Диаграммный метод в исследовании коприсоединенных орбит Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

ДИАГРАММНЫЙ МЕТОД В ИССЛЕДОВАНИИ КОПРИСОЕДИНЕННЫХ ОРБИТ

© 2008 А.Н. Панов1

В работе по алгебре Ли специального вида строится диаграмма, по которой можно определить индекс и максимальную размерность ко-присоединенного представления. Показывается, что расстановка символов в диаграмме зависит от свойств ассоциированной подстановки.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект №08-01-00151 и 06-01-00037)

Ключевые слова: алгебра Ли, диаграммный метод, диаграмма, коприсо-единенное представление.

Введение

Коприсоединенные орбиты групп Ли интересны, по крайней мере, с двух точек зрения. Согласно методу орбит А.А. Кириллова [1,2], для нильпотент-ных групп Ли существует взаимно однозначное соответствие между копри-соединенными орбитами и неприводимыми унитарными представлениями в гильбертовых пространствах. Это позволяет решать задачи теории представлений и гармонического анализа в геометрических терминах пространства орбит. С другой точки зрения, коприсоединенные орбиты являются симплектическими многообразиями, и многие гамильтоновы системы классической механики реализуются на этих орбитах [3-5]. Однако сама задача описания всех коприсоединенных орбит для конкретных нильпотентных групп Ли (таких как, например, группа унитреугольных матриц) является в настоящее время открытой проблемой, интерес к которой не ослабевает [6].

1 Панов Александр Николаевич ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

В самой первой работе по методу орбит [2] было получено описание алгебры инвариантов коприсоединенного представления унитреугольной группы и классификация орбит максимальной размерности. В работе [7] проведена классификация всех коприсоединенных орбит для групп ИТ(п, К) до порядка меньше или равного семи. В этой же работе получено описание субрегулярных коприсоединенных орбит для произвольного п.

В работе [8] рассматривается семейство орбит, ассоциированных с инволюциями. Частным случаем является семейство орбит максимальной размерности, которой ассоциировано с инволюцией максимальной длины. Получена формула для размерности таких орбит, найдены образующие элементы в определяющем идеале орбиты, для канонической формы на орбите построена поляризация.

Настоящая работа является продолжением работы [9], в которой по каждой алгебре Ли X, определенной в конце введения, строится некоторая диаграмма ©£. По этой диаграмме можно легко вычислить максимальную размерность коприсоединенной орбиты и определить индекс для X.

Напомним, что индекс алгебры Ли — минимальная размерность стабилизатора линейной формы на этой алгебре Ли. Для нильпотентных алгебр Ли поле инвариантов коприсоединенного представления является чисто тран-цендентным расширением основного поля степени, равной индексу этой алгебры Ли [10].

В [9] диаграмма &£ строится индуктивным методом, который удобен в конкретных примерах и очень не удобен для доказательства каких-либо общих теорем. Хотелось бы иметь некоторую формулу, указывающую какой символ в диаграмме окажется на каждом месте.

Эта задача решается в настоящей работе. По каждой алгебре Ли рассматриваемой алгебре Ли X строится подстановка w£. Основные результаты работы формулируются в терминах разложения подстановки w£ в произведение отражений и ее действия на отрезке натурального ряда [1, п] (см. теоремы 2.2, 2.6 и 2.7). В заключении работы сформулирована гипотеза о строении поля инвариантов коприсоединенного представления для алгебры Ли X.

Перейдем к изложению содержания работы. Пусть N = ИТ(п, К) — группа нижнетреугольных матриц размера п X п с единицами по диагонали и с элементами из поля К нулевой характеристики. Алгебра Ли п = и1(п, К) этой группы состоит из нижнетреугольных матриц размера п X п с нулями по диагонали. Группа N действует на сопряженным пространстве п* по формуле А^/(х) = /(А^"1 х). Это представление называют коприсоединен-ным представлением. Отождествим симметрическую алгебру S (п) с алгеброй регулярных функций К[п*] на сопряженном пространстве п*. Отождествим также п с подпространством верхнетреугольных матриц с нулями по диагонали. Спаривание п и п* реализуется с помощью формы Киллинга (а, Ь) = Тг(аЬ), где а е п, Ь е п*. При таком отождествлении коприсоединен-

ное представление имеет вид Adgb = P(Adgb), где P — естественная проекция пространства n X n-матриц на n*.

