Об оценках производных от рациональных функций на компактах Текст научной статьи по специальности «Математика»

По второй теореме о среднем

2ак 2 _ 2 7Г 2 (1к 7Г

Так как с^ —0, то = — 1п(4п^ + 1) + о(1). Откуда

Jk = -\ск ln(4nfc + 1) + о(1) + O(l)

при к —оо. Получили второе условие на выбор с^ и

2) для того чтобы ряд S(f] 0) расходился, достаточно, чтобы J^ = —с^ ln(4п^ +1) ——оо при к —оо. Возьмем Cfc = , где последовательность {Pk}kLi положительна и Д ^ оо при к —>■ оо. Тогда

оо

условие 1 запишется в виде ^ ct2nkh < 00 > учитывая, что сад —0 при N оо, выберем Пд; настолько

к=1

большим, что oi2nkPk < р'- А условие 2 при таком выборе с^ и Пд; очевидно выполнено. Пример построен. Работа поддержана грантом РФФИ № 05-01-00192.

cos 2 dkt t

dt

2 ак

TT

cos 2dkt dt

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Young W.H. Konvergenzbedingungen fur die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe // München. Sitzungsberichte. 1911. 41. 361-371.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

4. Редкозубова Е.Ю. О сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 48-52.

5. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. math. 1972. 44. 107-117.

Поступила в редакцию 15.12.2004

УДК 517.53

ОБ ОЦЕНКАХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

НА КОМПАКТАХ

О. Н. Косу хин

Введение. Для любого натурального п обозначим через Кп(1^) класс всех рациональных функций Я(г) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном в, некоторой точке го € К и любом натуральном п справедливо неравенство вида

(1)

какова бы ни была функция К £ Кп(1^), где Л = Х(К,п, в, г о) > 0, то будем говорить, что в точке го выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для в-х производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К С С найдутся точки го & К, в которых не существует оценок такого вида ни при каких фиксированных п и Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Рп(г) степени не выше п неравенство вида (1) с К = Рп справедливо в каждой точке го £ К с величиной Л = Х(К,п,з) < оо, уже не зависящей от го, т.е. в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка от каждого полинома (см. добавление С. Н. Мергеляна в [1, разд. 1, п. 5]).

В работе [2, гл. IV] Е. П. Долженко указал условие на строение континуума К вблизи точки Zo G К, достаточное для того, чтобы (уже не зависящая от п) оценка |Д(8)(,го)| < \(K,s,Zq) ■ Ц-йЦс(Я') была справедлива при любой рациональной функции R(z) с полюсами вне К. В частности, это условие выполняется для почти каждой (относительно плоской меры Лебега) точки Zq G К \ Ц/Г.,-, если ^ • < оо, где

через Го обозначена граница диаметра do := diam Го неограниченной компоненты связности Gq дополнения к К в С, а через {Gj}j^\, {Гj}j^i и {dj}j>i — конечные или бесконечные последовательности всех ограниченных компонент этого дополнения, их границ и диаметров соответственно. Отсюда следует [3], что для таких zо неравенство < X(K,s,Zq) ■ ||/||с(а:) справедливо для любой функции /, принад-

лежащей банахову пространству R(ii) всех функций, непрерывных на К и допускающих на нем сколь угодно точное равномерное приближение рациональными функциями.

В работе [4] В. И. Данченко нашел достаточно простой геометрический критерий существования оценки типа Маркова-Бернштейна (1) в заданной точке Zo компакта К при заданном натуральном s в терминах строения этого компакта вблизи этой точки. Чтобы сформулировать этот критерий, напомним следующее определение.

При ( G С обозначим через р((, К) обычное евклидово расстояние от ( до К. Следуя В. И. Данченко, для любой точки z G К введем в рассмотрение величину ujs(K,z) := sup{р((,К) • — : ( G С \

К}, называемую s-пористостью компакта К в точке z (понятие s-пористости обобщает понятие обычной пористости множества в точке, введенное Е. П. Долженко в 1964 г.).

