Алгебра инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.815.4

АЛГЕБРА ИНВАРИАНТОВ ПРИСОЕДИНЕННОГО ДЕЙСТВИЯ УНИТРЕУГОЛЬНОЙ ГРУППЫ В НИЛЬРАДИКАЛЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ПОДАЛГЕБРЫ1

© 2010 В.В Севостьянова2

В работе изучается алгебра инвариантов присоединенного действия унитреугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры. Поставлена гипотеза о строении алгебры инвариантов. Гипотеза проверена для параболических подалгебр специального вида.

Ключевые слова: алгебра инвариантов, параболическая подалгебра, треугольная группа, присоединенное представление.

Рассмотрим полную матричную группу СЬ(п, К), определенную над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики. Пусть В (соотв. N) ее борелевская (соотв. максимальная унипотентная) подгруппа, состоящая из треугольных матриц с ненулевыми (соотв. единичными) элементами по диагонали. Фиксируем параболическую подгруппу Р, содержащую В. Обозначим через р, Ь, п подалгебры Ли в (п,К), соответствующие Р, В, N. Разложим р = г ® т в виде суммы нильрадикала т и блочно-диагональной подалгебры г с размерами блоков (п\,... ,п3). Подалгебра т инвариантна относительно присоединенного действия группы Р (и, следовательно, ее подгруппы N). Рассмотрим регулярное представление группы N в алгебре К[т] и поле К(т). Подалгебра т содержит открытую по Зарискому Р-орбиту [1], которая называется орбитой Ричардсона, следовательно, алгебра инвариантов К [т]р = К. В настоящей работе мы будем обсуждать вопрос о строении алгебры инвариантов К [т]^. В случае Р = В алгебра инвариантов К[т]^ является алгеброй многочленов К[х\2, Х23,..., хп-1,п]. Случай, когда г является суммой двух блоков, может быть найден, например, в работе [2]. В работе [5] дается полный ответ о строении поля инвариантов К(т)^. Вопрос о строении К[т]^ в случае произвольной параболической подалгебры остается открытым. Не известно

хРабота частично поддержана грантом РФФИ 08-01-00151-а.

Севостьянова Виктория Владимировна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

даже, будет ли алгебра инвариантов К[ш]^ конечно порождена. В предлагаемой работе мы выписываем серию полиномов (теорема 9), которые лежат в алгебре инвариантов, и ставим гипотезу, в которой говорим, что эта серия порождает К [ш]^. Справедливость гипотезы проверена для параболической подалгебры специального вида (см. теорему 11).

Сначала сформулируем необходимые в дальнейшем определения. Каждый положительный корень 7 в д1(и,К) имеет вид [3]

7 = — ез, 1 ^ г < ] ^ п.

Отождествим 7 с парой (г,]) и множество положительных корней Д+ с множеством пар (г,]), г <]. Система положительных корней Д+ редук-тивной подалгебры г является подсистемой в Д+.

Рассмотрим стандартный базис [Е^^ : г < ]} в п. Будем использовать также обозначение Е1 для базисного элемента Е^^, если 7 = (г,]).

Определим отношение в Д+, для которого 7' У 7, если 7' — 7 £ Д+. Обозначим через М множество тех 7 £ Д+, таких, что Е7 £ ш. Отождествим К[ш] с алгеброй многочленов от переменных XI^, (г,]) £ М.

Определение 1. Подмножество 5 в М будем называть базой, если элементы 5 попарно не сравнимы и для любого 7 £ М \ 5 существует £ £ 5 такой, что 7 У £.

Отметим, что М имеет единственную базу 5, которая строится следующим образом. Образуем множество 51 минимальных (в смысле У) элементов в М, то есть таких элементов 7 £ М, что для любого £ £ М выполняется £ У либо корни £ и 7 попарно не сравнимы. По определению, 51 С 5. Образуем множество М1, которое получается из М удалением 51 и всех

[-) £ М : 3 £ £ 51, 7 У £}•

Подмножество минимальных элементов 52 в М1 также содержится в 5 и т. д. Продолжая процесс дальше, мы получаем базу 5.

