CC BY
63. Pakovich F. On polynomials sharing preimages of compact sets, and related questions // Geom. and Funct. Anal. 2007. 18, N 1. 163-183.
4. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1997.
Поступила в редакцию 15.04.2011
УДК 512
НОСИТЕЛИ (g, ^-МОДУЛЕЙ КОНЕЧНОГО ТИПА
A. В. Петухов1
Пусть g — полупростая алгебра Ли, а k — редуктивная в g подалгебра. Назовем (g, k)-модулем g-модуль, который как k-модуль есть прямая сумма простых конечномерных k-модулей. Назовем (g, к)-модулем конечного типа (g, ^-модуль, все k-изотипные компоненты которого конечномерны. В статье доказано, что всякий простой (g, к)-модуль конечного типа голономен. Всякому простому g-модулю M соответствуют инварианты V(M), V(LocM) и L(M), отражающие "направления его роста". Также доказывается, что для фиксированной пары (g, k) набор возможных значений для упомянутых инвариантов конечен.
Ключевые слова: (g, к)-модуль, коприсоединенная орбита, нуль-конус.
Let g be a semisimple Lie algebra and k be a reductive subalgebra in g. We say that a g-module M is a (g, k)-module if M, considered as a k-module, is a direct sum of finite-dimensional k-modules. We say that a (g, k)-module M is of finite type if all k-isotypic components of M are finite-dimensional. In this article we prove that any simple (g, k)-module of finite type is holonomic. To a simple g-module M one assigns invariants V(M), V(LocM) and L(M) reflecting the "directions of growth of M". We also prove that, for a given pair (g, k), the set of possible invariants is finite.
Key words: (g, k)-module, coadjoint orbit, null-cone.
Формулировки основных результатов. Пусть g — полупростая алгебра Ли, определенная над алгебраически замкнутым полем F характеристики 0, а k С g — редуктивная в g подалгебра.
Определение 1. Назовем (g, 1)-модулем g-модуль, который как k-модуль есть прямая сумма простых конечномерных k-модулей.
Определение 2. Назовем (g, ^-модуль (g, ^-модулем конечного типа, если он является k-модулем конечного типа, т.е. если все его k-изотипные компоненты конечномерны.
Обозначим через Z(g) центр универсальной обертывающей алгебры U(g) алгебры Ли g. Пусть % :Z(g) ^ F — гомоморфизм алгебр.
Определение 3. Будем говорить, что g-модуль M является модулем с характером, если zm = %(z)m для какого-то гомоморфизма % :Z(g) ^ F и всяких z £Z(g) и m Е M.
Обозначим через X многообразие борелевских (т.е. максимальных разрешимых) подалгебр алгебры Ли g. Фиксируем коцикл Л GH1(X, ), где — пучок замнутых голоморфных 1-форм на X. Так как всякая замкнутая 1-форма а задает автоморфизм пучка Dx (функции сохраняются этим автоморфизмом, а всякое векторное поле £ переходит в £ + а(£)), то Л задает элемент H1(X, Autgx Dx) и соответственно пучок скрученных дифференциальных операторов Dx (см. [1]). Как следствие коцикл Л определяет функторы "локализации" (Loc: g-модули^ Dx-модули) и "глобальных сечений" (GSec: Dx-модули ^ g-модули). Для любого характера % существует коцикл Л, такой, что функтор GSecoLoc становится тождественным после ограничения на категорию g-модулей с характером % [2] (композиция LocoGSec при этом необязательно тождественна). Любой простой g-модуль M имеет характер [3].
Фиксируем Л GH1(X, Пх°'). Категория Dx-модулей содержит полную подкатегорию голономных модулей. Говоря неформально, голономные модули — "модули с наименьшим порядком роста" (см. определение 7). Всякий простой голономный модуль есть единственный простой подмодуль прямого образа S в X,
1 Петухов Алексей Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, асп. Университета Якобса (IUB) г. Бремен, e-mail: [email protected].
