CC BY
36
124 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №3(62).
УДК 512.547.214, 512.743.7
БАЗИСНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ В СИСТЕМАХ КОРНЕЙ Вп и Бп И АССОЦИИРОВАННЫЕ КОПРИСОЕДИНЕННЫЕ ОРБИТЫ1
© 2008 М.В. Игнатьев2
С каждой базисной подсистемой в системе корней типа Вп или Бп можно связать семейство коприсоединенные орбит максимальной унипотентной подгруппы соответствующей классической группы над конечным полем. Мы предъявляем поляризации для канонических форм на таких орбитах (теорема 2.7), а также доказываем формулу, выражающую размерность этих орбит во внутренних терминах группы Вейля (теорема 4.5).
Ключевые слова: базисная подсистема, коприсоединенная орбита, каноническая форма, поляризация.
Введение
Пусть п — произвольное натуральное число, р — произвольное простое число, ц = рг для некоторого г ^ 1 и к = — конечное поле из ц элемен-
тов. Через О обозначим классическую конечную группу с элементами из поля к, а через и — максимальную унипотентную подгруппу в О. Одна из важнейших задач теории представлений — описание классов эквивалентности неприводимых конечномерных комплексных представлений группы и (или, что то же самое, неприводимых характеров и).
Основным инструментом в ее решении является метод орбит А.А. Кириллова, адаптированный для конечных групп Д. Кажданом (см. [10-14] и параграф 3): неприводимые представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с орбитами коприсоединенного представления и в пространстве и*, где и = Ые(и), причем многие вопросы теории представлений можно решать в терминах орбит.
К сожалению, задача полного описания орбит не решена до сих пор и представляется крайне сложной. В то же время, даже если известно опи-
1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором В.Е. Воскресенским.
2Игнатьев Михаил Викторович ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
сание какой-либо орбиты или семейства орбит, возникает целый ряд задач: построить для них поляризации (они играют важную роль я явной конструкции представления, связанного с данной орбитой, определение и подробности см. в параграфе 3); определить размерность орбиты и представления; получить явную формулу для соответствующего неприводимого характера.
В случае унитреугольной группы (максимальной унипотентной подгруппы в SL), то есть в случае An, эти задачи решены для некоторых классов орбит. А именно, в самой первой работе по методу орбит [12] А.А. Кирилловым было получено описание регулярных орбит (то есть орбит максимальной размерности); соответствующие характеры были описаны К. Андре в гораздо более общем контексте так называемых базисных характеров (см. [1,2]). Известно также описание субрегулярных орбит (то есть орбит предмаксимальной размерности), их поляризаций [9] и соответствующих характеров [8]. Естественным обобщением регулярного и субре-гулярного случая является рассмотрение орбит, ассоциированных с инволюциями: с каждой инволюцией о в группе Вейля W группы G можно некоторым образом связать семейство коприсоединенных орбит. Для унит-реугольной группы полное описание таких орбит, поляризаций и формула для размерности были получены А.Н. Пановым [17].
С другой стороны, для произвольной классической группы можно определить семейство орбит, ассоциированных с базисной подсистемой системы корней (в случае An это то же самое, что орбиты, ассоциированные с инволюциями); точные определения см. в параграфе 2. Цель настоящей работы — построить поляризации для орбит, ассоциированных с базисными подсистемами, в случае Bn и Dn (теорема 2.7), а также охарактеризовать размерности этих орбит во ’’внутренних” терминах группы Вейля (теорема 4.5).
Структура работы такова. В параграфе 2 мы напоминаем основные факты, связанные с группой U, и даем определение орбиты П, ассоциированной с базисной подсистемой D. Параграф 3 содержит процедуру построения поляризации для канонической формы на орбите, ассоциированной с инволюцией (теорема 2.7). Для этого используется специфическая процедура, впервые возникшая в [9], которую мы называем здесь морским боем. Также показано, как можно охарактеризовать размерность орбиты в терминах этой процедуры (следствие 2.8).
Для того, чтобы описать размерность в терминах самой группы Вейля (точнее говоря, в терминах инволюции о е W с носителем D), требуется изучить характер х, соответствующий орбите П, ассоциированной с инволюцией. Для этого в параграфе 4 строится разложения группы U в полупрямое произведение ее подгрупп и к характеру х применяется метод Макки (см., например, [15]). С его помощью удается запустить индукцию по n и доказать в параграфе 5 окончательную формулу для размерности П (теорема 4.5).
1. Основные определения
Сначала мы приводим некоторые элементарные факты, касающиеся систем корней ортогональных алгебр. Через Ф мы будем обозначать систему корней типа Вп или Бп. Их можно отождествить со следующими подмножествами в Кп:
Вп = ( + Є,- ± Ej, 1 ^ І < І ^ п}и { + £,-, 1 ^ І ^ п},
Бп = {±Єі ± &І, 1 ^ І < І ^ п},
где {Єі}п=і —стандартный базис в Кп. Выберем множество простых корней Д = Д(Ф) так, как в [5]:
Д(Вп) = {єі - Єі+і, 1 ^ І ^ п — 1}и {Єп}, Д(Бп) = {єі — єі+1, 1 ^ І ^ п — 1}^ {єп— 1 + Єп}.
Тогда множество положительных корней Ф+ э Д имеет следующий вид:
В+ = {єі ± єі, 1 ^ І < І ^ п}и {єі, 1 ^ І ^ п},
Б+ = {Єі ± є 1,1 ^ І < І ^ п}.
Положим
( 2п + 1, если Ф = Вп, т = \
^ 2п, если Ф = Бп,
и через и = и(Ф) обозначим подалгебру в $\т(к), натянутую на векторы еа, а є Ф, где
еЕі = Єо,і, 1 ^ І ^ п,
Єє-і—ЄІ = ец — е—і,—І, 1 ^ І < І ^ п,
Єєі+єі = Є—І,І — Є—і,і, 1 ^ І < І ^ п.
Здесь мы нумеруем строчки и столбики матрицы размера т X т индексами
1,2,...,п, 0, — п,..., —2, —1
(в случае Dn индекс 0 пропускается) и через еа£ обозначаем обычную матричную единицу. Иначе говоря, u — это алгебра нижнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали, кососимметричных относительно побочной диагонали. Разумеется, она является максимальной нильпотентной подалгеброй в соответствующей классической алгебре g = й(Ф), состоящей из всех матриц, кососимметричных относительно побочной диагонали. В частности, dim u = |Ф+1.
Пример 1.1. Здесь мы условно изобразили алгебры B3 и D4:
1 2 3 4 -4 -3 -2 -1
3 0-3-2 -1
1
2
1
2
3
0
-3
-2
-1
0
0
0
1
2
3
4 -4 -3 -2 -1
Кроме того, определим функции
0
0
0
0
col: Ф+
{1,..., и): col(e,- ± є j) = col(eO = і,
row: Ф+ ^ {-n, ...,n): rowfo ± єу) = + j,rowfe) = 0,
и для произвольных -n + 1 ^ і ^ n - 1 и 1 ^ j ^ n множества
Ri = Яі(Ф) = {а є Ф+ | row(a) = і),
Су = С/Ф) = {а є Ф+ | col(a) = j)
будем называть і-ой строчкой и j-ым столбиком Ф+ соответственно. Мы введем ’’зеркальный” порядок на множестве индексов
1 < 2 < ... < n < 0 <-n < ... <-2 <-1
и будем рассматривать следующие отношения полного порядка на Ф+:
def def
col(P) < ш!(а) или col(e) = col^), row(e) < row(а),
col(e) < ш!(а) или col(e) = col^), row(e) > row(а).
