CC BY
29
54
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 6(80)
УДК 512.815.4
РЕДУКЦИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1
© 2010 А.Н. Панов2
В работе найдены образующие элементы колец и полей инвариантов ко-присоединенных представлений борелевских и максимальных унипотентных подгрупп в простых группах Ли. Для нахождения образующих элементов применен метод редукции сферических функций.
Ключевые слова: сферическая функция, коприсоединенное представление, алгебра инвариантов.
Введение
Хорошо известно, что поле инвариантов любой связной разрешимой алгебраической группы рационально [1; 2]. Цель этой статьи — найти образующие элементы колец и полей инвариантов присоединенных представлений борелевских и максимальных унипотентных подгрупп в простых группах Ли.
В самой первой работе по методу орбит [3] (см. также [4]) были найдены образующие элементы кольца инвариантов коприсоединенного представления для унитреугольной алгебры Ли (т. е. максимальной нильпотентной подалгебры в Ап). Найденная система образующих совпадает с системой угловых миноров.
Для коприсоединенного представления борелевской подалгебры простой алгебры Ли нет нетривиальных полиномиальных инвариантов (см. теорема 2.1). Однако поле инвариантов может быть нетривиально, например для Ап. Система образующих поля инвариантов для борелевских подалгебр Ап была найдена в работах [5; 6] (см. также [7, теор. 4.8]). Образующие в этом случае — некоторые коэффициенты миноров характеристической матрицы.
Эти результаты были перенесены на другие простые алгебры Ли классического типа в работе [11]. В общем случае можно получить описание образующих как результат некоторой индуктивной процедуры (см. предложение 1.5, а также [8; 12-14]. Однако хотелось бы дать более явный ответ, такой, как для классических алгебр Ли.
В настоящей работе предлагается подход, который позволяет найти образующие кольца и поля инвариантов для борелевской и максимальной нильпотентной подалгебры. Подход основан на рассмотрении редукции сферических функций. Основные результаты сформулированы в теоремах 2.12, 3.1, 3.2, 3.7.
После написания этой работы выяснилось, что аналогичные результаты были получены другими методами в [9, теор. 1.6,1.7], [10, теор. 3.1.3].
1 Статья поддержана грантами РФФИ 08-01-00151, 09-01-00058 и грантом АВЦП 3341.
2Панов Александр Николаевич (apanov@list.ru), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
1. Инварианты коприсоединенного представления для максимальных нильпотентных подалгебр
Пусть 0 — простая расщепимая алгебра Ли над полем К характеристики нуль с системой корней Д. Через О обозначим линейную группу с алгеброй Ли 0. Введем обозначения: [) — стандартная подалгебра Картана;
п (соотв. п_) — нильпотентная подалгебра, натянутая на корневые векторы еа, а > 0 (соотв. а < 0);
Ь (соотв. Ь_) — борелевская подалгебра, равная Ь = () Ф п (соотв. Ь_ = ^ Ф п_); Н, N, Ж_, В, В_ — соответствующие этим подалгебрам подгруппы в О; п* и Ь* — сопряженные пространства к п и Ь; А — алгебра К [п*] регулярных функций на п*; ВА — алгебра К [Ь*] регулярных функций на Ь*; Т — поле К (п*) рациональных функций на п*; ВТ — поле К(Ь*) рациональных функций на Ь*.
Напомним, что коприсоединенное представление группы N (как и всякой группы Ли) определяется по формуле
ла*/(х+) = / (Ла_1х+),
где / € п*, х+ € п, д € N .С помощью формы Киллинга (•, •) отождествим п_ (соотв. Ь_) с сопряженным пространством п* (соотв. Ь*). Учитывая отождествление п* с п_ , получаем
Аё*(х) = п_(Аё3 (х)),
где х € п_, д € N и п_ — естественная проекция 0 на п_.
Алгебра А является пуассоновой алгеброй относительно линейной скобки Пуассона, для которой {х, у} = [х, у] для любых х, у € п. Симплектические листы этой скобки Пуассона совпадают с коприсоединенными орбитами группы N на п* [3; 4].
В этом параграфе мы найдем образующие элементы в алгебре инвариантов AN коприсоединенного представления группы N.
Пусть ^(д) — рациональная функция на группе О. Предположим, что ^ допускает ограничение на N. Поставим ^ в соответствие формальный ряд
^ (ехр ¿х) = ¿к (^0(х)+ (х)+ ¿2^2(х) + ...), (1.1)
где к € Ъ и коэффициенты ^¿(х) — рациональные функции на п_. Если ^ принадлежит локальному кольцу единичного элемента е (в частности, ^ € К [О]), то к € и все коэффициенты лежат в К [п_]. Назовем младшим коэффициентом в разложении (1.1) и к младшей степенью.
Обозначим через К [О]№ xN кольцо инвариантов для лево-правого действия группы N х N в К [О].
Предложение 1.1. Если ^ € К [О^ xN и ^ — собственная функция для правого действия Н, то € ЛN.