Определение 2. Упорядоченный набор положительных корней

{Тъ-.-лЛ

будем называть цепочкой, если 71 = (а1,а2), 72 = (а2,а3), 73 = (а3,а4) и т. д.

Определение 3. Будем говорить, что два корня £,£' £ 5 образуют допустимую пару д = (£,£'), если существует ая £ Д+ такой, что набор корней [£,ад, £'} является цепочкой. Заметим, что корень ая находится по допустимой паре д однозначно.

Образуем множество Q = ф(р), состоящее из допустимых пар корней из 5. По каждой допустимой паре д = (£, £') построим положительный корень = ая + £'. Рассмотрим подмножество Ф = : д £ Q}.

Мы будем строить по параболической подалгебре диаграмму, представляющую собой п х п матрицу, на которой корни из 5 отмечены символом а корни из Ф — символом +. Остальные места в диаграмме не заполняются. Ниже приведена диаграмма (рис. 1) для параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из блоков размерами (2, 1, 3, 2).

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1

1 2

1 3

1 + + 4

1 + 5

1 6

1 7

1 8

Рис. 1

Рассмотрим формальную матрицу X, в которой на местах (г]) £ М стоят переменные , а остальные элементы равны нулю. Для любого положительного корня 7 = (а,Ь) обозначим через Б^ множество тех £ = (г,]), содержащихся в Б, что г > а и ] <Ь. Предположим

Б1 = {(¿1,л),..., (¿к ,]к )}.

Обозначим через М7 минор Мматрицы X с упорядоченными системами строк I = {а, ¿1, • • •, %к} и столбцов .] = {]1,..., ]к, Ь}.

По каждой допустимой паре д = (£, £') построим многочлен

Е

М^+аг Ма2+е •

(1)

аг,а2 еД+ и{0}

а1+а2=ач

Теорема 4 [4]. Для произвольной параболической подалгебры система многочленов

М, £ £ Б; ^, д £ я}

содержится в К[ш]^ и алгебраически независима над К.

Обозначим через У подмножество в ш, состоящее из матриц вида

е5Е5 + ^ е'рЕр, где ц = 0, е'р = 0. реФ

Определение 5. Будем называть матрицы из У каноническими. В работе [5] доказана следующая теорема.

Теорема 6. Существует непустое открытое по Зарискому подмножество и С ш такое, что N-орбита любого х £ и пересекает У в единственной точке.

Пусть S — множество знаменателей, порожденное минорами M^, £ Е S. Образуем локализацию K [m]N алгебры инвариантов K [m]N по S. Поскольку миноры M^ являются Ж-инвариантами, то K[m]N = (K[mjs)N .

Теорема 7 [5]. Кольцо K [m]N является кольцом многочленов от M±1, £ Е S, и Lq, q Е Q.

Отсюда немедленно следует следующий результат.

Теорема 8 [5]. Поле инвариантов K (m)N — поле рациональных функций от M^, £ Е S, и Lq, q Е Q.

Выписанные многочлены M^, £ Е S, и Lq, q Е Q, образуют поле инвариантов, но, конечно, не алгебру инвариантов K[m]N. Ниже мы приведем пример параболической подалгебры, для которой

K[Ms,Lq] e = K[m]N,

qeQ

и укажем многочлен, который необходимо добавить к указанному списку многочленов, чтобы получить алгебру инвариантов.

Пусть p — произвольная параболическая подалгебра. Предположим, что

ее редуктивная часть состоит из блоков, размеры которых (т\, Т2, ■ ■ ■, Ts).

k

Тогда n = Ti + Т2 + ■ ■ ■ + rs. Обозначим Rk = ^^ Tt. Всякий корень (i,j) Е M,

t=i

удовлетворяющий условию

Rk-i <i ^ Rk и Rk <j ^ n,

назовем корнем, лежащим правее k-го блока в r. Если для корня (i,j) Е M справедливо

1 ^ i ^ Rk- i и Rk—i < j ^s Rk, назовем его корнем, лежащим выше k-го блока в r.