(1.1)
Например, для Ф = Вб имеем е2 - е4 > е2 > е2 + 65 > еэ - еб, е2 + 65 > е2 >
> е2 - е4 > еэ - еб.
Теперь определим основной объект нашего рассмотрения. Определение 1.2. Пусть подсистема D = с Ф+, состоящая
из попарно ортогональных корней, удовлетворяет следующему условию:
|D П R(-| ^ 1 и |D П Су| ^ 1 для любых і, j.
(1.2)
Следуя [4], будем называть О базисной подсистемой системы корней Ф.
Замечание 1.3. Пусть Ж = Ж(Ф) — группа Вейля системы корней Ф. С каждой базисной подсистемой О = {|3х,..., |Зг} можно связать инволюцию (то есть элемент второго порядка) о = о о е Ж:
о =
Гв1 ■... ■ гв,
(1.3)
(для произвольного в е Ф через гр мы обозначаем отражение в К” относительно гиперплоскости, ортогональной р). Будем называть О носителем инволюции о и обозначать О = Бирр(о).
Отметим, что в случае An так может быть получена каждая инволюция в группе Вейля, а в случае Bn или Dn — конечно, нет. Например, для Ф = B2 не существует базисной подсистемы, которая была бы носителем инволюции о = rE1 ■ re2.
Через U = exp(u) обозначим максимальную унипотентную подгруппу в соответствующей классической (конечной) группе G. Везде далее мы предполагаем, что p = char k ^ m. В этом случае отображение
m-1 J
Zx —
i=0 l!
является биекцией (и даже изоморфизмом алгебраических многообразий); обратное отображение обозначим через ln. Более того, имеет место формула Кэмпбелла-Хаусдорфа: для любых u, v е u
exp(u) exp(v) = exp(u + v + t(u, v)), (1.4)
где t(u, v) е [u, u] (здесь [u, u] = ([x, y], x, у е u>k).
Группа U действует на u с помощью присоединенного представления; сопряженное к нему представление в u* называется коприсоединенным.
Пользуясь невырожденной на glm(k) формой (А, В) = -tr(AB), сопряженное пространство u* можно отождествить с u* (при таком отождествлении еа = еа для любого а е Ф+). При этом коприсоединенное представление приобретает простой вид
g.x = pr(gxg-1), g е U, x е u*
(здесь через pr обозначена проекция glm(k) ^ u* вдоль u). Орбиты копри-соединенного представления играют ключевую роль при описании неприводимых представлений группы U (подробнее см. параграф 3).
Определение 1.4. Пусть D = {ß1 ß,}c Ф+ — базисная подсистема, ? = (?ß)ßeD — набор констант из k*,
f = fax = Z ■ eß е u*.
ߣD
Коприсоединенную орбиту П = Пд| c u* элемента f будем называть орбитой, ассоциированной с подсистемой D, а сам элемент f — канонической формой на ней (см. [17] для определения в случае An).
Цель данной работы — описать поляризации и определить размерности таких орбит.
2. Морской бой и поляризации
Здесь мы освещаем основную идею метода орбит, созданного А.А. Кирилловым [11, 12] и адаптированного для конечных групп Д. Кажданом [10] (см. также [13, 14]), и строим поляризации для орбит, ассоциированных с базисными подсистемами.
Напомним основные определения. Пусть g — произвольная алгебра Ли, f е g* — произвольная линейная форма. Подалгебра p с g называется поляризацией для f, если f([x, у]) = 0 для любых х, у е p и p имеет максимальную размерность среди всех таких подалгебр (то есть это максимальное f-изотропное подпространство). В этом случае, как легко показать, размерность коприсоединенной орбиты связана с размерностью поляризации простым соотношением dimПf = 2 ■ codimp (см. [18, с. 117]). Нахождение поляризации является необходимым шагом при построении неприводимого представления в методе орбит.
А именно, выберем и зафиксируем 0: к ^ С* — произвольный нетривиальный характер поля к (то есть гомоморфизм из аддитивной группы этого поля в мультипликативную группу поля комплексных чисел). Напомним, что через ln: U ^ u мы обозначили отображение, обратное к exp: u ^ U. Пусть П с u* — произвольная коприсоединенная орбита. Рассмотрим функцию х = Хп : U ^ С, определенную правилом
Х(#) = И“-20№ОО»’ geu (2.1)
f еП
(коприсоединенные орбиты являются замкнутыми четномерными алгебраическими подмногообразиями в u*; более того, qdimП = |П|, см. [13] и [14]). Суть метода орбит выражается следующей теоремой:
Теорема 2.1. [10, Proposition 2] Отображение П ^ Хп устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством коприсоеди-ненных орбит группы U и множеством ее неприводимых конечномерных комплексных характеров. При этом размерность соответствующего неприводимого представления равна q2Aimil = л/iOj.
В той же статье объясняется, как, используя поляризацию, в явном виде построить представление, соответствующее данной орбите. На самом деле, это представление имеет вид Ind^^^f, где f — любая форма на орбите П, p — любая поляризация для f, а фf действует из exp(p) в С по правилу
фf (h) = 0(f (ln(h))), h е exp(p).
Здесь мы предъявляем явную конструкцию поляризации для произвольной орбиты в u*, ассоциированной с базисной подсистемой.
Определение 2.2. Пусть в е Ф+. Корни а,у е Ф+ называются в-сингулярными, если а + у = р. Множество всех в-сингулярных корней обозначается S(в) (см. [3] для An и [4,16] для Bn, Dn).
Легко понять, что сингулярные корни имеют следующий вид:
S (Ei - Ej) = U^Ti1+1{ei- - eb El - Ej], 1 ^ i < j ^ n,
S (Ei) = Un=i+1{.Ei - El, El], 1 ^ i ^ n,
S (Ei + Ej) = U- El, El + Ej]U Un= j+1 {Ei - El, Ej + El]U (2 2)
Un= j+1 {Ej + El, Ej - El] U S ij, 1 ^ i < j ^ n, где
( {Ei, Ej], если Ф = Bn,
li \ 0, если Ф = Dn.
Замечание 2.3. Обратим внимание, что из каждой пары в-сингулярных корней ровно один лежит в том же столбике Ф+, что и сам р. Более того, если а, в, у е Ф+, в = а + у, то со1(в) = со1(а) в том, и только в том случае, когда а > в > у (в >' а >' у) и либо гош(у) = гош(в), со1(у) = гош(а), либо со1(у) = -гош(в), гош(у) = -гош(а). Положим
5 +(в) = {а е 5 (в) | со1(а) = со1(в)}, 5-(в) = (у е 5 (в) | со1(у) Ф со1(в)}.
Таким образом, 5 (а) = 5 +(а) и 5-(а).
Определение 2.4. Пусть В = (вх > ... > вг}с Ф+ — базисная подсистема (в частности, со1(вх) <...< со1(вг)). Через £ обозначим четырехэлементное множество, состоящее из символов (<8>, •, +, -}. Морской бой — это отображение ^ = Гв: Ф+ ^ •£, определяемое индукцией по г, 0 ^ г ^ г + 1:
1) Если в е В, то ^(в) = ® (нулевой шаг).