Теорема А (В. И. Данченко [4]). Пусть К — произвольный компакт на С, Zo G К, s — натуральное число, s > 1. Тогда чтобы в точке Zo существовало неравенство типа Маркова-Бернштейна для любой функции R G Rn(_fi)7 необходима и достаточна конечность величины us(K,Zo). При этом неравенство

Д(в)(2о)| < 50s\us(K,zo)(n + l) • \\R\\c(K)

выполнено для любой функции R G Rn(_fi).

В работе [4] для s = 1 и a G (1,2] в случае, когда К представляет собой замкнутый единичный круг с выброшенной из него последовательностью попарно непересекающихся открытых кругов Dj радиусов fj

соответственно, также доказано, что условие X^i г^^ < 00 является достаточным для равенства нулю так называемой а-меры Хаусдорфа множества Е = Е(К, s) С К всех точек Zo G К несуществования оценок вида (1): mes"Е = 0. В случае плоской лебеговой меры mes2 (как известно, mes2 = (4/-/r)mes2) Д. Я. Данченко [5] установила более общий результат: если континуум К имеет конечный периметр или, что то же, конечный обхват по Пенлеве (это означает, что о mesi Tj < оо, mesi — линейная мера Лебега), то при s = 1 оценки типа Маркова-Бернштейна имеют место почти в каждой точке К относительно плоской меры, т.е. mes2Е = 0.

Как будет показано ниже, развитие идей работы [4] позволяет для любого натурального s найти достаточные условия равенства mes" Е = 0 в случае компактов К более общего вида. Эти достаточные условия оказываются в определенном смысле неулучшаемыми. Также рассматривается влияние на меру множества Е(К, s) "малых" изменений компакта К.

1. Основные определения. Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {Bj} открытых кругов Bj будем называть ¿-покрытием множества F, если F С UjBj и для каждого j диаметр diam Bj круга Bj не превосходит ö. Для заданного борелевского множества F и произвольной функции ip(r), определенной и возрастающей при г > 0, с <р(0) = <£>(0+) = 0 величину

(ip)mesF := lim inf <P(diamBj) : F С U jBj, diam Bj < ¿Vj < oo

называют хаусдорфовой (£>-мерой этого множества. В случае ip(r) = га с некоторым а > 0 величину mesa_F := (ip)mesF называют а-мерой Хаусдорфа этого множества и обозначают mesa_F.

Пусть G — ограниченная область на С, dG — ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r(G) := sup{p((",9G) : ( G G}. Пусть также N(dG,ö) — наименьшее возможное количество кругов в ¿-покрытии множества dG.

Как и ранее, для любого компакта К G С обозначим через Go неограниченную компоненту связности его дополнения С \ К, а через {Gj}j^\ — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних

радиусов Vj := r(Gj). Положим dj : = diamdGj (j > 0). Множество E = E(K,s) всех таких точек Zo G К, для которых не существует оценок вида (1), назовем исключительным множеством, а множество Е° = E°(K,s) := E \ (Uj-^odGj) — внутренним исключительным множеством. Для каждого j > 1

положим Nj := N (dGj, •

2. Основные результаты. Теорема 1. Пусть задана произвольная функция ip(r), определенная и возрастающая при г > 0, с <£>(0) = <£>(0+) = 0. Если Ej>i Njip ^ °°> то внУтРеннее исключи-

тельное множество Е° = E°(K,s) С К имеет нулевую хаусдорфову ср-меру: (ip)mesE° = 0.

Доказательство. Пусть Zo G Е°. Тогда по теореме А существует последовательность точек С

С\К, для которых linij^oo p(Çj, K)/\zo — Cj|s+1 = Поскольку zo £ Lij^0dGj, последовательность {("j}

можно выбрать так, что p((j, K)/\zo — Ci|s+1 > 1 ПРИ любом натуральном j и все ее точки (j лежат в разных связных ограниченных компонентах Gfc. дополнения к компакту К.

