CC BY
7элемент у £ А2(0), такой, что у £ С2(0). Рассмотрим код V = {0,у}. Покажем, что V исправляет ошибки канала С, но не исправляет ошибки канала А. Для доказательства достаточно заметить, что оба канала А и С содержат нулевую точку, чего можно достичь, применив преобразование сдвига. Ясно, что это преобразование не меняет множеств А2 (0) и С2(0). Итак, код V = {0, у} исправляет ошибки канала С, так как
у + г = 0 + , Угг, £ С.
Но у £ А2(0), т.е. у = уг + у^. Откуда у + уг = 0 + у^, т.е. код V те исправляет ошибки А. Теорема доказана.
К сожалению, вопрос, каждое ли множество из Вп является инвариантом какого-то класса эквивалентности, имеет отрицательный ответ. Например, все множества мощности 3 или 5 таковыми не являются.
Утверждение 3. Класс эквивалентности содержит не более одной группы.
Доказательство. Пусть каналы С1 и С2 являются группами из М(А). Из очевидных равенств М(С1) = С2(0) = С1, М(С2) = С|(0) = С2 следует, что С1 = С2, что и требовалось доказать.
А
С, М(С)
Другими словами, групповой канал является "предпочтительным порождающим" в своем классе эквивалентности .
В конце работы отметим, что предыдущие определения являются симметричными относительно пары (А, V), и потому "порождение" и "исправление" ошибок имеют одинаковую природу. Следовательно, все утверждения относительно каналов связи А верны и для кодов V тары (А, V).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лет С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
2. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1977.
3. Леонтьев В.К., Мовсисян Г.Л. Совершенные коды в аддитивных каналах // Докл. РАН. 2006. 411, № 3. 306-309.
4. Леонтьев В.К., Мовсисян Г.Л., Маргарян Ж.Г. О совершенных кодах в аддитивном канале // Проблемы передачи информации. 2008. 44, № 4. 12-19.
5. Леонтьев В.К., Мовсисян Г.Л., Маргарян Ж.Г. Коррекция ошибок в аддитивном канале // Вестн. РАУ. Физико-математические и естественные науки. 2010. № 2. 12-25.
Поступила в редакцию 17.04.2013
УДК 517.54
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ПРОИЗВОДНЫХ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Е. П. Долженко1, C.B. Колесников2
Рассматриваются конформные отображения на круг или полуплоскость односвязных областей G, в состав границ которых входят какие-либо гладкие и достижимые изнутри G дуг и Г. Указываются достаточное условие ограниченности производной конформного отображения вблизи таких дуг и достаточное условие наличия углового предела производных от таких отображений в какой-либо заданной точке достижимой дуги. В качестве следствия приводится достаточное условие наличия ограниченной производной рассмат-
GG
границей.
Ключевые слова: конформные отображения, угловой предел, условие Липшица.
G
in the case when boundaries consist of smooth boundary arcs Г reachable fem inside of G.
1 Долженко Евгений Прокофъевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eugenQngcom.ru.
2 Колесников Сергей Викторович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики ИГЭУ, e-mail: servikkol0rambler.ru.
Sufficient conditions for existence of angular limit of the derivative of such mappings and its boundedness at some given boundary point are found. A sufficient condition of existence of a bounded derivative on the region's boundary is given as a corollary.
Key words: conformal maps, angular limit, Lipschitz's condition.
Хорошо известна следующая теорема С.Е. Варшавского [1]. Именно пусть z = ф(w) — однолистное конформное отображение открытого единичного круга D := {w : |w| < 1} на область G с гладкой границей Г $(s) — угол наклона положительного направления касательной к Г в точках z(s) Е Г относительно положительного направления действительной оси (s — натуральный параметр на Г; Ш(Ф,5) — обычный модуль непрерывности функции §(s). Тогда если интеграл f0(ш(ф, 5)/5) d5 сходится, то производная ф'{и>) существует, непрерывна и отлична от нуля на замыкании I) круга D. Очевидно, что в этом случае производная обратного конформного отображения w = ц>(z) = ф-1 (z) облает и G на круг D также
GG
Более слабые достаточные условия для непрерывности функции ф'(w) на замыкании D в случае обла-G
киным [3].
