CC BY
30
УДК 514.765
Е.Д. Родионов
Одноевязные компактные стандартные однородные эйнштейновы многообразия е группой голономии БО (и)
В данной работе исследуются односвязные компактные однородные многообразия со стандартной, т. е. полученной из формы Киллинга, однородной римановой метрикой, удовлетворяющей уравнению Эйнштейна ( стандартные эйнштейновы многообразия ), имеющие группу голономии SO(n).
Пусть M=G/fí — компактное односвязное однородное пространство, H — замкнутая подгруппа, a G — связная полупростая группа Ли, эффективно действующая на M диффеоморфизмами т(у): хН®ухН. Обозначим через g и h алгебры Ли групп G и II соответственно. Элементу ye G сопоставим гладкий изоморфизм G на себя / ( г/ ) : х®уху-К Положим Ad(y)=dJ(y)„ где e — единица G, а отображение ал-
гебры g обозначим через ad). Так как форма Киллинга Xr(adXadY) алгебры g отрицательно определена, то рассмотрим скалярное произведение B(X,Y)=-tr(adXadY) алгебры g, и // — ортогональное разложение алгебры g = h © m. Тогда пара (g, h) редуктивна относительно данного разложения, т. е. g = h © m — прямая сумма, Отождествим m с /'„//( G II ) при помощи естественной проекции p\G®G/H. Пусть % \ x ® dt(x)eH , x e H — представление изотропии группы Ли H в пространстве Te (G¡H). Очевидно,
что %(x) = Ad (x ) m для x e H. Положим также c(Y )(X )= [Y, X ] для Y e h, X e m. Ограничение скалярного произведения В па m индуцирует G — инвариантную ри-маиову метрику pB на однородном пространстве G/H.
Определение 1. Однородная рилшнова метрика pB на G/H, индуцируемая скалярным произведением В полупростой алгебры Ли g , называется стандартной однородной римановой .метрикой пространства GH , а .многообразие (G/H, pB ) — стандартным однородным римаповьш .многообразием.
Обозначим через Rie тензор Риччи стандартного однородного риманова многообразия. Тогда справедлива формула [1]
Ric(X, Y ) = (1/2 )ß{X, Y )+(l/4)tr R(X )r(Y )
"X,Y e m, (l)
где R(X): Z ®[Z,X]m , Z e m .
Определим на дополнении m две операции по правилам:
X * Y = [X,Y]L, (2)
I (X, Y, Z ) = -[[X, Y ], Z ], где X, Y, Z e m .
Пара (l,*) представляет собой конечномерную антикоммутативную алгебру над полем действительных чисел с тождествами, полученными из тождеств алгебры Ли g
при проекциях на т и h.
Следуя A.B. Сабинину [2], дадим
Определение 2. Тройная алгебра Ли (L.t.a.) есть антикоммутативная алгебра (Л,*) над полем. F с трилинейной операцией (X,Y,Z)®[X,Y,Z]e А, удовлетворяющей следующим тождествам: [X, X ,Y ] = 0; o{_X ,Y, Z ]+(X * Y )* Z }= 0 ; o{_X * Y,Z,U]}= 0;
[X,Y,U *V]=[X,Y,U]*V + U * [X,Y,V]; [U ,V, [X, Y, Z ]] = [[U, V, X ] Y, Z ]+ + [X, [U ,V ,Y ] Z ]+[X, Y ,[U ,V, Z ]], где символ s означает циклическую сумму по X, Y, Z e А.
Если мы определим операции * и I на редуктивиом дополнении m по формулам (2), то (l,*,I) стаповится L.t.a., называемой тройной алгеброй Ли редуктивпого однородного пространства. Обратно, произвольная тройная алгебра Ли определяет, локально, некоторое однородное пространство [2].
Определение 3. Редуктивное однородное пространство M = G/H с разложением g = h + m называется специально ре-дуктивным, если алгебра (m,*) не содержит нетривиальных идеалов с пулевым умножением.
Известно | I; 3], что каждое односвязное стандартное однородное риманово пространство разложимо в прямое риманово произ-
ведение симметрического и специально ре-дуктииного пространства. Отсюда следует, что для классификации стандартных эйнштейновых многообразий достаточно рассмотреть «мучай специально редуктивных пространств.
