О равномерном приближении многочленами на компактах специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

то 4Rr(2r2(R4 — d4) — (R2 — d2)3) — (R2 — d2)4 + l6R2r4d2 = 0. Левая часть этого выражения раскладывается на множители (R2 — d2 + 2Rr)(4R2r2(R2 — d2) — 2Rr(R2 — d2)2 — (R2 — d2)3 + 8Rr3d2), первый из которых положительный, так как в лежит внутри а, а второй приводится к виду (2Rr — R2 + d2)(2Rr + R2 — d2)2 — 8Rr3(R2 — d2). Таким образом, необходимое условие существования 5-угольника Понселе запишется так:

(2Rr — R2 + d2)(2Rr + R2 — d2)2 = 8Rr3(R2 — d2) .

В заключение упомянем, что есть общие формулы для любого n, связывающие R,r и d, однако довольно громоздкие даже при малых n (см.: http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html). Возможно, подходящий выбор переменных может упростить итоговые формулы. Например, положим х = ^ и y = 5, где 5 — инверсное расстояние, определяемое как модуль натурального логарифма отношения радиусов концентрических окружностей, в которые переводятся окружности а и в инверсией с центром в предельной точке пучка (3). Если одна окружность лежит внутри другой, то chá = R \rR~d • Тогда для n = 3 и n = 4 формулы примут совсем простой вид: chy = 1+ x иshy = x соответственно (см. [9]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Poncelet J.- V. Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Gauthier-Villars, 1822.

2. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.

3. Протасов В.Ю. Об одном обобщении теоремы Понселе // Успехи матем. наук. 2006. 61. 187-188.

4. Hrascó А. Poncelet-type problems, an elementary approach // Elem. Math. 2000. 55. 45-62.

5. Barth W, Bauer Th. Poncelet theorems // Expos. Math. 1996. 14. 125-144.

6. Lebesgue H. Les Coniques. Paris: Gauthier-Villars, 1942.

7. Griffiths Ph., Harris J. On Cayley's explicit solution to Poncelet's porism // Enseign. Math. 1978. 31-40.

8. Radió M., Kaliman Z. About one relation concerning two circles, where one is inside of the other // Math. Maced. 2005. N 3. 45-50.

9. Коксетер Г.С.М., Грейцер С.Л. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978.

10. Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984.

11. Protasov V.Yu. Generalized closing theorems // Elem. Math. 2011. 66. 98-117.

12. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Планиметрия. М.: Дрофа, 2001.

Поступила в редакцию 07.06.2010

УДК 517.538.5

О РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНАМИ НА КОМПАКТАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

И. В. Белошапка1

Получена оценка снизу наименьших уклонений и найдены многочлены наилучшего равномерного приближения некоторых функций, заданных на компактах комплексной плоскости, содержащих полные прообразы Q-1(vj) нескольких точек Vj G C для некоторого многочлена Q(z) комплексного переменного.

Ключевые слова: равномерное приближение многочленами, полные прообразы.

A lower estimate of the least deviations is obtained and polynomials of the best uniform approximation are found for some functions given on compact sets of the complex plane containing full preimages Q-1(vj) of several points Vj G C for some polynomial Q(z) of a complex variable.

Key words: uniform approximation by polynomials, full preimages.

В последнее время появился ряд работ, в которых исследуются равномерные приближения на компактах комплексной плоскости, содержащих полные прообразы Q-1(vj) нескольких точек Vj G C для

1 Белошапка Иулия Валериевна — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

i-beloshapka@yandex. ru.

некоторого многочлена Q(z) комплексного переменного. Именно в работах [1, 2] вычислены многочлены Чебышева некоторых степеней на компактах указанного типа (следствие 3), а в [3] найдены многочлены наилучшего приближения для некоторых функций на таких компактах (следствие 4).

Цель настоящей работы — обобщить эти результаты и предъявить лежащую в их основе конструкцию меры с носителем в указанных прообразах Q-1(vj), аннулирующей все многочлены определенной степени.

Пусть K — компакт в комплексной плоскости, C(K) — пространство комплекснозначных функций, определенных и непрерывных на компакте K. Меру р £ (C(K))* будем называть ортогональной многочленам степени не выше n (р £ Pn), если р(р) = 0 для любого p £ Pn, где Pn — пространство многочленов степени не выше n. Через öa будем обозначать меру веса 1, сосредоточенную в точке a £ K: 5a(f) = f (a).

Лемма. Пусть Q — .многочлен степени n, {v\,...,vm} С C, Q-1(vj) = [a\j,...,anj} (кратные прообразы повторяются нужное число раз), j = l,...,m. Тогда всякая мера вида

m / n \

р= £ xj [12 , j=1 \k=i )

где числа Xi,...,Xm удовлетворяют условиям £ J=i Xj vj = 0,q = 0,...,d, ортогональна многочленам степени не выше nd + n — l.