В настоящей работе рассматриваются условия существования угловых граничных пределов производной ^(z) и условия ее ограниченности. Все результаты приводятся для случая отображений w = p(z) од-носвязной ограниченной области G с достижимой гладкой граничной дугой Г на верхнюю полуплоскость, при которых дуга Г отображается на некоторый ограниченный интервал действительной оси. Вследствие дробно-линейной эквивалентности верхней полуплоскости и единичного круга отсюда непосредственно
G
D
G
C; Г — гладкая открытая жорданова дуга ее границы dG, достижимая из G посредством жордановой области Q(G, Г) С G; t Е Г D(t,r) — открытый круг радиуса r > 0 с центром t. Далее, пусть число Ro = Ro(t) > 0 таково, что при любом r Е (0, До] граничная окружность C(t, r) круга D(t, r) пересекается с Г ровно в двух точках и не имеет других точек пересечения с границей области Q(G, Г). Ту из дуг окружности C(t, r) с концами в этих точках, которая целиком лежит в области Q(G, Г), обозначим через Г(^г).
Пусть функция w = p(z) однолистно и конформно отображает область G на верхнюю полуплоскость {w : Im w > 0} таким образом, что ^>(Г) является конечным открытым интервалом действительной оси. Обозначим через l(t,r) длину дуги r)) и положим G(t,r) = Q(G, Г) П D(t,r). При R Е (0,Ro]
положим
R
г) :=1 - V Z^fe'f • F(t■ «>--=ш11{*'г) "г s ШII +'»>1Ы!»' (1)
G(t,R)
где mes2 E двумерную меру Лебега множества E. Отметим, что величина p(t, r) может быть
как положительной, так и отрицательной.
Г
Лемма 1. При 0 < R1 < R2 ^ R0 имеет, место неравенство
log F(t, Кг) - log F(t, Д2) < 2 ^^ dr. (2)
JR1 r
Доказательство. Пусть 0 < Я ^ Я0. Очевидно, что /•Я г я
/ ¡(г, г) йт = /
./о у JJG(t,я)
Отсюда по неравенству Коши-Буняковского получаем
l(t,r) dr =1 If П dr = Ц №(x + iy)l dxdy.
Jo \J r(t,r) / JJGit.R)
R
l(t, r) dr
o
2
< mes2 p(G(t,R)) ■ mes2 G(t,R). (3)
Граница односвязной жордановой области Я)) состоит из дуги ф(Г(Ь, Я)) длиной ¡(Ь, Я) и некото-
рого отрезка действительной оси. Как известно (так называемая "Задача Дидоны", см., например, [4]), максимально возможная площадь области ^>(С(Ь, Я)) будет тогда, когда эта область является полукругом с длиной полуокружности ¡(Ь, Я), так что шв82 ^(С(Ь, Я)) ^ ¡2(Ь,Я)/(2п). Отсюда и из (3) следует неравенство
[Е«,, г) чг< дам =
Нетрудно видеть, что
Пусть 0 < Я\ < Я2 ^ Яо- Проинтегрировав левую и правую части двойного неравенства (4) по переменной R £ [Я1, Я2], получаем
/ !■ R2 I г Ri \ г R2
log (Я2/Я?) - l(t,r) dr jj Я) Я < 2 J (p(í,R)/R) (1Я.
Тождественные преобразования этого выражения дают
Ri \ / 1 г R2 \ r R2
-log^ji 2 jR2p-^dr.
Неравенство (2) доказано. Положим
I(t, R) = Г' ^^ dr. (5)
./д r
Лемма 2. Пусть t € Г (1) ik/rn существует предел lim I(t,R) € [—те, +те) то существует предел ^li^a F(t, R) € [0, +те).
(2) Если существует предел, lim F(t, R) € (0, то существует и предел, lim I(t, R) € (—те, +те].
Доказательство. Пусть интеграл (5) имеет конечный предел при R ^ 0. Тогда из неравенства (2) леммы 1 при Ri = R следует, что функция log F(t, R) ограничена сверху возле нуля. Положим A := liminf log F(t, R) < +те. Если A = —те т0 Для любого фиксированного е > 0 существует такое R2 =
R2(e) € (0,Ro], что log F(t, R2) < A + е и для любого R € (0,R2) выполняется неравенство A — е < log F(t, R). Кроме того, в силу существования предела lim I(t,R) < +те число R2 можно выбрать так,
чтобы при 0 < R < R2 выполнялось неравенство
Jr r
Таким образом, отсюда и из (2) при 0 < R < R2 имеем неравенства
R R
А — е < logF(t, R) < logF(t, R2) + [ 2 ^^dr < A + 2e.