Для любого натурального j рассмотрим ¿./-покрытие множества dGj с öj = набором {Bjtm}m

из Nj открытых кругов Bj>m = {z : \z — Zj>m\ < öj}, m = 1,2,..., Nj. Пусть Bj>m := {z : \z — Zj>m\ < 2öj} для всех таких j и m. Тогда набор {Bj>m}m является 25j-покрытием евклидовой ¿^-окрестности множества dGj. Положим An := \Jj>N Um=i Bj,m, N = 1,2,... .

В силу выбора последовательности {("j} имеем цепочку неравенств p{zo,dGkj) < \zo — Cil < p(0,K)1/(s+1) = p((j, dGkj)l^s+l^ < T-e- zo S Akj при всех натуральных j. Так как kj оо

при j —оо, то Zo £ ПВвиДУ произвольности выбора Zo £ Е° получаем Е° С ПСледовательно, счетный набор {Bjtm : j > N,m = 1,2,... ,Nj} открытых кругов является 2$дг-покрытием множества Е°. Отсюда получаем

((p)mesE° < lim V V ^(diamBjtm) = lim V Njip (4r]/{s+1)) = 0, N^oo —' ^—' ' N^oo —' V J J

j^Nm= 1 j'^N

так как по условию ряд Njip сходится. Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 получаем

Следствие 1. Если границы dGj (j > 0) всех связных компонент дополнения ком,пакт,а К имеют

нулевую хаусдорфову Lp-меру и Ej>i Njip < оо, m,о (t£>)mes E = 0.

Следствие 2. Пусть a G (1,2]. Если граница dGj (j > 0) каждой связной компоненты дополнения ком,пакт,а К представляет собой объединение kj замкнутых жордановых спрямляемых кривых, Cj =

\dGj\ := mes1 dGj, причем i kjc< оо, то mesaE = 0.

Доказательство. Пусть dGj = \dGj\ = Em= 1 гДе h,m — некоторые замкнутые жор-

дановы спрямляемые кривые. Так как из всех плоских ограниченных множеств периметра Cj наибольшую площадь имеет круг радиуса Cj/(2ir), то 7Гrj < mes2 Gj < 7г(Су/(27г))2. Следовательно, Vj < Cj/(2ir) < Cj. Так

как каждую кривую ljtm можно покрыть не более чем l + \lj,m\/ кругами радиуса (с цен-

трами на этой кривой), то Nj < Em= 1 (l + \lj,m\ = (2r;/(s+1)) < kj+Cjr~l/{s+l). Имеем

Ej>i N3rf{S+1) < = E<

Ej>i ('kjC°j^s+l^ + < оо. По следствию 1 для ip(r) = ra получаем mesaE = 0.

Следствие 3. Если (^ + Щг~2/{з+1)^ <p (ir)/{s+l)^j < oo, m,о (y?)mes E° = 0.

Доказательство. Нетрудно видеть, что любое плоское множество диаметра d > 0 можно покрыть некоторым прямоугольником со сторонами d и dy/b. В свою очередь для каждого г > 0 этот прямоугольник можно покрыть не более чем

кругами радиуса г. Таким образом, для каждого нату-рального j имеем N, < (l + фг71/(в+1)) (l + d3r~1/{s+1)уД) < 2 (l + ^гТ1/(в+1))2 < 4 (l + ^rT2/(s+1)) .

Отсюда получаем, что ^jyi Njip < оо. Следствие 3 доказано.

Заметим, что утверждение следствия 2 при s = 1, а = 2, kj = 1, j = 1,2,... повторяет упомя-

нутое выше утверждение для континуумов с конечным периметром, доказанное в [5]. Заметим также, что для каждого натурального j выполнено г,- < dj/2 < dj. Таким образом, для tp(r) = г2 получаем

£,>i(i + = 16Еm{rfs+1) + d") < Согласно слеД-

ствию 3, условие < оо является достаточным для того, чтобы равнялась нулю плоская

лебегова мера множества Е°: mes2 E°(K,s) = 0. Это условие на компакт К является более слабым, чем условие < оо из упомянутого выше результата Е. П. Долженко [2, гл. IV], благодаря ослабле-

нию требований на величину Хп в оценке (1): в отличие от результата Е. П. Долженко она существенно зависит от п. Рост величины Хп с ростом п не позволяет получить оценки вида (1) для произвольной функции / G R(-?0 без дополнительных требований на скорость наилучшего рационального приближения этой функции на К.