Исследуем более подробно случай, когда односвязное компактное специально редук-тивное стандартное однородное риманово многообразие (G/H, pB ) является голономно неприводимым относительно римановой связности V. В силу односвязности M = G/H группа голономии Ф и суженная группа голономии Ф0 иространства M совпадают, а алгебра голономии j = L(m) порождается преобразованиями вида Lx : Y ® 1/2 (X
* Y ), X ,Y e m, и действует неприводимо на m [4]. В этом случае либо G — простая группа Ли, a (M, pB ) является кэлеровым или кватерниоиным миогообра-Ф= SO(n), j = so(n), где n = dim M [5, с. 126]. Так как односвязпые компактные стандартные однородные эйнштейновы многообразия (M, pB ) с простой транзитивной группой движений классифицированы [6-8], то рассмотрим более подробно случай, когда Ф = SO(n). Пусть tr WV (где W,Ve so(n)) — форма Киллипга алгебры so(n), тогда (W,V ) = - tr WV = tr WV' представляет собой инвариантное скалярное произведение алгебры Ли j = so(n), задающее биинвариантную римаиову метрику на группе Ли Ф = SO(n). Так как j = L(m), то
1|4|Ц(п)=-'< = где L : Y ® 1/2 (X * Y),
X,Y e m
Теорема 1. Пусть (G/H, pB ) — одно-связное компактное специально редук-тивиое стандартное однородное риманово многообразие, являющееся голономно неприводимым с группой голономии Ф = SO(dim G H ), G — связная полупростая группа Ли, действующая эффективно на M = GH , H — замкнутая подгруппа G . Тогда
( 1 ) кривизна Риччи многообразия (M, pB ) вычисляется по формуле
Ric(X, X )=(1/2)B(X, X )-| \Lx\lin
где Xe SVn-1 (m), SVn-1 (m) — гиперсфера ра-m n = dim M ( 2 ) многообразие (M, pB ) является эйнштейновым в том и только том слу-
чае,, если LI = const "X e S" 1 (m) ;
( 3 ) многообразие. (M, pB ) является эйнштейновым; с константой Эйнштейна С в том и только том случае, если образом большой сферы S"-1 (m) при линейном отображении L : X ® Lx является большая сфера S"-1 (j) радиуса r = л]1/2 - C , в алгебре голономии j = so(n).
Доказательство. Рассмотрим вектор Xe S"-1 (m), тогда из формулы (1) следует, что
Ric(X, X ) = (1/2)B(X, X )+ (l/4)tr R(X )r(X ). Далее,
(j4)trR(X)R(X) = (1/4)2B(((Xi *X)*X),Xt) =
i
= (14)2 B(X *(X * Xt ), Xt ) =
t
B (j2 (X't )' Xt ) tt*L2 !Lx 112o ) '
t
Отсюда следуют утверждения ( 1 ) и ( 2 ) теоремы.
Пусть (M, pB ) — эйнштейново многооб-
C
сначала, что для любых X 1; X2 e S"-1 (m) скалярное произведение B(X 1; X2 ) = 0 в том и только том случае, если (L,L )= 0. Действительно, пусть B(X 1; X 2 )= 0, тогда ||X 1 + X2|0 = л/2, a (X1 + X2)Д/2e S"-1 (m). Далее,
L
= 1/|2 +1142 ||2 + К )}
Наконец, так как (М, рв) эйнштейново с константой Эйнштейна С , то из утверждения (1) теоремы следует, что
2
L
'(x1+x2 )/V2
2 » ||2 il = L I = L
= 1/2 - С,
и, значит, справедливо равенство 12 - С = 12 {2(12 - С)+2(41' 42)} ™и
(4,4) = 0. Обратно, пусть (4,4) = 0. Заметим, что тогда X1 + X2 Ф 0, так как иначе 4 = 4 = 0 , т.е. Х1 *т = X2 *т = 0, — противоречие с простотой алгебры (т,*). Значит, (0 = |Х1 + Х2|| Ф 0. Опять имеем равенство
2
||L(X1 = X2 )/W ||
= (1 w2 )fLxJ|2 +||Lxf + 2(Lx1, Lx2 или, учитывая эйнштсйновость многообразия (M, pB ) и то, что (Lx,L )= 0, эквивалентное ему равенство
12 - C = (2/С )(1/2 - C). Отсюда следует, что со2 = 2 и, значит, (X 1; X2 ) = 0. Доказанное утверждение озна-
LB
нормированный базис алгебры /п переходит
в ортогональную систему в алгебре голоно-j
dim L(m) = dim(m), dim L (S"-1 (m )) = dim S"-1 (m ). Так как (M, pB ) эйнштейново с константой
C ||lx|| = 1/2 - с для
любого Xe S"-1 (m), и, значит, l(S"-1 (m))с Srdimj-1, где Sdmj-1 — гиперсфера радиуса r = л] 12 - C в алгебре голопомни j . Таким образом,
l(S"-1 (m)) = L(m ) р^ j-1 = S"-1 (j) большая сфера в алгебре голономии
j = so(")
ждения очевидна. Пример 1.