Напомним, что для любой алгебры Ли g алгебра ^[g*] является алгеброй Пуассона относительно скобки, для которой {х,у) = [x,у], x,у е g. Симплектические листы этой скобки Пуассона совпадают с орбитами присоединенного представления [1]. Соответственно, алгебра элементов Казимира из ^[g*] совпадает с алгеброй инвариантов ^[g*]L коприсоединенно-го представления. Добавим, что коприсоединенные орбиты произвольной нильпотентной группы Ли являются замкнутыми в топологии Зарисского подмножествами в g* [10, 11.2.4].

В целях упрощения языка будем называть корнем произвольную пару (г, j), где i, j — натуральные числа от 1 до n и i Ф j. Группа подстановок Sn действует на множестве корней по формуле w(i, j) = (w(i), w(j)).

Если i > j, то корень (i, j) назовем положительным. Соответственно, если i < j, то корень отрицательный. Множество положительных корней обозначим через A.

Для любого корня n = (i, j), то через —п обозначим корень (j, i). На множестве положительных корней определим частичную операцию сложения: если n = (i, j) е A и rf = (j,т) е A, то п + п' = (i, m).

Рассмотрим стандартный базис {yij : (i, j) е A) в алгебре n. Будем также использовать обозначение у| для yij, где ^ = (i, j).

Зафиксируем некоторое подмножество M с A, удовлетворяющее условию: если п е M, п' е A и п + п' определено, то п + п' е M . Обозначим через m подпространство, натянутое на {yij : (i, j) е M). Из определения

M, подпространство m является идеалом в алгебре Ли n.

Обозначим через L факторалгебру Ли n/m и через L соответствующую

факторгруппу N по нормальной подгруппе exp(m). Отметим, что сопряжен-

/■»* * ное пространство L является подпространством в n , состоящим из тех

f е n*, которые аннулируются на m. Коприсоединенная L-орбита для f е£*

совпадает с ее N-орбитой.

1. Метод построения диаграммы

Как было сказано, в работе [9] по всякой алгебре Ли L выла построена диаграмма ©£. Изложим метод построения диаграммы Dl и сформулируем основные утверждения работы [9].

Рассмотрим отношение порядка > на множестве пар A, для которого

(n, 1) > (n — 1,1) > ... > (2,1) > (n, 2) > ... > (3,2) > ... > (n, n — 1).

По идеалу m построим диаграмму, представляющая собой n X n-матрицу, в которой места (i, j), i ^ j не заполняются, а остальные места (т.е. места из A) заполняются символами <8>, •, ” +” и ” —” по изложенным ниже правилам. Места (i, j) е M заполняются символом •. Назовем эту процедуру нулевым шагом в построении диаграммы.

На наибольшее в смысле отношения > место из А \ М ставим символ ®. Заметим, что этот символ будет стоять в первом столбце, если множество пар вида (і, 1) из А \ М не пусто. Предположим, что мы поставили символ <8> на место (к, г), к > г. Далее, на все места (к, а), г < а < к, ставим символ ” —”, и на все места (Ь, г), 1 < Ь < к, ставим символ ” +”. На этом завершается первый шаг в построении диаграммы.

Если после этой процедуры часть клеток из А остаются незаполненными, то мы снова ставим символ ® на наибольшее (в смысле отношения > ) свободное место из А. Далее, мы расставляем символы ” +” и ” —” на свободные места по тому же правилу с учетом следующего замечания: символы ” +” и ” —” расставляются парами, если оба места (к, а) и (а, г), где к > а > г, свободны, то на первое ставится ” —”, а на второе ” +”; если же одно из мест, (к, а) или (а, г), уже занято, то второе место не заполняется. После расстановки плюсов и минусов завершается очередной шаг, которому мы даем номер 2.