JR r
Это означает, что существует конечный предел lim log F(t, R) = A. В случае A = —те, как и в случае
lim I(t, R) = —те, первая часть леммы 2 непосредственно следует из леммы 1.
Если существует предел lim F(t, R) = 0, а интеграл (5) не имеет ни конечного, ни бесконечного
предела при R ^ 0, то в силу его непрерывности по R существует такое е0 > 0, что для любого ö > 0 найдутся такие положительные Ri и R2, которые меньше ö и для которых fR2 (p(t,r)/r) dr < —е0- Из
16 ВМУ, математика, механика, №5
леммы 1 вытекает, что log F(t, R\)—log F(t, R2) < —e, что противоречит существованию конечного предела lim log F (t, R). В случае lim F(t, R) лемма 2 следует из леммы 1.
Таким образом, наше предположение о несуществовании предела (5) ошибочно. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть t — точка на гладкой достижимой от крытой дуге Г V — открытый угол,
величина, которого меньше п, с вершиной в точке t и внутренней нормалью к Г в качестве биссектрисы.
Тогда, если один из пределов lim \ф'(z)\ или lim F(t,\z — t|) существует (конечный или то
V 3z^t V 3z^t
существует и равный ему другой предел.
Доказательство. Выберем Ro так, как это было указано в начале статьи, т.е. так, чтобы при 0 < R ^ Ro окружность C (t, R) пересекала дугу Г ровно в двух точках и не имела других общих точек с дQ(G, Г). Кроме того, потребуем, чтобы все точки пересечения сторон угла Vt с дQ(G, Г) отличные от t, лежали вне круга D(t, R0). По теореме Линделёфа (см., например, [5, гл. X, § 1, теорема 4]) из гладкости кривой Г следует непрерывность мним ой части a(z) = Im log ф (z) функции log ф' (z) на Q(G, Г) U Г (под log <^(z) понимается какая-либо однозначная ветвь аналитической функции Log^'(z) в односвязной области Ü(G, Г)). Обозначим через ш(6) модуль непрерывности функции a(z) на компакте G(t, Ro)• Дополнительно будем считать Ro настолько малым, что w(2Ro) < п/12.
Пусть p(z) — расстояние от точки z G G(t, Ro) до dG(t, Ro) (при \z —1\ < Ro/2 это расстояние равно расстоянию p(z, Г) от z до Г). Фиксируем какую-либо точку zo G G(t, Ro). Положим h(z) = u(z) + iv(z) := logф'(zo + poz) — log p'(zo), где po = p(zo). По формуле Шварца [6, гл. III, п. 44] имеем
lk{z) = ~h j\v{0^zd9] С = е*,|*|<1.
После дифференцирования этого равенства то z, учитывая неравенство \v(Z)\ ^ w(po), при z = 0 получаем \po<p"(zo)/<p'(zo)\ = —^ f^7T(2v(()/() d0 ^ 2ш(ро). Таким образом, ввиду произвольности zo £ G(t, Ro) имеем неравенство
Ф'' (z)
2 w(p(z))
^-r^— Vz<EG(t,R0). (6)
p'(z) P(z)
Пусть теперь 0 < R ^ Ro/2 b = n(t,R) Е G(t, R0) — точка пересечения окружности C(t, 2R) с внутренней нормалью к Г в точке t.
Оценим модуль разности log ф'(Ь) — log <p'(z) при z £ G(t, R) U T(t, R).
Обозначим через t\ точку кривой Г, ближайшую к z. Очевидно, t\ £ D(t,2R) и луч t\Z совпадает с
Г t1
ной к Г в точке Z Е Г с положительным направлением действительной оси равен —a(Z), то углы между касательными к Г в любых двух точках множества Г П D(t,Ro), а значит, и углы между внутренними нормалями отличаются не более чем на w(2Ro) < п/12 Отсюда следует, что угол между касательной к Г в точке ti и любой хордой [ti,r], т Е Г П D(t, Ro), также не превышает п/12 и, значит, дуга Г П D(t, Ro) находится вне открытого угла U с биссектрисой t\Z раствора 5п/12. Пусть Uz — угол, полученный из U па-
t1 z t1 z Г
расстояние от dUz до dU больше lz — t^ cos(n/12) > p(z)/2.