где Б — пучок ©¿-модулей на некотором локально замкнутом гладком неприводимом подмногообразии Ь в X, когерентный как пучок О^-модулей. Такие О^-когерентные пучки отождествляются векторными расслоениями над Ь, снабженными плоскими связностями (см. [1, 4]).
Мы докажем следующую теорему, связывающую (д, к)-модули конечного типа и голономные D-модули.
Теорема 1. Для всякого простого (д, к)-модуля М конечного типа модуль ЬоеМ голономен.
Обозначим через С присоединенную группу алгебры Ли д, а через К С С — связную подгруппу, такую, что LieK = к. Следующая теорема играет важную роль в данной работе и может представлять самостоятельный интерес. В ее формулировке мы свободно пользуемся определениями книги [5]; они будут напомнены ниже.
Теорема 2. Пусть Z С д* — коприсоединенная нильпотентная С-орбита, к^ — аннулятор к в д*, Мх(к^) — нуль-конус действия К в к^. Тогда неприводимые компоненты Z П (к^) изотропны в Z.
Обозначим через У0;е множество замыканий неприводимых компонент всевозможных пересечений Nк(к^) со всевозможными нильпотентными С-орбитами в д*. Это конечное множество подмногообразий д* определяет конечное множество "У0){ подмногообразий Т*Х и конечное множество L0)e подмногообразий X (см. обозначение 1).
Теорема 3. Для всякой пары (Ь, Б), определяемой простым (д, к)-.моду.ле.м конечного типа, многообразие Ь принадлежит списку Ь0;£.
Необходимые сведения. Все рассматриваемые объекты определены над F. Через Т*Х мы обо-
«v "л/*
значим тотальное пространство кокасательного расслоения к гладкому многообразию X, через ТХX — кокасательное пространство к X в точке х € X, через С — присоединенную группу алгебры Ли д, через К С С — связную подгруппу, такую, что LieK = к. Для всякого гладкого подмногообразия У С X мы обозначим через тотальное пространство конормального расслоения к У в X.
Б-модули и д-модули. Пусть [) С д — подалгебра Картана, £ С [)* — система корней, £+ С £ — система положительных корней, р — полусумма корней £+. Обозначим через [}* множество весов Л, таких, что число ау(Л + р) не является целым строго отрицательным числом ни для каких корней а положительной части (£у)+ двойственной системы корней £у С [).
Известно, что Н1(Х, ^х^) = !)*. Таким образом, всякому Л € Ь* соответствует пучок скрученных дифференциальных операторов ©X; мы обозначим его глобальные сечения через Dx. Если для весов Л и / веса Л + р и / + р лежат в одной орбите группы Вейля, то алгебры Dx и Dx естественным образом отождествляются [2]. Для любого Л € [)* существует / € [} *, такое, что Л + р и / + р лежат в одной орбите группы Вейля [2]. Если Л € [} *, то сюръективный гомоморфизм
г : и(д) ^ Бх
отождествляет категорию Dx-модулей с категорией д-модулей характера % = \\ (характер модуля Верма со старшим весом Л, см. [3]). Для всякого Л € [)* заданы функторы
GSec: ®Х-модули _^ д-модули
(пучки) характера %
F ^ Г(Х, F)
DX-модули д-модули
Loc: х <—
(пучки) характера %
DX ®U(0) M M.
Как показали А. А. Бейлинсон и И. Н. Бернштейн [6], для Л Е h * композиция GSecoLoc тождественна [2]; композиция же LocoGSec при этом может не быть тождественной. Здесь и далее Л Е h* и все модули имеют характер %д.
Три ипостаси многообразия носителей. Естественная фильтрация алгебры U(g) задает класс фильтраций на всяком конечно-порожденном g-модуле M. Ассоциированные градуированные модули grM этих фильтраций являются конечно-порожденными модулями над S(g) — ассоциированной градуированной алгеброй алгебры U(g). Все эти S(g)-модули обладают одним и тем же носителем, обозначаемым нами через V(M) С g*(= Spec S(g)).