Доказательство. Если Q(z) = cnzn + ... + ciz + Co, то для любого j = 1,...,m имеем

I I Cn-1 I I Cn-2 f -I\n— l cl a\j + ... + anj —--, a\jü2j +... + a,(n-i)janj —-, • • •, a>ij • ■ ■ ■ • a(n-i)j + • • • + a2j • ■ ■ ■ • anj — {—J-J —

cn cn cn

по теореме Виета. Следовательно, по формулам Ньютона суммы Si = aij + ... + anj, S2 = (aij)2 + ... + (anj) ! ...> Sn- i = (aij)n + ... + (anj)n не зависят от j. Поэтому для любого многочлена P(z) = Pn-izn—i + ... + Piz + Po суммы

^P (akj) = 'Pn-i^2, (akj )n i + ... + Pi^2 akj + npo] = (pn-iSn-i + ... + PiSi + npo) =: S (P) k=1 k=1 k=1

не зависят от Для любого многочлена К(г) степени не выше пй + п — 1 справедливо представление

ад = £ и(г),

где Ъя(г) — многочлены степени не выше п — 1. Таким образом,

m n m n d d m n d m

xjYl R(akj) = ^2 bq (akj )vj = E £ xj vjJ2 bq (akj) = ^2 S (bq )Y1 xjvj

j=1 k=1 j=1 k=1 j=o j=o j=1 k=1 j=o j=1

(£ n=i bq (akj) = S (bq) не зависят от j по доказанному выше), что и требовалось

Теорема 1. Пусть К — компакт в комплексной плоскости,, / £ С (К) и комплексные числа {"3 }т=1

\т

"3 }3=

таковы, что Q-l(vj) С К, ] = 1,...,т, для некоторого многочлена Q степени п. Если для некоторого многочлена Р степени не выше пй + п — 1 и для любых а3 £ Q-l("3) выполнено равенство —

Р){акз) = 8] {т.е. sgn(/ — Р)(а/у) не зависит от к, здесь sgn(z) = щ), ] = 1 ,...,т, и существуют неотрицательные числа г/1,..., г/т, не все равные нулю и такие, что ирГ^и4- = 0, д = 0,..., с?7 то

End+n-i(f) ^ min \(f — P)(akj)|.

k,j

Доказательство. По лемме мера

т /и \

3 = 1 \к=1 )

ортогональна многочленам степени не выше пй+п—1, и = п £т=1 > 0. Тогда для любого многочлена К £ Р^+и-1 имеем

3=1 к=1

.. т п л т п

3=1 к=1 т 3=1 *=1

1 т

> щ к/ - = к/ -

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть К — компакт в комплексной плоскости,, / £ С (К) и комплексные числа

{у3}'т=1 таковы, что Q-1(vj) С К, ^ = 1,...,т, для некоторого многочлена Q степени п. Если для

некоторого многочлена Р степени не выше пй + п — 1 и для любых а^ £ Q ) выполнено равенство

И'

sgn(/ — Р)(ак]) = $ у (т.е. sgn (/ — не зависит от к, здесь sgn(z) = ■щ), ] = 1,..., т, и выпуклая

оболочка векторов ^ = (sj, ..., в^) в пространстве содержит начало координат, то

Епа+п-1(/) ^ тт |(/ — Р)(аз)|.

Теорема 2. Пусть комплексные числа Vl,... ¡Vт таковы, что

Q-1(vl),..., Q-1(vm) С{г £ К : I/(г) — Р (г)| = ||/ — Р У)

для некоторого многочлена Q степени п и для некоторого многочлена Р степени не выше пй + п — 1. Пусть, кроме того, для любых а3 £ Q-1(vj) выполнено равенство sgn(/ — Р)(а3) = 83 (т.е. sgn(/ — Р){акз) не зависит от к, здесь sgn(z) = щ), ] = 1 ,...,т, и существуют неотрицательные числа

..., 1Ут, не все равные нулю и такие, что ^3=1= 0, д = 0,..., й. Тогда Р — многочлен наилучшего приближения для / (г) степени пй + п — 1 на компакте К. Доказательство. Используя теорему 1, получаем

у/ — Р|| ^ Еп4+п-1(/) ^ ш1п |(/ — Р)(аз)| = Ц/ — Р||,

т.е. Р — многочлен наилучшего приближения для /(г) степени пй+п — 1 на компакте К. Теорема доказана. Следствие 2. Пусть комплексные числа Vl,... ^т таковы, что

Q-1(vl),..., Q-1(vm) С {г £ К : (г) — Р (г)| = ||/ — Р ||}

для некоторого многочлена Q степени п и для некоторого многочлена Р степени не выше пй + п — 1. Пусть, кроме того, для любого а3 £ Q-1(vj) выполнено 'равенство sgn(/ — Р)(а^) = -83 (т.е. sgn(/ — Р)(аз) не зависит от к, здесь sgn(z) = -щ), ^ = 1,... ,т, и выпуклая оболочка векторов = (в], 'SjVj, ..., в пространстве С^1 содержит начало координат. Тогда Р — многочлен наилучшего прибли-

жения для / (г) степени пй + п — 1 на компакте К.

