Спектр лапласиана прямого метрического произведения связных компактных групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 56-61.

УДК 514.764.227, 514.765, 517.984.56, 511 В. М. Свиркин

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

СПЕКТР ЛАПЛАСИАНА

ПРЯМОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ СВЯЗНЫХ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ

Излагается алгоритм вычисления спектра оператора Лапласа на прямом метрическом произведении связных компактных групп Ли с биинвариантными римановыми метриками. Указанный алгоритм используется для явного вычисления спектра лапласиана для тора и прямого метрического произведения двух групп Ли 8и(2) с биинвариантными римановыми метриками.

Ключевые слова: оператор Лапласа, лапласиан, спектр, представление группы Ли, старший вес, форма Киллинга, прямое произведение.

Введение

Спектр оператора Лапласа (лапласиана) является одной из важнейших геометрических характеристик многообразия. Его прямое вычисление в общем случае является крайне затруднительной задачей, за исключением некоторых редких случаев. Одним из таких случаев, как доказывает данная работа, является прямое метрическое произведение связных компактных групп Ли с биинвариантной метрикой. В начале приведу краткий обзор результатов совместного исследования с Валерием Николаевичем Берестовским спектра лапласиана на однородных нормальных римановых многообразиях, к классу которых относится объект исследования данной работы.

В работе [2] изучается спектр оператора Лапласа на гладких вещественных функциях, определенных на компактных однородных нормальных римановых многообразиях. Показано, что эту задачу можно свести к рассмотрению компактных односвязных (связных) простых групп Ли О с биинвариантной (т. е. инвариантной относительно левых и правых сдвигов) римановой метрикой V. В последнем случае на основе теорем 4.4 и 5.2 из [2], доказательство которых опирается на результаты теории линейных конечномерных представлений групп Ли, предлагается способ вычисления спектра лапласиана, который применяется в § 7 в [2] для вычисления спектра лапласиана на группе Ли (8и (2)^), изометричной единичной

евклидовой трехмерной сфере S3.

В работе [3] приводится упрощение доказательства теоремы 4.4 из

[2], а также в следствии 1.4 формулируется улучшенный алгоритм поиска спектра лапласиана на односвязной группе Ли О с метрикой V. Применение этого алгоритма иллюстрируется в § 2-4 при

вычислении спектра лапласиана групп Ли О ранга два. Улучшение алгоритма в основном заключалось в переходе к комплексному случаю при подсчете кратности собственного значения лапласиана.

© В.М. Свиркин, 2011

В работе [5] алгоритм поиска спектра лапласиана из [3] обобщается на неодносвязный случай, т. е. рассматривается случай произвольной компактной связной простой группы Ли G. Далее формулируются аналоги теорем 4.4 и 5.2 из [2] в комплексном случае. Следствие 5 описывает алгоритм вычисления спектров лапласианов всех связных компактных простых групп Ли с фиксированной простой алгеброй Ли и биинвариантной римано-вой метрикой.

В § 1 настоящей работы в теореме 1.2 удалось разработать алгоритм поиска спектра лапласиана прямого метрического произведения связных компактных групп Ли с биинвариантными метриками.

На основании теоремы 1.2 в § 2 вычисляются спектры всех торов со стандартной римановой метрикой. Далее в этом параграфе вычисляется спектр плоского тора и результаты сравниваются с полученными формулами из теоремы 1.2.

Посредством алгоритма теоремы 1.2 в § 2 вычисляется спектр прямого метрического произведения двух групп Ли SU(2) с биинвариантными римановыми метриками.

План поиска спектра лапласиана

прямого метрического произведения

связных компактных группы Ли

Некоторые общие понятия и результаты об операторе Лапласа (лапласиане), его собственных значениях и собственных функциях на римановых многообразиях класса C“ указаны в [2]. Приведем лишь основные определения.