Доказательство. По условию ^(дЬ) = х(Ь)^(д), где д € О, Ь € В и х — некоторый характер подгруппы Н .
Поскольку 0 = п_ + Ь, то N_B — открытое по Зарисскому подмножество в О. Любой элемент а € N_B однозначно представим в виде а = а_а+, где а_ € N_ и а+ € В.
Для любого s € N_ существует открытая окрестность единицы такая, что для любого g из этой окрестности gs € N_B и, следовательно, gs = (gs)_(gs)+. Обозначим
Pg(s) = (gs)_.
Эта формула определяет локальное действие G на N_, которое называют одевающим. В частности, если g принадлежит некоторой открытой окрестности единицы в N, то эта формула определяет одевающее действие N на N_.
Поскольку F € K [G]n xN , то для любых g € N и s € N_ выполняется
F( ( )) F(( ) ) F((gs)_(gs)+) F(gs) F(s) (1
F(Pg(s)) = F((gs)_) = -77 ч ч- = ,, лл=(( ^ N. (L2)
x((gs)+) x((gs)+) x((gs)+)
Подставим s = exp(tx), где x € n_, в формулу (1.2). Поскольку x(g) = 1 для любого g € N, то
X((g exp(tx))+) = 1 + t0(x,t),
где 0(x, t) — ряд по t с регулярными коэффициентами.
Обозначим через n(t) кривую pg(exp(tx)) на группе N_. Из формулы (1.2) получаем
F <*»=тв (1.3)
Так как n(0) = exp(tx)|i=0 = e, то из формулы (1.3) вытекает
Fo(n,(0)) = Fo(x). (1.4)
Покажем, что n,(0) = Ad*(x). Поскольку g € N, то для малых t кривая g exp(tx) содержится в открытом подмножестве N_B. Отсюда
g exp(tx) = n(t)Ci(t)
для некоторой кривой Zi(t) на группе B. Отметим, что Zi(0) = g. Обозначая Z(t) = = Zi(t)g_1, получаем
g exp(tx)g_1 = n(t)Z (t), (1.5)
где Z(t) € B and Z(0) = e. Дифференцируем (1.5) по t в точке t = 0:
Adg (x) = dtg exp(tx)g 1
= п'(0)С (0) + п(0)С '(0) = п'(0) + С '(0).
4=0
Поскольку п'(0) € п_ и С'(0) € Ь, то
п'(0) = (х)) = лад (х).
Подставляя в (1.4), получаем ^o(Ad* (х)) = ^о(ж) для любого х € п_ = п*. Мы доказали, что многочлен ^о инвариантен относительно Ad*. □
Для любого неприводимого конечномерного представления Т обозначим через Ят (д) сферическую функцию
Ят (д) = 1о(Тд «о),
где -о (соответствующий /о) — старший вектор представления T (соответствующего представления, сопряженного к Т).
Следствие 1.2. Для любого неприводимого конечномерного представления Т младший коэффициент (Ят)о в разложении (1.1) для Ят(д) принадлежит .
Пусть Т.,..., Тп набор фундаментальных представлений группы С, их фундаментальные веса етх,...,етп, где п = гапк(д). Пусть Ях(д),..., Яп(д) — соответствующие сферические функции. Для каждого г выпишем разложение 1.1:
Я(ехр¿х) = ¿к(Я<о(х) + ¿Яи(х) + ¿2Я42(х) + ...). (1.6)
Через Р1,..., Рп обозначим младшие коэффициенты £10,..., £по соответствующих разложений (1.6).
Следствие 1.3. Многочлены Р1,...,Рп принадлежат ЛN.
Пусть Г — алгебра Гейзенберга над полем К с системой образующих
х1, ... ,х„,у1,. .. ,у„, г
и соотношениями [xi,yj] = 5^-г и [хг,г] = [yj, г] = 0. Обозначим через V линейное подпространство, натянутое на хг, у^-, где = 1,п. Симметрическая алгебра Буш(Г) является пуассоновой алгеброй относительно линейной скобки Пуассона, совпадающей с коммутатором на Г.
Стандартной пуассоновой алгеброй Ап будем называть пуассонову алгебру, свободно порожденную р1,... ,рп, Ц1,..., цп с соотношениями {рг, qj } = 5^j и {pi,pj} = = Uг,qj} = 0. Заметим, что локализация Буш(Г) по г содержит стандартную пуассонову алгебру Ап с образующими рг = хг и qj = г_1yj.
Напомним, что пуассонова алгебра В называется тензорным произведением двух своих пуассоновых подалгебр В1, В2, если В = В1 ® В2 как коммутативная алгебра и {В1, В2} = 0.
Локализация Буш(Г) по г как пуассонова алгебра является тензорным произведением К[г±1] ® Ая.
Определение. Говорят, что линейное отображение Б : В ^ В есть дифференцирование пуассоновой алгебры В, если
Б(аЬ) = Б(а)Ь + аБ(Ь), Б{а, Ь} = {Б(а), Ь} + {а, Б(Ь)}
для любых а, Ь € В.
