2 | ^1, ^2 £ 2 и ^1 > 0, ^2 > 0}.

76) Пусть Л = П1ет1 + 2П2ет2 £ Л+(80(5)), тогда из п. 4) собственное число А(Л) и размерно сть ¿(Л + в) вычисляются по формулам (22) и (23) соответственно, где V;! = П1 + 1, ^ = П1 + 2П2 + 2, v1, v2 £ N v2 > V;! и v2 — V;! = 1(шоё 2).

86) Применяя формулу (6) и результаты предыдущего пункта, получаем кратА

= ТзГ)2 ^ -»у)(ч + »?)]2- (26)

( !) 52+П2=5 — 127Л;

£>п, £—п=1(то^ 2)

Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно

2

-----н соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли

37

80 (5) то старшим весом ет1. Размерность этого представления равна 5. Следова-

22

тельно. кратность собственного значения-------равна 5“ = 25.

37

Замечание 5. Может показаться, что задание спектра лапласиана посредством следствия 5 полностью решает задачу о поиске спектра лапласиана, что имело место, например, в § 2 в случае групп Ли SU(2) и SO(3). Более глубокий анализ показывает, что в остальных случаях это не так (подробнее см. § 6 [2]). Некоторые вопросы, такие, как является ли указанное число собственным значением лапласиана и сколько старших весов отвечают одному и тому же собственному значению лапласиана, удалось решить для односвязных простых групп Ли ранга два в статье [2] с помощью теории бинарных квадратичных форм с целыми коэффициентами (и натуральными аргументами) и теории чисел. Тем же способом это можно сделать в случае неодносвязной группы Ли SU(3)/C(SU(3)), пользуясь формулой (18). В случае неодносвязной группы Ли SO(5) ответы на эти вопросы получить существенно сложнее из-за дополнительного ограничения на аргументы канонической бинарной квадратичной формы £2 + п2 в формуле (26), имеющего вид нетривиального сравнения £ — п = 1(mod 2).

Автор выражает благодарность научному руководителю, профессору Валерию Николаевичу Берестовскому за внимание и ценные замечания при написании настоящей статьи.

Summary

V.M. Svirkin. The Laplace Operator Spectrum on Connected Compact Simple Rank One and Two Lie Groups.

In the paper we suggest an algorithm for calculation of the Laplace operator spectrum for real-valued and complex-valued functions defined on a connected compact simple Lie group with a bi-invariant. Riemaiuiiaii metric. By means of the algorithm an explicit calculation of the spectrum is given for all connected compact simple Lie groups of rank one and two.

Key words: Laplace operator, spectrum. Lie group representation, highest weight.. Killing form.

Литература

1. Берестовский B.H., Соиркии В.М. Оператор Лапласа па однородных нормальных римаповых многообразиях // Матем. труды. 2009. Т. 12. Л'! 2. С. 3 40.

2. Берестовский В.Н., Соиркии В.М. Спектр оператора Лапласа па компактных одпо-

связпых простых группах Ли ранга два // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2009. Т. 151, 4. С. 15 35.

3. Дыпкип Е.Б., Опищик А.Л. Компактные группы Ли в целом // Усп. матем. паук. 1955. Т. 10, Л» 4(66) С. 3 74.

4. Адамс Дж. Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979. 144 с.

5. Поитрягии Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I III. М.: Мир, 1976. 496 с.

7. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV VI. М.: Мир, 1972. 334 с.

8. Cartan Е. Les groupes project.ifs qui lie laissent. invariant.e aucune multiplicity plane // Bull. Soc. Math. 1913. V. 41 P. 53 94.

Поступила в редакцию 25.01.10

Свиркин Виктор Михайлович аспирант Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Е-шаП: V svirkinem.ail.ru