Далее мы выпишем серию полиномов, которые не содержатся в алгебре K[Mt,Lq] íes и лежат в K[m]N.

qeQ

Пусть корень (i, j) Е S U Ф. Обозначим

. L(j;£/), если (i,j) Е Ф и соответствует допустимой паре (£,£');

Li - '

г'] ^ М(а>г) • Ы(^), если (г]) £ 5 и существует число а такое, что

(а, г) Е 5.

Предположим, что для некоторых номеров т <1 и г < ] корни

(т,г), (1,г), (т,]), (I,]) (2)

содержатся в 5 и Ф. Очевидно, что тогда корень (т,г) лежит в системе корней Ф. Предположим, что корню (т, г) соответствует некоторая допустимая пара (£, £') Е Q для некоторых корней £, Е 5. Обозначим

дг ] _ -т+1,г-т,] -т+1—т,г („)

Ат _ М • (3)

Предположим, что для корней (2) выполнено следующее условие: не существует номера г, г <г < 3 такого, что (т,г) £ Б и Ф. Обозначим

Вт, =-Мё-, (4)

^г _ Ет+1,!Ет,] Ет+13Ет,г (5)

Ст = ы^М' . (5)

Очевидно, что все рациональные функции (3)—(5) лежат в локализации К[ш]^ . Ниже мы докажем, что эти функции являются многочленами.

Теорема 9. А^, Вгт1, Ст £ К[ш]м. Доказательство.

I ЧАСТЬ. Сначала покажем, что Ст является полиномом. Пусть корень (т,г) лежит правее к-го блока в г, то есть Як-1 <т ^ Як. Предположим, что выше к-го блока лежит р корней из Б, нетрудно убедиться, что тогда они имеют следующий вид:

(%1,Як-1 + 1), (%2, Як-1 +2),..., (гр,Як-1 + р) (6)

для некоторых г1 > г2 > ... > гр. Заметим, что для первого корня в этом списке выполняется г1 = Як-1. Пусть правее к-го блока находится д корней из Б:

(Як ,31), (Як — 1,32),(Як — д + 1,3«) (7)

для некоторых 31 <32 < ... < 3«. Для первого корня в этом списке верно равенство 31 = Як + 1. Заметим, что в каждой из строк с номерами

Як-1 + Як-1 +2, . . . , Як-1 + р

обязательно лежит корень из Ф. Действительно, пусть для некоторых номеров а и Ь таких, что 1 ^ а ^ р и 1 ^ Ь ^ д, выполняется

Як-1 + а < Як — Ь + 1, то есть а < гк — Ь +1.

Тогда пара корней (^(га, Як-1 + а), (Як — Ь + 1,3ь)^ является допустимой. Следовательно, корень (Як-1 + а,3ь) лежит в системе Ф.

Изобразим часть диаграммы для р, содержащую следующие строки: гр < гр-

1 < ...<г1 = Як-1 < Як-1 +1 < Як-1 + 2 <...<Як

и столбцы

Як-1 + 1 < Як-1 +2 <...<Як <Як + 1 = 31 <32 <

Кк 31 32

Зя

+ + +

1 1 1 1 + + +

+ + +

+ +

гР-\ г2

гх _ Кк-1 Кк-1 + 1 Кк-1 +2

Кк — 1 Як

Пусть X — / •••

матрица общего вида из множества У.

X _

!р,1 !р-1,1

ах

!р,р-1 ар-х

0

С1,1 01,2 01,3 . . 01,я

Ср,1 Ср,2 . Ья

0 0 Ьтк-р . .0

0 Ь2 0. .0

Ьх 0 0. .0

V

.

Так как X Е У, все значения аи, , сии не равны нулю. Корень (т, г) лежит правее к-го блока в г. Отметим, что г _ для некоторого 1 ^ V ^ д. Обозначим и _ т — Кк-х (здесь 1 ^ и ^ р). Тогда справедливо неравенство и + V ^ Гк — д + р. Обозначим

I _ [ги+1, ги,•••, гх}, I' _ {Кк — V + 2,Кк — V + 3,..., Кк}, У _ {31,32, • • •]■« ,3v+l}, У _ {Кк-х + 1,Кк-х +2,...,Кк-х + и — 1}.