2) Обозначим через множество корней из Ф+, которые отображаются
в минусы на у-ом шаге (в частности, ^0 = 0). Тогда на г-ом шаге,
г = 1,..., г, мы полагаем
Г(у) = +, Г(6) = -для всех у, 6 е 5 (вО таких, что у + 6 = вь со1(у) = г и у, 6 £ иУ^О^у.
3) Т'(а) = • для всех остальных корней ((г + 1)-ый шаг).
Пару (Ф, ^) мы будем называть диаграммой, ассоциированной с подсистемой в.
Пример 2.5. Пусть Ф = Вб, В = (е^ е2 + 65, еэ - еб). Ниже мы символически изобразили морской бой Т'в как заполнение диаграммы символами из ^:
1
2
3
4
5
6
0
-б -5 -4
-э -2 -1
1 2 э 4 5 б 0 -б -5 -4 -э -2 -1
+
+ +
+ + +
+ • • •
+ + - -
• + • • - 0
• - - 0
• • • 0
• • 0
• 0
0
Пошаговое заполнение диаграммы см. в приложении.
Далее нам понадобится одна простая
Лемма 2.6. Пусть у е Ф+7 ^(у) = +. Тогда существует единственный корень 6 е Ф+, для которого у + 6 е В.
Доказательство. По определению морского боя, существует такой корень 6 е Ф+, что ^(6) = - и у + 6 = вг для некоторого вг е В. Покажем, что
у + а £ В для всех а е Ф+, не равных 6.
В самом деле, пусть существуют такие а, ву е Ф+, что ву е В, у + а = в у и в у Ф вг. Так как со1(у) = со1(вг) по построению, то со1(у) Ф со1(ву) (подсистема В содержит не более одного корня из каждого столбика). Следовательно, а > в у > у > вг, и со1(а) = со1(ву), гош(а) = со1(у) (см. замечание 2.3; ситуация гош(а) = -гош(у), невозможна, ибо тогда со1(вг) = со1(у) = -гош(ву) и корни вг, в у не ортогональны). В частности, у < г.
То, что корень у не отобразился в минус на у-ом шаге морского боя, означает, что на каком-то 1-ом шаге, I < у, корень а отобразился в минус Значит, либо гош(а) = гош(в/), либо со1(а) = -гош(в/). Однако в первом случае гош(в/) = со1(вг) и корни вг, в/ не ортогональны, а во втором случае
гош(в/) = -со1(в у) и корни в у, в/ не ортогональны. Это противоречит определению базисной подсистемы. Лемма доказана.
Оказывается, морской бой является удобным средством построения поляризаций для орбит, ассоциированных с базисными подсистемами. А именно, рассмотрим множество корней, которые при морском бое отображаются не в минусы:
Обозначим через рв подпространство в и, натянутое на векторы еа, а є Р. Теорема 2.7. Пусть Ф = Вп, п ^ 3, или Ф = Вп, п ^ 4, В с Ф+ —
базисная подсистема, П = Пв,| — ассоциированная с ней орбита и / — каноническая форма на ней. Тогда р = рв — поляризация для / для любого
Доказательство. Оно состоит из трех шагов:
1. р — изотропное подпространство для /. Достаточно показать, что сумма любых двух корней из Р не содержится в В. Пусть в е В, у, 6 е 5 (в), У + 6 = в. Из определения морского боя следует, что из корней у, 6 не более одного лежит в Р.
2. р — максимальное /-изотропное подпространство. Предположим, что р + ку является /-изотропным подпространством для какого-то у е и. Пусть
Поскольку у Ф 0, то найдется 6о е Ф+ \ Р, для которого у60 Ф 0. Раз ^(6о) = = -, то существует такой у0 е Ф+, что ^(70) = + и у0 + 60 = в для некоторого в е В (в частности, у0 е Р, а значит, ву0 е р). Это означает, что [ву0,е60] = = с • ев, где с е к*. По лемме 2.6, У0 + 60 £ В для любого 6 е Ф+, не равного
Р = Рв = {а є Ф+ | Г(а) Ф -}.
(2.3)
| є (к*)п.
6єФ+\Р
6о. Но тогда если f (^) = ^в Ф 0, то
f([eY0,У]) = f([eY0,Уйо ■ е6о]) = f(ySo ■ с ■ ев) = Убо ■ с ■ ?в Ф 0, что противоречит изотропности пространства p + ку.
3. p — подалгебра. Доказательство этого шага мы отложили до параграфа 4, так как оно использует полупрямое разложение u.
Следствие 2.8. Пусть Ф, D, П определены, как в теореме. Тогда dimП равна количеству символов ± в диаграмме (Ф, F).
Доказательство. По определению морского боя, количество плюсов равно количеству минусов в диаграмме (Ф, F). Размерность орбиты равна удвоенной коразмерности любой поляризации, но, по построению p, codimp = |(Ф+ \ P)| = |{а е Ф+ | F(a) = -]|.
Следствие доказано.
Используя это следствие, мы в параграфе 5 охарактеризуем размерность П во ’’внутренних” терминах группы Вейля W (см. теорему 4.5).
В заключение этого параграфа отметим, что морской бой впервые появился в статье [9] под названием ’допустимые диаграммы”. Оказалось, что он позволяет описывать все коприсоединенные орбиты в случае An-1 (то есть для унитреугольной группы) при n ^ 7, а также отдельные серии орбит (например, субрегулярные орбиты) для произвольного n. В статье [17] морской бой используется для полного описания орбит, ассоциированных с инволюциями, в случае An.
3. Полупрямое разложение группы U
В предыдущем параграфе мы кратко описали связь коприсоединенных орбит с неприводимыми представлениями и характерами группы U. С другой стороны, в изучении представлений конечных унипотентных групп важную роль играет метод Макки, связанный с понятием полупрямого разложения (см., например, [15]).
Пусть Q — произвольная конечная группа, A, B — ее подгруппы. Говорят, что Q есть полупрямое произведение своих подгрупп A и B, если Q = AB, A < Q и A П B = 1 (обозначение Q = A x B). Предположим дополнительно, что A является абелевой группой и у — какой-то ее неприводимый характер. Назовем централизатором этого характера в группе B подгруппу вида B¥ = {b е B | у о тъ = у], где тъ: A ^ A: a ^ bab~l.
Произвольный элемент g е Q можно однозначно представить в виде g = = ab, где а е A, b е B; следовательно, возникают отображения
nf: Q * A: g ^ а и л|: Q^B: g ^ b, g е^.
Для произвольной подгруппы В в B и произвольных характеров у: A ^ С и п: В ^ С, следовательно, можно определить характер (у о л^*^) ■ (п о лВ*В)
A В
группы A x В = AZ?. Основная идея метода Макки, позволяющая сводить
изучение представлений группы G к изучению представлений ее подгрупп, заключается в следующем:
Теорема 3.1. [15, Proposition 1.2] Пусть G = A х В — конечная группа, причем A — абелева группа. Тогда каждый неприводимый характер х группы G имеет вид
X = Ind^((У ◦ ПГВ¥) ■ (П ◦ )), (3.1)
где у, п — некоторые неприводимые характеры групп A и ВУ соответственно. Обратно, каждый характер вида (3.1) будет неприводимым характером G.
