О многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на дугах окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966.

2. Jirina М. Stochastic branching processes with continuous state space // Czech. Math. J. 1958. 8, N 2. 292-313.

3. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching processes. II // J. Sov. Math. 1993. 67, N 6. 3407-3485.

4. Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи матем. наук. 2002. 57, № 2. 23-84.

5. Lambert A. The branching process with logistic growth // Ann. Appl. Probab. 2005. 15, N 2. 1506-1535.

6. Лебедев А.В. Ветвящиеся процессы с обобщенной операцией суммирования. Случай умножения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. № 2. 65-68.

7. Лебедев А.В. Случайные процессы с обобщенными операциями суммирования // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 3-5.

8. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

9. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976.

Поступила в редакцию 23.05.2005

УДК 517.53

О МНОГОЧЛЕНАХ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ

НА ДУГАХ ОКРУЖНОСТИ

Г. А. Хакимова

Пусть /С — компакт в комплексной плоскости С.

Определение. Многочленом Чебышева степени п (гг = 0,1, 2,...) для компакта /С называется такой многочлен Тп(г) = Тп(г, /С) = гп + ..., что выполнено условие

||Тга|| := тах \Тп(г)\ = тт{тах\Р(г)\ : Р(г) = гп + ...}.

хЕ1С хЕ1С

Эти многочлены впервые были рассмотрены Г. Фабером [1] в случае замкнутых областей, ограниченных простыми аналитическими кривыми. В частности, из его результатов следует, что для единичной окружности С при каждом п многочлен Чебышева совпадает с гп.

Цель данной работы состоит в нахождении условий на компактные подмножества /С окружности С специального вида, при которых сохраняется экстремальность многочлена гп.

Отметим ряд фактов, необходимых для дальнейшего рассуждения.

Лемма А. Для каждого компакт,а /С и каждого натурального п многочлен Чебышева Тп(г, /С) единствен.

Единственность для многочленов Чебышева на отрезке действительной оси была доказана самим П. Л. Чебышевым. В комплексном случае единственность вытекает из результатов А. Н. Колмогорова [2].

Лемма Б. Для единичной окружности С := {г € С : \г\ = 1} многочленом Чебышева степени п является хп.

Очевидно, что многочлены Чебышева степени п (п = 0,1, 2,...) для единичного круга и окружности С совпадают (в силу принципа максимума модуля). Г. Фабер [1] установил, что для лемнискатных областей С = {г : |Р(х) = гк + ... | < с} при любом натуральном п справедливо равенство Тпк(г, С) = Рп(г). Лемма Б является прямым следствием этого результата. Ниже приведено несколько отличное доказательство.

Доказательство. Имеем ||<гга||е = 1- Предположим, что существует такой многочлен Р(г) = хп +..., что ||-Р(<г)||е < 1- Тогда |-Р(<г)| < 1 = \хп\ для всех г € С. Следовательно, по теореме Руше количество нулей внутри круга у многочлена С,)(г) = гп — Р(г) степени не большей, чем п — 1, совпадает с количеством нулей внутри круга у многочлена гп. Получили противоречие, т.е. хп является многочленом Чебышева для С. Лемма доказана.

Лемма В (А.Н. Колмогоров [2]). Многочлен Тп(г) является многочленом Чебышева степени п для ком,пакт,а /С тогда и только тогда, когда не существует такого многочлена Р(г) степени не выше п—1, что для любого ( е М(Тп) := {( £ К. : |ТП(£)| = ||Тп||/с} выполняется неравенство 11е(Р(С)Тга(С)) > 0.

Лемма Г (Тиран, Детайлл [3]). Для того чтобы многочлен гп был многочленом Чебышева степени п для ком,пакт,ной дуги /С единичной окружности С, необходимо и достаточно, чтобы длина дуги С\К не превышала

Поскольку работа [3] недоступна, а также для полноты картины мы приводим свое доказательство леммы Г.

Доказательство. Достаточность. Без ограничения общности можно считать, что /С = {аг{р : р € [^о;2тг]}.