Тогда \1\ _ и+1, \,1\ _ V + 1, \1'\ _ V — 1, У'\ _ и — 1. Рассмотрим следующий определитель порядка (и + V):

г _

Ст

М ^' (X) М3г (X2)

0 М/ (X)

где МI(X) — минор матрицы X, стоящий на пересечении строк I и столбцов У. Покажем, что Ст Е К[ш]м. Заметим, что любой многочлен из К[т]

р

а

р

0

0

является Ж-инвариантом, если он инвариантен относительно действия всех однопараметрических подгрупп (t) = 1+1 • Ek>k+l, 1 ^ к < n. Присоединенное действие gk (t) на матрицу X сводится к композиции двух элементарных преобразований: к k-й строке прибавляется (к + 1)-я строка, умноженная на —t, и к (к + 1)-му столбцу прибавляется k-й столбец, умноженный на t.

Для минора M J (X) справедливы следующие два свойства:

1. Если a > min I, a E I и b E J', то элемент матрицы X, находящийся на месте (a,b), равен нулю.

2. Если b < max J', b E J' и a E I, то элемент матрицы X, находящийся на месте (a,b), равен нулю.

Аналогичные свойства верны для миноров MJ (X) и M J(X2). Кроме того, миноры M J (X) и M J(X2) (соотв. M J(X) и M J(X2)) образованы одинаковым набором строк (соотв. столбцов). Поэтому, так как (gXg-1)2 = gX2g-1, присоединенное действие gk (t) не меняет минор Сm.

Покажем теперь, что Сm = Сm. Элементарными преобразованиями минор M J(X2) приводится к следующему минору

MIJ(X2) =

au+l cu+l,l au+lcu+l,2

aucu,l

a2C2,l

a\CiA

aucu,2

a2C2,2 aiCi,2

au+lu+l,v+l aucu,v+l

a2C2,v+l

alcl,v+l

Минор М{ (X) матрицы X теми же элементарными преобразованиями может быть приведен к следующему минору:

0 0. . 0

0 0. . 0

0 0. . au-l

0 a2. . 0

al 0. . 0

Вычислим значение минора Cm:

С i _

Cm

0 0 0

0 0 0

0 a2 al 0

0 0

au l

0 0

0 bl

b2 0

MIJ(X2)

bv-l 0 0

0 0

0 0

u+1 v-1

= П as ' П bt ' (cu+1,vcu,v+1 — cu+1,v+1cu,v)• (8)

s=1 t=1

Непосредственная проверка показывает, что значение Cm на X в точности равно (8).

Рассмотрим отображение проектирования

я- : K[m]N ^ K[У], n(f) = f \у•

Покажем, что оно является вложением. Действительно, если f G Ker п, то f (Ad^ У) =0. Поскольку, согласно теореме 6, Ad^ У содержит открытое по Зарискому подмножество, то f = 0. Следовательно, п — вложение.

Далее, значения инвариантов Cm и Cm совпадают на X, следовательно, они совпадают и на прообразе п-1(Х). Так как минор Сm, построенный по произвольной матрице из m, является многочленом, то Сm G K[m]N•

II часть. Пусть корни (m,i), (m,j), (m + 1,i) и (m + 1,j) содержатся в системе корней S U Ф и лежат правее k-го блока в r. Покажем, что Aim G K[m]. Доказательство проведем по индукции.

Как и раньше, предположим, что выше и правее k-го блока лежат корни (6) и (7) соответственно. Для некоторого w выполняется равенство j = = jw. Пусть корень (m,jw) соответствует допустимой паре (£,£'). При фиксированном m справедливо следующее равенство для любых 1 ^ w < q:

Lm+1tiMeCiw = Aimw+1 Lm+1,jw - Aj Lm+1jw+1 • (9)

Очевидно, что левая часть равенства (9) лежит в K[m]. Но Amw+1 содержится в кольце K [m], если только A,mjw G K [m].

Для доказательства A!Jmjw G K[m] достаточно показать, что Am1 является многочленом. Заметим, что A1 = -Ajm'%. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что Л1 лежит в алгебре K[m], если Ami G K [m]. Но

Am,j2 = cm ■ My g K [m], где корень y G S такой, что допустимая пара (£, y) соответствует корню

(m,j1) G Ф. Таким образом Am G K[m].