Определение 1. Пусть (Mn, g) - ри-

маново n -мерное многообразие класса C“ с метрическим тензором g. Тогда для

функции f є C2(Mn ) можно вычислить лапласиан Лxf в точке x є M следующим образом: выбрать произвольным образом параметризованные длиной дуги геодезические y. (t ), -є < t <є, j = І,..., n, с

началом в точке x и с взаимно ортогональными касательными векторами Yj (0). Тогда

n d2

Л xf := Z -ГГ ( f (Yj (t )))(0). (1)

j=i dt

Вещественная (комплекснозначная)

функция f класса C2 (с вещественной fR = Ref и мнимой f = Imf частями класса C2) на (M, g) называется собственной функцией оператора Лапласа А, отвечающей вещественному (комплексному) числу Л, если Af = ^f

(Af = AfR + iAfI = Лf ). Если при этом f -ненулевая функция, то число Л называется собственным значением оператора Лапласа А. Множество Spec(M, g) всех собственных значений лапласиана на (M, g) с учетом их кратности, т е. размерности пространств соответствующих собственных функций, называется спектром оператора Лапласа.

В предложении 1 работы [5] доказано совпадение спектров в комплексном и вещественном случае.

В работе [5] одним из ключевых результатов, с помощью которых удалось сформулировать план поиска спектра лапласиана для связных компактных простых групп Ли с биинвариантной рима-новой метрикой, является теорема 1. В данном изложении она также необходима, поэтому приведем ее формулировку.

Пусть G - компактная связная группа Ли с биинвариантной римановой метрикой v, l (соответственно rg) обозначает

отображение lg : h е G ^ gh е G (соответственно rg : h е G ^ hg е G), dg - (инвариантная) вероятностная мера Хаара на G, пропорциональная мере объема /uv, определяемой метрикой v. Мера Хаара dg индуцирует инвариантное скалярное произведение в вещественном линейном пространстве L2(G, dg), которое естественным образом обобщается до инвариантного эрмитового скалярного произведения на комплексном линейном пространстве Lc2(G,dg) := L2(G,dg) + j'L2(G,dg).

Теорема 1. Пусть (G,v) - это группа Ли, заданная выше, с - некоторое неприводимое комплексное представление группы G размерности dc. Понимая c как некоторый гомоморфизм

с : G ^ U(dc) групп Ли, можно утверждать, что все функции cjJ.: G ^ с(g)jj.,

i, j = 1,., dc, называемые матричными элементами представления c, являются

линейно независимыми над собствен-

ными функциями оператора Лапласа Л на (G, v) с одним и тем же собственным

значением Л . Линейная оболочка M

С С

м.атричных элем,ентов представления c является прямой суммой dc неприводимых пространств представления в : g є G ^ в(g) группы G (где в(g) сопоставляет каждой вещественной функции f на G функцию в(g)( f ) := f ° l -1 ),

g

ограничение которого на каждое из них эквивалентно c. Выбирая для некоторого представителя c каждого класса эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы G некоторый ор-тонормированный относительно стандартного скалярного произведения ^, ^ на

LC2(G, dg) базис из dc2 комплекснозначных функций в Mc, получим полную в LC2(G, dg) ортонормированную систему (из собственных функций оператора Л ).

Следствие 1. В обозначениях приведенной выше теоремы получаем, что кратность собственного значения Л равна

Z dc2, (2)

сЛ =Л c

где c пробегает все классы эквивалентности неприводимых комплексных представлений группы Ли G, отвечающих собственному числу Л.

В дальнейшем через N, Z, R и C будем обозначать множество натуральных чисел, кольцо целых чисел, поля вещественных и комплексных чисел соответственно, под spec(G,v) будем понимать множество всех собственных значений оператора Лапласа на (G,v), т. е. spec(G,v) в отличие от Spec(G,v) не несет в себе информацию о кратности собственных значений.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть нам известны спектры лапласианов связных компактных групп Ли (G,vl) и ( H ,v2) с биинвариантными римановыми метриками vl и v2. Что мы можем ска-

зать о спектре лапласиана прямого метрического произведения (О х Н, v1 xv2) ? Из теоремы 1.4 работы [2] известно множество собственных значений

ирес(О х НV хv2). Оно состоит из всевозможных сумм Л+ Л, где Л є 8рес(О, V) и Л2 є 8рес(Н^2) . Структура неприводимых представлений прямого произведения групп Ли и теорема 1 позволяют независимо от теоремы 1.4 построить алгоритм поиска спектра Брес(О хНV хv2).