Лемма 1.4. Для всякого дифференцирования Б алгебры Пуассона Буш(Г), для которого Б^) С V и Б(г) = 0, существует единственный элемент ад € г_1^8уш^) такой, что Б(Р) = {ад, Р} для любого Р € Буш(Г).
Доказательство. Дифференцирование Б продолжается до дифференцирования Ап — стандартной пуассоновой подалгебры в локализации Буш(Г) по г. Всякое дифференцирование пуассоновой алгебры Ап является внутренним (доказывается аналогично [15, теор. 4.6.8]). Существует элемент а € Ап такой, что Б(и) = = {а, и} для любого и € Ап. Поскольку Б^) С V и Б(г) = 0, то элемент а может быть представлен в виде а = г_1Ь, где Ь € VБуш^), что доказывает существование ад. Нетрудно видеть, что ад находится по Б однозначно. □
Обозначим через еа, а € Д+ стандартный базис в п. Каждый базисный вектор (как и любой вектор из п) является линейной формой на п* и поэтому элементом А.
Пусть £1 — наибольший корень в Д+. Обозначим через ^ базисный вектор веса £1. Скобка Пуассона с алгебры А естественно продолжается на ее локализацию А(£1) по системе знаменателей : т € М}.
Корень а € Д+ называется сингулярным для корня 7 € Д+, если 7 — а € Д+. Подпространство Г1, натянутое на ^ и все векторы еа, где а — сингулярный корень для £1, являются алгеброй Гейзенберга. Обозначим через Д+ подмножество положительных корней, которое получается выкидыванием из Д+ корня £1 и всех сингулярных для £1 корней. Подпространство п1, натянутое на еа, где а € Д+, является подалгеброй Ли.
Лемма 1.5. Пуассонова алгебра А(£1) изоморфна тензорному произведению К ® Ая ®А1 коммутативной пуассоновой алгебры К некоторой стандартной пуассоновой алгебры Ая и пуассоновой алгебры А1 = К [п*].
Доказательство. Как было сказано выше, локализация пуассоновой алгебры Гх по является тензорным произведением К < Ля. Подпространство V из леммы 1.4 в нашем случае натянуто на корневые векторы еа, где а пробегает множество сингулярных для £1 корней. Для каждого корня в € Д+ рассмотрим дифференцирование
Б в = adeв
алгебры Гейзенберга Г1. По лемме 1.4 существует элемент ар € ^х-1 ^Буш^х) такой, что Бр (Р) = {ар, Р} для любого Р € Г1. Поэтому элемент ер = ер — ар удовлетворяет
,Р} = 0
для любого Р € Г1 .
Из единственности ар вытекает, что соответствие ер ^ ер однозначно продолжается до вложения пуассоновой алгебры А1 в пуассонову алгебру А(£1) такого, что ее образ находится в инволюции к Г1 . Утверждение предложения вытекает из того, что А(£1) как коммутативная алгебра порождается Г1 и образом А1. □
В расширенной диаграмме Дынкина корень —£1 соединен отрезком с одним или двумя (только для Ап) простыми корнями. После выкидывания этих корней из системы простых корней П алгебры д получаем систему корней П1, которая неприводима для всех серий, кроме Вп и Бп. В последних случаях эта система является объединением А1 и соответствующей корневой системы ранга п — 2 (кроме Б4, когда эта система — объединение трех А1) . Алгебра П1 из следствия 1.5 является максимальной нильпотентной подалгеброй в полупростой алгебре Ли с системой простых корней Щ. Выберем наибольший положительный корень £2 для п1, если система П1 неприводима, и пару максимальных положительных корней £2 > £з (соотв. тройку £2 > £3 > £4 для Б4), если П1 приводима. Продолжая процесс дальше, получаем подсистему положительных корней
2 = {£Ь£2,£З,...,£ш}. (1.7)
Предложение 1.6. Существует следующая система рациональных функций
,..., с системой весов £1,..., £т относительно коприсоединенного действия подалгебры Картана:
1) всякая ^ лежит в локализации алгебры А по системе знаменателей, порожденной ^1, .. .,
2) все ^ инвариантны относительно коприсоединенного представления группы N (т. е. содержатся в Т№);
3) локализация А(2) алгебры А по системе знаменателей, порожденной
изоморфна как пуассонова алгебра тензорному произведению
К ] < Ля
коммутативной пуассоновой алгебры К] и некоторой стандартной па-уссоновой алгебры Л8.
Доказательство вытекает из леммы 1.5. □
Следствие 1.7. Тм = К(^1,..., £т).
Доказательство Система весов 2 линейно независима над Z. □
Следствие 1.8. Если Р € и Р — собственная функция для дей-
ствия Н в Т, то Р записывается в виде
Р = ^ ••• Zkkr, (1.8)
где € ^ для любого г = 1, т.
