Об однородных метриках положительной кривизны Риччи на компактных однородных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Об однородных метриках положительной кривизны Риччи

УДК 513.81

10. Г. HuKOHopoe

Об однородных метриках положительной кривизны Риччи на компактных однородных пространствах

Известно, что нормальная и близкие к нормальной метрики на односвязном компактном однородном пространстве G/H имеют положительную кривизну Риччи. В этой работе мы выведем некоторые достаточные условия положительности кривизны Риччи однородной метрики в терминах отклонения ее от фиксированной нормальной метрики.

Рассмотрим однородное компактное пространство G/H. Пусть [•, •] — скобка Ли, а В (-, ■) — форма Киллинга алгебры д группы G. Пусть также {•, •) — некоторая биинвариантная метрика на алгебре д, р — ортогональное дополнение к h в д относительно (-,•). Известно, что любое adh — инвариантное скалярное произведение на р порождает однородную метрику на G/H и наоборот (Бессе А.Л. Многообразия Эйнштейна. М., 1990). Метрика (•, •), ограниченная на р, называется нормальной. Рассмотрим произвольное adh — инвариантное скалярное произведение (•,•) на р. Приведем на р формы {•,•) и (•, •) одновременно к диагональному виду. Получим базис из векторов е,-, 1 < * < s = dimp, ортонормированный

относительно (•, •), причем для некоторых

положительных ж,- векторы образуют ортонормированный базис в р относительно (•,•).

Векторы е, упорядочим таким образом, что при 1 < г < V еі лежит в 1 — центре алгебры д, а при і > V е х не принадлежит 1, причем для V < і < ]' Хі

< ху.

Пусть -Ьі — В(е,-,е,). Заметим, что 6,- = 0 при г

< V и 6,- > 0 при г > V. Введем следующие

- X.

_^тЬЄ(ь

обозначения. Х х — Ж,,, Хт

т п "* ах s

Обозначим через Rlc(-, •) форму кривизны Риччи метрики (•, •).

Теорема 1. Пусть векmop ео £ р не лежит в ценmpе Z aлгебpы д, (е0,ео) = ж0(ео,ео), npичем хо > х - x . . Тогда Rlc(e0,e0) > 0.

тах min ' 0’ о

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что (ео,ео) = 1, тогда (е0,е0) = j-. Пусть для 1 < г, j,k < s

В силу биинвариантности метрики {•, •) символы

' Г * 1

симметричны по всем трем индексам.

Кривизну Риччиможно олучить по формуле 7.38

, 1 I . 1 . А.Л. Бессе:

Ягс{_—=е0, —=е0) = — -—В(еа,е0) 4-у/хо

Хо _ х, _ Xj >_______________2_

Х{Х] Х0Х, ХоХ{ Хо

откуда получаем

что в свою очередь эквивалентно неравенству

Оценим теперь сумму

к

ij

Равенства в этой цепочке выполняются тогда и только тогда, когда [ео, ^ = 0. Заметим, что В{ео, е0)

< 0 в силу условия теоремы.

Используя найденные оценки, получаем

°Работа поддержана грантом РФФИ 96-01-00436 н грантом Санкт-Петербургского университета.

Ric[-тт-ео, -4-e0)

Очевидно, что равенств=

= 0 приПоскольку по условию теоремы e0 не принадлежит центру Z, то обязательно что и

7*оЄ°^ >

В качестве следствия приведем теорему 2.

Теорема 2. Пусть G/H — односвязное компактное однородное пространство, (•, •) — некоторая нормальная, а (•,•) — некоторая adh-инвариантная метрики на р. Минимальное и мак

симальное собственные числа квадратичное формы (•, •) относительно {•, •) связаны соотношением 2x i > х . Тогда кривизна Риччи метрики (•,•)

m П тах ± ± \ “ /

положительно определена.

Доказательство. В силу условия теоремы центр Z таков, что Z П р = 0. Таким образом, v — 1. Для произвольного вектора € р существует

положительное число хптакое, что

(бО) Со) = Хо(ео,ео) И Хт\п ^ ^ %тах •

Поэтому хо > x i > х ах ~ Теперь. поменяя

J m П т Г

теорему 1, получаем, что,и требовалось доказать.