В случае ск-меры Хаусдорфа теорема 1 является в определенном смысле точной. Это показывает следующая

Теорема 2. Пусть a S (0,2], s > 1. Тогда существует такой континуум К = K(s, а), что для любого s > 0 ряд Y^^Li сходится, а внутреннее исключительное множество E°(K,s) имеет ненулевую а-меру Хаусдорфа.

Доказательство. Построения необходимых примеров компактов K(s,a) в случаях а = 2 и a G (0,2) различны: в первом из этих случаев существенно используется равенство мер mes2 = (4/-/r)mes2, во втором — строгое неравенство 1 — 2 • 4-1/а > 0.

Пусть сначала а = 2. Определим последовательность натуральных чисел следующим об-

разом: rik := к2 при к = 1,2,3,4 и rik = (s + 1)пк-\ — к при к > 5. Докажем индукцией по к, что rik ^ к2 и îik-\-1 — Пк > 2к + 1 для любого натурального к. Действительно, для к = 1,2,3,4 эти неравенства очевидно выполнены в силу выбора Пк- Пусть эти неравенства доказаны для к = 1 — 1, покажем, что они верны и для к = I ^ 5. Имеем щ = (s + l)ni-\ — l > (s + 1)(/ — l)2 — l > 2l2 — Ы + 2 > l2, ni+i - ni = s • m - (l + 1) > l2 - l - 1 = 1(1 - 5) + 2(1 - 1) + 21 + 1 > 21 + 1.

Рассмотрим на комплексной плоскости С замкнутый квадрат Qo := {z : 0 < Im(z), Re (z) < 1}. Для каждого натурального к разобьем квадрат Qo на 32пк равных открытых непересекающихся квадратов Sk,m (m = 1,2,... , 32пк ) со сторонами длиной 3~Пк, параллельными действительной и мнимой осям. При всех таких к и m = 1,2,... , 32rifc определим qk,m как открытый квадрат с тем же центром, что и у квадрата и сторонами длиной 3~Пк+1, параллельными действительной и мнимой осям. Положим

Qi := Qo \ K=1 Um qk>m), К = K(s, 2) := Q0 \ (U™=1 Um qk>m).

Докажем, что mes2 К > 0. Действительно, поскольку К = то mes2 К = lim mes2 Qi. Легко

I—>00

видеть, что

(о — 2п;+1 \ , ч

1 - -дТа^Г ) mes2 Qi = - mes2 Qh

Следовательно, mes2 К = mes2 Q\ (l — 32("-î_"-î+i)) > 0, так как сходимость бесконечного произведения в правой части этого равенства эквивалентна сходимости ряда YlkLi 32^ni~ni+1^ < YlkLi 3_2(-2i+1) < оо.

Покажем теперь, что для любого е > 0 ряд E^i Njfсходится. При любом натуральном j ограниченная компонента дополнения Gj представляет собой открытый квадрат qktm Для некоторых натуральных кит, зависящих от j. Внутренний радиус такой компоненты равен 3~Пк+1/2. Очевидно, что граница dGj покрывается одним кругом радиуса (3_Tlfc+1/2)1/(-'s+1\ т.е. Nj = 1 при всех натуральных j. Так как количество тех компонент Gj, для которых внутренний радиус равен 3~Пк+1 /2, не превосходит 32пк, получаем

оо оо оо

^ N.r(2+£)/(s+1) ^ пк пк+1 ^(2+e)/(s+l) < ^32nfc-(2+e)nfc+1/(s+l)_ ^

j=1 к=1 к=1

Поскольку rik+1 > (к + 1)2, имеем 2пи - (2 + e)rik+i/(s + 1) = (2/(s + l))((s + 1)пк —nk+i - (e/2)rik+i) < (2/(s + 1))(к + 1 — (е/2)(к + 1)2). Следовательно, для любого е > 0 ряд 1 32nfc-((2+e)/(s+i))nfc+i СХОДИТСЯ) а значит, сходится и ряд в левой части неравенства (2).