Отсюда вытекает, что каждый полином Р. (см. (1.6)) записывается в виде
р. = z1fcil ■■■ z
(1.9)
где кщ €
Вес многочлена Р. относительно действия подалгебры Картана () равен
ет- = (1 - адо)ет.,
где и>о — элемент группы Вейля Ш наибольшей длины.
Напомним, что и>о = —id для алгебр Ли А„, В„, С„, (для четного п), Е4, Е7, Еэ. В остальных случаях и>о = —ф, где ф — нетривиальный инволютивный автоморфизм системы простых корней [16, табл. I—IX]: ф(а.) = «„-¿+1 для случая А„;
ф(«п-1) = «„, ф(а.) = а. при 1 ^ г ^ п — 2 для случая Е„ (где п нечетное); ф(«1) = «6, ф(аз) = «5, ф(а2) = «2, ф(«4) = «4 для случая Еб. Из формулы (1.9) вытекает
етг = кг1£1 + ... + к1ш^т-
(1.10)
Найдем систему 2 = {£1,... , £т} и получим формулы вида (1.10) для каждой из простых алгебр Ли видов А„ — Еэ. Ниже мы используем стандартные обозначения [16, табл. 1-1Х].
Случай А„ = б1(п + 1,К), п ^ 1. Система 2 состоит из т = [„+1] корней
£1 = £1 — £„+1, £2 = £2 — £„,
£т £т £т+1.
Отсюда получаем
ет- = ет„ = + ет„ = £1,
= ет„-1 = ет2 + ет„-1 = £1 + £2,
етт = ет„-т+1 = етт + ет„-т+1 = £1 + £2 + ... + £т.
Случай В„ = о(2п + 1,К), п ^ 2. Здесь т = п и ет- = 2ет. для любого 1 ^ г ^ п. Для п = 2 имеем
£1 = «1 + 2«2,
£2 = «1.
ет1 = £1 + £2,
ет2 = £1.
Для п = 21, где I > 1, имеем
£1 = £1 + £2, £2 = £1 — £2,
£21-1 = £21-1 + £21, £21 = £21-1 — £21.
ет1 = £1 + £2, ет2 = 2£1,
ет3 = 2£1 + £3 + £4,
ет4 = 2(£1 + £з),
ет2 ,-1 = 2(£1 + £з + ... + £21-3) + £21-1 + £21, ет2, = £1 + £з + ... + £2,-3 + £2,-1.
Для п = 21 +1, где I > 1, получаем
£1 = £1 + £2, £2 = £1 — £2,
£2,-1 = £2,-1 + £2Ь £2, = £2,-1 — £2Ь £21 + 1 = £21 + 1.
= £1 + £2, ш2 = 2£1,
ет3 = 2£1 + £3 + £4, ет4 = 2(£1 + £з),
ш2 ,-1 = 2(£1 + £3 + ... + £21-3) + £21-1 + £21, ^2, = 2(£1 + £3 + ... + £2,-3 + £2,-1),
Случай Сп
Имеем
ет2 ,+ 1 = £1 + £3 + ... + £2,—3 + £21-1 + £2, + 1.
вр(2п, К), п ^ 3. Здесь т = п и ет/ = 2ет^ для любого 1 ^ г ^ п.
£1 =2£1,
£2 =2£2,
£п — 2£п .
ет1 = £1,
ет2 = £1 + £2,
етп = £1 + £2 + ... + £п.
Случай Бп = о(2п, К), п ^ 4. В случае п = 2/ имеем т = п, ет/ = 2ет^ для любого 1 < г < п и
£1 £2
: £1 + £2, : £1 — £2,
£21-1 = £21-1 + £21, £21 = £21-1 — £2,.
и етп_ 1 = етп = етп-1 + етп. Получаем
ет/
ет2
ет3/
ет4/
ет21 -2
ет21 -1
ет21 =
1, ет
2£1 + £3 + £4,
£1 + £3 + ... + £21—3 + £21.
£1 = £1 + £2, £2 = £1 — £2,
£21-1 = £21-1 + £21, £21 = £21-1 — £2,.
ет/ = £1 + £2,
ет2 = 2£1,
ет3 = 2£1 + £3 + £4,
ет4 = 2(£1 + £3),
ет2 ,-1 = 2(£1 + £3 + ... + £2,-3) + £2,-1 + £2,, ет'
2,
= £1 + £3 + ... + £2,-3 + £2,-1. ет/ = 2ет^ (для г = 1, 2), ет/ = £1 + £2,
Случай С2. Имеем т = п = 2,
£1 = 3а 1 + 2а2,
£2 = а1 . ет2' = 2£1 .
Случай Р4. Имеем т = п = 4, ет/ = 2ет^ (для г = 1,4) и
£1 = 2а1 + 3а2 + 4а3 + 2а4, £2 = а2 + 2а3 + 2а4, £3 = а2 + 2а3, £4 = а2.
ет/ = 2£1,
ет2 = 3£1 + £2 + £3 + £4, ет3 = 2£1 + £2 + £3, ет4 = £1 + £2.