Продолжая процедуру дальше, мы получаем диаграмму. Обозначим построенную диаграмму через ©£. Номер последнего шага совпадает с количеством символов <8> в диаграмме.

Пример 1: Пусть п = 7, т = Ку5і 0 Кубі Ф Куц 0 Ку62. Соответствующая диаграмма имеет вид

£>х =

+

+ +

<8> — —

• + + <8>

• <8> — + —

• • <8> <8> — —

Диаграмма строится в 5 шагов, начиная с нулевого:

=>

+

+ +

<8> — —

• +

• <8> — —

• •

=>

+

+

<8> —

•

•

• •

+

+ +

<8> — —

• + +

• <8> — —

• • <8> —

=>

=>

+ +

+ + + +

<8> — => <8> — —

• + + • + + <8>

• <8> — + — • <8> — +

• • <8> <8> — • • <8> <8> —

Обозначим через S (соотв. С+, С—) множество пар (г, ]), заполненных на диаграмме символом <8> (соотв. ” +”, ”—”). Множество А пар (г, ]), г > ], разлагается на непересекающиеся подмножества: А = М и С+ и С-и S.

Обозначим через Ат алгебру Пуассона рт; ц\,...,цт], {рг, q^•} =

= 1 и {рг, qj} = 0 для г ф ]. Напомним, что алгебра Пуассона А распадается в тензорное произведение двух алгебр Пуассона В ®&2, если А изоморфна как коммутативная ассоциативная алгебра и {В\,В2} = 0. Следующие теоремы 1.1 и 1.2 — основные результаты работы [9].

Теорема 1.1 [9]: Существуют z\,...,Zs е К[X*]1, где 5 = |51, такие, что

1) каждое Zi = У%^+Р>г, где Q — некоторое произведение степеней от Zl,... ^—\, а Р>, — многочлен от {ул}, п ^ ?>;

2) обозначим через ^ множество знаменателей, порожденное z\,...,Zs'; локализация K[L*]z алгебры K[X*] по множеству знаменателей ^ как алгебра Пуассона изоморфна тензорному произведению K [г±,...^± ] <8> Аm для некоторого т.

Теорема 1.2 [9]:

1) Поле инвариантов K(X*)1 совпадает с полем K(z\,...,zs).

2) Максимальная размерность коприсоединенной орбиты в X* равна сумме чисел символов ” +” и ” —” в диаграмме ©£.

3) Индекс алгебры Ли X совпадает с числом символов <8> в диаграмме ©£. Следует отметить, что в доказательстве теоремы 1.1 элементы ^} строятся индуктивным путем, что оставляет нерешенным вопрос о нахождении для них явной формулы (например, в терминах коэффициентов миноров характеристической матрицы). К вопросу о явной формуле для образующих поля инвариантов мы вернемся в заключительном параграфе работы.

Сформулируем еще два вспомогательных утверждения из [9], которые будут использованы в этой работе. Обозначим через Bi множество пар (а, Ъ), a > Ъ, которые остаются незаполненными после г-го шага в процедуре заполнения диаграммы. Подмножества в, образуют цепочку:

В0 э В1 э ... э В5 = 0,

где 5 = |51. Обозначим Аг = В{ и М, п, = 8рап{уп : п е А,-}, Хг = пг/т. Здесь

А = Ао.

Пусть S = {^1 > ... > }. Напомним, что место е S занято на диа-

грамме символом <8> на г-том шаге.

a >

в n

Для 1 ^ г ^ 5 обозначим через С-г(соотв. С+г) множество пар (а, Ъ),

Ъ, которые заполняются символом ” —”(соотв.” +”) на г-том шаге.

Предложение 1.3 [9, Лемма 1]: Подпространство пг- (соотв. X;) (соотв. X) является подалгеброй Ли.

Для любого 1 ^ г ^ 5 обозначим

В~1 = {п е Д+& > п, п е и С-^

К

0+, = {п е Д+& > п, п е У С+j}.

К

Заметим, что места п е 0+, располагаются, в том же столбце, что и ^г-.

