CC BY
19
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.764.227^514.765^517.984.56^511
СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА КОМПАКТНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ПРОСТЫХ ГРУППАХ ЛИ РАНГА ДВА
В.Н. Берестовский, В.М. Свиркип
Аннотация
Излагается алгоритм вычисления спектра лапласиана для вещественных функций па компактной одпосвязпой простой группе Ли с биипвариаптпой римаповой метрикой. Устанавливается связь кривизны Риччи этой метрики с указанным спектром. Посредством этого алгоритма и использования результатов теории чисел и теории бинарных квадратичных форм с целыми коэффициентами даются явные вычисления спектра для всех компактных одпосвязпых простых групп Ли ранга два.
Ключевые слова: оператор Лапласа, спектр, представление группы, форма Кил-липга, кривизна Риччи.
Введение
В работе [1] изучается спектр оператора Лапласа на гладких вещественных функциях, определенных на компактных однородных нормальных римановых многообразиях. Показано, что это изучение в определенном смысле сводится к случаю одпосвязпых простых компактных групп Ли О с биинвариантной (то есть инвариантной относительно левых и правых сдвигов) римаповой метрикой и.
В последнем случае доказывается, что элементы каждого неприводимого (ортогонального) матричного вещественного представления г группы Ли О являются (вообще говоря, линейно зависимыми) собственными функциями лапласиана, отвечающими одному и тому же собственному значению Аг < 0. Некоторые из этих функций образуют базис ^ всех собственных вещественных функций лапласиана в том смысле, что каждая собственная вещественная функция f лапласиана представляется единственным образом в виде конечной линейной комбинации функций из ^ с постоянными вещественными коэффициентами.
Собственное число Аг выражается через размерпость йг представления г, размерность т группы Ли О, скалярное произведение v(e) та алгебре Ли д группы Ли О и ассоциированную с вещественным представлением р = ¿г(е) алгебры Ли д билинейную симметричную форму кр. Описание всех неприводимых вещественных представлений р алгебры Ли д посредством неприводимых комплексных представлений комплексной оболочки к вещественной простой алгебры Ли д получено в книге А.Л. Ошпцика [2] и излагается в статье [1]. Каждое неприводимое комплексное представление алгебры Ли к определяется своим старшим весом Л. Его размерность вычисляется через Л по известной формуле Г. Вейля; применение некоторых результатов из книги [3] позволяет также вычислить Аг через соответствующий старший вес Л и v(e). Эти формулы дают алгоритм вычисления спектра лапласиана для вещественных функций на (О, и). В качестве иллюстрации применения этого алгоритма в [1] вычисляется спектр лапласиана для вещественных
функций на группе Ли (Би(2), V), изометричной единичной евклидовой трехмерной сфере Б3.
Многие из результатов статьи [1] были известны ранее. Но статья [1] опирается лишь на простейшие результаты теории представлений групп и алгебр Ли. упомянутую формулу Г. Вейля для размерности представления алгебры Ли. немногие явно формулируемые результаты из книг [2 6]. Из книги К. Иосиды [4] нужны лишь две теоремы о спектре самосопряженного положительного неограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Используется также результат из [5], утверждающий, что сферические функции па компактной группе Ли О являются собственными функциями лапласиана и соответствующие собственные значения исчерпывают все ненулевые собственные значения лапласиана, и результат из [6]. утверждающий, что всякая сферическая функция есть частное от деления
О
на его вес. Поэтому статья [1] позволяет читателю легко и независимо от других источников ознакомиться с рассматриваемым кругом вопросов.
В настоящей статье показано, что изложение из статьи [1] можно упростить и что па самом деле упомянутые выше результаты из книг [2. 5. 6] не нужны. Точнее говоря, книга [2] нужна, чтобы доказать следствие 1.3 данной статьи, а уже это следствие позволяет обойтись без книги [2]. Кроме того, в настоящей работе предлагается более простой, чем в статье [1]. алгоритм вычисления спектра лапласиа-
О
с биинвариантной римановой метрикой V и устанавливается связь кривизны Риччи (эйнштейнова многообразия) (О, V) с этим спектром. Посредством предложенного алгоритма производятся явные вычисления спектра для всех простых компактных групп ранга два и устанавливается связь полученных формул с теорией чисел и целочисленными бинарными квадратичными формами.
1. План поиска спектра лапласиана компактной односвязной простой группы Ли
Рассмотрим компактную односвязную (связную) простую группу Ли G с биинвариантной римановой метрикой v. Множество Spec (G, v) всех собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами Д па гладких вещественных функциях, определенных на (G, v), с учетом кратности собственных значений, то есть размерности пространств соответствующих собственных функций, называется спектром, оператора Лапласа. Некоторые общие понятия и результаты об операторе Лапласа Бельтрами, его собственных значениях и собственных функциях на римановых многообразиях класса Cприведены в [1]. Далее lg (соответственно, rg) обозначает отображение lg : h £ G ^ gh £ G (соответственно, rg : h £ G ^ hg £ G); dg -
G
, определяемой римановой метрикой v.
G
раться па приводимые ниже теоремы из [1].
G v, r
cm,венное представление группы G размерности dr .Понимая r как некоторый гомоморфизм r : G ^ SO(dr) групп Ли, можно утверждать, что все функции rij : G ^ r(g)ij, i,j = 1,..., dr, являются собственными функциям,и оператора Лапласа Д на (G, v) с одним и тем же собственным значением Ar. Линейная оболочка Mr этих функций является прямой суммой некоторого числа kr,
1 < кг < ¿т, неприводимых пространств представления д : д е О ^ д(д) группы О (где д(д) сопоставляет каждой вещественной функции / на О функцию д(д)(/) := /о 1д-1), ограничение которого на каждое из них эквивалентно г. Число кг равн о ¿т, ¿т/2 или ¿т/4 в зависимости от типа неприводимого вещественного представления (теорема 3.57 в [7]): ит, гУп или гс'Шр соответственно, где Пт, Уп, Шр - некоторые неприводимые представления над ^ С Н соответственно, а г, гс' - операции овеществления представлений (см. [7, п. 3.5]). Выбирая
г
О
тельно стандартного скалярного произведения (•, •) на Ь2(О, ¿д) базис из кг¿т функций в Мт, получим полную в Ь2(О, ¿д) ортонормированную систему (из собственных функций оператора А).
Следствие 1.1. В обозначениях приведенной выше теоремы, получаем,, что
А
У^ кг ¿г, (1)
т:Хг = А
г
ОА
Доказательство теоремы 1.1. данное в [1]. использует в том числе упомянутые во введении результаты из книг [5] и [6]. Покажем, что полученные в [1] результаты позволяют обойтись без этого.
