Об одном условии на многочлен, достаточном для минимальности его нормы на заданном компакте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Замечание. Условие (с) теорем сильно ограничивает множество удовлетворяющих ему законов распределения. Поэтому тестовую статистику фп целесообразно применять для статистических выводов в условиях активного эксперимента (когда исследователь сам выбирает план эксперимента). Как известно из теории оптимального планирования [5], в условиях активного эксперимента оптимальными являются планы с конечным числом значений, а такие планы (т.е. распределения Х\) удовлетворяют условию (с).

Автор выражает глубокую благодарность Ю.Н. Тюрину, под руководством которого выполнена эта работа, а также М.В. Болдину и В.Н. Тутубалину за ценные замечания и советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Theil Н. A rank-invariant method of linear and polynomial regression analysis // Ned. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 1950. 53. 386-392.

2. Oja H. Descriptive statistics for multivariate distributions // Stat, and Probab. Lett. 1983. 1. 327-332.

3. Serjiing R.J. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. N.Y.: John Wiley, 1980.

4. Hannan E.G. The asymptotic power of tests based upon multiple correlation //J. Roy. Statist. Soc. Ser. B. 1956. 18. 227-233.

5. Ермаков C.M., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1982.

Поступила в редакцию 29.04.2005

УДК 517.53

ОБ ОДНОМ УСЛОВИИ НА МНОГОЧЛЕН, ДОСТАТОЧНОМ ДЛЯ МИНИМАЛЬНОСТИ ЕГО НОРМЫ НА ЗАДАННОМ КОМПАКТЕ

П. А. Бородин

Пусть К — бесконечный компакт в комплексной плоскости С. Среди всех многочленов Р(г) = хп + ап-+ ... + ао заданной степени п со старшим коэффициентом 1 существует и единствен многочлен Тп(г) с минимальной нормой на этом компакте:

\\Тп\\ = mm{\\P\\ : P(z) = zJ

+ ап-izn~l +

+ ао} = minmax|P(z)| =: тп(К).

p zeK

(1)

Многочлен Тп(г) = Тп(г,К) называется многочленом Чебышева степени п для компакта К [1, 2].

Справедлив следующий критерий А. Н. Колмогорова [3]: многочлен Т(г) = хп + ... является многочленом Чебышева степени п для компакта К тогда и только тогда, когда для любого многочлена С,) (г) степени не выше п — 1 найдется такая точка ( из множества М(Т) = {( £ К : |Т(£)| = ||Т||}, что Я,е ((¡)(()Т(()) > 0. У этого критерия имеется более удобная формулировка, принадлежащая Е.Я. Ремезу [4, 5]: многочлен Т(г) = гп + ... является многочленом Чебышева степени п для компакта К тогда и только тогда, когда существуют такие точки ... £ М(Т) и такие положительные числа 5\,..., 5м, что для любого многочлена С,) (г) степени не выше п — 1 справедливо равенство

N

= о.

(2)

k= 1

Число N точек (к может быть выбрано в пределах между п +1 и 2п +1 [6]. Доказательство достаточности указанного условия довольно просто: если выполнено (2), то в одной из точек (д. имеем

ReQ(Cfc)T(Cfc) >0

п (k)

r+Qii^ir(a) + Q(a)i = №)i

i +

Q(Ck)

i +

T«k) Q(Ck)

> i

П (k)

> \T«k)I = ||T||,

т.е. добавление к Т любого многочлена Q степени не выше п — 1 не уменьшает норму Т, а значит, Т — многочлен с минимальной нормой на К среди всех многочленов степени п со старшим коэффициентом 1.

Цель настоящей работы — указать одно условие на многочлен, достаточное для того, чтобы он был многочленом Чебышева заданной степени п на заданном компакте К (теорема 1). Это условие позволяет вычислять многочлены Чебышева на компактах специального вида. Кроме того, в работе вводятся специальные экстремальные многочлены, связанные с этим условием, и исследуются их асимптотические свойства (теорема 2).

Теорема 1. Пусть комплексные числа V\,..., vm таковы, что |t>i| = ... = |г>т| = R, и точка z = 0 на комплексной плоскости лежит в выпуклой оболочке точек V\,... ,vm. Тогда если норм,а ||Т|| многочлена T(z) = zn + ... на компакте К равна R и yj™=lT~l(vk) С К, то Т — многочлен Чебышева степени п для К.

