Научная статья на тему 'Об инвариантных эйнштейновых метриках на обобщенных симметрических пространствах'

Об инвариантных эйнштейновых метриках на обобщенных симметрических пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
75
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Никоноров Юрий Геннадьевич

В настоящей статье доказывается, что любая G-инвариантная эйнштейнова метрика на однородном пространстве G/H, где G= Fх Fx F, H= diag(F), F простая компактная группа Ли, пропорциональна стандартной метрике.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On invariant Einstein metrics on generalized simmetric spaces

In present article we prove that every G-invarian Einstein metric on homogeneous spaces G/H, where G= Fx Fx F, H=diag(F), F a simple compact Lie group, is proportional to standard one.

Текст научной работы на тему «Об инвариантных эйнштейновых метриках на обобщенных симметрических пространствах»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.48

Ю.Г. Никоноров1

Об инвариантных эйнштейновых метриках обобщенных симметрических пространствах

на

В этой работе мы классифицируем О-инвариантные эйнштейновы метрики на обобщенных компактных симметрических пространствах G/H, где G = FxFxF ,F- простая компактная группа Ли, Я = diag(F). Известно, что риманово однородное многообразие (G/H,pst), где через pst обозначена стандартная метрика, является эйнштейновым. Мы покажем, что имеет место следующая

Теорема. Любая G-инвариантная эйнштейнова метрика на обобщенном компактном сим -метрическом пространстве G/H = F х F х F/diag(F) пропорциональна стандартной.

Доказательство. Пусть [■, ■] - скобка Ли, а В(•, ■ ) - форма Киллинга алгебры g группы О, через s

обозначим размерность алгебры /. Пусть также--------

Я(', •), р - ортогональное дополнение к h в g

относительно (■, }. Известно, что любое adft-

инвариантное скалярное произведение на р порождает О-инвариантную метрику на G/H и наоборот [1, 7.24]. Метрика (■, •), ограниченная на р, является стандартной.

Рассмотрим произвольное эйнштейново adh-инвариантное скалярное произведение (•, ■) на р. Приведем на р формы (•,■) и (■,•) одновременно к диагональному виду.

Поскольку модуль р содержит, как минимум, два различных асі'/і-инвариантньїх неприводимых подмодуля ^)}і (•*- Є /),

то из леммы Шура мы получаем, что любой adk-инвариантный неприводимый подмодуль р С р имеет размерность 8.

Покажем существование вектора а =______________

(а-ьаг.аз). такого, что ||а|| = + а\ + а\ -

1, О] 4- а2 + а-з = 0, и р = {(аі*, а2г, а3х)}, гд< х Є /■

Р «¿л- , ,, ,

модуль г инвариантен и (у, у, у) ь п, то

[(у, У- у), (*. (?з(і))] є р,

[?/,£Ы*)1 = СЬ(Г.У, *1) И [у,<Эз(а:)1 =

<2з([у,х])

Таким образом, С), и ас1у коммути

руют. Нетрудно показать [2], что оператор Q : простой алгебре /, коммутирующий со всеми операторами присоедир^ииг>™ тт^ттг'т'стта ттг.г>Порционален тождественному. Поэтому Р {(®> (їх} } дЛЯ нек0Т0рЫХ констант с, сі, и х € /. Поскольку р ортогонален к относительно {-, •}, то 1 + с + d = 0. Следовательно, в качестве а можно взять вектор с координатами

1

VI + с2 +(12' у/1 + С2 + сі7 ' VI + С2 + (І2

)■

Теперь рассмотрим одновременную диагона- лизацию (•,•) и (-,■) на модуле р. Нетрудно понять, что

неприводимыми модулями, X є /, Й = Ц/®11 =

1, а\(і\ + й202 + аз/?з = 0, аі + а2 + аз = О,

/?1 -I” в

Пусть ^ ^ ** * — ортонормирован-

ный базис в / относительно( ), тогда векто-л

¿Г ■ ~~ I {с ’ б1 Є- ‘)

1 \/3' ** 'образуют ортонормированные! Базисы

(•, •) В Рь р2, Л

относительно ' ' соответ

ственно.Определим числа А, В, С, О следующими равенствами:^ ^

относительно (•

/е/.

Пусть - ортогональная проекция р на г-е слагаемое / в £ — /

Поскольку dimp — dimf — s, то образ одного из Рі должен совпадать с /. Не ограничивая общности, можно считать, что *= 1. Определим при.? Ф' ^

отображения^^ ' ^ ^ по форму-

д — Р о Р~1

3 11. Покажем, что О] коммутиру

ют со всеми операторами присоединенного дей-<к/„ : / -4 / (асІи(х) = \у, ж1). „ „

СТВИЯ я •> ■> \ V V / Деиствитель-

£ В([Х{,ХА,Ук)2 = $ (а\^+а1^+а11к)2 =УІ ¿¿А

£ В([У,, У,], X,)2 = зіаіА+а^Л+азІЇ)2 = ,< к

£ В([У,у;].П)2 = в ■ (# + /?23 + ІЇ)2 =»• О.

І і.і.к

Об инвариантных эйнштейновых метриках

Легко заметить, что

J2B([Zi,Xj],[ZilXJ])=cí =

£s([c^[^y,]) = c2 = J.

Используя определение формы Киллинга В, мы получаем равенства

s = Y, В(Х{1Х{) = s(A + 2В + С) + 2ci; i

s = Y, B(Yi,Yi) = s(I) + 2 С + В) + 2c2) í

т.е. Л + 2B + С = D + 2C + В = 1/3.

Применяя формулу 7.39 из [1], мы получаем следующее выражение для скалярной кривизны 5 метрики (•,•):

„ 1 (s а\ \ ( А „1

5 = о ( “ + “ ) “ 7 \sA~ + sD~ +

2\т yj 4 \ х у

+‘в (;+й+,с(* + ?) =

s /5 "12

5 + 6В-ЗС 5 4- 6С7 - ЗД

-32?4 - ЗС^.

Теперь параметризуем пары векторов а и (3 следующим образом:

а = cos v? (l/72,-l/\/2, о) + + siny> (l/>/6, 1/>/б,-2/>/б) ;

/[? = -siny? ^ 1/-4/2, —1/\/2,0^ +

+ COS (l/л/б, 1/А -2/v^) •

гГогда, как следует из непосредственных вычислений, В = , С = ~~"1~23'в~1'1 , где

a = cos 2tp. Используя тот факт, что любая эйнштейнова метрика является критической точкой функционала скалярной кривизны, ограниченного на множество метрик фиксированного объема, мы можем утверждать, что

S'a = --(T-y)*

\а:2у ху2 )

0.

Поскольку В'а + С'а = 0, по необходимости выполняется равенство х — у, т.е. рассматриваемая эйнштейнова G-инвариаитная метрика пропорциональна стандартной.

Литература

1. Бессе А.Л. Многообразия Эйнштейна. М., 1990.

2. Никоноров Ю.Г. Функционал скалярной

кривизны и эйнштейновы метрики на группах Ли // Сиб. мат. журн. 1998. № 39.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.