Теорема 2. Пусть группа Ли (О х Н V хv2) - прямое метрическое произведение связньх компактных групп Ли О,^) и (Н,^) с биинвариантными римановыми метриками vl и V2. Тогда множество собственных значений лапласиана группы Ли (О хНV хv2) задается следующим образом,:

ирес(О х Н V х v2) =

= {Л+Л2\ Л є 5рес(О,^),Л є эрес(Н V)}. (3)

Кратность собственного значения лапласиана Л є 8рес(О х Н^1 хv2) группы Ли О х Н равна

£ Ц2 +... + пр )(т2 +... + m2k), (4)

Л ,л Л+Л2 =л

где Л1 и Л2 независимо пробегают все множество собственных значений групп Ли О и Н соответственно, п1,.,пр и

т1,...,тк - размерности всех неэквивалентных неприводимых комплексных представлений, отвечающих собственным числам Л и Л групп Ли О и Н соответственно.

Доказательство. Нетрудно понять, что прямое произведение О х Н связных компактных групп Ли О и Н является связной компактной группой Ли со следующей групповой операцией:

(81,^) • (82,^) = (8182,, где £ , g2 є О и Л1, Л2 є Н, и что прямое произведение v1 х v2 биинвариантных метрик v1 и v2 является биинвариантной метрикой на группе Ли О х Н . Следовательно, группа (О х Н ^1 хv2) является связной компактной группой Ли с биинвариантной рима-новой метрикой v1 хv2, поэтому к ней применима теорема 1. Таким образом,

кратность собственного числа

Л є spec(G x H, vl x v2) определяется формулой (2), а множество собственных значений состоит из всех собственных чисел, отвечающих всем неприводимым комплексным представлениям.

Из теоремы 3.65 книги [1] следует, что если c : G ^ U(dc) и c' : G ^ U(dc,) - неприводимые комплексные представления групп Ли G и H соответственно, то их тензорное произведение c ® c' является неприводимым представлением группы Ли G x H. И наоборот, любое неприводимое комплексное представление группы Ли G x H представимо в этом виде. Вследствие теоремы 1 известно, что все матричные элементы представлений c и c' отвечают собственным значениям лапласиана Л1 и Л2 соответственно. Таким образом, характеры xc := cll +... + cd d и

c c

Xd := cil + ••• + cd d представлений c и c'

c' c'

также отвечают собственным значениям Л и Л2 соответственно, т. е. ЛG xc = ЛуХс и ЛH Хс’=ЛгХс’. Тогда из непосредственного вычисления лапласиана (см. определение 1) и свойства характеров представлений (п. 3.32 книги [1])

Xc®c' = Xc -Xc' (5)

слеДУеT, что Л0уЛ Xc®c’ = (А + ^)Xc®c'.

Обратно, пусть u - неприводимое комплексное представление группы Ли G x H , тогда по теореме 3.65 книги [1] u = c ® c', где c и c' - неприводимые комплексные представления групп Ли G и H соответственно. Из теоремы 1 получаем ЛQ Xu =ЛXu , ЛG Xc = AXc и

Ла Xd = ЛХг . Из формулы (5) следует равенство Ли =Л+Л2. Таким образом, равенство (3) доказано.

Равенство (4) получается из предыдущих рассуждений, формулы (2) и следующего равенства размерностей над полем комплексных чисел:

dimC c ® c' = dimC c • dimC c'.

Используя теорему 2 и результаты вычислений спектров в работах [2; 5], найдем спектры лапласианов стандартного

rn

с индуцированной метрикой и прямого метрического произведения SU(2) x SU(2) с биинвариантными рима-новыми метриками.