Проводя аналогичные рассуждения, убеждаемся G K[m]. □

Гипотеза 10. Алгебра инвариантов K[m]N порождается многочленами M^, £ G S, Lq, q G Q, и элементами (3), (4), (5).

Ниже мы докажем эту гипотезу в случае параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех клеток размерами (2,k, 2) (см. теорему 11).

Выпишем все корни, составляющие базу и систему корней Ф: S = {(1,4), (2, 3), (k + 1, k + 4), (k + 2, k + 3)},

Ф = |(3, k + 3), (3, k + 4), (4, k + 3), (4,k + 4)}•

Введем следующие обозначения:

М1 = М(2,3), М2 = М(1А), N1 = М(к+2,к+3), N2 = М(к+1,к+4);

111 = Ь((2,3),(к+2,к+3)) , Е12 = L((2,3),(k+1,k+4)), Ь21 = L((1,4),(k+2,k+3)), Ь<22 = Е((1,4),(к+1,к+4)).

Изо всех многочленов (3)—(5) определен только О = С3к+3.

Диаграмма, построенная по параболической подалгебре р, имеет следующий вид (рис. 2).

12 3 4

к + 4 1 2

3

4

1 1

1 1 1 1 + +

+ +

1 1

к + 1 к + 2 к + 3 к+4

Рис. 2

Теорема 11. Для параболической подалгебры, редуктивная часть которой состоит из трех блоков размерами (2, к, 2), алгебра инвариантов К[ш]^ порождается многочленами Мг, Ьц, где г,3 = 1,2, и элементом О.

Доказательство. Обозначим множество

В = К [Мг, N3 ,Ьц, П]гз=12 С К [ш]*.

Покажем, что справедливо К[ш]^ С В.

Пусть 5 — множество знаменателей, порожденное минорами Мг, N1,

где г = 1,2. Из теоремы 7 следует, что локализация К[ш]^ алгебры ^инвариантов по 5 совпадает с алгеброй многочленов Лорана

к [(Мг)±\

ь

г3Н,3=1,2 '

Если / £ К[шр , то существуют натуральные к1,к2,11,12 такие, что

/ • Мк1 Мк2 ^ N2* £ К [ш].

Утверждение / £ В будет доказано, если показать, что для любого минора М из набора {Мг^г},1=12 выполнено следующее свойство сокращения: если / £ К[ш] и М • / £ В, то / £ В.

Проведем доказательство в случае М = М1. Случаи М = М2 ,N1^2 доказываются аналогично. Итак, пусть / £ К[ш]^ и М1/ £ В. Многочлен

Mif обращается в нуль на Ann M\. По произвольному набору чисел ai, bi Cij, i,j = 1, 2, построим матрицу

Q =

/ 0 0 a2 0 0. .0 0 0 \

0 0 0 ai 0. .0 0 0

0 0 0 0 0. .0 Cii Ci2

0 0 0 0 0. .0 C2i C22

0 0 0 0 0. .0 0 0

0 0 0 0 0. .0 0 b2

0 0 0 0 0. .0 bi 0

0 0 0 0 0. .0 0 0

V 0 0 0 0 0. .0 0 0 /

где ai,bi,Cij Е K. Прямые вычисления показывают:

Mi(Q) = 0, M2(Q) = aia2, Ni(Q) = bi, N2(Q) = —bb; Lii(Q) = aiC2i, Li2(Q) = -aibiC22, L21 (Q) = aia2C2i, L22Q) = aia2biC22,

D(Q) = aia2(C11C22 - C12C21).