Доказательство. Пусть ЬЕ - компактная группа Ли, порожденная группами Ь := {1д, д е О} и Е := {гд, д е О}. Вследствие биипвариантности метрики и и
А
(О, и) (конечномерное) подпространство УА С Ь2(О, ¿д) всех (гладких) вегцествен-
АА
ЬЕ
Уа := ©П=1Ч;
ЬЕ
рия в пространства (О, и) действует на / е УА то формуле в(/) = / о е-1.
Далее в теореме 4.2 из [1] доказано, что для каждой прямой ортогональной
д
дд гаемом Еа,;,® действия дА,г,г попарно эквивалентны (так что Еа,;^ имеют одну и туже размерность ¿А,;, а д^;^ можно обозначить прост о через дА,;), и к(А, I) < ¿А,;. При этом УА,; совпадает с прострапством МеАг матричных элементов представления дА,; • Как следствие, (неприводимые) представления дА,; и дА,;' не эквивалентны, если I = /', так как характеры этих двух представлений х(дА,;), х(дА,;'), содержащиеся соответственно в М^А г = УА,;, М^А ' = УА,;', будут ортогональны.
г:
0 ^ ) эквивалентно одному из представлений вида дА,;. Иначе, пользуясь леммой Шура [8, с. 224], аналогично доказательству формулы (6) из теоремы 29 в [8] можно показать, что произвольный матричный элемент (г(д))я4, д е О,
1 < < ¿т представлепия г ортогонален любому матричному элементу представления дА,; при всех (А, I). Но собственные функции оператора А образуют
полную систему в L2(G, dg) (см. [1]). Тогда из сказанного выше следовало бы, что все функции (r(g))st, g £ G, 1 < s,t < dr тождественно равны нулю, чего не может быть. □
Предложение 1.1. Для всякой компактной связной односвязной простой G
rG
мыми линейными вещественными представлениями р ее касательной алгебры Ли g. Это соответствие определяется формулой р = dr(e).
Определение 1.1. Билинейная (симметричная) форма кр на алгебре Ли g, заданная формулой
кр(и, v) = trace (p(u)p(v)), u,v £ g,
называется формой, ассоциированной с представлением р. Форма kad, где ad (u)(v) := [u, v] - присоединенное представление алгебры Ли g, называется фор-
g.
G
g
ad
ставлепия р алгебры Ли g форм а кр отрицательно определена и пропорциональна
v.
(G, v)
m -мерная группа Ли с биинвариантной римановой метрикой v, то в условиях и
1.1
m
Ar v(e) = — kp, (2)
где р = dr (e).
(G, v) m
группа Ли с биинвариантной римановой метрикой v, то тензор Риччи Ric про-(G, v)
Ric = 1 Aa^ v(e). (3)
ric (G, v)
ric= - 4 AAd. (4)
(G, v)
на. Достаточно доказать формулу (4). Хорошо известно, что при данных предположениях секционная кривизна K(X, Y) пространства (G, v) в направлении двумерной площадки, определяемой парой {X, Y} единичных взаимно ортогональных векторов X,Y £ (g, v(e)) = (Ge,v(e)), равна
1 1 1 2
K(X,Y) = 4v(e)([X,Y], [X, Y]) = -4v(e)([X, [X, Y]], Y) = -4v(e)(ad2X(Y), Y).
Кривизна Риччи ric(X) = Ric(X, X) в направлении единичного вектора X £
m
£ (g, v(e)) то определению рав на ^^ K (X, X¿), где (Xi = X, X2,.Xm) - произ-
i=2
вольный ортонормированный базис в (g,v(e)). Следовательно,
mm
ric(X) = ]Т K (X,Xi) = - v(e)(ad2X (Xi),Xi) = - - kad(X,X).
i=2 4 i=i 4
С учетом формулы (2) и равенства dad = m получаем равенство ric(X) = - - AAáv(e)(X,X) = - - Ада,
что доказывает (4). □
Применяя последовательно теорему 1.2 и предложение 1.2, получаем Следствие 1.2. Если в условиях теоремы 1.2 положить v(e) = -kad, то
Ада = -1, ric = —. (5)
Результаты из книги [2], где дается классификация всех неприводимых вещественных представлений вещественных простых алгебр Ли и указывается, к какому из трех упомянутых выше типов относится каждое такое представление, вместе с теоремой 1.1 и предложением 1.1 дают весьма эффективный метод вычисления чисел kr, dr и Аг для неприводимого вещественного представления r компактной простой односвязной группы Ли. Приведем теорему, которая предоставляет способ вычисления Аг и dr через старший вес представления r, но прежде изложим необходимые для наших дальнейших вычислений сведения и результаты из [2]. Э. Картан доказал следующее утверждение.
Предложение 1.3. Любая комплексная полупростая алгебра Ли k допускает единственную с точностью до изоморфизма компактную вещественную форму g, причем g полупроста, и проста тогда и только тогда, когда k проста. Обратно, если g (полу)простая компактная вещественная алгебра Ли, то k
Подалгебра Картана комплексной алгебры k определяется как нильпотентная kk что алгебра k проста и t - некоторая ее подалгебра Картана.
Опуская детали, скажем, что система Г веет корней алгебры Ли k является некоторым подмножеством пространства t* всех С-линейных отображений из t в С, и t* совпадает с С-лпнейной оболочкой (Г)с множества Г. Некоторым естественным образом определяются подсистемы Г+ с Г положительных корней и П = {«i,...,«;} с Г+ положительных (линейно независимых) простых корней.
t
t(R) = {h £ t | a(h) £ R для всех а £ Г}. (6)
Тогда t(R) - вещественна форма алгебры Ли t,n (Г)к = t(R)* можно рассматривать как вещественное дуальное пространство к t(R). Ограничение формы Ки-лпнга k = kk = (•, •) на t(R) вещественно и положительно определено, так что пара (t(R), (•, •)) является вещественным евклидовым пространством.
Для любого комплексного представления р : к ^ 01(У) имеется разложение
в прямую сумму весовых подпространств
У = 0 У-
а£ф р
где Фр С 1(М)* - система весов для р, то есть ковекторов, для которых подпространство
Уа = {V е У | р(Ъ)(«) = а(Ъ)(«), ъ е 1} = 0.
Отметим, в частности, что Фаа = Г и {0}.