Случай Еб. Имеем т = 4 и
= «1 + 2«2 + 2аз + 3«4 + 2«5 + с = «1 + «3 + «4 + «5 + «б, = «3 + «4 + «5, £4 = «4.
Случай Е7. Имеем т = п = 7, ет^
{ет'х = етб = + етб = £1 + £2, ет2 = 2ет1 =2^1,
ет3 = ет5 = етз + ет5 = 2^ + £2 + £3, ет4 = 2ет4 = 3& + 6 + & + £4.
2етг (для г = 1, 7),
= 2«1 + 2«2 + 3«3 + 4«4 + 3«5 + 2«б + ®7, ет1 = 2£1,
£2 = «2 + «3 + 2«4 + 2«5 + 2«б + 2«7, ет2 = 2& + 6 + & +
£3 = «2 + «3 + 2«4 + «5, ет3 = 3& + 6 + & +
£4 = «7, < ет4 = 2(2£1 + & + &),
& = «2, ет5 = 3£1 + 26 + & + 6,
= «3, етб = 2(6 + 6),
£7 = «5. ет7 = 6 + 6 +
Случай Еэ. Имеем т = п = 8, ет^ = 2етг (для г = М),
= 2«1 + 3«2 + 4аз + 6«4 + Б«5 + 4«б + 3«7 + 2аэ, £2 = 2«1 + 2«2 + 3аз + 4«4 + 3«5 + 2«б + ®7, £3 = «2 + «3 + 2«4 + 2«5 + 2«б + «7, £4 = «2 + «3 + 2«4 + «5, & = «7, = «2, £7 = «3, & = «5;
ет! = 2(& + &),
ет2 = 3& + 2& + & + & + &, ет3 = 4£1 + 3& + & + & + 6,
ет4 = 2(3£1 +26 + & + 60,
ет5 = Б£1 + 3^2 + 2& + & + &, етб = 2(2£1 + 6 + &), ет7 = 3& + & + & + £5, , ет8 = 2£ь
Лемма 1.9. Для любой простой алгебры Ли и для любого 1 ^ г ^ т наибольший общий делитель строки (&л,..., &гт) (см. формулу (1.10)) равен 1 или 2.
Доказательство вытекает и полученных формул вида (1.10) для каждой из простых алгебр Ап — Еэ. □
Обозначим = в случае, если НОД(&л,..., &гт) = 1, и = 2^ в случае, если НОД(&л,..., &гт) = 2. Отметим, что в любом случае € Ъ. Обозначим
_
г — • • •^т
либо Рг =
(1.11)
Так как € Ъ, то дг € Тн.
Из формулы (1.9) либо Рг = Лемма 1.10
1) Определитель матрицы ) равен ±1.
2) Поле Т^ свободно порождается ^1,...,фт.
Доказательство пункта 2) вытекает из пункта 1) и следствия 1.7 . Утверждение пункта 1) проверяется в каждом из случаев Ап — Еэ отдельно. □ Лемма 1.11. Элементы ^1,...,^т содержатся в .
Доказательство. Поскольку Р, € А, то утверждение очевидно в случае Р, = = д,. Пусть Р, = д2. Так как д € Т, Р, € А, и кольцо А целозамкнуто, то д € А. Поскольку Р, € А№, то д € А№. □ Теорема 1.12.
1. Кольцо инвариантов А№ коприсоединенного представления группы N является кольцом многочленов ^1,...,фт.
2. Для любых ненулевых С1,..., ст из поля К множество, определяемое на п* системой уравнений,
Ф(ж) = С1, . . . , дт(ж) = Ст,
является коприсоединенной орбитой (максимальной размерности).
Доказательство. Пункт 2) вытекает из формулы (1.11) и пункта 3 предложения 1.6.
Перейдем к доказательству пункта 1). Многочлены ^1,...,фт содержатся в А№ (см. лемму 1.11) и алгебраически независимы над полем К (см. пункт 2 леммы 1.10). Осталось показать, что ^1,...,фт порождают кольцо А№.
Пусть некоторый многочлен Р лежит в А№ и является собственной функцией веса Л для коприсоединенного представления adh подалгебры Картана.
Покажем, что вес Л доминантный (т. е. Л(На) ^ 0 для любого простого корня а,). Отождествим А = К[п*] с симметрической алгеброй Я(п). Тогда Р содержится в Я(п) и является весовой функцией для присоединенного представления adb в Я(п). Поскольку Я(п) С Я(д), то Р является старшим вектором для присоединенного представления д в Я(д). Это доказывает, что вес Л доминантный.
Обозначим ^-веса многочленов ^1,..., дт через ^1,..., . Из определения д вытекает, что либо п = ет/, либо п = 1 ет/. Просматривая выражения ет? через ет, в каждом из случаев Ап — Еэ, получаем, что п совпадает с одним из весов ет,, 2ет, или ет, + етф(,) (последний случай встречается для Ап, Бп (п — нечетное) и Ее). Получаем ) = 2е, где е равен 0 или 1, и п«(Наз) = 0 для любого 3 = г
и 1 ^ 3 ^ т.
