К доказательству неравенства Бибербаха Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

_____________ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА______________

№ 297 Апрель

МАТЕМАТИКА

И.А. Александров, Г.А. Юферова К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВА БИБЕРБАХА

Установлена связь между решением уравнения Левнера с постоянным управлением и коэффициентами многочленов Бранжа, позволяющая исследовать свойства семейства этих многочленов и применить их в теореме о неравенствах Бибербаха.

2007

1. Уравнение Левнера. Пусть Р (z), ^(о} = 1 - голоморфная в единичном круге Е = { е С : < 1} функ-

ция с положительной вещественной частью. Решение $ = / (z, т) динамического уравнения Левнера-Куфарева

имеем после интегрирования уравнения (1) следующее алгебраическое уравнение для нахождения / (z, т) :

Н (f (z>т)) = е'На (z),

(2)

= -cP(с,), 0 < т < т0 < +<х>,

где функция

(1)

■2 cosа-z + z

с начальным условием / (z,0) = z, z є Е, при фиксированном т, однолистно и конформно отображает круг Е в единичный круг. Оно неявно дается формулой

Д'^) і

и осуществляет при ае (0,п) однолистное конформное отображение круга Е на комплексную плоскость,

разрезанную по лучам

d q

qP (q)

= -т

Произведение e°f (z, т0), 0 <т0<+го образует

функцию класса SM , M = ln x0, т.е. принадлежит множеству всех голоморфных однолистных в E функций f (z), нормированных условиями f (0) = 0, f' (0) = 1 и ограниченных в нем: f (z )| < M.

Если т0 = , то

lim e f (z, т) e S ,

/і 2 а 4cos — 2 .

/і • 2 а

4sm — 2

лежащим на вещественной оси (рис. 1), а при а = 0, а = п - на комплексную плоскость, разрезанную соответственно по лучам

1

—да,---

4

Функцию Н0 (г) называют функцией Кёбе и обычно обозначают К (), т.е. К () = #0 ().

Функция, обратная к = На (), двузначна. Её одно-

значную ветвь, обращающуюся в нуль в нуле, обозна-где о - множество всех голоморфных однолистных в \ Т1-

Е функций /(г), /(о) = 0, /'(о) = 1.

Полагая в (1):

ч . 2а 1 + с 2а -1 + с ^

P(с) = sin — •-—- + cos ---------:—-, 0 <а<п ,

чим Hj (w). Имеем

1 - 2 cos а • w -V 1 - 4cos а• w - 4 sin а• w2

2w

VT = i.

2 1 - с

2 -1 -с

z

Рис. 1

Поэтому с учетом (2):

/ (г, т) = Н~а{ (хНа (г)) , ае (0,л). При а = 0 функция

(1 1 + 4 ехК ()

и осуществляет однолистное конформное отображение круга Е на единичный круг, разрезанный по вещественной оси от точки -1 до - ет ^1 — V1 - е-т ^ . Разрезу на окружности {2 : |г| = 1} соответствует дуга с концами в

(

точках

■ л2

1е

содержащая точку -1 (рис. 2).

Рис. 2

Заметим, что в последнем случае (при а = 0) к (г, т) - решение уравнения Левнера

—- = -д—г"\—, 0 <т<да,

V (т)-д:

к(г,0) = г е Е, с постоянным управлением ц (т) = —1. Разложение к(г, т) по степеням г даётся рядом

(_1)*+1 2(т + к _1)!

г =

к(*’Т) ^ ^(к_ 1)!(к + 1)!(т_к)!'

= е* 2 + (2 - 2е~Т) 22 + (3 - 8е_т + 5е~1х) zJ +—^ .

Из (2) имеем

К (к (г, т)) = в_тК (г).

2. Функция х). Рассмотрим определенную в

Е х [0,да) геометрическую прогрессию (г, х)} } ,

где

№ ( т)= д т)

^ (2-Т) 1 - к (г,т)’

К* (т) =к (т) • (3)

Разложение в ряд по степеням г нулевого члена прогрессии имеет вид

/ ч К(2) 2

Ж0 (2, т)= . У ’ = =-------------. == .

.^1 + 4е ХК(2) (1 -2-2(1 -2е ^2 + 22

Два любые соседние члена геометрической прогрессии =0 связаны соотношением [2]:

д

(т)+Жт+1 (т)=(т+1)Жт+1 (т)- тЖт (т). (4) Действительно, так как

^ (*, Т) = ^ ^ к = к (2)^Г

1 - к

(1- к у

дк (г, т) _ , к -1

--------— к------,

дт к +1

то с учетом (3) имеем

К, (22т) = (1 + к)К, (2т) = К(2)(!-к)кт =

= К ( 7) к - К (7) кт'' .