Пусть (G/H, pB )=(KX...XK/AK,pB ) (где K — компактная простая группа Ли, произведение ГруппЫ К берется п раз, а А -диагональное вложение) — пространство Леджера-Обаты со стандартной метрикой. Тогда, рассмотрев соответствующее редук-тивное разложение g = h © m , нетрудно получить, что ||Lx|| = 14 - 1 (2") "X e m.
Следовательно, (KX...XK/ AK, pB ) — многообразие Эйнштейна с константой C = 14 +1 (2").
Пользуясь инвариантностью формы Кил-линга простых компактных алгебр Ли и алгебр Мальцева, построим еще два примера однородных эйнштейновых многообразий.
Пример 2. Пусть (m,*) — компактная простая алгебра Ли. Тогда
Бег(т,*) = 1п1;(т,*)»(т,*), где р : X ® аёХ . Положим I(X,У, г)= (X * У )* 2
"X,У, 2 е т . Тогда (т,*, I) есть тройная алгебра Ли. Рассмотрим алгебру Номидзу, или стандартную обертывающую алгебру Ли для 4/.а.
(т,*,I): g = т +Бег(т,*), [X ,У ] = X * У + О^, У), где О^,У,г) = I(X,У,г) "X,У,ге т; [О, X ] = -^, о] = О^), где X е т , О е Бег(т,*); [в, о] = ВО - ОВ, где в, О е Бег(т,*). Пусть С и Н — компактные связные группы Ли алгебр ^ и Бег(т,*), Н с С . Полагая, что (X,У )0 =- 1х adXadУ , имеем ([ж],У)0 +([г,У 1X)0 =0, X,У,ге т.
Так как для А е Бег(т,*) найдется 2а ет такой, что А^) = 2а,X] "Xе т, значит
(у) жмется Ad (Н) — инвариантным скат
соответствующая С — инвариантная рима-нова метрика на С/Н является естествен-но-редуктивнои («(X, У )= 0), а значит, согласно [9] имеем
я^,У = (1/4)у * (у * г)- (1/4)у * (X * г)- (1/2XX * У )* г - О(X,У
"X,У,ге т. Из этого факта и тождества Якоби имеем: я^ = (5/4)г *(X * У) "X, У, г е т.
К XX,У ) = (5/4)1 X * У|| для X,У е т,
(X, У )=0, 1X1,, = \\У\\0 = 1.
ric(X) = 5/4 для X е т, 1X1,, = 1 •
Пример 3. Аналогичная конструкция, примененная к простой алгебре Мальцева С7 =(т,*), дает изотропно неприводимое пространство 5рт(7)/С2 .
Литература
1. Родионов Е.Д. Однородные римановы многообразия е метрикой Эйнштейна // Дне. ... докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994.
2. Сабинин Л.В. Методы неассоциативной алгебры в
дифференциальной геометрии // Основы диффе-
ренциальной геометрии / иод ред. Ш. Кобаяси,
К. Номидзу. Т. 1. М., 1981.
3. Фляйшер А. Алгебры инвариантных нсевдорима-новых связностей на однородных пространствах // Уч. зан. Тартуск. ун-та. 1988. Выи. 803.
4. Sagle A. On anlicommulalive algebras and
homogeneous spaces //J. math, and meeh., 1967. V. 16. ц 12.
о. Албксссвскии Д. В., В и 11 of p у. до в А. М., Лычагин В.В. Основные идеи и иоиятия дифференциальной геометрии//Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 28 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М„ 1988. "
6. Мантуров О.В. Однородные римановы многообразия с неприводимой группой изотропии // Тр.
сем. но вект. и теш. анализу. 1966. Т. 13.
7. Wang М., Ziller W. On normal homogeneous Einstein manifolds // Ann. sei. Eeole norm, super. 1985. V. 18.
8. Wolf J. The geometry and structure of isotropy irreducible homogeneous spaces // Acta math., 1968,- V. 120.
9. Кобаяси ITT., 11омид, iy К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1-2. М., 1981.