Похожие аргументы определяют для всякого когерентного DX-модуля F подмногообразие V(F) многообразия T* X.
Определение 4. Назовем сингулярным носителем конечно-порожденного g-модуля M подмногообразие V(LocM).
Определение 5. Назовем носителем L(M) конечно-порожденного g-модуля M замыкание проекции V(LocM) на X.
Пусть X — это G-многообразие. Отображение
Фх : т*X X й ^ Е, (I, х, £) ^ 1(£х),х е X, I еТ*Х, £ е й
(здесь £х — касательный вектор в ТжX, задаваемый £), определяет отображение фх :Т*Х ^ й*, называемое отображением моментов. Из определения фх("У(ЬосМ)) СУ(М) для всякого ФХ-модуля М [7]. В [7] показано, что для всякого простого й-модуля У(М) = фх("У(ЬосМ)) (см. также [8]). Все три ипостаси многообразия носителей охватываются следующей диаграммой:
7(ЬоеМ) С Т*Х
рг
Фх
У(М) С й* Ь(М) С X.
Лемма 1 [5]. Пусть X — аффинное К-многообразие. Тогда Е[Х] является к-модулем конечного типа тогда и только тогда, когда X содержит конечное число замкнутых К-орбит. В этом случае каждая неприводимая компонента X содержит ровно одну замкнутую К-орбиту.
Следствие 1. Пусть X — аффинное К-многообразие, а М — конечно-порожденный ]-модуль, снабженный действием к, согласованным с действием К на X. Тогда М является к-модулем конечного типа, если и только если носитель М в X содержит только конечное число замкнутых К-орбит.
Лемма 2. Конечно-порожденный (й, к)-модуль М является к-модулем конечного типа, если и только если многообразие У(М) содержит единственную замкнутую К-орбиту, состоящую из единственной точки 0.
Доказательство. По предыдущему следствию модуль М является к-модулем конечного типа тогда и только тогда, когда У(М) содержит конечное число замкнутых К-орбит. С другой стороны, У(М) инвариантно относительно действия Е*, и, следовательно, любая неприводимая компонента У(М) содержит 0.
Лемма 3 (С. Фернандо [9]). Для всякого конечно-порожденного (й, к)-модуля М
У(М) С к± := {х е й* | х(£) = 0 для любого £ е к} .
Критерий Гилъберта-Мамфорда. Фиксируем конечномерный ^-модуль V.
Нуль-конус N^(1^) := {х € V | 0 € Кх} является замкнутым алгебраическим подмногообразием V (см. [5]). _
Теорема 4 (Гильберт-Мамфорд). Для всякой точки х € V точка 0 € Кх, если и только если существует рациональный полупростой элемент Ь е к, такой, что х е У>0, где У>0 — прямая сумма Ь-собственных подпространств V с положительными собственными значениями.
Следствие 2 [5]. Существует конечное множество рациональных полупростых элементов Н С к, такое, что (V) := KV>0.
Теорема Габбера. Пусть X — гладкое С-многообразие, снабженное замкнутой С-инвариантной невырожденной 2-формой и. Пара (Х,и) называется симплектическим С-многообразием.
Определение 6. Подмногообразие У С X называется
а) изотропным, если ш|туу = 0 для точки у е У общего положения;
б) коизотропным, если и|(Туу= 0 для точки у е У общего положения;
в) лагранжевым, если ТуУ = (ТуУ)±ш для точки у е У общего положения или, что эквивалентно, если У изотропно и коизотропно в X одновременно.
Отметим, что У(М) СNG(й*) для всякого й-модуля М, обладающего характером.
Теорема 5 (О. Габбер [10]). 1. Пусть й-модуль М конечно порожден и обладает характером Тогда для всякой неприводимой компоненты V С У(М) многообразие V П 2 коизотропно в 2, где 2 — единственная открытая С-орбита в СV, симплектическая структура задана формой Кириллова.
2. Для всякого когерентного ФХ -модуля $ многообразие ,У(?) коизотропно в T*X, симплектическая структура на T*X естественная.