Удобно перенести форму (•, •) та дуальное прострапство I*. Рассмотрим изоморфизм векторных пространств п ^ «п, определенный формулой
(«п,ъ)= п(ъ), ъ е I, (7)
он отображает 1(М)* на 1(М). Теперь мы определяем невырожденную форму на I* по формуле
(П,М) = (мп,мм)= П(им) = М(мп)' е **. (8)
Эта форма вещественна и положительно определена на 1(М)*. Определим также вектор
Ъ = 2
ъа / ч иа
(а, а)
для любого ненулевого а е 1(М)*. В частности, векторы Ъа, а е Г называются кокорнями. Пусть Ъ = Ъа, г = 1,..., I. Тогда эти векторы образуют базис пространства 1(М), а линейные формы -ет^ ..., составляющие дуальный базис пространства 1(М)*, называются фундаментальными весами.
Старший вес Л е Фр неприводимого комплексного представления р комплексной простой алгебры Ли к можно определить условием, что всякий вес ш е Фр можно представить в виде Л — а^ — • • • — , где з > 0 и 1 < гт < I, если
;
1 < т < з'. Известно, что тогда Л = где Л^ = Л(Ъ^) е ^ и Л^ > 0 для всех
¿=1
г = 1,..., I. Обратно, всякий элемент Л е 1(М)* с этими свойствами является старшим весом некоторого неприводимого комплексного представления алгебры Ли к. При этом неприводимое комплексное представление алгебры Ли к с точностью до
Л
Предложение 1.4. Пусть к - комплексная оболочка вещественной простой
алгебры Ли 0. Тогда ограничение р|п каждого неприводим,ого комплексного линей-
10
ного представления р алгебры Ли к в пространстве У на алгебру Ли 0 определяет неприводимое вещественное представление алгебры Ли 0 ро. При этом класс представления р0 однозначно определяется старшим весом Л представления р. ро
утверждение. Представлению р0 комплексного типа отвечают два различных Л Л'
Теорема 1.3 [1, теорема 5.2]. Предположшм, что биинвариантная рилшнова метрика и на компактной односвязной (связной) группе Ли О = От определяется скалярным произведением и(е) = — каа (минус формой Киллинга) на 0. Пусть задано неприводимое вещественное линейное представление г : О ^ ОЬ^Т, М)
группы Ли С, р0 = ¿т(в) : 0 ^ д1(<^г, М) - соответствующий гомоморфизм касательных алгебр Ли (то есть вещественное неприводим,ое линейное представление алгебры Ли д), являющееся ограничением на 0 некоторого неприводимого комплексного представления р комплексной оболочки алгебры Ли д со старшим весом Л. Тогда для соответствующего собственного значения лапласиана А на (С, V) получим равенства
где
а
хг = -[(Л + в, л + в) - (в, в)], (9)
в =1 £ (10)
аег+
dr =d.mРо(Л) = U ((fOH = JI+ ^ (И)
если р0 имеет вещественный тип, и
dr = dimро(Л) = 2 П ((Л4 + А (12)
aer+ \(в'а) /
в противном случае.
Если v(e) = —jka,i, то все чиаш в формуле (9) нужно умножить на 1/7, а все остальное оставить без изменений.
Теорема 1.4. Пусть G - компактная односвязная (связная) простая группа Ли с биинвариантной римановой метрикой v = —jkad- Тогда кратность собственного числа Л лапласиана Д на (G, v) равна
Е П ((Л-аИ2. <«»
Л: Л(Л)=7Л а£Г+ V ' 7
Л(Л) (9) Л
водимых комплексных представлений комплексной оболочки алгебры Ли g группы Ли G, удовлетворяющие равенству Л(Л) = 7Л.
Доказательство. Из формулы (1) следует, что доказательство утверждения сводится к проверке равенства
Е м- = Е П(Ш + 1)2' (14)
т:Лг = Л Л: Л(Л) = Л а£Г+ ' 7
Для доказательства (14) достаточно построить взаимно-однозначное соответствие равных групп слагаемых этих сумм.
Рассмотрим r - элемент класса эквивалентности неприводимых вещественных представлений группы Ли G. Из теоремы 3.57 книги [7] следует, что r является представлением одного из типов: Um, rVn или rc'Wp. Из предложения 1.4 получаем искомое взаимно однозначное соответствие групп слагаемых равенства (14). 1. Слагаемому kr dr , где r имеет тип Um, соответствует единственное комплекс-
Л
k-d-=d2 =п (М+1"
аег+ '
что совпадает со слагаемым в правой части равенства (14). отвечающим старшему весу Л.
2. Слагаемому kr dr, где г имеет тип rVn , соответствуют два неприводимых комплексных представления равных размерностей со старшими весами Л и Л'. При этом А(Л) = А(Л') [1]. Из теорем 1.1 и 1.3 следует, что
kr dr = f = 2 П (+ =
что совпадает с суммой двух слагаемых правой части равенства (14), отвечающих Л Л'
3. Слагаемому kr dr, где г имеет тип rc'Wp, соответствует единственное ком-
Л
kr dr=d2=п ( ш-;
что совпадает со слагаемым в правой части равенства (14), отвечающим старшему-весу Л. □
Следствие 1.3. Спектры, лапласиана для пространств комплексных и вещественных функции, на компактной связной односвязной простой группе Ли G с биинвариантной рилшновой метрикой совпадают.
Известно, что старшим весом присоединенного представления ad комплексной оболочки алгебры Ли g является максимальный по высоте (сумме компонент разложения на простые корпи) корень, обозначаемый в [9] как а. На основании теорем 1.1, 1.3, 1.4 и следствия 1.2 сформулируем правило вычисления спектра
G
использование табл. I-IX из [9] (в которых р обозначает вектор в)-
Следствие 1.4. Для вычисления спектра лапласиана односвязной компактной простой группы Ли G с биинвариантной римановой метрикой v с условием v(e) = — Ykad нужно:
1) вычислить выражение b = (а + в, а + в) — (в, в) ? предполагая, что относительно скалярного произведения (•, •) (на t(R)) векторы £j из соответствующей таблицы в [9] взаимно ортогональны и единичны, где а - старший (максимальный) корень;
2) взять скалярное произведение (•, •) = -(•, •);
b
3) найти фундаментальные веса ет1;..., ет; алгебры Ли g группы Ли G (если g имеет ранг l) по соответствующей таблице из [9];
4) для каждого старшего веса Л = ^^Л^ет^, где Л^ G Z и Л^ > 0, вычислить
i=i
А(Л) Л
формуле (9), деленной на 7.
5) для каждого старшего веса Л вычислить размерность + в) неприводи-
g
Л (11)
6) найти кратно сть а (А) каждого собственного з начения А, применяя фор-(13)
Таким образом, получаем спектр Spec (G, v).
Замечание 1.2. В формулах (11) и (13). применяемых в п. 5) и п. 6) следствия 1.4, вместо (•, •) можно использовать любое пропорциональное ему скалярное произведение, в частности (•, •} из п. 1) следствия 1.4.