Спектр лапласиана тора Tn

В § 6 работы [2] в качестве примера приводится спектр лапласиана единичной окружности «S’1 в евклидовой плоскости с индуцированной метрикой ju. Вследствие

того, что (S1, u) = (T1, v1), где v1 - индуцированная стандартная метрика, из предложения 3.1 работы [2] получаем

Spec(T1, v) = Spec( S1, u) =

= {AA,Al,A,A,■■■A ,A,—}

где A = 0, A = -n2 повторяется ровно два раза для n > 0 . Известно, что собственному числу An = -n2 при n > 0 отвечают два неприводимых одномерных представле-

, rti1 int

ния cn: t е T ^ exp е C и

c'n : t е T1 ^ exp-int е C . Таким образом, выделяются два случая. В случае A = 0 существует всего одно одномерное неприводимое представление - это тождественное представление, отвечающее собственному значению A . В случае A < 0 существует ровно два одномерных неприводимых представления, отвечающих собственному значению A. Обозначим через к функцию, сопоставляющую собственному значению A число к(A) ее неприводимых представлений. Как показано выше, функция к является следующей кусочной функцией:

fl, A = 0, к (A) = \ ’

[2, A < 0.

Из теоремы 4 и рассуждений, проведенных выше, следует, что собственные значения A стандартного тора (T2,v2) имеют следующий вид:

-A = n2 + m2, где n,m е N u {0}.

Кратность и собственного значения A вычисляется следующим образом:

<r(A) = Z к (-n2)k (-m2). (6)

2 2

-A=n +m ,n,mеNu{0}

Заметим, что сумма в правой части равенства (6) равна количеству различных решений уравнения вида -A = n2 + m2, где n,m е Z.

Далее по той же схеме рассуждений вычисляется спектр стандартного тора (T V3) как прямого метрического произведения (TV2) х (T 1v1) и т. д. С помощью метода математической индукции не-

трудно доказывается, что итог вычислений тора произвольной размерности п будет следующим.

Предложение 1. Собственные значения лапласиана тора Тп со стандартной индуцированной метрикой имеют следующий вид:

-Л = т12 +... + т2п, где т1,...,тп є 2. (7)

Кратность а собственного значения Л равняется количеству различных целочисленных решений уравнения (7).

В работе [6] спектр лапласиана был вычислен в более общем случае - случае плоских торов. Приведем свои вычисления спектра в этом случае.

Плоский тор Тп размерности п с локально евклидовой метрикой при соответствующем выборе декартовых координат (¿1,...,) в евклидовом пространстве Еп представляется в виде факторгруппы Еп /(2лтТ, где (2пт} - решетка, порождаемая векторами базиса

= 2п

(

\

Vdtl dtn /

Ясно,

что

т = (dt1,., dtn) - дуальный базис к т. Всевозможные функции вида

sin j ,cos ¡Jhct /, (8)

где k¡ є Z, i = 1...n, можно считать

заданными на Tn. При этом для произвольного ортонормированного

базиса Y = (Y1,...,Yn) в En имеем Y = тА,

где А є GL(n,R). Из замечания 1.4 в

работе [2] получаем

Л

(

\

sin I Ykt І = YYj sin I Ykt

r

v V j=1 /V

n f f n W

= YyY sin |Ykt

j=1 V V i=1

j=1

= Y Yaa,-------------sin I Yk/,

^ ^ lj s dt, dt 1 ^ "

í

\

l s /V n f n j / n \

=-Y Yabajkikssin I Ykt І.

j=1 V s,i=1 / V i=1 /

Соответствующее собственное значе-

ние

1=-YI Yj І.

j=1 V I=1

(9)

Пусть теперь v є En, u є En . Тогда

u(v) = f]Tu/*^f]^VjYjl = ]ruivi, (10)

V ¿=1 /V j =1 / ‘=1

v = YvT = 0A)(vT ) = t( AvT ), (11)

где T обозначает транспонирование.

Пусть u = Yn k.t.. Тогда, вследствие

i=1 * z

формулы (11),

u(v) = v(u) =

Y

ajlvl

dt,.

j /

Yk,t,i =

i=1

v,.

= YaJ^v^kJ = Y Ykf

] ,1=1 1=1 V ■ =1

Сравнивая это выражение с формулой (10), видим, что ui = Y■=k,■a» • С учетом (9), получаем Я = -Y■=u2J, т. е. квадрат длины вектора и со знаком минус. Все векторы такого вида принадлежат

решетке (г'^ — 2л(( (2ят)*^.

Функции (8) являются координатными функциями неприводимого двумерно-

Гп

.

Учитывая, что С08(—) — С08(^) и

8т(—¿) = - 8т(^), получаем следующее утверждение.