С другой стороны, угол между лучом zb и нормалью в точке t не превосходит п/6 (наибольшим он
C(t, R) Г t t1
не превосходит п/12, то в итоге угол между zb и внутренней нормалью к Г в точке t\ не превосходит п/6 + п/12 = п/4. Значит, [z, b] С Uz, и расстояние от любой точки v Е [z, b] до dUz те мен ее lv — z|/2. Из сказанного следует, что расстояние p(v) от любой точки v Е [z, b] до кривой Г удовлетворяет неравенству p(v) > (p(z) + lv — z|)/2. Отсюда и из неравенства (6) следует, что
М-ь^ми/(р(г)2;(^_)1|)/2 W < WWlog < 4Ц2Д)log£. (7)
[z,b]
Возьмем z Е Vt П G(t,Ro), R = It — zl < Ro/2 ж ( Е G(t, R). Так как раствор Vt меньшe п, то существует такое число c > 1 (зависящее от раствора Vt), что неравенство 4R/p(z) < c выполняется для любых z Е Vt П G(t, Ro). Отсюда го очевидного неравенства l log p'(z) — log p'(() l ^ l log p'(b) — log p'(z)l + l log p'(b) — logp'(()l, используя неравенство (7) и неравенство, получающееся из (7) заменой z на (, имеем
(4R 4 R \ / R \
1пЖ+1п ж) < МЩ [1пс + \п—у
Полагая ц = ¡j,(R) = 4w(2R), получаем неравенства
W{z)\ " \р{о) ' ИС)1 " Uо)
из которых следует, что
\У(z)|—R-» if p»(Z)dtdn < ff Жйп < \y'(z)\c»R» If P-»(Z)dxdy, Z = £ + in. (8)
J JG(t,R) J J G(t,R) J JG(t,R)
При любых p > 0 положим A(p) := mes2 {Z : p(Z, Г) < p, Z S G(t, R)}. Нетрудно видеть, что Л(р) ^ kRp где k — некоторое положительное число, и A(p) = mes2 G(t, R) при p ^ R. Отсюда
Il P±ß(Z)dedn =1 p±»dA(p) = R±»mes2 G(t,R) т ц! p-l±ßA(p)dp. (9)
J JG(t.R) JO JO
rR r R
p±»dA(p) = R±»mes2 G(t, R) т Ц
lG(t,R) JO J0
Так как J^ p~1±ß\(p)dp ^ J0ß p~1±ßkRpdp ^ T0 113 (8) и (9) получаем
2
W(z)\C-» (mes 2G{t,R)-f^j < И01<№ < W{z)\cß (mes 2G(t,R) +
цkR2
J JG(t,R) \ 1 — л
Разделив все части этого неравенства на mes2 D(t,R)/2 = nR2/2, заключаем, что
y(z)\с"" ( те82С(^'Д)___< Fit R) < У(х)\с» ( те82^'Д) + ) (10)
\mes2 D(t, R)/2 тг(1 + fi) ) ^ Щ ^ ^ {Z)l° [mes2 D{t, R)/2 + тг(1 - /х) J (W)
(определение F (t, R) см. в (!)). Поскольку при R ^ 0 имеем mes2 G(t, R)/(mes2 D(t,R)/2) ^ 1 и / = /(R) ^ 0, то из последнего неравенства следует утверждение леммы.
Теорема 1. Если t G Г фиксировано, z G Q(G, Г) u \z — t| ^ Ro/2, то имеем, неравенство
\ф) — p(t)\ < 2nF(t, Ro)H(t, Ro; \z — t\) -\z — t\,
где
rR° m ^^ 2 ff , ,_.m ^ ^ D .„л . _ fo fR° P(t,r)
F(t, Ro) = ——j I l(t,r)dr = —~â 11 \<P {x + iy)\dxdy, H(t, R0-,u) := exp ¡2 f
nRo 7o nR2 JJ V J2u r
G(t,Ro)
dr
Доказательство. По лемме 1, при R\ = R и R2 = Ro потенцируя неравенство (2), имеем
1 я-
J г) dr < -F(i, Ro)H(t, Ro-, R/2). (11)
Как нетрудно видеть, существует такое число R € [R/2,R], что l(t,R) ^ (t,Ro)H(t, R0; R/2)R (действительно, если бы для всех € [R/2, R] это было не так, то не было бы выполнено неравенство (11)). Возьмем R = 2\z —1\. Тогда \z —1| = R/2 и точка p(z) принадлежит области, ограниченной кривой длины l(t, R) и некоторым отрезком действительной оси, на кото ром лежит точка ^>(t). Следовательно,
\^(t) — ^(z)\ < l(t, R) < nF(t, Ro)H(t, Ro; R/2)R = 2nF(t, Ro)H(t, Ro;\z — t\) -\z — t\. Теорема доказана.