Ниже, используя следствие 1.4, найдем спектры групп 8и(3), 8рт(5) и С2-
2. Вычисление спектра группы 8И(3)
Группе Би(3) соответствует система корней А2 . Применяем табл. I из [9]. Простые корни имеют вид: {«1 = £1 — £2, «2 = £2 — £3}; а = в = + «2 = £1 — £з-
1) Ь = (а + в, а + в} — (в, в} = 3(5, а} = 6 = 3!
2) (•, 0 = 1 (•, •}•
3) Фундаментальные веса имеют вид: {^1 = (2£1 — (£2 + £з))/3, ^2 = (£1 + £2 — 2£з)/3} . Удобно работать с фундаментальными весами. Находим, что
а1 = 2^1 — ^2, а2 = 2^2 — а = в = +
(Ш1, = 1 • 3, (Ш1, ГО2) = 6 • 3, (^2, ^2) = 1 • 2.
Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 , где Л1? Л2 £ ^ и Л1? Л2 > 0. Тогда Л + в = (Л1 + 1)^1 + (Л2 + 1)^2 = + ^2^2,
=Л1 + 1, ^2 =Л2 + 1, ^1,^2 £ N.
4) Найдем собственное значение А(Л), соответствующее старшему весу Л, разделив на 7 правую часть формулы (9):
А(Л) = — -Ц(Л + в, Л + в} — (в, в}] =
67
= — т1 [(^1^1 + ^2^2, + ^2^2} — (^1 + ГО2, + ^2}] =
67
^ (3^ + 2^2 + 2^ — 2) = — ^ N + ^ + ^ — 3] .
Таким образом,
А(Л) = — 9- [(^2 + ^2 + ^2) — 3] . (15)
5) Теперь вычислим размерность ¿(Л + в) представлепня р(Л), отвечающего Л
¿(Л + в) = (^1^1 + 2^1 — ^2) (^1^1 + ^2^2, 2^2 — ^1) х
(^1 + ^2, 2^1 — ^2) (^1 + ^2, 2^2 — Ю1)
(^1^1 + ^2^2,^1 + ^2) (^1 + + ^2)
следовательно,
¿(Л + в) =2 ^2^1 + (16)
6) Применяя формулу (13) и полученные до этого результаты, находим
1
(2
(Д) = ^ Е [ип(и + П)]2. (17)
^2 + ^п+п2=3-97Л;
Наименьшее по модулю ненулевое собственное значение лапласиана равно —2/(97) и соответствует неприводимым комплексным представлениям группы Ли 8и(3) со старшими весами и ет2. Размерности этих представлений равны 3. Следовательно, кратность собственного значения —2/(97) равна 32 + 32 = 18.
3. Вычисление спектра группы 8рт(5) = Эр(2)
Группе 8рт(5) соответствует система корней В2. Применяем табл. II из [9]. Простые корни имеют вид: {а1 = £1 — £2,а2 = £2}; а = а1 + 2а2 = £1 + £2-Дополнительный положительный корень а = а1 + а2 = £1. Сумма положительных
корней равна 2в = 3£1 + £2, так что в = ^(3^ + £2), ® + в = ^(5^ + 3£2).
1) Ь = (а + в, а + в) — (в, в) =6 = 3!
2) (•, •) = !(•, •).
3) Фундаментальные веса имеют вид: {ет = £1, ет = (£1 + £2)/2}. Вместо будем использовать ш = — = (£1 — £2)/2. Тогда
1 1 1 1
(ш,ш) = 6 • 2, (ш,ет2) = 0, (ет2,ет2) = 6 • 2,
а1 = 2ш, а2 = — ш, а = + ш, а = 2ет2, в = ш + 2ет2. Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 , где Л1, Л2 е ^ и Л1, Л2 > 0. Тогда
Л + в = (Л1 + 1)ш + (Л1 + Л2 + 2)ет2 = + 6^2, £1 =Л1 + 1, £2 =Л1 +Л2 + 2, £ь£2 е М, £2 >£1.
4) Далее,
А(Л) = — + £2^2, + £2^2) — (ш + 2ет2,ш + 2^)) = —1 • ^(Й + £| — 5).
67 6 27
Таким образом.
1
127
5) Имеем:
А(Л) = — — (£2 + £2 — 5). (18)
,/Л , а, (£1ш + £2^2, 2ш) (£1ш + £2^2,^2 — ш)
а(Л + в) = тт;-~—г~ • ""77;-Г" х
(2ет2 + ш, 2ш) (2ет2 + ш, ет — ш)
(£1ш + £2^2, + ш) (£1ш + £2^2, 2ет2)
(2ет2 + ш, + ш) (2ет2 + ш, 2^2) '
следовательно,
¿(Л + в) = 3 £1£2(£2 — £1)(£1 + £2). (19)
6) Наконец, вычисляем
(3!
= ^ Е - п)(£ + п)]2. (20)
£2+П2=5-127А;
Наименьшее по модулю ненулевое значение лапласиана равно -5/(127) и со~ ответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли 8рт(5) со старшим весом ет2. Размерность этого представления равна 4. Следовательно, кратность собственного значения -5/(127) равна 42 = 16.
4. Вычисление спектра группы С2
Группе С2 соответствует система корней С2. Применим табл. IX из [9]. Простые корни имеют вид: {«1 = £1 — £2, «2 = — 2£1 + £2 + £3}; а = = —£1 — — £2 + 2£з . Остальные положительные корни имеют вид:
«1 + «2 = —£1 + £3, ГО1 = 2«1 + «2 = —£2 + £3, 3а1 + «2 = £1 — 2£2 + £3. Кроме того,
в = —£1 — 2£2 + 3£3, а + в = ®2 — £1 — 2£2 + 3£3 = —2£1 — 3£2 + 5£3.
1) Ь = (а + в,а + в) — (в,в) =4!
2) (•, 0 = 1 (•, •).
3) Фундаментальные веса указаны выше.
Вместо будем использовать ш = — = —£1 + £3 = а1 + а2 . Тогда
2 12
(ГО1,ет1)=4у, (ш,ет1) = 4!, (ш,ш) = 4!,
а1 = ет 1 — ш, а2 = —+ 2ш, а1 + а2 = ш, 2а1 + а2 = 3а1 + а2 = 2ет1 — ш, а = 3а1 + 2а2 = ет + ш, в = 2ет1 + ш. Пусть Л = Л1ет1 + Л2ет2 , где Л1? Л2 £ ^ и Л1? Л2 > 0. Тогда
Л + в = (Л1 + Л2 + 2)ет1 + (Л2 + 1)ш = + ^2ш,
=Л1 + Л2 + 2, ^2 =Л2 + 1, ^1,^2 £ М, >^2.