Взяв производную по т, получим (т (г, т)) + ((_, (z, т)) = [к (г)мктЧ - К (г)(т +1 )кт

= —тК (г)—к кт + (т +1 (г)—к ¿“-1 =

1 + к 1 + к

= (т +1)^1 (2>т)-т№т (2>т).

Справедливость формулы (4) установлена.

Из (4) следует, что коэффициенты степенного ряда

СО

^ (г> т) = Xб*,/ (ТУ+1 > г е Е> 1 = т>т + ,

!=т

т = 0,1, „.

2

удовлетворяют уравнениям

QL + QLu = (m+!) Qm+1, /- mQm, / > 1 = mm +i> • • • (5)

Поскольку

_ m+l x

Wm (z,0) = - = Z _m+21+l ,

1 - Z 1=0

Qj (0) =

0,еслиI - m = 1,3,5,...

= e-

Обозначим через Уп (() = {У1п ((Уп_Хп ()} решение этой системы, удовлетворяющее начальному

5

условию

n — s

s = 1,..., n -1.

Функцию

Узп (ґ) (0 < 1 <ж), являющуюся 5-й компонентной

решения Уп (/), называют (экспоненциальным) многочленом Бранжа, или весовой (, и)-функцией Бранжа.

В [1] показано, что

[1,если l - m = 0,2,4,... .

Фиксируем n е N \ {l} и рассмотрим систему, составленную из n первых членов последовательности ((,т }о, т-е- систему функций

W (z>т) = ZQo.iz‘+' = 6o,oz + - + So.»-iz" + - > Qo.o = 1 ;

/=()

co

W (z, T) = X Qm,izM = Qm,mzm+l + -+Q^n + -,

l=m

m = 1,n - 2Qs, s = е~™;

<c

W-, (-•' )- E Q./“ - aw+— q.

Y, (t) = Z

(-1) r (2n - 2r

r -1

s = 1 -1,

2 n - r

s - r

-(«-г)

- решение системы уравнений (7). Оно удовлетворяет

s

начальным

условиям

Y„„ (0) = -

Коэффициенты при г" в разложениях по степеням г этих функций, т.е. функций

1 (т)> й,л-1 (т) > • ” ’ 6л-1,„-1 (т) > связаны согласно (5) уравнениями

QL-Í (т) + в;^ (т) = виг,-, (т) - 0 • е0,„-1 (т);

, ( т) + би„ 1 ( т) = ( т +!) б» *1.» 1 ( т)- тб„.„ -, ( т),

т = 2,..., и -2;

1 (т) + б».„, (т) = «б„.„~, (т)- (« -1)б„--,.„~, ((6)

Заметим, что Qml = 0 при 1 < т . Поэтому последнее уравнение в системе имеет вид

QU„-1 (т) = -(п -!) 1 (т).

Заменим т на 5 по формуле т = п - s и обозначим

через -Гш,п : = ~йп-*,п-1 . Тогда (6) примет

вид

^ (и -1)^,,

У’п + Уь’_1п = (п - 5 + 1) Ух_1п - (п - 5)Г5„ , 5 = 2,..., п - 1. (7)

Приведем полученную систему уравнений к нормальной форме. Получим систему линейных однозначных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

У 1=-(п -!)У ’

у1 = 2Х-])у:1 -(п-5)у> 5 = п-!;

/=1

п е N7 {1}.

Поскольку функции Q„_Sj,_i(т) и -У'т п (т) удовлетворяют одной и той же системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и 0) = -Y'mn (0), то в силу известной теоремы

единственности решения Q„-s.„-1 (т) = -У^„ (т) ,

1 < s = n - m < n -1, m = 1,_, n -1, s = 1,_, n -1.

В [1] доказано, что У'п (т) < 0, 0 <т<да,

lim Ysn (т) = 0 . Поэтому Ysn (t), s = 1,_, n -1,

n e N \ {1} принимает на 0 < т < +<» только положительные значения. На рис. 3, 4 изображены графики функций Ysn (t), -<х> < t <<я , при n = 7 и s = 1,3,5 , при

n = 7 и s = 2,4,6 , полученные посредством численных расчетов с использованием MathCad12.

Первоначально другими методами это свойство функций Ysn (t) было установлено Аски и Гаспером.

3. Теорема сложения для многочленов Лежандра.

Многочлены Лежандра определяются формулой Род-рига [3]

P (х) =---------(х2 -1) , n = 1,2,...,

’ 2" n! dx"y >

и они имеют представление

P. (x) = і І ,(-1) (2” - 21)!

Отсюда

2"tt І\(п -1 )!(и - 21)! Рп (1)= 1, Рп (-1)= (- 1)П,

Р2л+1 (0) = 0, P2n (0) = (- 1)П

(2n)

22n (n!)2

Многочлены Pn (x) удовлетворяют дифференциальному уравнению Лежандра

(l-x2)) 2 -2x — + n(n + l)y = 0 . dx dx

то

r=1

а

n — s

Рис. 3 (я = 1, 3, 5)

У2(2,7,1) У4(4, 7,1) У6(6, 7,1)

3-

2.4" 1

1.8ч

1.2 .