Так как \С \ /С| < > то '-Ро ^ и точки = е™+1г, к = 0,1, 2,... , п, лежат на /С. Отметим, что ек = е\, к = 0,1,2,... ,п.

Пусть Рп(г) = гп -\-ап-\га~1 +... + ао — многочлен Чебышева для дуги /С. Положим = гРп(г) = хп+1 + ап-\гп + ... + ао-г. Имеем

гага га га

к=0 к=0 к=0 к=0 га га—1 га га га (га+1);/

= Е -Г1 + Е^Е 4+1 = Е -Г1 + Е ■~тгг- = (п +1)+о = п+1.

&=0 3=0 &=0 &=0 .7 = 1

Поэтому существует такой номер а, при котором > 1, но = \Рп(еа) -£а\ = \еа \ ■\Рп(£а)\ =

I-Рга(^<т) | ^ 1- Таким образом, ||Рга(г)|| > 1. Так как у многочлена хп норма на /С равна 1, по лемме А получаем Рп(г) = гп.

Необходимости. Без ограничения общности можно считать, что /С = {ег1р : р £ [ро]2ж — ро}}.

Пусть |С\/С| > т.е. Ро>^-Г

Воспользуемся критерием Колмогорова для Тп(г) = гп,М(Тп) = /С (лемма В). Покажем, что мно-

1 + гп+1 _

гочлен Р(г) = —.--где £ = —удовлетворяет условию Ке(Р(г)гга) > 0 для всех г € /С.

(г — ег«)(г — е~г«) п+1

Имеем _

-п+ хп+1) хп(\ + г^1)

2R e(P(z)zn) = P(z)zn + P{z)zn = -

{z - e*){z - (z - e^)(z -

_ гп(1 + -гга+1)Сг - е~*)(г - е*) + гп(1 + - -

Заметим, что знаменатель дроби не обращается в нуль на /С (£ < ро, т.е. точки не принадлежат /С). Таким образом, достаточно доказать, что числитель дроби неотрицателен. Учитывая, что г € /С С С и, следовательно, г = получим

-zn(l + zn+1)(z2 - 2cos£ • z + 1) -zn(l + zn+1)(z2 — 2cos£ ■ z + 1) =

= -zn+2 + 2 cos £ • zn+1 — zn — z + 2 cos £ — z — zn+2 + 2 cos £ • zra+1 - - 2 + 2 cos £ - J =

= 4 cos £ — 4 cos -0 + 4 cos £ • cos(n + l)^ — 2 cos пф — 2 cos(n + 2)ф = 4 cos £ — 4 cos

+4cos£ • cos(n + l)^ — 4cos(n + l)^ • cos ф = 4(cos£ — cos,0)(l + cos(n + l)^) > 0,

так как ф G [<ро] 2тт — (ро], а значит, cosф < cos£, и 1 + cos(n + 1 )ф > 0.

Выражение 1 + cos(п + l)^ обращается в нуль на /С не более чем в п — 1 точках. Следовательно, можно построить такой многочлен Q(z) степени не больше п — 1, что он равен zn в этих точках. Тогда для некоторого малого Л > 0 многочлен P(z) = P(z) + ЛQ(z) удовлетворяет условию Re(P(z)zra) > 0 при всех z G /С, а значит, по лемме В многочлен zn не является многочленом Чебышева для /С. Лемма доказана.

Пусть P(z) = amzm + ... + a\Z + ао, am ф 0, — комплексный многочлен.

Лемма Д (С.О. Камо, П.А. Бородин [4]). Пуст,ъ Тп — многочлен Чебышева для К,\ и К, = P~l(Ki). Тогда (Тп о Р)/а1^п — многочлен Чебышева степени тп для /С.

Рассмотрим многочлен Pm(z) = zm. Пусть компакт /С является полным прообразом компактной дуги

т— 1

единичной окружности /С\ под действием многочлена Pm(z). То есть /С = (Pm)~l(K,i) = |_| , где Aj —

з=о

дуги единичной окружности С, центры которых лежат в вершинах правильного m-угольника, а длины равны некоторой константе d. Тогда дополнение С \ /С тоже состоит из т дуг, длины которых 27T^lnd■

Теорема 1. Для того чтобы многочлен zs был многочленом Чебышева степени s для /С, необходимо и достаточно, чтобы длина одной дуги из дополнения С\)С не превышала > где s = п (mod т).