Через З-г, где 1 ^ г ^ 5, линейное подпространство в п, натянутое на векторы Уп, п е О-.

Предложение 1.4 [9, Лемма 2]: Для любого 1 ^ г ^ 5 подпространство З-г является подалгеброй Ли в п.

В примере 1:

(4: 1), §2 = (6, 2), §з = (7,3), §4 = (7,4), §5 = (5

C- ч = {(4,2), (4,3)}, d-1 = span{y42, У43};

C- "2 = {(6,3), (6,5)}, d-2 = span{y42, У43, У63, У65 };

C- "з = {(7,5)}, d-3 = span{y43, У63, У65, У75 };

C- 4 = {(7,6)}, d-4 = span{y65, У75, У76};

C- "5 = 0, d-5 = d-4.

2. Ассоциированная подстановка и ее разложения

Алгебре Ли X поставим в соответствие подстановку, которая определяется следующим образом.

Определение 2.1: Обозначим через w = wx подстановку из Sn для которой

1) w(1) = max{1 ^ i ^ n| (i, 1) £ M};

2) w(t) = max{1 ^ i ^ n| (i, t) £ M, i £ {w(1),..., w(t - 1)}} для всех 2 ^ t ^ n. Как обычно обозначим через l(w) — наименьшее числом множителей во

всевозможных разложениях w в произведение простых отражений. Число l(w) совпадает с числом инверсий в перестановке (w(1),...,w(n)).

Теорема 2.2: Число l(w) совпадает с dimX.

Доказательство: Обозначим через l(w)(t) число таких к, что к > t и w(k) < w(t).

Покажем, что l(w)(t) совпадает с dimX(t), где X(t) = span{y,-t| (i, t) £ M}. Пусть a(t) — наибольшее число, такое, что пара (a(t), t) не содержится в M. Очевидно, что a(t) ^ t, и dim X(t) = a(t) - t.

C другой стороны видно, что множество {w(1),...,w(t)} содержится в отрезке [1,a(t)]. Согласно методу построения w, всякий элемент с из отрезка

[1, a(t)], не входящий в {w(1),..., w(t)}, имеет вид с = w(k), для некоторого k > t, такого, что w(k) < w(t). Отрезок [1, a(t)] распадается:

[1, a(t)] = {w(1),..., w(t)} |_| {w(k)| к > t, w(k) < w(t)}.

Отсюда l(w)(t) = a(t) - t = dim X(t). Поскольку

n

l(w) = ^ l(w)(t) и X = ®nt=1X(t), t=1

то l(w) = dim X.

Напомним, что S = {§1 > §2 > ... > §s}. Положим wo = 1. Для любого 1 ^ i ^ s обозначим

wi = r§1 r§2 •••r§i, (1)

Множество {n e A| §i > n} распадается в несвязное объединение

Bi U D~i U D+.

Предложение 2.3:

1) Если n e Bi, то w,-(n) > 0.

2) Если n e D~i U D+, то wi(n) < 0.

Доказательство: будем проводить методом индукции по 0 ^ i ^ s. Для i = 0 утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для всех номеров меньших i. Докажем для номера i.

Пусть §i = (k, t), k > t. Разобьем {n| §i > n} на четыре подмножества

I U II U III U IV, где

I = {(b, t)| t < b < k},

II = {(k, c)| t < с < k},

III = {(b, k)| k < b},

а в IV входят все остальные пары из {n| §i > n}, которые не попали в I,

II или III.

Если n e IV, то r§.(n) = n, и утверждения предложения вытекают из предположения индукции.

Случай 1: Пусть n e I П Bi. Тогда n = (b, t), где t < b < k, и место n пусто после i-го шага. Поэтому место (k, b) заполнено (символом ”-”) до i-го шага (иначе на i-том шаге место (b, t) будет заполнено символом ” + +”). Из предположения индукции вытекает, что wi_1(n0 < 0 для rf = (k, b). Поэтому получаем

wi(n) = wi_1r§i(n) = _wi_1(n') > 0.

Случай 2: Пусть n e IП (D_ U D+). В следующих пунктах 2a) и 2b) мы покажем, что wi(n) < 0.