Следствие 1. Если при условиях теоремы, I интеграл JR° (p(t,r)/r) dr ограничен, сверху при R € (0, R0^о \^>(z) — ^(t)\ ^ K\z — t\, где z € Ü(G, Г) U Г \z — t\ < R0/2, a K ^ 0 и не зависит от z. Следующее утверждение непосредственно вытекает из лемм 2 и 3. Теорема 2. Пусть t € Г фиксирова но, R € (0, R0]. Тогда (см. (5))
1) если существует предел, lim I(t, R) € [—те, +те); то функция ^(z) имеет в точке t конечный
R^0+
угловой предел;
2) если функция p'(z) имеет в точке t от,личный от, нуля конечный угловой предел, то существует и предел lim I(t, R) £ (—oo, +00].
Таким, образом,, при условии ограниченности интеграла I(t, R) на полуинтервале (0, R0] функция р' (z) имеет в т,очке t конечный угловой предел, в том и только в том случае, когда, существует конеч-lim I(t, R)
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из первого утверждения леммы 2 и из леммы 3, а второе утверждение теоремы 2 — из второго утверждения леммы 2 и из леммы 3.
Поскольку область с гладкой жордановой границей является областью Джона, то из теоремы 2 и теоремы 5.5 работы [7, гл. 5] получаем
Следствие 2. Если t £ Г и существует предел, lim I(t, R) £ [—то, то функция p(z) имеет
в точке t производную относительно множества Q(G, Г) U Г.
Из теоремы 1 следует
Теорема 3. Если при некотором а > 0 интеграл JR(p(t, r)/r) dr равномерно ограничен сверху при всех t £ Г и R £ (0, а], то у каждой точки t0 £ Г существует окрестность, на пересечении которой с Q(G, Г) функц ия p'(z) ограниченна.
Доказательство. Пусть t0 £ Г. Так как дуга Г гладкая, то существуют такие R0 £ (0, а) и ö0 > 0, что для любой точки t £ Г П D(to, ¿0) и любо го R £ (0, Ro ] окружность C (t, R) пересекает дугу Г ровно в двух точках и не имеет других точек пересечения с границей области Q(G, Г). Возьмем число R' = min{$o, Ro/2}, и пусть ti, t2 £ Г — концы дуги Г(^, R').
Согласно условию теоремы, существует такое действительное число K, что при всех указанных t и R справедливо неравенство I(t, R) ^ K.
По теореме 1 отсюда следует, что для любой точки t £ Г удовлетворяющей перавенству \t — to| ^ R', и любой точки z £ G(t0, R') имеет место неравенство \p(z) — p(t)\ ^ 2nF(t, R0)e2K ■ \z —1\, где
Отсюда получаем \p(z) — p(t)\ ^ 2nMe2K ■ \z — t\.
Так как p(z) непрерывно продолжается из G (to, R') на дугу Г П D(to, R'), то на этой дуге функция p(z) принадлежит классу Lipl.
По лемме 1 из ограниченности интегралов I (t\, R) ж I (t2, R) следует ограничен ность F (ti, R) и F(t2, R) • Отсюда и из левого ^^^^^^ro неравенства (10) вытекает, что функция р'(z) ограни-
чена на r(to, R'), а отачит, p(z) удовлетворяет условию Lip ^ на r(to, R'). Таким образом, функция p(z) удовлетворяет условию Lipl на границе обл асти G (to, R')- Отсюда стандартным способом выводится, что производная р'(z) ограничена на G(t0, R'). Теорема доказана.
Следствие 3. Если область G ограничена гладкой замкнутой жордановой кривой Г = dG и при некотором a > 0 интеграл J^(p(t, r)/r) dr равномерно ограничен сверху при всех t £ Г и R £ (0,a]; то функция p'(z) ограничен а в G. Если при этом для каждого t £ Г существует предел, lim I (t, R) < ж,
-R—S-0+
то функция p(z) имеет ограниченную производную на G.
Следующий пример показывает, что конформное отображение w = p(z) некоторой ограниченной GD
ничной точки t при "плохом" поведении граничной кривой Г = dG вблизи точки t.