Доказательство. Достаточность. Без ограничения общности можно считать, что центры дуг ком-

тт + 2ттк ■

пакта /С есть точки Ek = е m , к = 0,1, 2,... , m — 1.

Так как /С = (Pm)-1(/Ci), где К\ — компактная поддуга единичной окружности С, то длина дуги С\)С 1 не превышает ^fj; таким образом, согласно лемме Г, zn является многочленом Чебышева степени п для компакта /Ci, а следовательно (по лемме Д), zmn является многочленом Чебышева степени тп для компакта /С.

Докажем, что для любого v = 1,2, ...,т — 1 многочлен Чебышева степени тп + v есть znm+v. Воспользуемся критерием Колмогорова для Tnm+U(z) = znm+v, М(Тпт+и) = /С (лемма В). Покажем, что для любого многочлена Q(z) = anm-\-v-iZnm+u~1 + ... + (1q степени не больше пт + v найдется такая точка С £ M(Tnm+v), что Re(Q(C)Cram+iy) < 0.

Покажем, что точки (д. = em(n+1) , к = 0,1, 2,..., т{п+1) — 1, принадлежат компакту /С. Пусть длина

т— 1 m—1

одной дуги из С \ /С не превышает на некоторое число 25 > 0. Тогда /С = |_| Aj = |_| {е%{р :

3=0 j=о

^ G [т^+ту + ^ - "Т^+ТУ + 0' + + <*]}• Для каждого j = 0,1, 2,... , т - 1 точки (к е Aj при к £ [j(n + 1); (j + 1 ){п + 1) — 1], таким образом, все точки (к £ )С, к = 0,1, 2,... , т(п + 1) — 1. Отметим

¿7Г

также, что ^ = а + , где а = em<n+1). Имеем

т(п-\-1) — 1 m(ri+l) —1 m(ri+l) —1

VlCfcJCfc -агат+г,_1 Cfc Cfc +... + а0 Sfc

fc=0 к=0 fc=0

nm+f-l m(n+l)-l_ nrn+v-l m(n+1)-1

EMm-\-v—j _ \ ^

^ -

j=0 fc=0 j=0 fc=0

E аз E Qm+U~] = E E a;-(iim+^)(2fc+1)

гат+гу-l m(ra+l)-l nm+v-l _ 2m{n+l){j-nm-v)

Ea a^~nm~V a2k(j-nm-v) _ a ,aj-nm-v 1 ц_

.Z—/ / 1 _ fy2(j—nm—v)

j=0 fc=0 j=0

£

(j— nm — f)7zi _ Q m(n +1) ^_^

a e m(n + l) -—---- = > 0

J ¿7ri(j-nm-f) /

j=0 1-е m(n + l) j=0

Таким образом, найдется такой номер к, что Ке(<5(СА;)Сй"г+гУ) ^ следовательно, ¿га1г+гУ является многочленом Чебышева степени пт + г/ для /С.

Необходимость. Пусть длина одной дуги из дополнения С \ /С превышает . Тогда длина С \ К\

превышает Следовательно, по лемме Г гп не является многочленом Чебышева степени п для 1С\, а значит, согласно лемме Д, гтп не является многочленом Чебышева степени тп для /С.

Тогда для многочлена Чебышева Тпт имеем ||Тгат|| < 1, а следовательно, Н-г^Х^Ц < 1, т.е. ¿пт+и ф Тпт+и. Теорема доказана.

Пусть /С — компактная дуга единичной окружности С и и> — точка единичной окружности С, равноудаленная от границ дуги /С. Рассмотрим компакт С = {«;} У /С.

Теорема 2. Для того чтобы многочлен хп являлся многочленом Чебышева степени п для ком,пакт,а С, необходимо и достаточно, чтобы длина дуги С \ /С не превышала

Доказательство. Достаточность. Без ограничения общности можно считать, что С = {1}и{ег¥' : <р £ [<А);27Г - <А)]}, т.е. /С = : <р £ 2тг - Так как \С \ 1С\ < то <р0 < ^ и точки

2ТГк ; ,

е = еи+! , к = 0,1, 2,... , п, лежат на С. Отметим, что е^ = е^, к = 0,1, 2,... , п.