4) Собственное число А(Л) имеет вид
А(Л) = — ^[(Л + в, Л + в) + (в, в)] = — ^[(^1^1 + ^2ш, + ^2ш) — (в, в)], 7 7
следовательно,
А(Л) = — ^ (V? + ^1^2 + V2 — 7). (21)
5) Вычисляем размерность ¿(Л + в) • Имеем:
^^ + V2ш,етl — ш) ^^ + V2ш, 2ш — ^1) + V2ш,ш)
а(Л + в) = —77-ч— • —77-^-ч— • —77-ч— х
(2ет1 + ш, — ш) (2ет1 + ш, 2ш — ет1) (2ет1 + ш, ш)
+ V2ш,етl) + V2ш, 2ет1 — ш) + V2ш,етl + ш)
(2ет1 + ш, ^1) (2ет1 + ш, 2ет1 — ш) (2ет1 + ш,ет1 + ш) '
откуда
¿(Л + в) = 1 ( vi - ^2)^2(^1 + 2v2)(2VI + v2)vi(vi + V2). (22)
5!
6) Кратность равна
а(Д) = ^ Е [vn(v + n)(n - v)(v + 2n)(2v + n)]2. (23)
Наименьшее по модулю ненулевое значение лапласиана равно —1/(27) и соответствует неприводимому комплексному представлению группы Ли G 2 со старшим весом Размерность этого представления равна 7. Следовательно, кратность собственного значения — 1/(2y) равна 72 = 49.
5. Размерность, диаметр и радиус инъективности
Предложение 1.2 говорит о том, что в рассматриваемых случаях одна из геометрических величин риманова многообразия, кривизна Риччи rie, прямо выражается через спектр лапласиана. Известно, что это верно также для размерности и объема. Поэтому уместно привести здесь данные о трех других геометрических величинах рассматриваемых многообразий, а именно, размерности dim, диаметре diam и радиусе инъективности i. В статьях [10, 11] вычислены diam и i для компактных неприводимых симметрических пространств (являющихся эйнштейновыми многообразиями) в случае rie = 1/2. Всякая группа Ли G с биинвариантной римановой метрикой v является симметрическим пространством, неприводимым, если группа
G
diam i
когда v (e) = —kad. Как говеет но, dim(G) = dim(g) равно сумме ранга и числа всех корней алгебры Ли g. В результате получаем следующие величины:
I. SU(3) : dim = 8, diam = 4п, i = 2^3п.
II. Spin(5) : dim = 10, diam = 2%/бп, i =
8
III. G2 : dim = 14, diam = n, i = 4n.
3
6. Промежуточные итоги и новые вопросы
Может показаться, что мы полностью решили задачу о спектре лапласиана (для вещественных и комплексных функций) на компактных односвязных простых
Gv глубокий анализ показывает, что это не так. При решении указанной задачи мы должны последовательно (и реально!) решить следующие частные задачи.
1) Является ли данное отрицательное число А собственным значением лапласиана?
Л
А(Л) = А.
Л
¿(Л + в).
4) После того, как решены задачи 1) и 2), нужно вычислить кратность <г(А)
А
5) Кроме того, чтобы гарантировать, что в п. 2 мы нашли все решения уравнения (24), весьма желательно заранее знать число таких решений.
Из предыдущего рассмотрения ясно, что решение задачи 3) не вызывает никаких затруднений. Заметим попутно, что функция •), определенная на 1(К), является произведением линейных функций: число линейных сомножителей равно числу положительных корней: функция равна нулю на каждой прямой, ортогональной одному из этих корней; при этом значение ¿(а + в) равно размерности рассматриваемой алгебры Ли д. Этими условиями функция ¿(-) определяется однозначно, что существенно облегчает ее вычисление. Эти утверждения с заменой прямых на гиперплоскости верны для всех простых алгебр Ли.
Ясно, что никто не будет предъявлять нам явно всех решений уравнения (24), так что мы не будем обсуждать задачу 4). То же справедливо и для задачи 2). Конечно, если бы это было возможно, имело бы смысл найти решение следующей сверхзадачи, которая снимала бы все предыдущие вопросы:
6) Найти кратность <г(А), не зная решений задач 1) и 2).
Мы не знаем решения этого вопроса, и, скорее всего, его и не существует.
Далее будут рассматриваться оставшиеся две задачи, а именно задачи 1) и 5). В частности, будут даны полное решение задачи 1) для всех изучаемых групп и задачи 5) для группы 8рт(5) в предположении, что известно решение основного вопроса теории чисел: вопроса о разложении натурального числа на простые множители. Правда, стоит заметить, что отсутствие практической возможности такого разложения для (очень) больших чисел является одной из основных причин существования науки криптографии и ее практических приложений.
Средства для решения задач 1) из) дают имеющиеся в теории чисел классические решения следующей задачи:
7) Задача представления натуральных чисел значениями положительно определенных (бинарных) целых квадратичных форм на целочисленных двумерных векторах.
До того как применить эти средства, необходимо дать итоговую формулировку результатов предыдущих трех разделов, связанных с вопросами 1) и 5), и на основании этого конкретно сформулировать возникающие варианты задачи 7). Нетрудно понять, что задачи 1) и 5) достаточно решить в случае 7 =1 (см. следствие 1.4) что мы и будем далее предполагать.
Предложение 6.1. Пусть (С, V) - одна из следующих групп: а) 8рт(5), б) Эи(3), в) С2 с биинвариантной римановой метрикой V такой, что v(e) = — каа. Тогда число А < 0 является собственным значением лапласиана в том и только том случае, когда существует вектор (ж, у) с натуральными координатами такой, что выполняются соответственно следующие условия:
а) ж2 + у2 =5 — 12А у > ж,
б) ж2 + жу + у2 = 3 — 9А,
в) ж2 + жу + у2 = 7 — 12А, ж > у.
1)
А < 0
б) или в) (правая его часть автоматически должна быть некоторым натуральным числом к, где в зависимости от рассматриваемого случая а) к > 5,6) к > 3 или
в) к > 7) натуральные решения-векторы (ж,у), удовлетворяющие дополнительно
у > ж ж > у
5)
к
7. Целочисленные бинарные квадратичные формы
В этом раздело приводятся все необходимые сведения о (классических) решениях задачи 7), применяемых в следующем разделе для решения поставленных нами конкретных задач теории чисел (см. предыдущий раздел). Практически все сведения даются по книге Э. Ландау [12]. Поэтому параллельно дается и широко используется нумерация определений, теорем и следствий согласно этой книге.