Пусть V(r) — произвольная, непрерывная при r £ (0,1] действительнозначная функция. Рассмотрим кривую, имеющую уравнение z = z(r) = rélu(r") (r £ (0,1]), z(0) = 0. Положим G := {z : z = retu, v(r) < u < v (r) + n, r £ (0,1)}. При каждом r £ (0,1) окружность C (0, r): \z\ = r пересекает G по дуге углового размера n так, что p(0,r) = 0. По следствию 1 отсюда получаем, что функция p(z), отображающая конформно и однолистно область G на круг, удовлетворяет условию Липшица относительно точки t = 0. V(r)
непрерывную на (0,1], неотрицательную функцию v (r) < п/2, не имеющую предела при r \ 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Warschawski S. Е. On the differentiability at the boundary in conformai mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1961. 12.
2. Pommerenke Ch., Warschawski S. E. On the quantitative boundary behavior of conformal maps // Comment, math, helv. 1982. 57. 107-129.
G(t, Ro )
G(to,2Ro )
615-620.
3. Дынькин Е.М. Неаналитический принцип симметрии и конформные отображения // Алгебра и анализ. 1993. 5, вып. 3. 119-142.
4. Бляшке В. Круг и шар / Пер. с нем. М.: Наука: Физматлит, 1967.
5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
7. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformai maps. Berlin; Heidelberg; N.Y.; London; Paris; Tokio; Hong Kong; Barselona; Budapest: Springer-Verlag, 1992.
Поступила в редакцию 19.04.2013
УДК 517.518
БАЗИСЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ ИЗ СДВИГОВ ЯДЕР ДИРИХЛЕ
Т. П. Лукашенко1
В пространстве тригонометрических многочленов степени n ортогональными базисами являются система сдвигов ядра Дирихле на 2n+i > ^ = -^-l' • • • > ='=п' и система тех же сдвигов сопряженного ядра Дирихле с добавлением В пространстве тригонометрических многочленов с компонентами от m ^ 1 до n ортогональным базисом является система сдвигов ядер Y^k=m cos^х и Sfc=m sin^х на n-m+1' к = 0,1,... ,п — т. При 0 < то < п в этом пространстве нет ортогонального базиса из подобных сдвигов одной функции.
Ключевые слова: ортогональный базис, тригонометрические многочлены, ядро Дирихле, сопряженное ядро Дирихле.
The system of shifts of Dirichlet kernel on 2n+i > & = 0, ±1,..., ±n, and the system of such shifts of the conjugate Dirichlet kernel with i are orthogonal bases in the space of trigonometric polynomials of degree n. The system of shifts of kernels cos kx and Y^k=m sin kx 011
n-m+1' k = 0, \,..., n — то, is an orthogonal basis in the space of trigonometric polynomials with the components from m > 1 to n. There is no orthogonal basis of shifts of any function in this space for 0 < m < n.
Key words: orthogonal basis, trigonometric polynomials, Dirichlet kernel, conjugate Dirichlet kernel.
В последние десятилетия при приближении и представлении функций широко используются системы сдвигов и сжатий функций. Такие системы получаются из одной функции (или нескольких) сдвигами и сжатиями. Возникла целая теория построения таким способом различных базисов, систем представления и анализа функций — теория всплесков, или вейвлетов (см. монографию [1] и приведенную в ней, как и в других монографиях по всплескам или вейвлетам, обширную литературу). Анализ с использованием всплесков (вейвлет-анализ) применяется в приложениях и системах компьютерной математики (см. книгу [2] и приведенную в ней литературу). В настоящей работе рассматривается вопрос об ортогональных базисах из последовательных сдвигов одной или двух функций в некоторых пространствах тригонометрических многочленов, что представляет интерес не только с точки зрения теории, но и с точки зрения приложений, в частности при фильтрации сигналов. Рассматривается аналогичный вопрос об ортоподоб-ных системах (фреймах Парсеваля) в тех же пространствах тригонометрических многочленов.
Пусть TQ — пространство тригонометрических многочленов степени не выше n
n n
Тп(х) = Tq(x) = у + Yj ак cos кх + bk sin kx = Y ckeikX
k=l k=-n
с действительными (или комплексными) коэффициентами a,k, bk- Это пространство размерности 2n + 1 над полем действительных чисел R (комплексных чисел C).
Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenkoQmail .ru.