0.6

-1 -( .4 0 .2 0 ПГ .8 1 .4 ш ш " 22 СП .6 .2 3 .8 4 .^.*5

0.6 "Ч V \ +’ 9 '

"1.2" \ 4 _ * ш

"1.8" % . У *•

"2.4"

Они ортогональны на отрезке [-1,1]:

1

/Рт (Х)Рп (Х)А

Рис. 4 (я = 2, 4, 6)

0, если т Ф п, 2 п +1, если т = п.

л/Т-

■=Е р (')

2/^ + w~ п=о

(8)

В круге и (0, г) = {■№ е С : |^| < г} , где г - расстоя

Эта функция является производящей функцией для многочленов Рп ().

ние от точки = и до 1 - 2/^ + м2, функция

„ , -л. Используя (8), представим (2, т) в виде

= и до ближайшего к ней нуля функции •’ 4 7 ^ оч’/ ^

( л-1

1

./-II

-2^ + м

представима степенным рядом, коэффициентами которого являются многочлены Лежандра, т.е.

Далее мы воспользуемся теоремой сложения для многочленов Лежандра. Она имеет следующий вид [4]. Пусть х, у е [-1,1], д е С . Тогда

1

xy + >/rV sjl-/g) = P„ (x)P (y) + +2§ <x )P <>' >T >■

где T (g) = cos (j ■ arccos g) - многочлены Чебышева и

P (x) = (-iy (1 - x2 (x).

В частности, если x = y, то

Рп (( + (l- ^ )cos 0) = Pn (xJ + 2^ ( ^ {) p (x) cos jQ.

7=1 ( + j J’

4. Неравенство для коэффициентов функции

Wm (z, т). Получим, следуя [2], неравенство

Qln (т) = -Y^1 - ^ с помощью теоремы сложения полиномов Лежандра.

Рассмотрим k(z, т) = Н"1 (e~'Ha (z)), ае (0,п) как

к (z, т) = Щ' (e_,Hy (z)),

что имеет место для пар (0, у), удовлетворяющих усло-

ij = (1 - e ') + e' cos 0 . Имеем

H (z) = eHB (к) = j

и ( e k

e‘k 1 + e

-Re

I- к e'k

1 - k2

1-k2 1-e'k 1-k

e к

1- k /=i V» -

С другой стороны, поскольку

1 - 2cos 0- k + к 1 + 2^ kk cos 10 I =

2I |Z Ql, (t)^’ I cos /0 .

П (z ) =

H (z)

л/Т-2

cos у • z + z"

+2S(nrf(P F7^• (11)

где

d „ / \ dJ -----rP„ (u ) =---------

du1 "У ’ du1

1 m (-1/(2n - 21 )!(n - 21 +1 - j)

~ 2" m I !(n -1 )!(n - 21)!

Так как

(p ('Л-?7)} =

;(-1)г(2« - 21)!(n - 21 +1 - j)

(1 -

I!(n -1)!(n - 21)!

" (-1) (2n - 21)!(n - 21 +1 - j)

-21-j

I

1 !(n -1 )!(n - 21)!

(1

>/r-

f (-1) (2w-21)! (^ 1 h l!(n -l)!(n - 21)!( ’

(1 - ^)" > 0 .

(9)

(10)

Пусть

является производящей функцией полиномов Лежандра, то согласно (8):

со

П(z) = ZP (cosY•

»-о

Применим теорему сложения для многочленов Лежандра к коэффициентам функции ^ (z) при

x = y = \j 1 - e_x , д = cos 0 . Получим

Л (т) = (р (^/l-e и (т) = (р ^1 - е_т )) •

Из(10) получим

n (z)=£ и ^+2i (£ z

n=0 1=1\п=1 \П + 1 )'■

cos 10 . (12)

Из (9)-(12) выводим

zn (z)=т^+2£ i £ Q" Icos /е •

1 k 1=1 Vw=l Следовательно, ^ (т) = -Y,> 0 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Доказательство Луи де Бранжа гипотезы И.М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сибирский математический журнал. 1987. Т. 28.

С. 7-20.

2. Wolfram K. Bieberbach’s Conjecture, the de Branges and Weinstein Functions and the Askey-Gasper Inequality // www.springerlink.com/index/

NQ2J5876L4710637.pdf

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.

4. Wolfram K., Dieter S. Weinstein’s Functions and the Askey-Gasper Identity // www.zib.de/Publications/Reports/SC-96-23.ps.z

Статья представлена научно-редакционным советом журнала, поступила в научную редакцию «Математика» 11 декабря 2006 г., принята к печати 18 декабря 2006 г.

7

II

2

4

вию

то

1

z