Определение 7.1 [12, определение 32]. Если a, b и c являются целыми числами, то выражение
F = F (ж, у) = ax2 + bxy + cy2
называется бинарной квадратичной формой, или для краткости формой. Будем использовать следующее обозначение: F = (a, b, c). Дискриминантом формы называется число d = b2 — 4ac. Форма F = (a, b, c) называется примитивной, если НОД (a, b, c) = 1.
Всегда выполняется сравнение d = 0(mod 4) или 1(mod 4). Форма F = (a, b, c) положительно определена тогда и только тогда, когда a > 0 и d < 0. Далее будем рассматривать главным образом примитивные положительно определенные формы. Ясно, что для любого целочисленного ненулевого вектора (ж, у) число F(ж, у) = k является положительным целым (то есть натуральным) числом; в этом случае вектор (ж, у) можно понимать как решение диофантова уравнения F(ж,у) = k для фиксированного числа k е N. Нас будут интересовать только такие решения.
Определение 7.2 [12, определение 35]. Будем говорить, что F(ж, у) = k
kF
ленного вектора (ж, у)), если НОД (ж, у) = 1, и несобственным, если ПОД (ж, у) > >1
Следующие теоремы дают число представлений числа k формой F-4 = ж2 + у2.
k
ставлено в виде суммы двух квадратов
k = ж2 + у2 (25)
тогда и только тогда, когда k не имеет никакого простого делителя p с условием p = 3(mod 4), входящего в его разложение на простые множители в нечетной степени.
k
такого, что диофантово уравнение (25) имеет решение, число решений уравнения (25) равно учетверенной разности количеств (натуральных) делителей d числа k вида d = 1(mod 4) и делителей d числа k вида d = 3(mod 4).
Если
U=(s U)е GL(2,Z)
(то есть U — матрица с целочисленными элементами и определителем det(U) = ±1) и (ж, у) = (X, Y)U, то легко доказать, что
F(ж, у) = F'(X, Y), F' = (a', b', c') е Z3.
Определение 7.3 [12, определение 33]. Будем говорить, что форма ^ = = (а, Ь, с) является (собственно) эквивалентной форме ^' = (а/, Ь', с'), если существует матрица и е СЬ(2, 2) (соответственно, и е 5Х(2,2)) такая, что ^ переводится в ^' описанным выше способом.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 7.3 [12, теоремы 191—194)]. (Собственная) эквивалентность бинарных квадратичных форм является рефлексивным, симметричным, и транзитивным от,ношением,. Если форма ^ = (а, Ь, с) эквивалентна форме ^' = = (а', Ь', с'), то ¿' = Ь'2 — 4а'с' = ¿и аа' > 0.
Теорема 7.4 [12, теорема 195]. Эквивалентные формы представляют одни и те -лее числа. Более точно, (конечное) количество представлений заданного числа к е N формами, то есть число решений соответствующих диофантовых уравнений, одно и то -лее.
Теорема 7.5 [12, теорема 196]. Каждый класс (собственно эквивалентных форм) содержит форму, для которой
Теорема 7.6 [12, теорема 198]. Если d < 0, то каж^дый класс (собственно эквивалентных форм) содержит, ровно одну форму, для которой — a < b < a < c или 0 < b < a = c.
Из этих теорем следует, что число классов собственно эквивалентных форм с фиксированным дискриминантом d, так называемое число класса h(d), конечно. Более того, теорема 198 из [12] позволяет, в принципе, вычислить число класса h(d) для положительно определенных форм с d < 0. Из этой теоремы можно непосредственно вывести следующее утверждение.
Следствие 7.1. Для положительно определенных форм h(—3) = 1 и h( —4) = = 1. Соответствующие (так называемые сокращенные) формы это y) =
= x2 + xy + y2 и F_4 (ж, y) = x2 + y2.
Из этого следствия и теорем 203 и 204 из [12] вытекает следующая теорема.
Теорема 7.7. Пусть к - натуральное число, d = —3 (соответственно, d = — 4) и ПОД (к, d) = 1. Тогда чиело ф(к) представлений числа к формой F-3(x,y) = x2 + xy + y2 (соответственно, F-4(x,y) = ж2 + y2) конечно, и его значение находится из равенства
где w = 6 (соответственно, w = 4), n|k означает, что n - делитель числа к, а
Напомним определение символа Кронекера только для d = —3. Определение 7.4. (Символ Кронекера) (ниже р всегда обозначает простое
число). Пусть п - натуральное число. Тогда понимается в следующем
|b|<H<M-
(26)
с им в ол Кр о не кера.
/-3\ /—3\
смысле: —— = — 1; — = 1 (соответственно, — 1) для р > 3, если сравне-V 2 / V Р /
пне х2 = —3(шоё р) имеет (соответственно, не имеет) целочисленного решения ж;
— 3\ V / _3\ V
— = П — для п = П рг (в частности, равно 1 для п = 1). п ) Г=Л Рг / г=1
Теорема 7.8 [12, теорема 201]. Пусть F(ж, у) = к является собственным представлением натурального числа к. Тогда существует единственный способ выбора целых чисел г, в, I, удовлетворяющих условиям
ж r
у s
1,
у s
l2 = d(mod 4k), 0 < l < 2k. (27)
и F переходит в форму (k, l, m) посредством преобразования ^ ^ , где m -
число, которое в соответствии с (27) определяется равенством I2 — 4km = d.
В случае собственных представлений может быть полезна следующая теорема, которая вытекает из следствия 7.1 и теорем 201, 203 из [12].
Теорема 7.9. Количество собственных представлений
ж2 + жу + у2 = k (28)
k
l2 = —3(mod 4k), 0 < l < 2k. (29)
(k, 3) = 1.
Предложение 7.1. Если k = 32rm или k = 32r+1m, g(?e r является нату-(3, m) = 1, k
формой (28). Более того, любое решение (ж, у) диофантова уравнения (28) имеет вид (ж,у) = 3r(X, Y), где (X,Y) е Z2 u F-3(X,Y) = ^«F_s(X,Y)=3m.
k
вид l2 = —3(mod 4(32rm)) или l2 = —3(mod 4(32r+1m)). Тогда l = 3s для некоторого натурального числа s, и получаем, сокращая на 3, что 3s2 = —1(mod 4(32rm)) или 3s2 = —1(mod 4(32rm)), что невозможно. Из теоремы 7.9 следует, что k не имеет собственного представления формой (28). Используя теорему 7.9, можно легко доказать второе утверждение предложения индукцией по числу делителей в разложении на простые множители числа k. □
Замечание 7.1. Теорема 7.7 и предложение 7.1 показывают, что ответ на во-
k
k
ни. В остальных случаях все сводится к случаю, когда k = 3m и НОA(m, 3) = 1. Тогда отношения (29) принимают следующий вид:
I2 = —3(mod 12m)), 0 < l < 6m. (30)
Число шесть (соответственно, четыре), появляющееся в теоремах 7.7 и 7.9 (соответственно, в теоремах 7.7 и 7.2), связано с тем фактом, что целочисленные
решетки, определенные базисом для 8и(3) и {ет^^} для С2 (соответ-
ственно, базисом ^2} для 8рт(5)), являются регулярными шестиугольными решетками (соответственно, квадратной решеткой), и поэтому эти решетки имеют циклическую группу поворотных снмметрнй порядка шесть (соответственно, четыре). Заметим, что если к те имеет делителя вида п2, где п > 1, то диофантово уравнение (28) не имеет несобственных решений.