2a). Пусть n e IП C++. Тогда n = (b, t), где t < b < k, и место n отмечено символом ” +” на i-го шаге. Поэтому место (k, b) заполнено символом ”_” на i-ом шаге и пусто на предыдущем (i _ 1)-ом шаге. Из предположения индукции вытекает, что wi_1(n') > 0 для n' = (k, b). Поэтому

wi(n) = wi_1r§i(n) = _wi_1(n') < 0.

2Ь). Пусть п е IП (О- и О+) и п £ С+. В этом случае место п заполнено одним из символов ” +” или ”-” на некотором 1-том шаге, j < г.

Покажем, что место п', равное -Г|;(п) = (к, Ъ), свободно после г-го шага (т.е. п' е в,). Предположим противное. Тогда п' е С- для некоторого j < г. При этом место '%j находится в столбце с номером меньшим, чем г. Поскольку п е О- и О+, то п е О- или п е О+. Из п е О- и п' е Сс О-, вытекает, что = п + п' е О- (см. предложение 1.4). Что приводит к противоречию. Остается рассмотреть случай п е О+. Тогда п е Ст для некоторого ^т = = (с, г), с > к, лежащего в том же г-том столбце, что и 'В,, только ниже "%(. Тогда на т-ном шаге место п, равное (Ъ, г) получает символ ” +”, а место (с,Ъ) —символ ”-”. На т-ном шаге место (с,к) уже занято символом ”-” (иначе на т-ном шаге (с, к) получит символ ”-”, а , равное (к, г), символ ” +”). Итак, после (т - 1)-го шага места (к, Ъ), равное п', и (с, к) уже заполнены символом ”-”, в то время как место (с,Ъ) пусто. Это противоречит тому, что З-т-1 —подалгебра.

Итак, п' е в,. Тогда н,- 1(п') > 0 и, следовательно, можно получить, что ^г(п) = -1(п') < 0. Что доказывает 2) для случая п е I.

Случай 3: п е II П в,. Рассматривается аналогично случаю 1.

Случай 4: п е II П (О-и О+). Рассматривается аналогично случаю 2.

Случай 5: п е III. Как в доказательстве теоремы 2.2, обозначим через а(г), наибольшее число, зависящее от г, такое, что (а(г), г) £ М. Тогда все пары (с, г), где с > г, лежат в М. Напомним, что III = {(Ъ, к)| к < Ъ}. Разобьем III на два подмножества:

Ш1 = {(Ъ, к) е ПЦ к < Ъ < а(г)},

Ш2 = {(Ъ, к) е III| п ^ Ъ > а(г)}.

5а. Пусть п е Ш2. Из определения а(г) прямоугольник (а(г\ п] X [1, г] в диаграмме ©X заполнен символом •. Все места ^-, j ^ г, расположены выше этого прямоугольника. Отсюда Ш2 с В, и н’г(п) > 0. Что доказывает утверждение предложения в этом случае.

5Ь. Покажем, что Ш1 си1<{С-. Предположим противное, пусть существует п = (Ъ, к) е Ш1, такой, что

п £ и С- ■

1<г

Тогда место п пусто после г-го шага. Рассмотрим место (Ъ, г). Поскольку

Ъ > к, то место (Ъ, г) заполнено ранее г-шага одним из символов ”<8>”, ”-”

или ”+”.

С другой стороны, на месте (Ъ, г) не может стоять символ <8>, поскольку тогда п = ?т для некоторого т < г. И на т-ном шаге место = (к, г) будет заполнено символом ” +” (соотв. (Ъ, к) —символом ”-”). На месте (Ъ, г) не может стоять символ ”-”, поскольку тогда (к, г) е В,-1, (Ъ, к) е В, с В,-

и (Ъ, г) £ В,-1, что противоречит предложению 1.3( подпространство п,-1 не является подалгеброй).