Здесь T~l(vk) обозначает множество решений уравнения T(z) = vk.

Доказательство. Поскольку точка z = 0 принадлежит выпуклой оболочке точек vk, найдутся такие

т

неотрицательные числа ¿i,... ,5т, что ^ Skvk = 0. Будем считать, что все 5к > 0 (в противном случае

к=i

возьмем только те точки vк, для которых 5к > 0, и перенумеруем их).

Пусть T~l(vk) = {flfci, • • •, flfcn} (к = 1,..., m; каждое число повторяется столько раз, какова его кратность как корня уравнения T(z) = vk). Каждая точка akj принадлежит К, причем \T(akj)\ = \vk\ = R= ||Т||, т.е. akjeM(T).

п

Для каждого q = 0,1,... ,п — 1 сумма Sq = Sq{vk) = a1 ■ выражается через старшие q + 1 коэф-

3 = 1

фициентов многочлена T(z) — Vk, а значит, не зависит от к. Следовательно, для любого q = 0,1,..., п — 1 имеет место равенство

т п т п т т

^ ^ SkaqkjT(akj) = ^ 6кЩ ^ aqkj = ^ ókv^Sq = Sq ^ 5кЩ = 0, k=lj=l к= 1 j= 1 к= 1 к= 1

откуда

т п

J2J2skQ(akj)T(akj) = 0 к=i j=l

для любого многочлена Q степени не выше п — 1. Таким образом, многочлен Т на компакте К удовлетворяет условию критерия Е. Я. Ремеза (см. выше) с точками {akj : к = 1,..., m; j = 1,... ,п} и числами {5kj = 5к: к = 1,... ,тп', j = 1,... ,п} (в случае, когда среди точек ак\,..., акп есть I одинаковых, они заменяются на одну, а множитель 5к — на 15к). Теорема 1 доказана.

Эта теорема может быть переформулирована так: если компакт К лежит в замыкании Int(L) внутренности лемнискаты L = {z : |T(z)| = R} и пересечение К П L содержит прообразы T~l(vk) точек vk с указанными свойствами, то Т — многочлен Чебышева для К.

Следствие 1.1 (Г. Фабер [1]). Любой многочлен T(z) = zn + ... является многочленом Чебышева для своей лемнискаты L = L(T, R) = {z : \T(z)\ = R}.

Следствие 1.2 (П.JI. Чебышев, Г. Фабер [1], В.М.Шепелев [7]). Классические многочлены П.Л. Чебышева

Tn(z) = —cos(n arceos z) = ^ ((z + Vz2 - l)n + {z - л/z2 - l)ra)

являются многочленами Чебышева для отрезка К\ = [—1; 1] и для любого эллипса Кг с полуосями ^ (г ± г > 1 {и с фокусами ±1).

Доказательство. Подставляя точку эллипса С = \ [rei{P + -е в многочлен Tn(z), получаем Тп(() = (гпегп1р + ■р^е~гп1рЛ). Отсюда при каждом г ) 1 и каждом натуральном п имеем HlraHc^) = _L =: R и T~1(±R) С Kr. Поскольку точка 0 лежит в выпуклой оболочке точек V\ = R и

г>2 = — R, по теореме 1 многочлен Тп является многочленом Чебышева степени п для Кг.

Следствие 1.3 (С.О.Камо, П.А.Бородин [8]). Пусть P{z) = anzn + ... + a\Z + do, an ф 0, J{P) — множество Жюлиа многочлена Р, а точка т является центром окружности C{t,R) наименьшего радиуса R, содержащей внутри себя множество J{P). Тогда многочлен T(z) = ^-(P(z) — г) является многочленом Чебышева степени п для ком,пакт,a J(P).