Докажем с помощью изложенных выше следствия 2 и теоремы 2 известные утверждения. Следствие 3 [2]. Пусть комплексные числа vl,...,vm таковы, что = ... = ^^ = К и точка г = 0 на комплексной плоскости лежит в выпуклой оболочке точек Vl,...,ит. Тогда если норма ЦТ|| многочлена Т(г) = гп + ... на компакте К равна К и ит=1 Т) С К, то Т — многочлен Чебыше-ва степени п для компакта К (т.е. многочлен степени п со старшим коэффициентом 1, имеющий наименьшую равномерную норму на К среди всех таких многочленов).

Для доказательства достаточно в следствии 2 положить /(г) = гп, Q(z) = Т(г), Р(г) = гп — Т(г), й = 0, 83 = sgn(vj).

Следствие 4 теоремы 2 [3]. Пусть Р(г) — многочлен наилучшего приближения степени й непрерывной функции /(г) на компакте К. Тогда для любого многочлена Q(г) степени п многочлен Р(^(г)) будет многочленом наилучшего приближения степени пй + п — 1 функции /г)) на компакте Q-1(K).

Доказательство. Справедлива следующая теорема Е. Я. Ремеза и В. К. Иванова [4, гл. 1, § 4]: многочлен Р (г) является многочленом наилучшего приближения степени й функции / (г) £ С (К) на компакте К тогда и только тогда, когда существуют такие комплексные числа (1, ...,(м £ М(/, Р) и положительные числа а1,..., им, что для любого многочлена К(г) на К степени не выше й выполнено равенство

N

Е ^д(0) (/м /'м) = о, (1)

3=1

где М(Щ,Р) = {г € К : |Щ (г) — Р(г)| = ||Щ (г) — Р(г)||} и число N может быть выбрано в пределах от п + 1 до 2п + 1. Пусть теперь = , ц = КЩ — Р)((3)| = Щ — Р||, тогда sgn(f — Р)(Я(акз)) =

для любого акз <5 (^0) 3 = и Ylj=lJ/jsjv<j = 0 (возьмем в (1) К(г) = гд при д = 0, ...,с(),

а = 0 > 0), т.е. выполняются условия теоремы 2, и многочлен Рг)) будет многочленом

наилучшего приближения степени пд + п — 1 функции Щг)) на компакте Q-l(K), что и требовалось.

Возникает естественный вопрос: справедливы ли доказанные выше утверждения для многочленов по произвольной чебышевской системе? Система непрерывных на компакте К функций ф\(г),■■■ ,фп(г) называется чебышевской, если любая нетривиальная линейная комбинация £П= о акфк(г) имеет не больше чем п различных нулей на К. Покажем, что утверждение, аналогичное следствию 3, для чебышевской системы {1, ,..., } неверно. Пусть комплексные числа г>1,..., ит таковы, что |г>1| = ... = |г>т| = К и 0 лежит в выпуклой оболочке }, тогда из того, что |Q(г)| = К, Q-l(vi) С К, где Q(г) =

1 + /-а11 + • • • + хС-аг + Со, вообще говоря, не следует, что для любого многочлена Р(х) = —Ь

—Ь ... Н—^—Ь Ао выполнено неравенство та|-Р(-2)| ^ Л-

х—ап

1

Пример. Рассмотрим чебышевскую систему {^^г^)^}- Положим = + = 1>г'2 =

-1 ,К = {l + i,-l + 1},Р{г) = + Тогда «З^Ы = <3_1Ы = К, тахг€К \<2(г)\ = |гл| = Ы = 1, но

Р(г) < 1.

С помощью указанных в лемме ортогональных мер можно получать оценки наилучшего приближения аналитических функций через коэффициенты рядов Тейлора этих функций.

Теорема 3. Пусть функция Щ(г) голоморфна на замкнутом единичном круге К = {г : |г| ^ 1} и представляется в этом круге сходящимся степенным рядом £скгк■ Тогда Еп-\(Щ) ^ спк^

п = 2,■■■■

Доказательство. Мера ц = £ П= 1 ^од — £ П= 1 , где {а\\,■■■,ап\} — корни степени п из 1, а {а\2,■■■,ап2} — корни степени п из —1, ортогональна многочленам степени не выше п — 1 по лемме. Имеем

) = Е Щ (а^) — Е Щ (аз 2) =

з=1 з=1

те

Е

к=о

ск

Е4

К3 = 1

те

^ ск

к=о

Т.аз2

2п Е Спк ■

к=1

Следовательно,

Еп-1(Щ) ^

ш 2п^ те=1 спк |

что и требовалось.