Покажем теперь, как использовать эти методы для нашей группы U. Обозначим через ui и 0 подалгебры в u следующего вида:
ui = kea, 0 = kea-
aeC1 аеФ+\С1
Ясно, что u = ui 0 0 как векторные пространства; легко проверить также, что ui — коммутативный идеал в u (в этой ситуации пишут u = ui х 0 и говорят, что алгебра u есть полупрямое произведение своих подалгебр ui и о). Обозначим Ui = exp(ui), V = exp(0).
Лемма 3.2. Группа U есть полупрямое произведение подгрупп Ui и V, то есть U = Ui х V, причем подгруппа Ui абелева.
Доказательство. Хорошо известно [6, Corollary 2.5.17], что U = = ПаеФ+ Ха, где положительные корни берутся в любом фиксированном порядке (например, ч) и Xa = {xa(t), t е к} — корневая подгруппа. Здесь для любого a е Ф+
( im + tea, если row(a) ф 0,
Xa (t) = exp(tea ) = < t2
l, 1 m a 2 еСЛИ Ct G Bn.
Отсюда следует, что U = UiV, причем
Ui =
' i 0 0 . .. 0 0 i 0 0 . .. 0 0
* i 0 . .. 0 0 0 i 0 . .. 0 0
* 0 i . .. 0 0 0 * i. .. 0 0
е U >, V = -
* 0 0 . . i 0 0 * * . i 0
, * * * * i, , 0 0 0 . .. 0 i ,
е U
Нормальность подгруппы и проверяется теперь простыми матричными вычислениями. Коммутативность и вытекает из того, что для нее имеет место формула Кэмпбелла-Хаусдорфа (1.4), а подалгебра и коммутативна.
Замечание 3.3. Мы не рассматриваем здесь систему корней Сп именно по той причине, что для нее эта лемма не верна: первый столбик не будет коммутативной подалгеброй, ибо (е1 - е,-) + (е1 + е,-) = 2е1 е С+.
Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 3.1 при 0 = и,А = = иьВ = и. Пусть теперь В = (в1 > ... > вЛ — базисная подсистема Ф+,
О = Пв,1 с и* — ассоциированная с ней орбита, / — каноническая форма
на ней, а х = Хо — соответствующий неприводимый характер группы и. Наша следующая цель — построить для него разложение вида (3.1). Этому посвящен остаток данного параграфа.
Через у = ^в,1 обозначим неприводимый характер группы и вида
\ г \ ?в1 • хг,1, если со1(в1) = 1, гош(в1) = г, , л
у(х) = в(/(1п(х))) = | 1,1 если со1(в,) > 1. (3 2)
(Для любого х = (х(-у) е и1, как легко проверить, 1п(х) = х - 1ш - х-пд •
• е-п,1.) Здесь и далее для произвольной матрицы х через хгу обозначается ее (г, у)-ый элемент.
С другой стороны, определим следующую подгруппу в группе V:
V' = Уа = ПаеФ+ Ха, где
Ф+ \ С1, если со1(в1) > 1,
ф+ = 1
1 ^ Ф+ \ (С1 и 5 (в1)), если со1(в1) = 1.
В частности, если со1(в0 > 1, то V' = V. Ясно, что V' = ехр(о'), где о' = = 2аеФ+ еа. Более того, если со1(в1) = 1,гош(в1) = г, то
V' = {х е V | xij = x-j— = 0,1 Ч j Ч i].
Лемма 3.4. Пусть со1(в1) = 1, tow(P1) = i. Тогда для любого у е о \ о' существует такой z е щ, что zi,1 Ф ((exp ady)(z))i, 1.
Доказательство. Положим
У =2 Уава + Xl Уб^б е В \ u', Уа е к.
аеФ+ 6&S-(в1)
Пусть 60 — наименьший в смысле Ч' (см. (1.1)) из всех б е S—(вО, для которых Уб Ф 0.
Так как F(б0) = —, то, по определению морского боя, существует такой Y0 е Ф+, что F(70) = + и Y0 + б0 = в1 (более того, в данном случае Y0 е С1, см. замечание 2.3). Выберем произвольную константу с е к* и рассмотрим элемент z = c^y0 е U1. По определению, zi,1 = 0. В то же время,
1 2
(exp ady)(z) = z + adyZ + -adyz +-
Для любого и е U1, разумеется, ыц = (и), поэтому, ввиду леммы 2.6,
(ad^X-д Ф 0 (так как [eY0, еб0] = с0ев1 для некоторого с0 Ф 0 и [eY0, еб] £ кев1 для всех б е Ф+, не равных б0).
Предположим теперь, что существует такое N е N и такие корни б1,..., 6n е Ф+ \ С1, что Y0 + б1 + ... + 6n = в1, причем yбi Ф 0 для всех
i = 1,...,N. Из [5, Гл. VI, §1, Предложение 19] вытекает существование такого i0, что в1 — б(-0 е Ф+; без ограничения общности можно считать, что i0 = 1. Другими словами, б1 е S (в1). Но б1 £ С1, а S +(в0 с С1 по определению, следовательно, б1 е S—(в1). Значит, б1 >' б0 в силу выбора корня б0. Таким образом, б0, б1 е S—(в1) и б1 >' б0; несложный перебор показывает,
что в этом случае 61 ^ 6о в смысле обычного порядка на корнях (а > в, если а - в е (Ф+)^>0). Но тогда и
Yo + 61 + 62 + ... + 6n ^ Yo + 60 + 62 + ... + 6n = в1 + 62... + 6n > вь
что противоречит выбору корней 6;. Отсюда следует, что ^ (a^N(z)) = 0 для любого N > 1, а значит, ((exp ady)(z));,i = с • со Ф 0, то есть z е ui — искомый элемент.
Лемма 3.5. Для произвольной базисной подсистемы D с Ф+ и произвольного ^ е (k*)n подгруппа V' совпадает с централизатором характера у в подгруппе V, то есть имеет место равенство V' = Vy.
Доказательство. Это очевидно в случае со1(в0 > 1 (ибо тогда V' = = Vy = V). Пусть со1(в0 = 1, row(eO = i. Рассмотрим произвольные элементы х = exp(y) е V и h = exp(z) е U1, где
У = ^ У а еа е I, Z = ^ zyey е U1, Уа, Zy е k.
аеФ+\С1 y€C1
Поскольку h = 1m + z + h-n,1 • e—„д, то
xhx-1 = exp(y)(1m + z + h-„,1 • e—1 )(exp(y))-1
= 1m + exp(y)z(exp(y))—1 + h—„,1 • exp(y)e—n,1 (exp(y))-1.
Но exp(y)z(exp(y))—1 = (expady)(z) (см. [7, с. 22]), а e—„д, как легко видеть, вообще не меняется при таком сопряжении. Следовательно,
xhx-1 = 1m + h—„,1 • e—„,1 + (expady )(z);
в частности, y(xhx— 1) = ^ • ((expady)(z));,1 (см. формулу (3.2)). Поскольку hi,1 = z;,1, лемма 3.4 показывает, что V' э Vy.
Осталось заметить, что для любого а е Ф+ подгруппа Ха содержится в централизаторе характера у. Следовательно, V' с Vy, а значит, они совпадают, что и требовалось доказать.