Отметим книги по теории чисел и теории квадратичных форм [13 18], посвященные вопросам, близким к рассматриваемым в настоящей работе.
8. Заключение
Теорема 8.1. Пусть О = Брт(Б) с биинвариантной римановой метрикой V такой, что V(е) = —каа. Тогда верны следующие утверждения.
I) Число А < 0 является собственным значением лапласиана на (О, V) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) 12А является целым (неположительным) числом;
2) натуральное число к = 5 — 12А представимо в виде суммы квадратов двух различных натуральных чисел.
2)
щие условия:
3) к не имеет никакого простого делителя р с условием р = 3(шоё 4), входящего в его разложение на простые множители в нечетной степени;
4) если к = п2 или к = 2п2, то дополнительно ф(к) > 1, где ф(к) равно разности количеств (натуральных) делителей ¿числа к вида й = 1(шоё 4) и делителей йчисла к вида й = 3(шоё 4).
III) Пусть верны все перечисленные выше утверждения. Тогда число старших векторов А таких, что А(Л) = ^^ко (ф(к) — 1)/2, если к = п2 или к = 2п2 для некоторого натурального числа п, и ф(к)/2 в противоположном случае.
Доказательство. Утверждение I) является вариантом соответствующей задачи 1) из разд. 6. Утверждения II) и III) непосредственно следуют из теорем 7.1 и 7.2 соответственно, так как мы должны подсчитывать только целочисленные векторы-решения (х, у) уравнения (25), лежащие в секторе у > х > 0, а в декартовых прямоугольных координатах ортогональные отражения относительно прямых х = 0, у = 0, у = х, У = —х дают для каждого такого решения еще семь решений: при этом нужно отбросить все решения уравнения (25), лежащие на этих прямых. □
Теорема 8.2. Пусть О = 8и(3) с биинвариантной римановой метрикой V такой, что V(е) = —каа. Тогда верны следующие утверждения.
I) Число А < 0 является собственным значением лапласиана на (О, V) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) 9А является целым (неположительным) числом;
2) натуральное число к = 3 — 9А представимо в виде суммы
к = ж2 + ху + у2 (31)
х, у
2)
следующих условий:
к3 числа, 36) ^(к) из формулы (26) положительно;
к3 46) ^(к) > 6;
5а) к = 32гт для некоторых натуральных чисел г, т, причем НОД(ш, 3) = = 1, 56) т удовлетворяет уел овию 3) или 4) при заме не к на т;
6а) к = 32г+1т для некоторого натурального числа т и неотрицательного целого числа г, где НОД(т, 3) = 1, 66) существуют натуральные числа в и п такие, что т = вп2 и существуют решения сравнения I2 = —3(шоё 12в), с целым I, 0 < 1 < 6в.
III) Пусть выполняются условие 1) и одно из условий 3), 4), 5). Тогда число старших векторов А таких, что Л(Л) = А, равно ^(к)/6 в случае 3), (^(к) — 6)/6 в случае 4), а в случае 5), равно ф(т)/6, если т удовлетворяет условию 3), и (^(т) — 6)/6, гели т удовлетворяет условию 4).
Доказательство. Утверждение I) является вариантом соответствующей задачи 1) из разд. 6 для группы О = 8И(3).
II) На евклидовой плоскости введем базис из векторов а, в со скалярными произведениями (а, а) = (в, в) = 1, (а, в) = 1/2. Тогда квадрат длины любого вектора V = жа + ув с целыми координатами ж, у равен неотрицательному целому (натуральному, если V = 0) числу ^(ж, у) = ж2 + жу + у2. Рассмотрим решетку всех
ж > 0 у > 0
рый мы будем обозначать Вращением этого сектора вокруг начала координат на углы, кратные п/3, получаются все точки решетки, кроме точек, лежащих на прямых ж = 0, у = 0, ж = —у.
Докажем необходимость сформулированных условий. Каждое натуральное кк ладает свойством 2). Тогда в случаях За) и 4а) должно быть ^(к) > 0 вследствие теоремы 7.7. В случае 4а) нужно отбросить все решения, лежащие на прямых ж = 0, у = 0, ж = —у. Таких решений ровно шесть. Поэтому вследствие теоремы 7.7 должно быть ^(к) > 6. В случае 5а) вследствие предложения 7.1 всякое решение уравнения (31) имеет вид (ж, у) = 3Г (X, У), где (X, У) - натуральное решение уравнения X2 + ХУ + У2 = т. Тогда т имеет вид За) или 4а). Применяя уже проведенные рассуждения, видим, что должно выполняться и условие 56). Если но выполняется ни одно из условий За), 4а), 5а), то мы находимся в условиях 6а). Если г > 0, то вследствие предложения 7.1 всякое решение уравнения (31) имеет вид (ж, у) = 3Г(X, У), где (X, У) - натуральное решение уравнения X2 + + XY + У2 = 3т. Если (X, У) - собственное решение, то на основании теоремы 7.9 выполнено условие 66) для п = 1 и в = т. Иначе (X,У) = п^1, У1) с натуральными п > 1 и X1, У1, причем НОД^^У^ = 1, X2 + X1Y1 + У]2 = в, где в € N и т = вп2. Применяя теорему 7.9 к ^1, У1), видим, что выполнено условие 66). Если г = 0, то для решения (ж, у) справедливы рассуждения, проведенные для (^У).
Докажем достаточность. Пусть выполняется одно из условий 3) 6). В случае 3)
(ж, 0) (0, у)
занных выше поворотных симмотрий решетки нет решений ни на одной из прямых ж = 0, у = 0, ж = —у, но на основании теоремы 7.7 есть натуральное решение уравнения (31). В случае 4), используя симметрии решетки и теорему 7.7, видим, что есть ровно шесть решений уравнения (31), лежащих на прямых ж = 0, у = 0, ж = —у, и, следовательно, есть натуральное решение уравнения (31). В случае 5) на основании проведенных выше рассуждений существуют натуральные (X, У) такие, что X2 + XY + У2 = т. Тогда ж2 + жу + у2 = к для (ж, у) = 3Г^, У). В случае 6) вследствие теоремы 7.9 существуют натуральные (X, У) такие, что X2 + XY + У2 = в. Тогда ж2 + жу + у2 = к для (ж,у) = 3гп^,У).