Остается последнее: на месте (Ъ, г) стоит символ ”+”. Тогда существует

|у = (с, г) е S, 1 < г, с > Ъ, такой, что на 1-том шаге на месте (Ъ, г) появляется символ ” +” и на месте (с,Ъ) —символ ”-”. На этом же у-том шаге место (с,к) должно быть уже занято, иначе (к, г) получит символ ” +” и будет занято до г-го шага. Согласно процедуре расстановки символов, место (с, к) может быть занято только символом ”-”. Итак, после у - 1-го шага мы получаем, что места (с, Ъ) и (Ъ, к) свободны, а место (с, к) занято символом ”-”. Это противоречит утверждению, что пу-1 —подалгебра (см. предложение 1.4). Утверждение пункта 5Ь) доказано.

5с. Покажем, что м(п) < 0 для любого п = (Ъ, к) е III!. Пусть п = (Ъ, к). Тогда (Ъ, г) = Г|.(Ъ, к). Пусть т - наибольший номер, такой, что |т > (Ъ, г). Возможны следующие два случая.

a) т = г - 1. Тогда либо (Ъ, г) = !,-1, либо (Ъ, г) е О++1 и О-1. В любом случае н,- 1(Ъ, г) < 0. Получаем

м(п) = ™,-1 Г|,(Ъ, к)) = м,- 1(Ъ, г)) < 0.

b) т > г - 1. Пусть | г-1 = (с, г). Тогда Ъ > с и

Г|,-1 Г|,(Ъ, к) = Г|.-1(Ъ, г) = (Ъ, с).

Заметим, что Г|р(Ъ, с) = (Ъ, с) для всех т < р < г - 1. Поэтому

Мг(п) = Нт^т+1 . . . Г|,-1 Г|,(Ъ, к) = Нт(Ъ, с). (2)

Осталось показать, что мт(Ъ, с) < 0.

Поскольку в паре |т номер столбца меньше или равен г, а с > г, то место (Ъ, с) после т-го шага может быть либо свободно, либо занято символом ”-”. Из предположения индукции, неравенство мт(Ъ, с) < 0 равносильно тому, что место (Ъ, с) занято после т-го (символом ”-”).

Предположим, что место (Ъ, с) свободно после т-го шага. Место (Ъ, г) заполнено после г-го шага, поскольку Ъ > к. Из определения т, место (Ъ, г) заполнено после т-го шага (одним из символов <8>, ” +”, ”-”). Итак, после т-шага места (Ъ, г) занято, а места (Ъ, с) и (с, г) свободны. Это противоречит утверждению, что пт - подалгебра. Итак, (Ъ, с) занято после т-го шага символом ”-” и, поэтому, мт(Ъ, с) < 0. Что доказывает м^п) < 0.

Следствие 2.4: Если п е В,, то му(п) > 0 для любого 1 ^ у ^ г.

Доказательство вытекает из включения В, с Ву.

Обозначим через произведение в порядке убывания индекса (в смысле отношения >) отражений Г| относительно корней | е S вида (а, г), где

а > г. Построим систему подстановок

м[г] = -м(1)... -м(г). (3)

Заметим, что м[г] совпадает с м,, если наименьший в смысле отношения > корень среди корней, лежащих в первых г столбцах.

Пусть, как и выше, а(г) = тах{1 ^ с ^ п| (с, г) £ М}.

Предложение 2.5: Утверждается, что

1) м[г](п) > 0 для любого п = (Ъ, г), а(г) < Ъ ^ п.

2) м[г](п) < 0 для любого п = (Ъ, г), г < Ъ ^ а(г).

Доказательство: Из определения а(г) прямоугольник (а(г), п] X [1, г] в

диаграмме ©X заполнен символом •. Все места |у, у ^ г, расположены выше этого прямоугольника. Отсюда вытекает утверждение пункта 1).

Доказательство пункта 2) проводится в каждом из следующих случаев отдельно.

I) г-ый столбец не содержит корней из S .В этом случае этот столбец весь заполнен символом ”-”. Получаем м[г](п) = м[г- 1](п) . Из предложения 2.3, получаем м[г- 1](п) < 0.

п) Пусть (Ъ, г) располагается выше всех корней из S, входящих в г-ый столбец. Тогда (Ъ, г) отмечено символом ” +” или символом ”-”. Из предложения 2.3, м[г](п) < 0.