Наконец, покажем, что Е(К, s) = К. Действительно, пусть z G К. Тогда для любого натурального к найдется такое число m = m(k,z), что точка z принадлежит замыканию Sk,m квадрата Sk,m- Рассмотрим {CfcjfcLi — последовательность центров квадратов Sfc>m соответственно. Имеем p(Cfc>-?OICfc — z>

(3_nfc+1/2) (3_"'fc/v/2)_ii_1 > 3(5+1)^-^+1 = з^+i оо при к -»■ оо. То есть ua(K,z) = оо для любого z G К. По теореме А получаем Е = К. Так как Е° := Е\ (U°^0dGj), то mes2 Е° = mes2 Е > 0.

Пусть теперь a G (0,2). Как и ранее, рассмотрим замкнутый квадрат Qo : = {z : 0 < Im (г), Re(z) <

1}. Положим а := 4-1/а, тогда 0 < а < 1/2. Определим индукцией по к семейство квадратов {$к,т}т=1 со сторонами, параллельными действительной и мнимой осям (к = 0,1,2,...). Пусть So,i := Qo- После

того как для некоторого к = 1 — 1 семейство {sk,m)m=i Уже определено, обозначим через si 4m-3; Sz,4m-2; $1,4т-1, Si,Am четыре замкнутых попарно непересекающихся квадрата, две смежные стороны каждого из которых лежат на смежных сторонах квадрата Si-\ m и имеют длину а1.

Положим Е' = Е'(а) := U^=1 Sk,m- Множество Е' представляет собой декартово произве-

дение двух линейных множеств канторова типа положительной а:/2-меры Хаусдорфа, таким образом, mes" Е' > 0 [6, гл. 7]. Для любого натурального к и m = l,2,...,4fc обозначим через q\.m открытый квадрат с тем же центром, что и у квадрата Sfc>m, и сторонами длины (1 — 2а)(к + l)afc(-s+1^, параллельными действительной и мнимой осям. Так как {к + 1 )aks < (к + 1 )ак < (к + l)/2fc < 1 при всех к ^ 1, то 2ak+l + (1 — 2а)(к + l)afc(s+1) < 2ak+l + (1 — 2а)ак = ак. Следовательно, замыкание qk,m квадрата лежит внутри квадрата 8к>т и не пересекается с квадратами Sk+i^mS, Sfc+i;4m_2, Sfc+i,4m-i) $к+1,4m-, а

л к

следовательно, и с множеством Е . Положим К = К (a, s) := Qo \ qk,m)-

Покажем, что для любого е > 0 ряд E^i сходится. Очевидно, что ограниченными

компонентами {Gj}jCL1 дополнения к компакту К будут квадраты qk,rm к = 1,2,..., m = 1,2,... ,4к. Следовательно, Nj = 1 для всех натуральных j, и для любого е > 0 имеют место равенства

¿^т(«+в)/(,+1) = _ 2а){к + l)ak{s+= j = l к= 1

оо

= (1/2 - a)(«+e)/(*+i) аа)к(к + i)(«+e)/(H-i)afe = к= 1 оо

= (1/2 - a)(«+e)/(H-i) + l)(a+£)/(s+1)afc£ < оо.

к=1

Докажем, что Е' \ dQo С E°(K,s). Действительно, пусть z & Е' \ dQo- Тогда для любого натурального к найдется такое число m = m(k,z), что точка z принадлежит замкнутому квадрату Sk,m- Рассмотрим {CfcjfcLi — последовательность центров квадратов qk,m соответственно. Имеем р((к, К)\(к ~ z\~s_1 >

(ak/V2) s 1 > (1 — 2a)(k + 1) оо при k оо. То есть сos(K,z) = оо для любого z G Е'. По теореме А получаем z G E(K,s), а так как z ^ dqktm Для любого натурального к и m = 1,2,..., 4fc, то z G Е°. Таким образом, mes" Е° > mes" Е' > 0. Теорема 2 доказана полностью.

3. Влияние малых изменений компакта на исключительное множество.