Поскольку Р содержится в А^, то Р € Т№. Из следствия 1.8 и пункта 1) леммы 1.10 получаем
р = д^1 • • • дяг
для некоторых в1,..., вт € Отсюда
Л = + ... + «тПт.
Для любого простого корня а, получаем
Л(Н^) = 2ев > 0.
Заключаем, что в, € Ъ+ и, следовательно, Т€ К[д1,...,дт]. □ Из теоремы 1.12 непосредственно вытекает
Следствие 1.13. Многочлены д1,...,дт неприводимы над полем К.
2. Инварианты коприсоединенного представления для борелевских подалгебр
С помощью формы Киллинга отождествим Ь* с нижней борелевской подалгеброй Ь-. Напомним, что через ВА мы обозначаем алгебру К[Ь*] регулярных функций на Ь* = Ь-. Соответственно, ВТ — поле К(Ь*) рациональных функций на Ь*.
Теорема 2.1. Кольцо инвариантов ВАв коприсоединенного представления группы В состоит из К.
Доказательство Отождествим алгебру ВА с симметрической алгеброй Я(Ь). При этом отождествлении коприсоединенное представление в ВА будет совпадать с присоединенным представлением группы В в Я(Ь). Пусть Р € Я(Ь)в. В частности, Р — инвариант присоединенного представления подгруппы Картана Н. Потому Р € Я(^). Поскольку adeaР = 0 для любого простого корня а, то Р € К. □ Перейдем к описанию поля инвариантов ВТв. Пусть, как и выше, и>о — элемент наибольшей длины в группе Вейля.
Теорема 2.2. Если д — простая алгебра Ли, для которой и>о = —id, то ВТв = К.
Доказательство. В условиях теоремы т = п, где п, как и выше, ранг д. Обозначим через ^1,...,^п двойственный базис к £1,...,£п. Пусть Ая — пуассонова алгебра из предложения 1.6. Рассуждая, как и в лемме 1.4, можно показать, что для любого ^ существует а, € А8 такой, что элемент ^ = ^ — а, удовлетворяет Ая] =0. Элемент а, — единственный с точностью до скалярного слагаемого. Так как Adg= ^ для любого д € Н, то Adg(а,) = а,. Следовательно ] = 0
и
[^¿, ^] = ^ — а^-] = ^] — [^¿, а^-] = [^¿, ^] = [^¿, ^] — [а,, ^] = 0.
Локализация алгебры ВА по отношению к системе знаменателей ,..., совпадает с алгеброй
Ая ® Ап, (2.12)
где Ая — алгебра из предложения 1.6, а Ап также стандартная пуассонова алгебра с образующими
р = ^г1^, = г € 1, п.
Окончательно получаем в = К. □
Как и в (1.1), любой рациональной функции Р(д) на группе С сопоставим формальный ряд
Р (ехр ¿ж) = (Ро(Ж) + ¿Р (Ж) + ¿2Р2(Ж) + ...), (2.13)
где ехр ¿ж — формальная экспонента, к € Ъ и коэффициенты Р,(Ж) — рациональные функции на Ь-. Если Р € К [С], то Р,(ж) € ВА.
Предложение 2.3. Если Р € К[С]№, то Ро(Ж) € ВА№.
Доказательство. Рассмотрим открытое по Зарисскому подмножество B-N в группе С. Аналогично доказательству предложения 1.1 определяется одевающее действие группы N на В-. Как и в формуле (1.2), показывается, что для любых д € N и 5 € В- выполняется
Р (Рд (5)) = Р (5). (2.14)
Далее доказательство завершается аналогично предложению 1.1. □
Пусть д — алгебра Ли, для которой и>о = —id. Как было сказано выше, в этом случае алгебра Ли д совпадает либо с Ап, либо с Бп (п — нечетное), либо с Е6. Для этих алгебра Ли и>о = —ф, где ф — некоторый нетривиальный инволютивный автоморфизм системы простых корней. Автоморфизм ф перестановками действует на системе фундаментальных весов ет1,...,етп. Будем рассматривать ф как подстановку {1,..., п}.
Сферическую функцию Я,(д), 1 ^ г ^ п, ограничим на В и разложим, как в формуле (2.13):
Я,(ехр¿Ж) = ($о(ж) + ¿Я,1(Ж) + ¿2Я,2(Ж) + ...). (2.15)
ехр(к) X = ^Xк + „ Xк+1 + ....
Поскольку каждый элемент х из Ь_ = Ь* однозначно разлагается в виде х = = х + у, у € (), х € п_, то будем считать, что каждый многочлен Е на Ь_ является многочленом от двух переменных х и у. Будем писать Е(х) = Е(х) (соответственно Е(х) = Е(у)), если Е не зависит от у (соответственно от х). Предложение 2.4. Утверждается следующее:
1) нулевой член ^(х) в разложении (2.15) совпадает с нулевым членом £ш(х) разложения (1.6) для этой же ¿¿(д);
2) первый член £л(х) в разложении (2.15) представим в виде
$1(х) = ¿¿(у)£»о(х) + ДДх), (2.16)
где х = х + у, у € (), х € п_, ^ = (1+ шо)^, и ДДх) — некоторый многочлен от х.