Доказательство основывается на полной инвариантности <1(Р) относительно Р, т.е. равенстве Р~1(,1(Р)) = J(P)■ Из нее прежде всего следует, что \\Т\\с^(р)) = = ^у. Далее, поскольку

С(т,К) является окружностью наименьшего радиуса, содержащей внутри себя <1(Р), то в пересечении ,1(Р) П С(т,К) найдутся точки и)1,... ,и)т, содержащие 0 в своей выпуклой оболочке (по теореме Ка-ратеодори можно даже взять т = 3). Положим Ук = {У0к — т)/ап, к = 1,..., т. Для каждого к имеем \Ук\ = = ||Т||, а Т~1(Ук) = {Р№ — т)-1{и)к — т) = Р~1{п>к) С J(P), так что выполнены все условия теоремы 1.

Следствие 1.4. Пусть точка 0 лежит в выпуклой оболочке точек сц,..., ат € С и К > тах{|ад;| : к = 1,..., т}. Тогда любой многочлен Т(г) = гп + ... является многочленом Чебышева степени п для объединения лемнискат

т т

Л = и {г : IТ(г) — (1к\ = Я — \ак\} =: У Ак. к=1 к=1

Доказательство. Действительно,

||Т||С(Л) = тах||Т||с(л ) = тахтах \Т(г)\ < тахтах{|Т(г) - ак\ + \ак\} = Я,

4 7 к 4 ' к геАк к геАк

а для любого значения Пк = (при ак ф 0) и любого прообраза £ £ Т~1(пк) имеем

\П0-ак

т.е. ( £ Л П М(Т). В то же время точка 0 лежит в выпуклой оболочке всех точек ак ф 0, а значит, и всех точек Ук- Следствие 1.4 доказано.

Условие на многочлен Т в теореме 1 является, конечно, лишь достаточным для того, чтобы Т был многочленом Чебышева: существуют компакты (и даже континуумы) К, не содержащие даже двух полных прообразов Т_1(г> 1) и Т_1(г>2) ни для каких многочлена Т степени > 2 и чисел ф г>2-

Примером такого компакта служит полуокружность С = {г : \г\ = 1,1тг > 0}. Если Т(г) = хп + ап-1гп~1 + ... + сц* + ао, Т-1{ух) = {*!,...,*„} С С, Т~1(у2) = {в1,...,вга} С С, то (г - Ь) • (г -... • (г - Ьп) + VI = Т(г) = (г - .вг) ■ (г - ,в2) ■ ■ ■ ■ ■ (г - ,вп) + ь2, откуда

¿1 + ... + Ьп = -ап-1 = «1 + ... + (3)

¿2^3 • • • tn + • • • tn + ¿1^2 • • • tn-l = ( — 1)п~1а\ = , .

= «2«3 . . . 8п + . . . 8п + 8182 ■ ■ ■ 8п-1,

^..Лп = 8\82 ■ ■ ■ 8п (5)

(последнее условие следует из того, что = ... = \Ьп\ = |^ 11 = ... = 1). Разделив (4) на (5), имеем

1\ Ъп \ /

что в силу (3) влечет либо ¿1 + ... + ¿га = + ... + 8п = 0 и тогда оба набора {¿1,..., ¿га} и {«1,..., 8п} состоят только из чисел +1 и —1 в одинаковых количествах, а значит, =1)2, либо 1 = е~г1р и тогда ■ ■Лп = 8^2 ...вп а0 - VI = а0 - у2 VI = у2.

В то же время понятно, что если компакт К содержит круг с центром а радиуса К, то для многочлена Т(г) = (г - а)п и любого <р е [0; 2тг) имеем Т~1{е^Кп) С К. В связи с этим уместно ввести следующее

Определение. Для заданного компакта К и натурального п через ц]п{К) обозначим максимальное число К > 0, для которого найдутся такие числа г>1,..., г>т и многочлен Т(г) = гп + ..., что |г>1| = ... = = -К) выпуклая оболочка чисел г>1,... ,г>т содержит точку 0 и и^=1Т_1(г'д;) С К.

Как было показано выше, для любой полуокружности и любого п > 2 имеем ц]п{К) = 0, а если компакт К содержит круг радиуса К, то ц]п{К) > Кп.