Пусть Рп(г) = гп + ап-+ ... + ао — многочлен Чебышева для С. Положим (¿(г) = гРп(г) =

хп+1 + ап-\гп + ... + ао-г. Имеем

гага га га

к=0 к=0 к=0 к=О

га га—1 га га га (га+1);/

= Е ЗГ1 + Е^Е 4+1 = Е + Е ■= (п +1)+о = п+1.

£=0 ]=0 к=0 &=0 ;/=1

Поэтому существует такой номер <т, при котором > 1, но = \Рп(£<т)'£<т\ = к<т| ~\Рп{£<т)\ =

I-Рга(^<т) | ^ 1- Таким образом, ||Рга(,г)|| > 1. Так как у многочлена хп норма на С равна 1, по лемме А получаем Рп(г) = гп.

Необходимость. Пусть \С \ /С| > ¿¿щ, т.е. ро >

Воспользуемся критерием Колмогорова для Тп(г) = гп,М(Тп) = С (лемма В). Покажем, что много-

\ _ ¿"-+1 _

член Р(г) = ^--где £ = «ТТ' УДовлетвоРяет условию Ие(Р(г)гп) > 0 для всех

Имеем

2R e(P(z)zn) = P(z)zn + P{z)zn =

zn( 1 - zn+l) zn{ 1 - zn+l)

{z - e*){z - e-¿í) (z - e^)(z - e~

_ гп(1 - гп+1)(г - е~*)(г - е*) + гп(1 - гп+1)(г - е*)(г - е~*)

\(г - е*)(г - е~*)\2

Заметим, что знаменатель дроби не обращается в нуль на С, (£ < ро, т.е. точки не принадлежат /С). Таким образом, достаточно доказать, что числитель дроби неотрицателен. Учитывая, что г £ £ С С и, следовательно, г = получим

zn(l - zn+1)(z2 - 2 cos £ • z + 1) - zn( 1 - zn+l){z2 - 2 cos £ • 2 + 1) =

= zn+2 - 2 cos £ • zn+l + z"-z + 2cos£-z + zn+2 - 2 cos £ • zn+l + zn - z + 2 cos £ - z = = 4 cos £ — 4 cos ф — 4 cos £ • cos(n + l)^ + 2 cos пф + 2 cos(n + 2)ф = 4 cos £ — 4 cos —4cos£ • cos(n + l)^ + 4cos(n + l)^ • cos ф = 4(cos£ — cos,0)(l — cos(n + 1)ф) > 0,

так как ф G [po] 2тт — po], а значит, cos ф < cos£, и 1 — cos(n + l)^ > 0.

Выражение 1 — cos(n + 1)^ обращается в нуль на С не более чем в п — 1 точках. Следовательно, можно построить такой многочлен Q(z) степени не больше п — 1, что он равен zn в этих точках. Тогда для некоторого малого Л > 0 многочлен P(z) = P(z) + ЛQ(z) удовлетворяет условию Re(P(z)zra) > 0 при всех z G С, а значит, по лемме В многочлен zn не является многочленом Чебышева для С. Теорема доказана.

Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и ряд ценных замечаний в процессе работы, а также JI. С. Майергойзу, указавшему на работу [3].

Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 05-01-00962) и грантом программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-1892.2003.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faber G. Uber Tschebyscheffsche Polynome // J. reine und angew. Math. 1920. 150. 79-106.

2. Колмогоров A.H. Замечания по поводу многочленов П.Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной функции // Успехи матем. наук. 1948. 3, вып. 1. 216-221.

3. Thiran J.-P., Détaillé G. Chebyshev polynomials on circular arcs in the complex plane // Progress in approximation theory. 1991. 771-786.

4. Камо С. О., Бородин П. А. Многочлены Чебышева для множеств Жюлиа // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 5. 65-67.

Поступила в редакцию 11.07.2005