Итак, мы вычислили централизатор характера у в подгруппе V; исследуем его структуру более подробно. Обозначим
ф+ = J Ф+ \ S (ё1 ± Е;), если в1 = Е1 + Е;, 1 ^ i ^ П,
Ф+, иначе,
и положим
v1 = keа, 1 = keа. (3.3)
аеФ+\Ф+ аеФ+
Тривиально проверяется, что о' = Ох хи. Действуя, как в лемме 3.2, можно доказать, что V' = Ух х и, где
V1 = exp(U1) = Y\ Ха, U = exp(u) = Y\ Ха
аеФ+\Ф+
(если Ф+ = Ф+, то V1 = {1m} и 1 = V').
аеФ+\Ф+ аеФ+
Более того, мы замечаем, что и изоморфна максимальной унипотентной подгруппе ортогональной группы меньшего ранга. Точнее говоря, положим
Вп_1, если Ф = Вп, соі(ві) > 1,
Бп_1, если Ф = Бп, соі(ві) > 1,
Ф = ^ Вп_2, если Ф = Бп, соі(ві) = 1,
Вп_2, если Ф = Вп, соі(ві) = 1, гош(Р1) Ф 0,
Бп_1, если Ф = Вп, со1(в1) = 1, гош(Р1) = 0.
Лемма 3.6. Имеет место изоморфизм и = и(Ф).
Доказательство. Достаточно построить взаимно-однозначное отображение п: Ф+ ^ Ф+, которое продолжалось бы до изометрического изоморфизма (Ф+)к ^ . Заметим, что на самом деле Ф+ получается из Ф+
удалением некоторых строчек и столбцов. А именно,
\ Ф+ = Ф+ \ Сь если со1(^1) > 1,
Ф+ = \ Ф+ \ (С и Я0), если со1(р1) = 1, гош(Р1) = 0,
( Ф+ \ (С1 и Я и Я_і и Сі), если соІфО = 1, гошфО = і Ф 0.
Определим число и для Ф так же, как число т для Ф (см. параграф
2). Если оно четно, то положим и = и/2, а иначе и = (и +1)/2. Пронумеруем столбики корней из Ф+ от 1 до и, а строчки — от —п до и (пропуская 0, если и четно). Получаем искомое отображение п.
Той же буквой п мы будем обозначать соответствующий изоморфизм и ^ и(и), задаваемый правилом еа ^ еп(а), а є Ф+.
Теперь мы исполним обещание, данное в параграфе 3: докажем, что построенное с помощью морского боя пространство р является подалгеброй (а значит, поляризацией для канонической формы на орбите, ассоциированной с инволюцией, см. теорему 2.7).
Доказательство. Индукция по п. База индукции устанавливается прямой проверкой. Предположим, что предложение доказано для всех базисных подсистем всех систем корней типа В^ или , N < п.
Обозначим через Б базисную подсистему п(Б \ С1) с Ф+; пусть Т — связанный с ней морской бой на и+. Тогда Т|ф+ = Т◦ п, поэтому р = р Пи будет подалгеброй в и (а значит, ив и) по предположению индукции (как прообраз п-1(ри) подалгебры ри с и(Ф)).
Из определения морского боя (см. параграф 3) следует, что если а лежит в первом столбике Ф+, то Т(а) Ф _, поэтому щ с р. Обозначим р1 =
= р П01; другими словами, р1 = 0аєФ+\Ф+ еа. Очевидно, что р = и1 0р1 0р как
векторные пространства. Поскольку щ < и, ар с и — подалгебра по предположению индукции, для завершения доказательства достаточно показать, что [р, р 1 ] с р. Рассмотрим возможные случаи.
1. со1ф) > 1 или Ф = Вп, Р1 = Є1 (то есть соІфО = 1,гошфО = 0). Тогда Ф+ \ Ф+ = 0 и р1 = 0.
2. соІфО = 1, гошф) = _І (то есть в = Є1 + Б;). Тогда
Ф+ \ Ф+ = 5 _(В1 _ Ві) = (Ву _ Бі, 2 < ] < і _ 1}
и р1 — коммутативная подалгебра в и, поэтому осталось показать, что [р, р1] с р.
Предположим, что а є 5_(В1 _б,), в є РПФ+ и а + в = у є Ф+. (Напомним, что р = 0аєреа, определение Р см. в (2.3).) Поскольку Ф+ (и даже Ф+) не содержит Я_і и С,, а а = Ву _ б, для некоторого 2 ^ і ^ і, то у = Б/ _ б, для некоторого 2 ^ ^ і (так как члену _б, не с чем сократиться). Значит,
у є Я, = 5“(б, _ в,) и (В1 _ б,}; во всяком случае, е^ є р.
3. со1(в0 = 1, гош(в) = і (то есть в = В1 _ б,). Здесь
Ф+ \ Ф+ = 5_(Б1 + Бі) = (бу + Бі, 2 ^ у ^ і _ 1}и Сі, р1 — также коммутативная подалгебра в и, поэтому осталось показать, что [р, р1] с р.
Доказательство аналогично предыдущему пункту. Именно, пусть а є 5_(б1 + б,), в є Р П Ф+ и а + в = У є Ф+. Поскольку Ф+ (и даже Ф+) не содержит Я,, то члену б, в сумме а + в не с чем сократиться, поэтому он присутствует в у, то есть у є Я_і и С, = 5_(В1 + б,) и (В1 + б,}; во всяком случае, е^ є р.
Теперь, наконец, мы можем предъявить разложение вида (3.1) для неприводимого характера, ассоциированного с базисной подсистемой. Напомним, что мы построили полупрямое разложение и = и1 х V, определили неприводимый характер у группы и1 (см. (3.2)) и нашли его централизатор Vу = V' = V! х и. При этом и = Ые(и) = и(Ф), так что все неприводимые
характеры группы и находятся во взаимно-однозначном соответствии с ко-
присоединенными орбитами в и* (см. (2.1)).
Пусть, как и ранее, Б = (в1 > ... > вЛ — базисная подсистема Ф+, 5 є (к, П = Пд5 — ассоциированная с ней орбита и х — соответствующий неприводимый характер группы и. Пусть Б = п(Б \ С1) — базисная подсистема и+, П = Пщ — ассоциированная с ней орбита и и — соответствующий неприводимый характер группы и. Здесь
5 є (к*), если со1(в0 > 1,
(5в2,.. .,5в() є (к* У_\ если со1(в1) = 1.
Теорема 3.8. Имеет место равенство
X = М ^ „г ((У ° пUl^V) ■(и ° п ^ )). (3.4)
Здесь мм обозначили пи1*^ = п^ ° п^1*^ , имея в виду, что V' = V1 х и.
и и ^ 7 _ у’ _ 1
Доказательство. Положим Р = ехр(р) с и, Р = ехр(р) с и; отметим,
что Р = и х (Vl х Р). Обозначим функцию, стоящую в правой части (3.4),
через п. Согласно теореме 2.1,
х = імр(0 ° / ° 1п), и = Іпгї-(0 ° ! ° 1п).
Разобьем дальнейшие рассуждения на ряд шагов.
1. Если у є Р, то /(1п пр и(У)) = >^(1п п~00). В самом деле,
пР и(у) = (пV1 „Р ° пР и)(у) ■ (пи1 „Р ° пР и)(у) = пР (у) ■ пр(у).