Определение 7. (а) В обозначениях предыдущей теоремы простой й-модуль называется голономным, если для всякой неприводимой компоненты V С V(М) многообразие у П 2 лагранжево в 2.
(б) Когерентный ФХ-модуль М называется голономным, если многообразие "У(М) лагранжево в T*X (в этом случае ё1ш^(М) = dimX и М имеет конечную длину).
Доказательства теорем 1, 2 и 3. Напомним, что й — полупростая алгебра Ли, к С й — редуктивная в й подалгебра, С — присоединенная группа алгебры Ли й, К С С — связная редуктивная подгруппа, такая, что ЫеК = к.
Доказательство теоремы 2. Так как д полупроста, мы можем отождествить д и д*. Пусть Н — рациональный полупростой элемент к. Обозначим через д^0 прямую сумму Н-собственных пространств в д с неотрицательными собственными значениями, через пь := д^0 — нильрадикал параболической подалгебры в д.
Так как алгебра п^ нильпотентна, то п^ С п С д, где п — какая-то максимальная нильпотентная подалгебра в д. Поскольку все неприводимые компоненты многообразия Z П п лагранжевы [11], в частности изотропны, все неприводимые компоненты многообразия Z П п^ П к^ изотропны [12, предложение 1.3.30]. Чтобы показать, что многообразие КпьПк^П Z изотропно, достаточно проверить, что касательное пространство ТХ(Кпь П к^ П Z) к общей точке х € пь П к^ П Z изотропно. С другой стороны,
Тх(Кп^ п к± п Z)=Tx(nh п к± п Z) + кх.
Так как Кпь П к^ П Z С к^, то кх^шТХ(Кпь П к^ П Z). Ввиду того что пь П к^ П Z изотропно в Z, имеем
Тх(пь П кх П Z) Тх(К пь П кх П Z).
Обозначение. Обозначим через Уд,е множество замыканий всевозможных неприводимых компонент всевозможных пересечений Мк(к^) со всевозможными С-орбитами в М^(д*).
Обозначим через множество всевозможных неприводимых компонент прообразов элементов Уд,е при отображении моментов Т*Х ^ д*.
Обозначим через Ъд,е множество замыканий в X всевозможных проекций элементов на X.
Теоремы 1 и 3 являются очевидными следствиями следующей теоремы.
Теорема 6. Для всякого конечно-порожденного (д, к)-модуля конечного типа М, обладающего характером, все неприводимые компоненты У(М) принадлежат Уд,!, неприводимые компоненты Т(ЪосМ) принадлежат неприводимые компоненты Ъ(М) принадлежат Ъд,е, модуль LocM голономен.
Доказательство. Выберем неприводимую компоненту V многообразия У(М) и обозначим через Z открытую С-орбиту в замыкании С^ в д*. По теореме 5 многообразие V П Z коизотропно, но с другой стороны, V СNк(к±) П Z, и, следовательно, многообразие V П Z изотропно. Откуда получается, что оно лагранжево и является неприводимой компонентой пересечения ZПNк(к^).
Из того, что для любой С-орбиты 2 в а* выполнено неравенство сЦт^ГМ^к-1")) ^ и
ёпги/)^1^) = сИтХ + -сИт!£
(последнее равенство доказано в работе [11]), следует, что ёт^х1^(к±)) ^ dimX. Так как
фх(Т(ЪосМ)) СУ(М) cNк(к±),
то ёт^(ЪосМ) ^ dimX. С другой стороны, Т(ЪосМ) коизотропно по теореме Габбера и ётТ(ЪосМ) ^ dimX. Откуда ёт^(ЪосМ) = dimX, и модуль ЪосМ голономен. В частности, ёт^(ЪосМ) = dimX = dimфx1(У(M)), всякая неприводимая компонента Т(ЪосМ) является элементом а замыкание ее проекции на X принадлежит L0,е.