Нетрудно показать, что для любого компакта К положительной плоской меры Лебега неравенство 'Шп(К) > 0 справедливо при каждом п = 1,2,... . Действительно, возьмем такой круг И, что теэ2^ П

кК\~ак =ы{й\~1]=R~ы,

D) > 22ra1mes2(,B) (например, в качестве D можно взять круговую окрестность точки плотности К, см., например, [9, п. 5.8(ii)]). Пусть D имеет центр в точке а. Поскольку mes2{D\K) < ^mes2(_D), найдется

irk ■

такая точка b G D, Ъ ф а, что все точки {а + (Ь — а)е~г: к = 1,..., 2п} принадлежат К, составляя в то же время объединение прообразов Т~1((Ъ — а)п) и Т~1( — (Ъ — а)п) для многочлена T(z) = (z — а)п. Так как 0 лежит в выпуклой оболочке точек (b — а)п и —(b — а)п, то wn(K) > \(b — а)п\ > 0.

Непонятно, может ли величина wn(K) быть сколь угодно малой для компактов К заданной положительной плоской меры Лебега mes2(_fi) = const > 0.

В силу теоремы 1 для любого компакта К выполняется неравенство wn(K) < тп(К) (определение тп(К) см. в равенстве (1)). Было бы интересно описать все компакты К, для каждого из которых равенство wn(K) = тп(К) справедливо при любом п = 1,2,.... К таким компактам относятся любые отрезки, эллипсы и круги (см. следствия 1.1 и 1.2).

Для норм тп = тп(К) многочленов Чебышева на заданном компакте К имеет место замечательное

равенство lim Тп = j(K), где 7(К) — гармоническая (логарифмическая) емкость компакта К (теоре-

п—>оо

ма Фекете-Сеге, см. [2, гл. 7, § 3]). Аналогичное равенство для величин wn(K) в случае произвольного компакта К неверно, как показывает пример полуокружности. Тем не менее справедлива

Теорема 2. Для любого ограниченного от,крыт,ого множества U имеют место неравенства

7(U) < liminf(wn(U))™ < limsup(«;ra(!7))" < 7(F).

Напомним, что емкостью 7(U) открытого множества U называется супремум емкостей 7(К) компактов К С U.

Доказательство. Рассмотрим многочлены определяемые равенством

max{ min \P(z)\ : P{z) = (z - ai) ■ ... ■ (z - an), {ak} С U} = min \Rn(z)\ =: mn(lJ),

zEdU zEdU

где dU обозначает границу множества U, an = 1,2,... . Эти наиболее отклоняющиеся от нуля многочлены были введены Фабером [1] для областей U, ограниченных простыми аналитическими кривыми (см. также [7, 10]). Из определения многочленов Rn следует, что R~l({z : \z\ < тп}) С U, откуда

wn(U) > mn(U). Таким образом, (mn(U))« < (wn(U))« < (Tn(U))™, и, поскольку, как уже упоминалось,

lim (тп(и))" = 7(U), для доказательства теоремы 2 достаточно установить справедливость следующего

га—> оо

утверждения.

Теорема 3. Для любого ограниченного от,крыт,ого множества U справедливо равенство lim (mn(C/))« =

га—>00

В [1] это утверждение доказано для односвязных ограниченных областей с аналитической границей,

в [10] — для произвольных ограниченных областей U.

Доказательство. Положим тп = mn(U). Для любого е > 0 лемнискаты Ln(e) = {z : 1^(^)1 =

1

тп — £} целиком лежат в С/, поэтому (тп — е)" = 7{Ln{e)) < 7(С7), откуда тЦ < 7(U).

Из определения чисел тп следует, что тп > тп-гтг для любых натуральных г < п. Докажем, что для любого натурального к и любого е > 0 при всех достаточно больших п справедливо неравенство 11 1 1 А 1

rrin > — е. Деля п на к с остатком, получаем п = kd + г, 0 < г < к, откуда rrin > (mfmr)« = т™.

1 11 При п —► оо имеем 1/п —1 /к, тр —1 (независимо от г), а значит, Шп > mfe — е при всех достаточно

больших п, что и требовалось.

х

Итак, последовательность ограничена сверху числом 7(U) и "возрастает" в указанном смысле. Следовательно, существует lim < 7(U).