К V К р v1xPy^y у1^у ру;
Пусть u = ln пр (у) е p, v = ln л—(у) е p; тогда, согласно (1.4), p
Пу x— = exp(u) exp(v) = exp(u + v + т), где T е [p, p],
а значит, ln пр - = ln л^ (у) +ln л—(у) +т. Но p — поляризация для f, поэтому
/(т) = 0. В то же время, ln пр (у) е Üi, а f |Vl = 0, очевидно (см. определение Üi в (3.3)). Отсюда следует, что
f (ln пр ^(у)) = f (ln пр1 (у)) + f (ln л—(у)) + / (т) = f (ln л—(у)).
2. Если у е P, то f(lnу—lnл—(у)—lnл^(у)) = 0. Доказательство аналогично
предыдущему пункту. Действительно, если u = ln лр -(у) е p, v = ln лр (у) е
Vi xP Ui
е p, то, согласно (1.4),
P P
у = ли1(у) ■ л х-(у) = exp(u) exp(v) = exp(u + v + т), где т е [p, p],
а значит, ln у = ln лр^ (у) + ln лр - + т. Но p — поляризация для f, поэтому /(т) = 0, а f(ln лр х-(у)) = f(ln л-(у)) в силу шага 1.
3. Пусть G = A х B — конечная группа, С — подгруппа в B и X — комплексный характер группы C. Тогда Ind^c(X ◦ лС^С) = (IndpiX) о л^ Это [15, Proposition 1.2].
4. Применим шаг 3 в случае G = V х —, A = Vi, B = U, С = P, X = 0оf oln. Получаем;
Ind— (0 о f о ln) о л—1 xU = IndVi xU(0 о f о ln ол—1 xP). uv J ' U v1xu^ J P
А теперь применим шаг 3 еще раз в случае G = Ui х V', A = Ui, B = = V' = Vi х —, С = Vi х P, X = 0 о f о ln ол—1 xP. Получаем:
T JVix^ г 1 xU _ Ui xV’ t jPixV' ,rs r 1 _Vi xP _ U1xV1 xU
Ind i -(0 о f о ln ол_ ) о л 1 - = Ind i - (0 о f о ln ол_ о л i -i ) =
Vi xP U VixU Uix(VixP3)^ P Vi xP
= IndPP1 xV (0 о f о ln ол-).
Следовательно, учитывая, что V' = Vi х —, имеем:
Ind— (0 о f о ln) о л-1 xV = (Ind—(0 о f о ln)) о л-1 xU о л^ xU =
PU UU PU UU Vi x UU
= Ind^f1 xV (0 о f о ln ол—).
5. Преобразуем правую часть (3.4) с учетом шага 4:
т jU // UixV\ /— Ui x V\4
n = IndU1 x V' ((y о лu1 ) ■(— о V )) =
= IndU1 xV ((0 о f о ln ол^xV ) ■ (Ind—(0 о f о ln) о л—1 xV )) =
= IndU1 xV' ((0 о f о ln ол^ xV ) ■ IndPP1 xV (0 о f о ln о л—)).
6. Имеет место равенство
IndP1 xV (0 о f о ln) = (0 о f о ln ол^ xV ) ■ IndP1 xV (0 о f о ln ол—).
Действительно, пусть H с Ui x V' — произвольная система представителей (Ui x V')/P (на самом деле, H с V', ибо Ui с P). Тогда для любого x е Ui x V'
((0 о f о ln onUi xV ) ■ IndpP1 xV (0 о f о ln on~))(x) =
= 0(f(lnnU1 ^V (x))) ■ Efe6H|fe-ixheP 0(f(lnnp^(h_1 xh))) =
= Zh€H|h-1 xheP 0( f (ln nUl ^ V ( x) + ln nPi(h~l xh)))-
Но h е B влечет h 1 n^(x)h = (h 1 xh) для произвольной конечной груп-
пы G = A x B и произвольных x е G, h е B. В нашей ситуации это означает, что
f (ln nU1 * V ( x)) = f (ln(h-1 nU1 * V (x)h)) = f (ln nU1* V (h-1 xh)), поскольку h е H с V' = Vv, см. лемму 3.5.
Кроме того, раз h-1 xh е P, то (h_1 xh) = nU(h-1 xh). Используя шаг
2, получаем:
((0 о f о ln onU1 xV ) ■ IndP1 xV (0 о f о ln on~))(x) =
= £h€H|h-1 xhеP 0(f (ln nUjl (x) + ln n^^(h-1 xh))) =
= £h€H|h-1 xh&P 0( f (ln h-1xh)) = IndP1 * V (0 о f о ln).
7. Комбинируя шаги 5 и 6, получаем, что
П = Ind^ *V,IndP1 *V' (0 о f о ln) = IndP(0 о f о ln) = x,
что и требовалось доказать.
Итак, вычисление неприводимого характера, ассоциированного с произвольной базисной подсистемой, сводится, фактически, к вычислению характера в максимальной унипотентной подгруппе ортогональной группы меньшего ранга. Этот индуктивный переход позволит нам доказать формулу для размерности орбиты, ассоциированной с базисной подсистемой.
4. Формула для размерности
Мы сохраняем все обозначения из предыдущих параграфов. В частности, D = {^1 > ... > |Зг} — базисная подсистема Ф+, П = Пд| — ассоциированная с ней коприсоединенная орбита группы U, x — соответствующий неприводимый характер этой группы. Напомним, что с D можно связать инволюцию о в группе Вейля W, положив Supp(o) = D (см. (1.3)). Наша цель в этом параграфе — охарактеризовать размерность П во "внутренних" терминах группы Вейля W (точнее, в терминах инволюции о), комбинируя теорему 3.8 со следствием 2.8.
Напомним, что мы определили систему корней Ф (пусть W — ее группа Вейля); через о е W обозначили инволюцию с носителем Supp(ô) = D = n(D\ СО (отображение п : Ф+ ^ Ф+ определяется в лемме 3.6). Пусть также
02 е W — инволюция с носителем D П Ф+. Для произвольной инволюции т е W(Ф) положим
Фт = {а е Ф+ | т(а) < 0, то есть т(а) е Ф-}.
Вычисление dim П основано, по сути, на сравнении множеств Фа, Фа2 и Ф^.
Нам понадобится еще несколько обозначений. Для произвольной инволюции т є W(Ф), носитель которой — базисная подсистема, через 1(т) (соотв., s(x)) будем обозначать длину редуцированного (самого короткого) разложения т в произведение простых (соотв., любых) отражений (то есть 1(т) — это длина т в группе Вейля). Как известно, 1(т) = |Фт|. Определим также число d(T) по формуле
#{|3 є Supp(T) | col(P) > i, row(P) < 0}, если Ф = Bn, є, є Supp(T),
0, иначе.
Поскольку Supp(T) — базисная подсистема (см. (1.2)), он не может содержать более одного корня вида є,, так как все они лежат в нулевой строке, поэтому число d(T) корректно определено.
Пример 4.1. Пусть Ф = B6, D = Supp(a) = {єі, є2 + є6, є3 + Є5} (ниже изображена диаграмма (Ф, F), соответствующая морскому бою F = Fd). Тогда d(a) = 2.
1 2 3 4 5 6 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
Для доказательства основного результата этого параграфа мы изучим, как связаны между собой характеристики 1(а) и 1(a) для различных случаев расположения корня |3і. Очевидно, что если col(|3i) > 1, то l(a) = l(a) (так как Ф+ = Ф+ = Ф+ \ С1).
