CC BY
18
МАТЕМАТИКА
УДК 519.48
Ю.Г. Никоноров1
Об инвариантных эйнштейновых метриках обобщенных симметрических пространствах
на
В этой работе мы классифицируем О-инвариантные эйнштейновы метрики на обобщенных компактных симметрических пространствах G/H, где G = FxFxF ,F- простая компактная группа Ли, Я = diag(F). Известно, что риманово однородное многообразие (G/H,pst), где через pst обозначена стандартная метрика, является эйнштейновым. Мы покажем, что имеет место следующая
Теорема. Любая G-инвариантная эйнштейнова метрика на обобщенном компактном сим -метрическом пространстве G/H = F х F х F/diag(F) пропорциональна стандартной.
Доказательство. Пусть [■, ■] - скобка Ли, а В(•, ■ ) - форма Киллинга алгебры g группы О, через s
обозначим размерность алгебры /. Пусть также--------
Я(', •), р - ортогональное дополнение к h в g
относительно (■, }. Известно, что любое adft-
инвариантное скалярное произведение на р порождает О-инвариантную метрику на G/H и наоборот [1, 7.24]. Метрика (■, •), ограниченная на р, является стандартной.
Рассмотрим произвольное эйнштейново adh-инвариантное скалярное произведение (•, ■) на р. Приведем на р формы (•,■) и (■,•) одновременно к диагональному виду.
Поскольку модуль р содержит, как минимум, два различных асі'/і-инвариантньїх неприводимых подмодуля ^)}і (•*- Є /),
то из леммы Шура мы получаем, что любой adk-инвариантный неприводимый подмодуль р С р имеет размерность 8.
Покажем существование вектора а =______________
(а-ьаг.аз). такого, что ||а|| = + а\ + а\ -
1, О] 4- а2 + а-з = 0, и р = {(аі*, а2г, а3х)}, гд< х Є /■
Р «¿л- , ,, ,
модуль г инвариантен и (у, у, у) ь п, то
[(у, У- у), (*. (?з(і))] є р,
[?/,£Ы*)1 = СЬ(Г.У, *1) И [у,<Эз(а:)1 =
<2з([у,х])
Таким образом, С), и ас1у коммути
руют. Нетрудно показать [2], что оператор Q : простой алгебре /, коммутирующий со всеми операторами присоедир^ииг>™ тт^ттг'т'стта ттг.г>Порционален тождественному. Поэтому Р {(®> (їх} } дЛЯ нек0Т0рЫХ констант с, сі, и х € /. Поскольку р ортогонален к относительно {-, •}, то 1 + с + d = 0. Следовательно, в качестве а можно взять вектор с координатами
1
VI + с2 +(12' у/1 + С2 + сі7 ' VI + С2 + (І2
)■
Теперь рассмотрим одновременную диагона- лизацию (•,•) и (-,■) на модуле р. Нетрудно понять, что
неприводимыми модулями, X є /, Й = Ц/®11 =
1, а\(і\ + й202 + аз/?з = 0, аі + а2 + аз = О,
/?1 -I” в
Пусть ^ ^ ** * — ортонормирован-
ный базис в / относительно( ), тогда векто-л
¿Г ■ ~~ I {с ’ б1 Є- ‘)
1 \/3' ** 'образуют ортонормированные! Базисы
(•, •) В Рь р2, Л
относительно ' ' соответ
ственно.Определим числа А, В, С, О следующими равенствами:^ ^
относительно (•
/е/.
Пусть - ортогональная проекция р на г-е слагаемое / в £ — /
Поскольку dimp — dimf — s, то образ одного из Рі должен совпадать с /. Не ограничивая общности, можно считать, что *= 1. Определим при.? Ф' ^
отображения^^ ' ^ ^ по форму-
д — Р о Р~1
3 11. Покажем, что О] коммутиру
ют со всеми операторами присоединенного дей-<к/„ : / -4 / (асІи(х) = \у, ж1). „ „
СТВИЯ я •> ■> \ V V / Деиствитель-
£ В([Х{,ХА,Ук)2 = $ (а\^+а1^+а11к)2 =УІ ¿¿А
£ В([У,, У,], X,)2 = зіаіА+а^Л+азІЇ)2 = ,< к
£ В([У,у;].П)2 = в ■ (# + /?23 + ІЇ)2 =»• О.
І і.і.к
Об инвариантных эйнштейновых метриках
Легко заметить, что
J2B([Zi,Xj],[ZilXJ])=cí =
£s([c^[^y,]) = c2 = J.
Используя определение формы Киллинга В, мы получаем равенства
s = Y, В(Х{1Х{) = s(A + 2В + С) + 2ci; i
s = Y, B(Yi,Yi) = s(I) + 2 С + В) + 2c2) í
т.е. Л + 2B + С = D + 2C + В = 1/3.
Применяя формулу 7.39 из [1], мы получаем следующее выражение для скалярной кривизны 5 метрики (•,•):
„ 1 (s а\ \ ( А „1
5 = о ( “ + “ ) “ 7 \sA~ + sD~ +
2\т yj 4 \ х у
+‘в (;+й+,с(* + ?) =
s /5 "12
5 + 6В-ЗС 5 4- 6С7 - ЗД
-32?4 - ЗС^.
Теперь параметризуем пары векторов а и (3 следующим образом:
а = cos v? (l/72,-l/\/2, о) + + siny> (l/>/6, 1/>/б,-2/>/б) ;
/[? = -siny? ^ 1/-4/2, —1/\/2,0^ +
+ COS (l/л/б, 1/А -2/v^) •
гГогда, как следует из непосредственных вычислений, В = , С = ~~"1~23'в~1'1 , где
a = cos 2tp. Используя тот факт, что любая эйнштейнова метрика является критической точкой функционала скалярной кривизны, ограниченного на множество метрик фиксированного объема, мы можем утверждать, что
S'a = --(T-y)*
\а:2у ху2 )
0.
Поскольку В'а + С'а = 0, по необходимости выполняется равенство х — у, т.е. рассматриваемая эйнштейнова G-инвариаитная метрика пропорциональна стандартной.
Литература
1. Бессе А.Л. Многообразия Эйнштейна. М., 1990.
2. Никоноров Ю.Г. Функционал скалярной
кривизны и эйнштейновы метрики на группах Ли // Сиб. мат. журн. 1998. № 39.