ш) (Ъ, г) располагается ниже |г, наименьшего в смысле отношения > корня из г-го столбца или совпадает с ним.

Если п = |г, то

м[г](п) = мг(|г) = -м-^!,) < 0.

Пусть |г- = (к, г) и Ъ > к. Тогда Г|.(Ъ, г) = (Ъ, к). Пусть |т — наименьший корень из S, который больше или равен (Ъ, г) в смысле отношения X Из пункта 5Ь (см. доказательство предложения 2.3) (Ъ, к) заполнено символом ”-” до или во время т-го шага. Следовательно, мт(Ъ, к) < 0. Поскольку Г|р(Ъ, к) = (Ъ, к) для любого т < р < г, то

м[г](п) = мг(п) = МтГ|т+1 ... Г|, (Ъ, г) = мтг|т+1 ... Г|,-1 (Ъ, к) = Мт(Ъ, к) < 0.

Предположим как и выше, что S = {| > ... > |}. Напомним также, что (к, г) е S тогда и только тогда, когда место (к, г) заполнено на диаграмме ©X символом <8>.

Теорема 2.6: Утверждается, что м = Г|1 Г|2 ••• Г|5.

Доказательство: Согласно формуле (2)

[ п]

М ] = Г|1 Г|2 .

Докажем, что для любого 1 ^ г ^ п выполнено м[п](г) = м(г), используя индукцию по г. Для г = 1 утверждение очевидно. Предположим, что утверждение доказано для номеров меньших г. Докажем для номера г.

По определению, м(г) есть наибольшее среди чисел отрезка [1, п] натурального ряда, не лежащих в подмножестве

Лг = М(1), ...,м(г - 1)} и (а[г], п].

Из предположения индукции, м(у) = м[п](у) для любого 1 ^ у ^ г - 1. Заметим, что м[п](у) = м[г](у), поскольку Г|(у) = у для всех | е $, лежащих в столбцах с номерами большими, чем г. Поэтому м(у) = м[г](у) для всех 1 ^ у ^ г - 1. Это дает возможность заменить в (3) м на м[г].

Из определения а(г), прямоугольник (а(г), п] X [1, г] в диаграмме ©X заполнен символом •. Все места |у, у ^ г, расположены выше этого прямоугольника. Поэтому для любого р е (а[г], п] имеет место м[г](р) = р.

Множество Лг может быть представлено в виде

Лг = {м[г](1),..., -м[г](г - 1)} и {тм[г](р)| а[г] < р < п}.

Все элементы из отрезка [1, п] натурального ряда, не лежащие в Лг имеют вид м[г](к), где г ^ к ^ а(г).

Из пункта 2) предложения 2.5, м[г](г) > м[г](к) для любого г < к ^ а(г). Следовательно, что м[г](г) есть наибольшее среди чисел отрезка [1, п] натурального ряда, не лежащих в подмножестве Лг. Заключаем, что м[г](г) = = м(г). Наконец, м[г](г) = м[п](г), так как Г|(г) = г для всех | е $, лежащих в столбцах с номерами большими, чем г. Окончательно, м[п](г) = м(г). Обозначим через А(г) множество п е А, имеющих вид (Ъ, г) для некоторого Ъ > г.

Теорема 2.7: Пусть п е А(г) тогда,

1) место п заполнено символом ”-” тогда и только тогда, когда м[г- 1](п) < 0;

2) место п заполнено символом ”•” тогда и только тогда, когда м[г](п) > 0;

3) место п заполнено символом ” +” или символом <8> тогда и только тогда, когда м[г-1](п) > 0 и м[г](п) < 0.

Доказательство непосредственно вытекает из предложений 2.3 и 2.5.

3. Поле инвариантов

В этом параграфе будет сформулирована гипотеза о строении поля инвариантов коприсоединенного представления группы Ь.

По каждому элементу из | е $ мы построим многочлен P|. Пусть | = = |т = (к, г) е $, где к > г. Обозначим через щ подстановку мт = Г|1 ... Г|т.