Пусть СОІФ1) = 1, rOw(^1) = ±І Ф 0 (то есть Р1 = Є1 + є,). Поскольку П-1(Ф+) = Ф+, а Ф+ не содержит С1, C,, Ri и R-i, то для а є Ф+ условия a(a) < 0, a2(a) < 0 и о(п(а)) < 0 равносильны.
Понятно также, что если а є C1, то а2(а) > 0; при этом а(а) < 0 тогда и только тогда, когда а є S +(^1) ифО, то есть а Ч' в (или, что равносильно, row(a) ^ row(^1)). Аналогично, если а = є, є R0, то а2(а) = а > 0, а а(а) > 0 тогда и только тогда, когда row(^1) > 0.
+
+ +
+ + +
+ + • •
+ • • • •
• - - - 0
• • - 0
• • • 0
• • 0
• 0
0
Значит, Фа2 получается из лГ^Ф^) добавлением тех корней из (Я, иЯ- и С,) \ (С иЯо), которые под действием инволюции а2 становятся отрицательными (мы полагаем Яо = 0 в случае Ф = Dn).
Лемма 4.2. Пусть а, а определены, как раньше, и |3х = ех - е,, 2 ^ ^ п.
Тогда 1(а) = /(а) + 2, - 3.
Доказательство. Ввиду предыдущих замечаний, Фа П Сх состоит ровно из (, - 2) корней вида ех - еу, 1 < у < , (это корни из 5 +(вх)), и самого корня Рх.
Предположим, что а = еу + е, е Я-, х < у < ,. Поскольку среди ^2, в
нет корней, строчки или столбики которых имели бы номер ,, то а2(а) =
= е, ± е/ для некоторого /. В любом случае, а(а) = ех ± е/ > 0.
Предположим теперь, что а = е, ± еу е С,, , < у ^ п. Тогда а2(а) = е, ± е/ для некоторого / (знаки независимы), и а(а) = ех ± е/ > 0. Наконец, при а = еу - е, е Я,, х < у < , имеем а(а) = -ех ± ••• < 0 всегда.
Следовательно, все корни из Я- и С, отображаются инволюцией а в положительные корни, а все корни из Я, — в отрицательные (то есть действие на эти корни инволюции а2 не имеет значения). Итого:
/(а) = |Фа| = |л-х(Фг) и Я, и 5 +(|3х)| = |Фа1 + |Я,| + |5 +фх)| =
= /(а) + (, - х) + (, - 2) = /(а) + 2, - 3,
что и требовалось доказать.
Лемма 4.3. Пусть а, а определены, как раньше, и |3х = ех + е,, 2 ^ ^ п. Тогда /(а) = /(а) + 2(т - ,) - 3.
Доказательство. Ввиду предыдущих замечаний, Фа П Сх состоит ровно из (т -,-2) корней вида {ех ± еу}, х < у < ,- х (это корни из 5 +(Р0; в случае Ф = Вп к ним добавляется еще корень ех), и самого корня |3х.
Предположим, что а = еу- е, е Я,, х < у < ,. Поскольку среди Р2, •••, Рг нет корней, строчки или столбики которых имели бы номер ,, то а2(а) = - е,±е/ для некоторого /. В любом случае, а(а) = ех ± е/ > 0.
Предположим теперь, что а = е, ± еу е С,, , < у ^ п. Тогда а2(а) = е, ± е/
для некоторого / (знаки независимы), и а(а) = -ех ± е/ < 0. Наконец, при а = еу + е, е Я-, х < у < , имеем а(а) = -ех ± ••• < 0 всегда.
Следовательно, все корни из Я, отображаются инволюцией а в положительные корни, а все корни из Я-,иС, — в отрицательные (то есть действие на эти корни инволюции а2 не имеет значения). Итого:
/(а) = |Фа| = кЧФа) и Я-, и С, и 5 +(Рх)| = |Фа| + |Я-,| + |С,|+
+5 +(Рх)| = /(о) + (, - х) + (т - 2,) + (т - , - 2) = /(а) + 2(т - ,) - 3,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь случай, когда |3х = ех (то есть гошфх) = 0).
Лемма 4.4. Пусть Ф = Вп, а,а определены, как раньше, и |3х = ех. Тогда /(а) = /(а) + 2(п + й(а)) - х.
Доказательство. Здесь Ф+ = Ф+ = Ф+ \ (Сх и Я0). Ясно, что грх |Ф+ = id, поэтому для а е Ф+ условия а(а) < 0, а2(а) < 0 и а(п(а)) < 0 равносиль-
ны. Значит, Фа получается из лТ^Ф^) добавлением тех корней из Ci U Ro, которые под действием инволюции а становятся отрицательными.
В данном случае Фа П Ci = Ci состоит ровно из (2n - 1) корня. Предположим, что а = е(- е Ro, 2 ^ i ^ n. Тогда гр1(а) = а, поэтому а(а) = а2(а).
Но а2(а) = ±е/ < 0 тогда и только тогда, когда в = е(- + е/ е Supp(a2) для некоторого l > 1 (причем каждый такой в добавляет в Фа сразу два корня: е,- и е/). Итого:
/(а) = |Фа| = |п-1(Ф^)| + |Ci| + 2 ■ #{в е Supp(a2) | гош(в) < 0} =
= /(а) + (2n - 1) + 2d(a) = l(a) + 2(n + 2d(a)) - 1,
что и требовалось доказать.
Теперь мы в состоянии получить формулу, описывающую размерность орбиты, ассоциированной с базисной подсистемой.
Теорема 4.5. Пусть Ф = Bn или Dn, W — ее группа Вейля, D = {в1 > > ... > вг} — базисная подсистема Ф+, а е W — инволюция с носителем Supp^) = D и П = Hd,| — ассоциированная орбита (для некоторого ^ е (к*)г). Тогда размерность этой орбиты равна
dim П = /(а) - 5(а) - 2^(а).
Доказательство. Пусть х — неприводимый характер группы U, соответствующий орбите П (см. (2.1)). Будем через deg х обозначать размерность соответствующего представления; тогда degx = q2dimil (см. теорему 2.1).
Доказательство будем проводить индукцией по n (база индукции проверяется непосредственно). Ввиду теоремы 3.8 (см. (3.4)),
degх = degx ■ [U : (U1 х V')].
Здесь П — орбита, ассоциированная с базисной подсистемой D, а U — соответствующий неприводимый характер группы U. В силу предположения индукции, degU = /(U) - s(U) - 2d(U). Исследуем различные варианты расположения корня в1.
1. со1(в0 > 1. Это тривиальный случай: здесь /(а) = /(U), s^) = s(U),
д.(а) = d(U) и dim П = dim П. Действительно, Ф+ = Ф+ = Ф+ \ C1; ввиду след-
ствия 2.8, размерность П (соотв. П) равна количеству символов ± в диаграмме (Ф, Fa) (соотв. (Ф, F), где F = FU). Но ^|Ф+ = F ◦ п, а F(а) = • для любого а е C1 , поэтому
dim П = #{а е Ф+ | F(a) = ±} = #{а е Ф+ | F(a) = ±} = dim П.