Теорема 3. Пусть К — произвольный компакт в С, /л — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого е > 0 существует такой компакт F = F(K,ß,e) С К, что ц{К \ F) < s и E(F, s) = F Vs > 1.

Доказательство. Для любого натурального числа к обозначим через {Bk j}j такое конечное или счетное ¿^-покрытие множества К с 8к = min{l/4, /¡л (К)} открытыми кругами радиусов Гкj

соответственно. Из этого покрытия можно выбрать такое семейство кругов {Bkjm}mi что замыкания всех кругов из этого семейства попарно не пересекаются, а семейство {Bkjm}m открытых кругов Bkjm радиусов Zrk,j соответственно, концентрических с Bkj, представляет собой 3(^-покрытие компакта К (доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы Витали [7, гл. III, § 8]).

Покажем, что для любых положительных чисел г и е < г/2 в произвольном открытом круге D(r) радиуса г можно выбрать не менее г2/(16е2) кругов {Dj(s)}j радиуса е с попарно непересекающимися замыканиями Dj(e). Действительно, пусть в круге D(r) выбрано к < г2/(16е2) кругов {Dj(e)}j=1 с указанными свойствами. Для каждого j = 1,2,...,к обозначим через Dj(2е) замкнутый круг радиуса 2е, концентрический с Dj(e), а через D(r — е) — открытый круг радиуса г — е, концентрический с D(r). Имеем mes2 D(r — е) — Ylj=i mes2 Dj(2e) = ж ((г — е)2 — 4 ке2) > 7г(г2/4 — 4 ке2) > 0. То есть множество

D(r—e)\yJj=1Dj(2e)J непусто. Выберем произвольную точку z G D(r—e)\yJj=1Dj(2e)J . Обозначим через

Dk+1(^) открытый круг радиуса е с центром в точке z. Тогда Dk+\(e) С D(r), Dk+\{e) П ^Uj=1Dj(e)^ = 0.

В силу произвольности к < г2/(16е2) получаем требуемое утверждение.

По доказанному для каждых натуральных чисел к и т в круге Bk¿rn можно выбрать не менее

о /о q /о i /о

кругов {Dk,m,l}l радиуса гк • с попарно непересекающимися замыканиями (гк • < 6к Tkjm ^ rk,jm/^)-Поскольку ц, (К П Dkmi) < ц, (К П Bk¿m), существует такое число lo = lo (к, т), что ц, (К П Dk^m¿0) < 16rfcJm¿t (К n Bk,jm)- Положим Dkym : = Dk>m>i0. Пусть F := К \ (Ufc ,■mDk.m)• Имеем

DKm) < (K n ^ E w ^e E2_fc_1 <

km km k k

Пусть также Zo £ F. Обозначим через (k центр такого круга Dkmi что круг Bk¿m содержит точку Zo внутри себя. Тогда p((k, F) > и \z0-(k\ < 4rfcjm. Имеем Ит*,^ р((к, F)|zo-Cfc|"(s+1) > Ит*,^ r^J's/As+l >

limfc^oo ós/4S+1 = oo. То есть 0Js{F, Zo) = oo для любого Zo G и любого s, что и требовалось доказать.

В заключение хочу искренне поблагодарить научного руководителя профессора Е. П. Долженко и профессора В. И. Данченко за постановки задач и пристальное внимание к моей работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 05-01-00962) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-1892.2003.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961.

2. Долженко Е.П. Дифференциальные свойства функций и некоторые вопросы теории приближений: Канд. дис. М., 1960.

3. Долженко Е.П. О приближении на замкнутых областях и о нуль-множествах // Докл. АН СССР. 1962. 143, № 4. 771-774.

4. Данченко В.И. Один критерий существования оценки производной рациональной функции // Матем. заметки. 2005. 78, вып. 4. 493-502.

5. Данченко Д.Я. Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями. Приложение к уравнениям эллиптического типа: Канд. дис. Владимир: ВГПУ, 2001.

6. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Wiley: University of St. Andrews, UK, 2003.

7. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

Поступила в редакцию 12.10.2005