Для функции Щ(г) = ех теорема 3 дает

2п

спк

к=1

п! (2п)!

(,кп)\ ^ ''' ^ п\'

В то же время

Е

к=п

скг

1

^ — +

1

п! (п + 1)!

1 11

(п + к)! п! \ п

Из этих оценок получаем (по-видимому, известную) слабую асимптотику Еп(ег) = (1 + <5(1))

при п ^Ж).

Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и ценные замечания. Работа поддержана РФФИ (проект № 11-01-00952а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Камо С.О., Бородин П.А. Многочлены Чебышева для множеств Жюлиа // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 5. 65-67.

2. Бородин П.А. Об одном условии на многочлен, достаточном для минимальности его нормы на заданном компакте // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 4. 14-18.

3. Pakovich F. On polynomials sharing preimages of compact sets, and related questions // Geom. and Funct. Anal. 2007. 18, N 1. 163-183.

4. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1997.

Поступила в редакцию 15.04.2011

УДК 512

НОСИТЕЛИ (g, ^-МОДУЛЕЙ КОНЕЧНОГО ТИПА

A. В. Петухов1

Пусть g — полупростая алгебра Ли, а k — редуктивная в g подалгебра. Назовем (g, k)-модулем g-модуль, который как k-модуль есть прямая сумма простых конечномерных k-модулей. Назовем (g, к)-модулем конечного типа (g, ^-модуль, все k-изотипные компоненты которого конечномерны. В статье доказано, что всякий простой (g, к)-модуль конечного типа голономен. Всякому простому g-модулю M соответствуют инварианты V(M), V(LocM) и L(M), отражающие "направления его роста". Также доказывается, что для фиксированной пары (g, k) набор возможных значений для упомянутых инвариантов конечен.

Ключевые слова: (g, к)-модуль, коприсоединенная орбита, нуль-конус.

Let g be a semisimple Lie algebra and k be a reductive subalgebra in g. We say that a g-module M is a (g, k)-module if M, considered as a k-module, is a direct sum of finite-dimensional k-modules. We say that a (g, k)-module M is of finite type if all k-isotypic components of M are finite-dimensional. In this article we prove that any simple (g, k)-module of finite type is holonomic. To a simple g-module M one assigns invariants V(M), V(LocM) and L(M) reflecting the "directions of growth of M". We also prove that, for a given pair (g, k), the set of possible invariants is finite.

Key words: (g, k)-module, coadjoint orbit, null-cone.

Формулировки основных результатов. Пусть g — полупростая алгебра Ли, определенная над алгебраически замкнутым полем F характеристики 0, а k С g — редуктивная в g подалгебра.

Определение 1. Назовем (g, 1)-модулем g-модуль, который как k-модуль есть прямая сумма простых конечномерных k-модулей.

Определение 2. Назовем (g, ^-модуль (g, ^-модулем конечного типа, если он является k-модулем конечного типа, т.е. если все его k-изотипные компоненты конечномерны.

Обозначим через Z(g) центр универсальной обертывающей алгебры U(g) алгебры Ли g. Пусть % :Z(g) ^ F — гомоморфизм алгебр.

Определение 3. Будем говорить, что g-модуль M является модулем с характером, если zm = %(z)m для какого-то гомоморфизма % :Z(g) ^ F и всяких z £Z(g) и m Е M.

Обозначим через X многообразие борелевских (т.е. максимальных разрешимых) подалгебр алгебры Ли g. Фиксируем коцикл Л GH1(X, ), где — пучок замнутых голоморфных 1-форм на X. Так как всякая замкнутая 1-форма а задает автоморфизм пучка Dx (функции сохраняются этим автоморфизмом, а всякое векторное поле £ переходит в £ + а(£)), то Л задает элемент H1(X, Autgx Dx) и соответственно пучок скрученных дифференциальных операторов DX (см. [1]). Как следствие коцикл Л определяет функторы "локализации" (Loc: g-модули^ DX-модули) и "глобальных сечений" (GSec: DX-модули ^ g-модули). Для любого характера % существует коцикл Л, такой, что функтор GSecoLoc становится тождественным после ограничения на категорию g-модулей с характером % [2] (композиция LocoGSec при этом необязательно тождественна). Любой простой g-модуль M имеет характер [3].

Фиксируем Л GH1(X, ПХ°'). Категория DX-модулей содержит полную подкатегорию голономных модулей. Говоря неформально, голономные модули — "модули с наименьшим порядком роста" (см. определение 7). Всякий простой голономный модуль есть единственный простой подмодуль прямого образа S в X,

1 Петухов Алексей Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, асп. Университета Якобса (IUB) г. Бремен, e-mail: [email protected].