2. со1(в1) = 1,row(e1) = i, 1 ^ i ^ n (то есть в1 = е1 - е,). Здесь d(а) = d(U). Ясно, что
[U : (U1 х V')] = q|S (в1)| = q1-2, поэтому
degx = q^AimSl = degx;- [U : (U\ x V')] = qhdimS1+l~2,
dim П = dim П + 2(i - 2).
С другой стороны, с учетом леммы 4.2 и предположения индукции, получаем, что
l(o) — 5(0) — 2d(o) = (l(U) + 2 г — 3) — ( s(U)+ 1) — 2d(U) =
= dim П + 2(i — 2) = dim П.
3. col(Pi) = 1,row(Pi) = —i, 1 ^ i ^ и (то есть Pi = ei + е(-). Рассуждения
такие же, как и в предыдущем случае. А именно, d(o) = d(U) и, с учетом
леммы 4.3,
[U : (U1 х V')] = q|S—(в1)| = qm—i—2,
degx = qïAimÇl = degx;- [U : (U\ x У')] = qï dima+m~l~2,
dim П = dim П + 2(m — i — 2),
l(o) — s(o) — 2d(o) = (l(U) + 2(m — i) — 3) — ( s(U) + 1) — 2d(U) =
= dim П + 2(m — i — 2) = dim П.
4. col(P1) = 1, row(|31) = 0 (то есть Ф = Bn и p1 = e1). Тогда d(U) = 0,
поэтому, с учетом леммы 4.4,
[U : (U1 х V')] = q|S—(в1)| = qn—1,
degx = q^AimÇi = deg^- [U : (U\ x V')] = дзйшШ+и-1,
dim П = dim П + 2(n — 1),
l(o) — s(o) — 2d(o) = (l(U) + 2(n + d(o)) — 1) — ( s(U) + 1) — 2d(o) =
= dim П + 2(n — 1) = dim П.
Теорема доказана.
Пример 4.6. Пусть Ф = Bô, o — инволюция из примера 4.1, то есть Supp(o) = D = {ei,e2 + еб,ез + e5}. Согласно следствию 2.8, размерность любой ассоциированной с D орбиты равна количеству символов ± на диаграмме (Ф, FD), то есть dim П = 18.
В то же время,
Фo = Ci и {е2 — е4, е2, е2 + ез, е2 + е5, е2 + еб}и
и{ез — е4, ез, ез + е5, ез + еб} U {е4 + е5, е4 + еб} U fe, е5 + еб} U {еб}.
Значит, l(o) = Ф| = 25, s(o) = |Supp(o)| = з, поэтому, ввиду теоремы 4.5,
dim П = l(o) — s(o) — 2d(o) = 25 — з — 2 ■ 2 = 18.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю А.Н. Панову за постановку задачи и внимание к работе.
Приложение
Здесь мы приводим пошаговое заполнение диаграммы (Ф, FD) из примера 2.5. Пусть Ф = B6, D = {е1, е2 + е5, ез — еб}.
1 2 3 4 5 6 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
Шаг 0 о
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 О -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
Шаг 1 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
+
+
+
+
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
1 2 3 4 5 6 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
Шаг 2 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 О -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
Шаг 3 о
-6 -5 -4 -3 -2 -1
+
+ +
+ + +
+
+ + - -
+ - О
- - О
О
О
О
О
+
+ +
+ +
+
+ + -
+ - О
- - О
О
О
О
О
1 2 3 4 5 6 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
Шаг 4 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
Литература
[1] Andre, C.A.M. Basic characters of the unitriangular group /
C.A.M. Andre // J. Algebra. - 1995. - V. 175. - P. 287-319.
[2] Andre, C.A.M. The basic character table of the unitriangular group /
C.A.M. Andre // J. Algebra. - 2001. - V. 241. - P. 437-471.
[3] Andre, C.A.M. Basic sums of coadjoint orbits of the unitriangular group / C.A.M. Andre // J. Algebra. - 1995. - V. 176. - P. 959-1000.
[4] Andre, C.A.M, Neto A.M. Super-characters of finite unipotent groups of
types Bn, Cn and Dn / C.A.M. Andre // J. Algebra. - 2006. - V. 305. -
P. 394-429.
[5] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли: группы Кокстера и системы Титса, группы, порожденные отражениями, системы корней / Н. Бурбаки. -М.: Мир, 1972.
[6] Carter, R.W. Simple groups of Lie type / R.W. Carter. - London: Wiley, 1972.
[7] Хамфри, Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Дж. Хамфри. - М.: МЦНМО, 2003.
[8] Игнатьев, М.В. Субрегулярные характеры унитреугольной группы над конечным полем / Игнатьев М.В. // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. - Т. 13. - Вып. 5 - с. 103-125, см. также arXiv:math.RT/0801.3079v2.
[9] Игнатьев М.В., Панов А.Н. Коприсоединенные орбиты группы UT(7, K) / М.В. Игнатьев, А.Н. Панов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. - Т. 13> - Вып. 5. - С. 127-159, см. также arXiv: math.RT/0603649v3.
+
+ +
+ + +
+ • • •
+ + - -
• + • • - 0
• - - 0
• • • 0
• • 0
• 0
0
[10] Kazhdan, D. Proof of Springer’s hypothesis / D. Kazhdan // Israel J. Math.. - 1977. - V. 28. - P. 272-286.
[11] Кириллов, А.А. Лекции по методу орбит // А.А. Кириллов. - Новосибирск: Научная книга ИДМИ, 2002.
[12] Кириллов А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли / А.А. Кириллов // УМН. - 1962. - Т. 17. - С. 57-110.
[13] Кириллов, А.А. Метод орбит и конечные группы / А.А. Кириллов. -М.: МЦНМО, МК НМУ, 1998.
[14] Kirillov, А.А. Variations on the triangular theme / А.А. Kirillov // Amer. Math. Soc. Transl. - 1995. - V. 169 - P. 43-73.
[15] Lehrer, G.I. Discrete series and the unipotent subgroup / G.I. Lehrer // Composito Math. - 1974. - V. 28. - Fasc. 1. - P. 9-19.
[16] Mukherjee S. Coadjoint orbits for A+_p B+ and D+ / S. Mukherjee. - arXiv: math.RT/0501332v1.
[17] Панов, А.Н. Инволюции в Sn и ассоциированные коприсоединенные орбиты / А.Н. Панов // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2007. - Т. 349. - С. 150-173, см. также arXiv: math.RT/0801.3022v1.
[18] Srinivasan, B. Representations of finite Chevalley groups / B. Srinivasan // Lecture Notes in Math. - V. 366. - New York: Springer-Verlag, 1974.
Поступила в редакцию 24/У/2008; в окончательном варианте — 16/VT/2008.
BASIC SUBSYSTEMS OF ROOT SYSTEMS OF TYPES Bn AND Dn AND ASSOCIATED COADJOINT ORBITS3
© 2008 M.V. Ignatev4
To each basic subsystem of root system of type Bn or Dn one can assign the set of coadjoint orbits of maximal unipotent subgroup of corresponding classical group over a finite field. We construct polarizations of the canonical forms on these orbits (Theorem 2.7) and describe the dimensions of these orbits in terms of the Weil group (Theorem 4.5).
Keywords: basic subsystem, coadjoint orbit, canonical form, polarization.
Paper received 24/V/2008; Paper accepted 16/V7/2008.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.E. Voskresenskii.
4Ignatev Mikhail Viktorovich ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