III) Пусть выполняются условно 1) и одно из условий 3). 4). 5). В случаях 3) и 4) достаточно применить соображения симметрии и теорему 7.7, а в случае 5) то же самое и дополнительно предложение 7.1. □
Теорема 8.3. Пусть G = G2 с биинвариантной римановой метрикой v такой, что v(e) = —kad. Тогда верны следующие утверждения.
I) Число А < 0 является собственным значением лапласиана на (G, v) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) 12А является целым (неположительным) числом;
2) натуральное число k = 7 — 12А представимо в виде суммы
k = x2 + xy + y2 (32)
с натуральными числами x, y, где x > y.
2)
следующих условий:
За) k не имеет простого делителя 3 и не равно квадрату натурального числа, 36) ^(k) из формулы (26) положительно;
k3 46) ^(k) > 6;
5а) k = 32rm для некоторых натуральных чисел r, m, причем НОД (m, 3) = = 1, 56) m удовлетворяет уел овию 3) или 4) при заме не k на m; 6a) k = 32r+1m для некоторого натурального числа m > 1 и неотрица-r (m, 3) = 1
числа s > 1 и n такие, что m = sn2, и существуют решения сравнения l2 = —3(mod 12s) с целым l, 0 < l < 6s.
III) Пусть выполняются условие 1) и одно из условий 3), 4), 5). Тогда число старших векторов А таких, что А(Л) = А, равно ^(k)/12 в случае 3), (^(k) — — 6)/12 в случае 4), а в случае 5) равно ^(m)/12, если m удовлетворяет условию 3), и равно (^(m) — 6)/12, если m удовлетворяет условию 4).
Доказательство. Практически все утверждения и рассуждения из теоремы 8.2 сохраняются. Отличие состоит в том. что дополнительно нужно отбросить (x, y) x = y y > x
m, s > 1
k = 3 x > y
1 /6 1 /12 (x, y) x = y
мы должны выбрать только одно). К симметриям из доказательства предыдущей теоремы нужно добавить перестановки координат.
(x, y) x = y
решение уравнения (31), то k = 3n2 с натуральным n. Тогда таких решений нет в случаях 3), 4), 5). Поэтому доказательства утверждения II) в этих случаях и всего утверждения III) не изменяются, за исключением дополнительного применения перестановки координат.
Таким образом, остается доказать необходимость и достаточность нового условия 6) в случае, когда k = 32r+1m и НОД^, 3) = 1, при доказательстве утверждения II). Докажем необходимость. Как и в доказательстве предыдущей теоремы, k = 3m. m = 1
(x, y)
с условием x > y. Если (x,y) - собственное решение, то вследствие теоремы 7.9 выполнено условие 66) для s = m и n = 1. Иначе (x, y) = n(X, Y) с натуральными n > 1 и X > Y, причем HОД(X, Y) = 1, X2 + XY + Y2 = 3s, где s е N
и m = sn2. При этом s > 1, так как X > Y. Применяя теорему 7.9 к (X, Y), видим, что выполнено условие 66). Докажем достаточность. Пусть соблюдается
( X, Y)
уравнения X2 + XY + Y2 = 3s с s > 1. При этом X = Y. Иначе X = Y > 1 ( X, Y) X > Y
Следовательно, (x, y) = n(X, Y) - требуемое решение уравнения (31). □
Summary
V.N. Berestovskii, V.M. Svirkin. The Laplace Operator Spectrum on Compact Simply Connected Rank Two Lie Groups.
In the paper, we suggest an algorithm for calculation of the Laplace operator spectrum for real-valued functions defined on a compact simply connected simple Lie group with a biinvariant. Riemannian metric and establish a connection of the Ricci curvature of this metric with the spectrum. By means of the algorithm suggested and with the use of results of the number theory and the theory of integral binary quadratic forms, an explicit calculation of the spectrum for all compact simply connected simple Lie groups of rank two is given.
Key words: Laplace operator, spectrum, group representation. Killing form. Ricci curvature.
Литература
1. Бсрсстовсшш B.H., Свпршш В.М. Оператор Лапласа па однородных нормальных римаповых многообразиях // Матем. труды. 2009. Т. 12. Л' 2. С. 3 40.
2. Onishchik A.L. Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations. ESI Lectures in Mathematics and Physics. Zurich. Switzerland: Europ. Math. Soc.. 2004. 86 p.
3. Onishchik A.L., Topology of Transitive Transformation Groups. Leipzig. Berlin. Heidelberg: Joliann Ambrosius Bart.. 1994. 300 p.
4. Иоаща К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 624 с.
5. Хслгасои С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир. 1964. 534 с.
6. Всйль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. М.: Иностр. лит.. 1950. 220 с.
7. Адаме Дж. Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979. 144 с.
8. Понтрягпн Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.
9. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV VI. М.: Мир. 1972. 334 с.
10. Yang L. Inject.ivit.y radius and Cart.au polyhedron for simply connected symmetric spaces. arXiv:mat.h/0609627 [mat.li.DG]. 2006. 22 Sep. 16 p.
11. Yang L. Inject.ivit.y radius for non-simply connected symmetric spaces via Cart.au polyhedron // Osaka J. Math. 2008. V. 45. P. 511 540.
12. Landau L. Elementary Number Theory. N. Y.: Cliealsea Publ. Сотр.. 1966. 256 p.
13. Дэвашорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965. 176 с.
14. Кассслс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир. 1982. 438 с.
15. Buchmann J., Vollmcr U. Binary Quadratic Forms (An Algorithmic Approach). Berlin. Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. 318 p.
16. Bucll D.A. Binary Quadratic Forms (Classical Theory and Modern Computations). New York. Berlin. Heidelberg. London. Paris, Tokyo, Hong Kong: Springer-Verlag, 1989. 247 p.
17. Conway J.H. Tlie Sensual (quadratic) Form. Washington DC: Math. Assoc. Amer., 1997. 152 p.
18. Gcrstcin L.J. Basic Quadratic Forms. Graduate Studies in Mathematics. V. 90. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2008. 255 p.
Поступила в редакцию 12.08.09
Верестовский Валерий Николаевич доктор физико-математических паук, профессор, ведущий научный сотрудник Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Е-шаП: berestovQofim.oscsbras.ru
Свиркин Виктор Михайлович аспирант Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Е-шаП: svirkinQofiin.oscsbras.ru