га—> оо

По заданному е > 0 выберем не разбивающий плоскость компакт К С U с границей дК, состоящей из

конечного числа гладких жордановых контуров, и с емкостью 7(К) > 7(U) — е. Рассмотрим многочлены

tn(z), имеющие минимальную норму hn = max|ira(z)| среди всех многочленов со старшим коэффициен-

zEK

том 1 и с нулями на К. Покажем, что лемнискаты Ап = {z : |tra(-z)| = hn} сходятся к дК в хаусдорфовой метрике. Пусть g(z) — функция Грина для С\К с особенностью в точке оо, т.е. g(z) = log \z\— log j(K)-\-o(l) (z —00). В силу выбора К функция g непрерывно продолжается на дК, причем g(z) = 0 при z G дК.

Функции gn(z) = g(z) — log |tra(z)| ™ непрерывны в C\ií и гармоничны в С \ К. При этом дп( оо) =

i i

— log7(-fí), а при z G дК имеем gn(z) = 0 — log |tra(z)| ™ > —log hñ ■ Поскольку для чисел hn = hn(K),

х

как и для чебышевских постоянных тп(К), справедливо равенство lim hñ = 7(К) (см. [2, гл. 7, § 1, 3]),

га—> оо

то последовательность функций gn(z) равномерно на С \ К сходится к постоянной — log7(_fí). Таким

образом, функции \tn(z)\~ равномерно на линии уровня Гг = {z : g(z) = г > 0} сходятся к константе

i

exp(r + \og^/(K)) > 7(К) и лемнискаты Ап = {z : \tn(z)\« = hñ = 7(К) + ön}, где ön 0 при п —оо, начиная с некоторого номера п = п(г) оказываются "зажатыми" между Гг и дК. При г —0 линии уровня Гг стремятся к дК в хаусдорфовой метрике (дК состоит из конечного числа гладких жордановых контуров), значит, то же верно и для Ап.

X X

Так как К С С/, то Ап С U при п > N = N(K, U). Для п > N имеем mn > hn и lim mñ > lim =

ra—>oo ra—> оо

X

7(К) > 7(U) — е. В силу произвольности е и доказанного выше неравенства lim mñ ^ 7(U) получаем

га—> оо

X

lim mñ = "f{U).

ra—> оо

Теорема 3, а вместе с ней и теорема 2 доказаны.

Следствие 2.1. Для любой ограниченной облает,и U существует предел lim (wn(U))ñ = 7(U).

ra—>00

Это утверждение вытекает из теоремы 2 и равенства 7(U) = 7(Í7), справедливого для любой ограниченной области U (см., например, [10]).

Автор благодарен B.C. Буярову, Е. П. Долженко, О.Н. Косухину и П. В. Парамонову за полезные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 05-01-00962) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-1892.2003.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faber G. Uber Tschebyscheffsche Polynome //J. reine und angew. Math. 1920. 150. 79-106.

2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.

3. Колмогоров А.Н. Замечания по поводу многочленов П.Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной функции // Успехи матем. наук. 1948. 3, вып. 1. 216-221.

4. Ремез Е.Я. Некоторые вопросы чебышевского приближения в комплексной области // Укр. матем. журн. 1953. 5, № 1. 3-49.

5. Виденский B.C. О равномерном приближении в комплексной плоскости // Успехи матем. наук. 1956. 11, вып. 5. 169-175.

6. Шнирельман Л.Г. О равномерных приближениях // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. № 1. 53-60.

7. Шепелев В.М. Полиномы Чебышева комплексного переменного: Канд. дис. М., 1929.

8. Камо С. О., Бородин П. А. Многочлены Чебышева для множеств Жюлиа // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 5. 65-67.

9. Богачев В.И. Основы теории меры. М.; Ижевск: Изд-во РХД, 2003.

10. Бородин П.А. О многочленах, наиболее отклоняющихся от нуля на границе области // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 1. 18-22.

Поступила в редакцию 11.07.2005

УДК 512.552.4

КОРАЗМЕРНОСТЬ И КОДЛИНА ОДНОЙ ПЯТИМЕРНОЙ АЛГЕБРЫ

А. С. Гордиенко

Несмотря на активную деятельность, которая ведется в этой области, известно сравнительно мало примеров алгебр, в которых можно явно вычислить характеристики, указанные в заголовке: кохарактеры алгебры M2(F) всех матриц 2x2 были найдены B.C. Дренски и Е. Форманеком [1, 2], точные значения