Доказательство. Для упрощения записи обозначим через ет г-й фундаментальный вес и через £(д) сферическую функцию г-го фундаментального представления. Действие элемента д € О в этом представлении на вектор будем записывать д-у (а не Тд-). Соответственно, действие элемента х € 0 запишем как х-у (а не Тх-у, где Т = Т).
Обозначим через ехр(к) X ряд, который получается из ряда ехр X, если откинуть первые к слагаемых, то есть
1 X к . 1 к! (к + 1)1'
Из формулы (2.15) вытекает, что
£(ехр(£х)) = /о(ехр(£х)-уо) = 1о(ехр(к)(*х)«о). (2.17)
Разложим х = х + у, где х € п_, у € (). Из формулы Кэмпбелла — Хаусдор-фа [17] вытекает, что
¿2
ехр(£х) = ехр(£х) ехр(-¿у) ехр(£у) = ехр(£х — ¿у —— [х, у] + 0(^3)) ехр(£у) =
¿2
= ехр(£х — -[х, у] + 0(*3))(1 + ¿у + 0(*2)).
Заметим, что
¿2
ехр(к)(*х — -[х, у] + 0(^3)) ехр(£у) = ¿к(Мо(х) + Ш1(х) + 0(*2), (2.18)
где
Мо(х) = Мо (х) = к хк,
М1(х) = к(хку — ^(хк_1 [х,у] + хк_2[х, у]х + ... + [х,у]хк_1)) + хк+1 =
- 1 ( Т»к О! -Х- 1 ,-рк+1
_ 2(к!) ^х у т ^ т (к+1)! х .
Учитывая (2.17) и (2.18), получаем
5(ехр(*х)) = ¿к (1о(Мо(х)-о) + ¿^(М^Ы + )) . (2.19)
Отсюда $о(х) = 1о(Мо(х)-о) (это доказывает утверждение 1) нашего предложения) и
¿1 (х) = 1о(М1(х)-о) = /о (2(1к^(хку + ухк) + (к +1)!хк+1ь) .
Поскольку у-о = ет(у)-о и /о(у-) = шоет(у)/о(-у) для любого - из пространства представления, то
¿1(х) = (у)5о(х) + Д(х),
где
(У) = 1(1 + -о)(у) и Д(ж) = к +.□
Обозначим через ^ рациональную функцию вида
с
4 = Я1, где г € А. (2.20)
его
Лемма 2.5. Если ф(г) = г, то ^ — инвариант коприсоединенного представления группы В.
Доказательство. Любой многочлен (ж) в разложении (2.15) является собственным многочленом для коприсоединного представления группы Картана () веса ет^. Отсюда adh(Jj) =0 и, следовательно, ^ инвариант для AdH.
Покажем, что ^ — инвариант для AdN. Действительно, — инвариант в силу предложения 2.3.
Покажем, что Бц также инвариант для AdN. Фундаментальное представление етф(,) является сопряженным к ет,. Поэтому Яф(,)(д) = ^(д-1). Отсюда
Я<(ехр(4Ж)) = ^(^(ж) + ¿Я<о(ж) + 0(42)),
Яф(0(ехр(4Ж)) = ¿й(( — 1)^о(ж) + ( — 1)*+1*$1 (ж) + 0(42)).
Рассмотрим функцию
Р (д) = (д) — (—1)* ЗД.
Разложение (2.13) для функции многочлена Р(д) принимает вид
Р (ехр(*ж)) = ^(^(ж) + 0(4)).
Многочлен Р(д) является N х N-инвариантом; отсюда Ял (ж) — инвариант для AdN (см. предложение 2.3). □
Следствие 2.6. Если т +1 ^ г ^ п, то ^ — инвариант коприсоединенного представления группы В.
Доказательство. Напомним, что т = |2| и т = [] для Ап, т = 2/ для Бп, п = 2/ + 1, и т = 4 для Е6 Заметим, что 1 ^ ф(г) ^ т для любого т + + 1 ^ г ^ п. Поскольку ф(г) = г, то мы можем применить лемму 2.5. □
Теорема 2.7. Если д — простая алгебра Ли с условием шо = —id, то ВТв — поле рациональных функций с системой образующих {^(ж) : т + 1 ^ г ^ п}.