Рассмотрим алгебру многочленов A = K[ui,u2,vi,v2,wii,wi2,w2i,w22,z] от 9 переменных. Так как многочлен fMi содержится в B, то существует многочлен p(ui,u2,vl,v2,wll,wl2,w2l,w22, z) в алгебре A такой, что

fMi = p(Mi,M2, N1, N2, Lii, L12, L21, L22, D). (10)

Так как fMi = 0 на Ann Mi, то (fMi)(Q) = 0. Подставим матрицу Z в последнее уравнение, получаем следующее выражение:

0 = (fMi)(Q) =

= p^0, aia2, bi, -bib2, a2C2i, -a2biC22, aia2C2i, -aia2biC22, aia2(CnC22 — Ci2C2i)j ■ Обозначим через Z подмножество в K9, состоящее из наборов вида

^0, aia2, bi, —bib2, a2C2i, —a2biC22, aaC2i, —aia2biC22, aia2(CiiC22 — Ci2C2i)j , где ai, bj, Cij Е K.

Нетрудно убедиться, что многочлены ui и wiiw22 — wi2w2i обращаются в нуль на Z. Покажем, что идеал Iz = Е A : ^(Z) = 0 j порождается этими многочленами.

Обозначим через I идеал, порожденный многочленами ui,wiiw22 — — wi2w2i. Заметим, что идеал I является простым. Действительно, многочлен wiiw22 — wi2w2i — неприводимый, тогда алгебра

A/I = A/(ui,wnw22 — wi2w2i) = (11)

= K [u2 ,Vi,V2,wii ,wi2,w2i,w22,z]/(wiiw22 — wi2w2i)

есть область целостности. Следовательно, идеал I — простой.

Так как многочлены ui,wiiw22 — wi2w2i обращаются в нуль на множестве Z, то I С Iz и Ann I D Z. Вычислим размерности многообразий

Ann I и Z. Размерность AnnI равна степени трансцендентности поля частных алгебры (11) над основным полем K, то есть dim Ann I = 7.

Очевидно, что dim Z = 7, тогда dim Ann I = dim Z. Так как Ann I D Z, то Ann I = Z. Покажем теперь, что I = Iz . Предположим, что f G Iz . Тогда по теореме Гильберта о нулях существует натуральное число N такое, что fN G I. Так как идеал I простой, то f G I, следовательно, Iz С I. Учитывая I С Iz , заключаем Iz = I.

Таким образом, поскольку p\z = 0, то p GI и, следовательно, существуют многочлены p1 и p2 в алгебре A такие, что

p = P1U1 + Р2 (W11W22 — W12 W21) • Подставляя последнее выражение в (10), получаем

f M1 = P1M1 + Р2^ L11L22 — L12L21) = P1M1 + Р2 M1N1D.

Далее, сокращая на M1, имеем f = Р1 + Р2N1D, следовательно f G B. Что и требовалось доказать. □

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.Н. Панову за помощь в подготовке этой статьи.

Литература

[1] Richardson R.W. Conjugacy classes in parabolic subgroups of semisimple algebraic groups // Bull. London Math. Soc. 1974. V. 6. P. 21—24.

[2] Brion M. Representations exceptionnelles des groups semi-simple // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 1985. V. 18. P. 345—387.

[3] Гото М., Гроссханс Ф.. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.

[4] Панов А.Н., Севостьянова В.В. Регулярные N-орбиты в нильрадикале параболической подалгебры: труды международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80 летию В.Е. Воскресенского. Самара: Изд-во "Самарский университет", 2007. С. 152—161.

[5] Севостьянова В.В. Поле инвариантов присоединенного действия уни-треугольной группы в нильрадикале параболической подалгебры // Зап. науч. семин. ПОМИ (в печати).

Поступила в редакцию 10////2010; в окончательном варианте — 10////2010.

THE INVARIANT ALGEBRA OF THE ADJOINT ACTION OF THE UNITRIANGULAR GROUP IN THE NILRADICAL OF A PARABOLIC SUBALGEBRA

© 2010 V.V. Sevostyanova3

In the paper the invariant algebra of the adjoint action of the triangular group in the nilradical of a parabolic subalgebra is studied. We formulate a conjecture on the structure of the invariant algebra. The conjecture is proved for parabolic subalgebras of a special case.

Key words: Invariant algebra, Parabolic subalgebras, Triangular group, Adjoint representation.

Paper received 10/77/2010. Paper accepted 10/77/2010.

3Senostyanova Victoria Vladimirovna ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.