Автор приносит благодарность научному руководителю И. Б. Пенкову за внимание к работе (в каком-то смысле она вольное дополнение к статье [13]), а также рецензенту, замечания которого позволили сделать текст и понятней, и короче.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Beilinson A.A. Localization of representations of reductive Lie algebras // Proc. IMC (Warsaw, 1983). Warsaw: PWN, 1984. 699-710.
2. Hecht H., Milicic D., Schmidt W., Wolf J. Localization and standard modules for real semisimple Lie groups I: The duality theorem // Inv. Math. 1987. 90. 297-332.
3. Dixmier J. Algebres Enveloppantes. Paris: Gauthier-Villars, 1974.
4. Borel A. Algebraic ^-modules // Perspectives in Mathematics, Vol. 2. Boston: Acad. Press, Inc., 1987.
5. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов. Алгебраическая геометрия 4 // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1989. 137-314.
6. Beilinson A., Bernstein J. Localisation de g-modules // C. r. acad. sci. Paris. 1981. 292. 15-18.
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2012. №3
55
7. Barlet D, Kashiwara M. Duality of D-modules on Flag manifolds // Int. Math. Res. Notes. 2000. 23 1243-1257.
8. Borho W., Brylinski J.-L. Differential operators on homogeneous spaces. III // Invent. Math. 1985. 80. 1-68.
9. Fernando S. Lie algebra modules with finite-dimensional weight spaces. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. 322. 757-781.
10. Gabber O. The integrability of the characteristic variety // Amer. J. Math. 1981. 103. 445-468.
11. Joseph A. On the variety of a highest weight module //J. Algebra. 1984. 88. 238-278.
12. Chriss N., Ginzburg V. Representation theory and complex geometry. Boston: Birkhauser Boston, 1997.
13. Penkov I., Serganova V., Zuckerman G. On the existence of (g, k)-modules of finite type // Duke Math. J. 2004. 125. 329-349.
Поступила в редакцию 20.04.2011
УДК 519.22
О ФУНКЦИИ МОЩНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
П. А. Кашицын1
В многомерном анализе рассматривают статистические критерии, которые не меняются при аффинной замене системы координат. В случае многомерной линейной модели и модели с использованием канонических корреляций эти критерии являются функциями собственных значений матриц, распределенных по Уишарту. В данной работе доказана монотонность функции мощности критериев, являющихся функциями элементарных симметрических многочленов от собственных значений матрицы Уишарта.
Ключевые слова: многомерный анализ, функция мощности, элементарный симметрический многочлен, распределение Уишарта.
Statistical tests not changing under an affine change of the coordinate system are considered in the multivariate analysis. In the case of a multivariate linear model and a model using the canonical correlation analysis, these tests are functions of eigenvalues of matrices following a Wishart distribution. In this paper we prove the monotonicity property of test power functions being functions of elementary symmetric polynomials of eigenvalues of a matrix following a non-central Wishart distribution.
Key words: multivariate analysis, power function, elementary symmetric polynomial, Wishart distribution.
1. Введение. В гауссовской многомерной статистике с давних времен стоит проблема исследования мощности применяемых статистических критериев: не доказано в общем виде, что их функции мощности возрастают по мере удаления от нулевой гипотезы. Первые результаты в этой области были получены в работах [1, 2]. В работе [3] показано, что этот результат следует из более простого утверждения — монотонности функции мощности статистических критериев, которые являются монотонными по своим аргументам функциями собственных значений матрицы Уишарта. Данное утверждение в частных случаях было доказано в работах [4, 5]. В настоящей статье дано доказательство монотонности функции мощности критериев, которые являются функциями элементарных симметрических многочленов от собственных значений матрицы Уишарта.
Пусть Wp (n, £, А) — случайная (p х р)-матрица, распределенная по Уишарту с параметром нецентральности А:
n n
Wp (n, £, А) = (& + mi) (& + тг)Т mimT = А, (1)
i=1 i=1
где £i,...,£n суть н.о.р. Np (0, £). Будем далее считать, что матрица £ является положительно определенной (£ > 0) и известна. Отметим, что распределение £" Wp (п, £, А) £" совпадает с распределением
1 Кашицын Павел Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