Доказательство. С помощью формы Киллинга отождествим ()* с (). Рассмотрим т-мерное подпространство V в (), натянутое на 2, и его ортогональное дополнение VИз формулы (1.10) и леммы 1.10 вытекает, что V также натянуто на элементы {ет^ : 1 ^ г ^ т}, где ет^ = (1 — -шо)-^ = ет, + ет^). Так как ш2 = id, то 1-2ш° — проектор () на V с ядром V
Оператор 1+2^° = 1 — 1-2*°° — проектор () на V^ с ядром V. Система элементов
= 2 (1 + шо)ет, = 2 (ет, — етф(,)), где т + 1 ^ г ^ п, образует базис V
Пусть {^ : 1 ^ г ^ т} — базис V, дуальный к 2. Как и в доказательстве теоремы 2.2, рассмотрим систему элементов {^ : 1 ^ г ^ т} такую, что ^} = = 0 и Ая} = 0. Элемент ^ равен ^ — а,, где а, — некоторая рациональная функция на п-. Аналогично из формул (2.16) и (2.20) имеем ^ = + Р,, где Р, — некоторая рациональная функция на п-.
Система {^ : 1 ^ г ^ т} и {Ь^- : т +1 ^ ] ^ п} является базисом в (). Следовательно, система рациональных функций {^ : 1 ^ г ^ т} и {^ : т + + 1 ^ 3 ^ п} алгебраически независима.
Локализация алгебры ВА по отношению к множеству знаменателей ^1,..., совпадает с алгеброй
А8 ® Ат ® К[7 : т +1 < ] < п], (2.21)
где Ая — алгебра из предложения 1.6, алгебра А^, также стандартная пуассонова алгебра с образующими
Р = Яг1^, = 1 < г < т.
Отсюда вытекает, что — поле рациональных функций от {7,(х) : т + 1 ^
< г < п}. □
Теорема 2.8.
1. Пусть шо = —Тогда множество, определяемое на Ь* системой неравенств
= о,...,дт = 0,
является коприсоединенной орбитой (максимальной размерности) группы В в Ь*.
2. Пусть шо = —Для любой системы констант {с, € К : т +1 ^ ] ^ п} подмножество, определенное в Ь* системой соотношений
= о, ...,дт = 0,
7 = с,, т + 1 ^ ] ^ п,
является коприсединенной орбитой (максимальной разлерности) группы В в Ь*.
Доказательство. вытекает из представления локализации алгебры ВА по ^1,...,^т в виде тензорного произведения из (2.12) в случае пункта 1 и (2.21) в случае пункта 2. □
Литература
[1] Miyata K. Invariants of certain groups // Nagoya Math. J. 1971. V. 41. P. 69-73.
[2] Винберг Э.Б. Рациональность поля инвариантов треугольной группы // Вестник МГУ. Сер.: Математическая. 1982. № 2. C. 23-24.
[3] Кириллов А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // УМН. 1962. Т. 17. С. 57-110.
[4] Кириллов А.А. Лекции по методу орбит // Научная книга. Новосибирск, 2002.
[5] The Toda flow on a generic orbit is integrable / P. Deift [et al.] // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. № 2. P. 183-232.
[6] Архангельский А.А. Об интегрировании уравнения Эйлера на алгебре треугольных матриц // Матем. сборник. 1979. Т. 108. № 1. С. 134-142.
[7] Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990. 240 с.
[8] Joseph A.A. preparation theorem for the prime spectrum of a semisimple Lie algebra //J. Algebra. 1977. V. 48. P. 241-289.
[9] Joseph A. The enigma of the missing invariants on the nilradical of a Borel // Bull. Sci. math. 2004. V. 128. P. 433-446.
[10] Fauquant-Millet F., Joseph A. Semi-centre de l'algebre enveloppante d'une sous-algebre parabolique d'une algebre de Lie semi-simple // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 4 serie. 2005. V. 38. P. 155-191.
[11] Трофимов В.В. Уравнение Эйлера на борелевских подалгебрах полупростых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер.: Математическая. 1979. Т. 43. № 3. С. 715-733.
[12] Трофимов В.В. Конечномерные представления алгебр Ли и интегрируемые системы // Матем. сборник. 1980. Т. 111(153). № 4. С. 610-621.
[13] Trofimov V.V. Semi-invariants of a Co-adjoint Representation of Borel Subalgebras of Simple Lie Algebras // Selecta Math. Sovietica. 1989. V. 8. № 1. P. 31-56.
[14] Gekhtman M.I., Shapiro M.Z. Noncommutative and Commutative Integrability of Generic Toda Flows in Simple Lie algebras // Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. P. 53-84.
[15] Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М: Мир, 1978. 408 с.
[16] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). М: Мир, 1972. 331 c.
[17] Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М: Мир, 1969. 375 с.
Поступила в редакцию 14/VI/2010; в окончательном варианте — 14/VI/2010.
REDUCTION OF SPHERICAL FUNCTIONS
© 2010 A.N. Panov3
Using reduction of spherical functions we obtain generators of the algebra and fields of invariants for the coadjoint representation of Borel and maximal unipotent subalgebras of simple Lie algebras.
Key words: spherical function, coadjoint representation, algebra of invariants.
Paper received 14/ VI/2010. Paper accepted 14/VI/2010.
3 Panov Alexandr Nikolaevich (apanovaiist.ru), the Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