Случай 1: щ^г) > г. Можно показать, что в этом случае щ(г) = к. Положим

Л) = {1 ^ ^ г: щ(у) ^ щ|(г)}, I(!) = wJ(!).

Случай 2: м|(г) ^ г. Система J(!) определяется как в (3.1). Обозначим !*(|) = {1 ^ г ^ п : г > г, м^г) < м^г)},

!(|) = [м^г), г] и !*(|).

Можно показать, что в обоих случаях |!(|)| = ^(|)|.

Как и выше {у,-} — стандартный базис в п. По диаграмме ©X построим матрицу Фx, в которой на места {(г, у) е А \ М} ставятся соответствующие элементы {у,-} стандартного базиса; остальные места заполняются нулями. Например, для алгебры Ли X из примера 1 получаем диаграмму ©X и матрицу Фx:

( 0 0 0 0 0 0 0 )

+ У 21 0 0 0 0 0 0

+ + У 31 У32 0 0 0 0 0

<8> — — ф£ = У 41 У42 У43 0 0 0 0

• + + <8> 0 У52 У53 У54 0 0 0

• <8> — + — 0 У62 У63 У64 У65 0 0

• • <8> <8> — — 1 0 0 У73 У74 У75 У76 0 )

Пусть X — переменная. Введем в рассмотрение характеристическую матрицу Фх - ХЕ. Всякий минор характеристической матрицы является многочленом от X с коэффициентами в S (X) = К[X*]. Пусть М|(Х) — минор характеристической матрицы с системой столбцов Д|) и системой строк /(|), и Р| — его старший коэффициент.

Гипотеза: Поле инвариантов коприсоединенного представления алгебры Ли X есть поле рациональных функций от Р|, | е S.

В примере 1 подмножество S состоит из пяти корней (|ь |2, |з, |4, |б). Непосредственные вычисления показывают, что

= У 1 2 = У62, Рз = У73,

У52 У53 У54

р4 = У74У41 + У73У31, = У62 У63 У 64

0 У73 У74

Литература

[1] Кириллов, А.А. Лекции по методу орбит / А.Н. Кириллов. - Новосибирск: Научная книга, 2002. - 304 с.

[2] Кириллов, А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли / А.А. Кириллов // УМН. - 1962. - Т. 17. - С. 57-110.

[3] Переломов, А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли / А.М. Переломов. - М.:Наука, 1990. - 240 с.

[4] Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. - М.: Факториал. - 1995. - 448 с.

[5] Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов— тян—Шанский. - М.;-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 352 с.

[6] Kirillov, A.A. Two more variations on the triangular theme / А.А. Кириллов // Progress in Math. - 2003. - V. 213. - P. 243-258.

[7] Панов, А.Н. Коприсоединенные орбиты для группы UT(n, K) /

А.Н. Панов, М.В. Игнатьев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. - Т. 13. - №5. - C. 127-159.

[8] Панов, А.Н. Инволюции в и ассоциированные коприсоединенные орбиты / А.Н. Панов// Записки научных семинаров ПОМИ. - 2007. -Т. 349. - С. 150-173.

[9] Панов, А.Н. Об индексе некоторых нильпотентных алгебр Ли / А.Н. Панов // Современная математика и ее приложения. - 2008. -Т. 60. - С. 123-131.

[10] Диксмье, Ж. Универсальные обертывающие алгебры / Ж. Диксмье. -М: Мир, 1978. - 407 с.

Поступила в редакцию 29/ VIII/2008; в окончательном варианте — 29/VIII/2008.

THE DIAGRAM METHOD IN A STUDY OF COADJOINT

ORBITS

© 2008 A.N. Panov2

In the paper to a Lie algebra of special type we correspond a diagram that gives a possibility to calculate index and maximal dimension of the coadjoint representation. We show that a placing of symbols in the diagram depends on the properties of associated permutation.

Keywords and phrases: Lie algebra, diagram method, diagram, coadjoint

representation.

Paper received 29/ VIII/2008.

Paper accepted 29/VIII/2008.

2Panov Alexander Nickolaevich ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.