Предложение 2. Каждое собственное значение лапласиана равно умноженному на -4п2 квадрату длины некоторого вектора решетки ^(2ят) ^, двойственной к

решетке (2птТ , определяющей тор Тп. При этом кратность собственного значения Я равна числу векторов решетки

^(2яг) ^, квадрат которых равен - ^ 2 Я.

Замечание 1. Отметим, что, в случае стандартного тора Тп — Т1 х... х Т1, из предложения 1 (частного случая плоского тора Тп) матрица А из рассуждений выше равна единичной, следовательно, формула (9) принимает вид

A = -Yk

j=1

что совпадает с формулой (7) предложения 1. Вывод о кратности собственного числа как о числе векторов решетки заданной длины в предложении 3 также

соответствует утверждению о кратности в предложении 1.

Замечание 2. Вследствие того, что любое натуральное число можно представить в виде суммы квадратов четы -рех целых чисел (более подробно см.: гл. V в книге [4]), при п > 4 верно равенство

,^рес(Тп V) = -Ыи {0} = [г < 0 | г є 2}.

Спектр прямого метрического произведения Би(2) х Би(2) с биинвариантными римановыми метриками

В § 2 работы [5] вычислен спектр лапласиана группы Ли Би(2) с биинвари-

антной римановой метрикой v(e) = —укаа , где е - единица группы, у > 0 и каа -формой Киллинга. Собственное значение Л группы Ли (Би(2), V) имеет вид

1 2

Л = -—(п -1), (12)

8Г

где п є N.

Кратность а(Л) собственного значения Л вычисляется по формуле а(Л) = п2 = 1 - 8уЛ.

Любые биинвариантные метрики на компактной простой группе Ли прямо пропорциональны, поэтому, не умаляя общности, можем рассмотреть прямое метрическое произведение (Би(2) х Би(2),

v1 хv2) с биинвариантными римановыми метриками вида v1(e) :=—y1kad и

^(е) := -Ї2каа , где /1 > 0 и У2 > 0 .

Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Предложение 3. Множ:ество собственных значений лапласиана группы Ли Би(2) х Би(2) с биинвариантной метрикой v1 хv2, определенной выше, имеет вид ,^рес(( Би (2) х Би (2), v1 х ^)) =

= 1 Т^(п12 -1)-7^(п2 -1)1 п^п2 є N1. (13)

I 8/1 8Г2 ]

Кратность а собственного значения Л равна

а(Л) = ^ ninl- (14)

—(n-1)+—( n2-1)=-8Л,

у 1 Y2 2

Пі ,n2^N

Замечание 3. Может показаться, что формулы (13) и (14) полностью решают задачу о поиске спектра лапласиана группы Ли SU(2) х SU(2). Более глубокий анализ показывает, что это не так. Наприм.ер, если подставим у1 = у2 в формулу (13), то получим в ней сумму квадратов П + п^. Таким образом, чтобы узнать является ли заданное число собственным, нужно будет решить задачу теории чисел: ліожно ли разложить заданное число в сумму квадратов. Решение указанной проблемыы и освещение других см.ежныж задач из теории чисел, возникающих при исследовании спектра, м.ожно увидеть в работе [3].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Адамс Д. Лекции по группам Ли. М. : Наука, 1979.

[2] Берестовский В. Н., Свиркин В. М. Оператор Лапласа на однородных нормальных римано-вых многообразиях // Матем. труды. 2009. Т. 12. № 2. С. 3-40.

[3] Берестовский В. Н., Свиркин В. М. Спектр оператора Лапласа на компактных односвязных простых группах Ли ранга два // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. «Физ.-матем. науки». 2009. Т. 151. № 4. С. 15-35.

[4] Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М. : Наука, 1965.

[5] Свиркин В. М. Спектр оператора Лапласа связных компактных простых групп Ли ранга один и два // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. «Физ.-матем. науки». 2010. Т. 152. № 1. С. 219-234.

[6] Berger M., Gauduchon P., Mazet E. Le spectre d'une Vari'et'e Riemannienne // Lecture Notes in Math., V. 194. Berlin; Heidelberg; N. Y. : SpringerVerlag, 1971.